高中數(shù)學必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題 21(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題(21)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知O為坐標原點，OA=(2cosx,V3).OB=(sinx+V3cosx,-1).f(x)=OAOB+2.

(1)求函數(shù)f(x)在［0,狙上的單調(diào)增區(qū)間；

(2)當xe(0,》時，若方程f(x)+m=0有根，求m的取值范圍.

2.如圖，尸是單位圓(圓心在坐標原點)上一點，/xOP=不作PM1x軸于M,PN1y軸于N,Z.AOB

的兩邊交正方形OMPN的邊PM,PN于A,B兩點，且=a設NAOM=a(0〈aW：),

/(a)=OAOB

(1)求/(a)的解析式；

(2)求/(a)的取值范圍.

3.經(jīng)過△04B的重心G的直線與0A,08分別交于點P,Q,設m=m0A，0Q=nOB，m,n&R*.

⑴證明:%；為定值;

(2)求m+n的最小值.

4.已知三點B(8,0),C(0,8),4(x,y),且|刀|=4.(其中0為坐標原點)

(1)若|而+就|=46，求能與萬?的夾角；

(口)若瓦(_124,求點A的坐標.

5.已知萬=(V5sinx,—cosx),b=(cosx,cos%)</(x)=a-b>

(I)求/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(口)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為mb,c,若f⑻=%且b=遍，求M+cZ的

取值范圍.

6.已知正方形A8CD,E,尸分別是CO,A￡>的中點，BE,CP交于點P.用向量法證明：

⑴BE1CF；

(2)4P=AB.

7.在中，通常||=c，18cl=a,|刀|=b，易知^5?=+8C*.

(I)用向量方法證明：b2=a2+c2-2accosB；

(II)若|同|=4限cosB=—，AC邊上的中線|前|=3遮，求sinA.

6

8.設平面內(nèi)向量65=(1,7),而=(5,1).

⑴若加=(3,4),求與?麗的值;

(2)若兩=(2,1),P是直線。加上的一個動點，當行?麗取最小值時，求麗的坐標.

9.已知向量之=(sinx,cosx-I),b=設/

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和對稱中心；

(2)已知a為銳角，PG(0,71),/~(a+g=蔡，sin(a+g)=—蔡，求sin(2a+0)的值.

10.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，A,B,C三點滿足OC=工04+?。8.

33

(2)已知4(l,cosx),B(1+cosx,cosx),xG[0,^],/(x)=04-OC-(2m+|)|ylB|,若/'(x)的

最小值為g(m),求g(m)的最大值.

11.已知點4(-3,5),8(1,10),C(2,l)求：⑴以?麗的值;

(2”4CB的大??；

(3)點A到直線BC的距離.

12.已知復平面內(nèi)%BC￡>,A點對應的復數(shù)為2+i,向量瓦?對應的復數(shù)為l+2i,向量能對應的復

數(shù)為3-i,。為坐標原點.

(1)求點C,。對應的復數(shù)；

(2)求辦BCZ)的面積.

13.在團4BC中，AC=BC=3,AB=2,祝=3前,AC=2AN.

(1)用荏和前表示祠;

(2)求麗.AB.

14.已知Z=(sinK—cosx,-2),b=(1,sinxcosx)>/(%)=a-b>其中X6長,弓］.

(1)求函數(shù)f(x)的值域；

(2)若存在比€稱,才使得/(々))=0,求2夜sin(x。+學)的值.

15.已知向量沅=(―j,y),n=(2cosa,2sina),0<a<n

(1)若記〃元，求「——聞32-------的值；

sin2a+sinacosa-cos2a-l

(2)若|沅+宿=|可，求sin(a+,的值.

16.已知回4BC中，過重心G的直線交邊AB于P,交邊AC于Q,設團APQ的面積為Sr團4BC的

面積為$2，AP=pPB'AQ=qQC-

⑴求(51+4+必

(2)求證：*=1.

(3)求興的取值范圍.

17.已知百，孩是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，麗=2瓦(+右,呢=-區(qū)+4葭，前=-2瓦?+京,

且4,E,C三點共線.(1)求實數(shù)4的值；

(2)若瓦?=(2,1),孩=(2,-2),。(3,5),A,B,C,。四點按順時針順序構(gòu)成平行四邊形,求點A

的坐標.

18.在①函數(shù)f(x)=9in(23x+w)@>0,取<》的圖象向右平移5個單位長度得到g(x)的圖象,

g(x)圖象關(guān)于原點對稱;②向量而=(V3sina>x,cos2a)x),n=Qcos(ox,,(o>0,/(x)=m-n；

③函數(shù)f(x)=cossxsin(3%+')-；(a>>0)這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并

解答.已知,函數(shù)/(%)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為最

(1)若0<。<今且sin0=/求/(。)的值；

(2)求函數(shù)/(x)在［0,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

19.已知向量五，E滿足同=4,同=2,a,方的夾角為仇

⑴若。=季求心位+石)的值；

(2)若cos0=；,求他+尤加|(尤eR)的最小值.

20.在44BC中，已知點。為邊8c上一點，點E為邊AC中點，A。與BE交于點P,且前=4屋.設

而=xAB+yAC(x,yG/?).

(1)求y-x的值;

(2)若AB=6,AC=3,。為44BC的外心，則而.四是否為定值？若是，求出這個值；若不是,

請說明理由.

21.在AABC中，a,6,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且C=泉a+b=4c(其中4>1).

(I)若;1=B，證明：AaBC為直角三角形；

(2)若前,前=：",且c=3,求;I的值.

22.在A40B中，已知04=y/2,OB=>/3,04=a.OB=b>a-fa=-1>設點尸為邊AB上一點，

點。為線段80延長線上的一點.

⑴求話?荏的值；

(2)^P0PQ=0P-0A，求|次|的取值范圍.

23.已知。為坐標原點，對于函數(shù)/(x)=asinx+bcosx,稱向量麗=(a,b)為函數(shù)的伴隨向量，

同時稱函數(shù)/(%)為向量兩的伴隨函數(shù).

(1)設函數(shù)/(無)=2cos《+x),求/(x)的伴隨向量麗

(2)記向量而=(1,遮)的伴隨函數(shù)為g(x),當g(x)=g,且%€(-或1)時，求sinx的值；

(3)由(1)中函數(shù)f(x)的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再把所得的圖象向右平移g

個單位長度得到函數(shù)/i(x)的圖象.已知4(一2,3),B(2,6),問在y=/i(x)的圖象上是否存在一點P,

使得可，刀？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由?

24.設函數(shù)f(x)=3?b,其中向量日=(2cosx,1),b=(cosx,bsin2尤+zn).

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

(2)當xe|o,1時，一4</(%)<4恒成立，求實數(shù)02的取值范圍.

25.假設在靜水中船的速度大小為20米/分，水流的速度大小為10米/分，如果船從岸邊出發(fā)沿垂

直于水流的航線到達對岸.

(1)求船航行的方向；

(2)經(jīng)過3小時，該船的實際航程是多少千米？

26.已知五=(3,—2),h=(2,1)>O為坐標原點.

(1)若m五+石與五-23的夾角為鈍角，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)設市=8，OB=b<求△CMB的面積.

27.已知向量方=(l,sin0),b=(2,1).

(1)求當。=*時，求向量2Z+石的坐標；

(2)若五〃另，且。6(0,》求tan(e+$的值;

(3)若?=24,且1L7?，求翻勺坐標.

28.已知|4=1,|b|=V3-a+K=(V3,l)>試求：(1)|百一方|

(2)蒼+了與蒼一方的夾角.

29.如圖所示，在團4BC中,已知點。在邊BC上，且皿C=9。。，cos的”等，AB=6.

(1)若5譏。=白，求線段3c的長；

(n)若點E是3c的中點，AE=y[Y7,求線段4c的長.

30.如圖，在Z1OAB中，已知尸為線段4B上的一點，OP=x-0A+y-0B.

(1)若喬=方，求x,y的值;

(2)若喬=3萬而|=4,|而|=2，且就與赤的夾角為60。時，求而?荏的值.

【答案與解析】

1.答案：解：(l)f(x)=04?OB+2=2cosxsinx+2V3cos2x—V34-2=sin2x+取cos2x4-2=

2sin(2x+g)+2,

函數(shù)單調(diào)增區(qū)間：一]+2人>42工+；W*+2A-7r(A:GZ)；

—+卜"W工Wij+人4及€Z),

設-4(—；：；+小不；,+A,7r](A-eZ),B=[0,n],

則ACB=[O*]U吟,兀].

所以函數(shù)/(x)在[0,捫上的單調(diào)增區(qū)間為。*],[工,可；

(2)當xG(0《)時，若方程f(x)+m=0有根，

所以=一小在％e(0《)上有解，

由％e(0,5),得2x+ge《,g),

所以一餐<sin(2x+^)<1,則2一b</(x)<4.

所以ni￡[—4,V3—2).

解析：本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

(1)先利用數(shù)量積以及三角函數(shù)的知識對解析式進行整理，再利用整體代換思想，求出函數(shù)的遞增區(qū)

間與[0,利取交集即可;

(2)先求出/(x)的范圍；再結(jié)合/(x)=-m即可求解.

2.答案：解：(1)???40P=%\0P\=1,\0M\=\0N\=y.

在Rt^AOM中，cosZ71OM=鬻，...|0*=IOM|=號,

11COS2OMcosa

42

在RfBON中，cosNB。"^,2

cos7(^--a)r

??.f⑷=和9=I西?I函CB=[Xcx：sj)XC喏皆Xc°sa二(『)

(2)令g(a)=cosa?cos?-a)=cosa-y(cosa+sina)=y(cos2a+sinacosa)

=yx1(cos2a+sin2a+1)=jsin(2a+

???OWaW：,???2a+：e《,號,sin(2a+^)e[y,l]?g(a)€除竽].

L1

.-./(a)e[V2-l,-].

解析：(1)易知|0M|=|0N|=當，在RM/OM和/^△30時中，可分別用。表示線段|。力|和|。3|的長，

然后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，f(a)=OA-OB=\OA\-\OB\cosz.AOB^將其整理成只與a有關(guān)

的函數(shù)式.

(2)令g(a)=cosa-cos/-a),結(jié)合余弦兩角差公式、二倍角公式和輔助角公式，將其化簡為g(a)=

：sin(2a+9+9,然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及OSa等，可求得g(a)的取值范圍，進而

得/'(a)的取值范圍.

本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合運用，包含平面向量數(shù)量積、三角恒等變換的基礎公式和正弦

函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學生靈活運用知識的能力、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

3.答案：(1)證明設。X=1，OB=b-

由題意知面=|x)6?+萬均=式五十石),

PQ=0Q-OP=nb-mar

PG=0G-OP=(5-血)五十§b,

由尸，G,。三點共線得，

存在實數(shù)；I,使得的=2對，

即nb—ma=AQ—4-|Ah,

從而「「(》叫

1n=3

消去播"3=3

(2)解由(1)知，5+1=3,

于是m+n=[(3+3)(m+n)

=1(2+5+*式2+2)=3

當且僅當m=九=|時，m+n取得最小值，最小值為g.

解析：本題考查向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，基本不等式

求最值，屬于中檔題

⑴根據(jù)方與血共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實數(shù)人使得病=4蒼，進而得到〃?，〃的關(guān)

系式，由G為三角形的重心則。G=[(。4+。8),結(jié)合0Q=n0B>我們根據(jù)P,G,

。三點共線，易得到機，〃關(guān)系式，整理后即可得到3+：的值.

(2)利用壹+；=3,再利用基本不等式求最值.

4.答案：解：(I)由題得,0A=(x,y)>0C=(0,8).OB=(8,0)，

|0^4|=4>???x2+y2=16①，

又???|麗+市|=4夕，???(8+x)2+y2=112(2),

聯(lián)立①②可得：x=2,y=+2\/3,

3(就西=^=土字

因為〈刀，靈)G[0,7T],

故刃與灰的夾角為30?；?50

(II)由題知，x2+y2=16,又前_1_可，則不=0，即：%2+y2-8x-8y=0,

聯(lián)立｛%2+y2=16,x=1—V7,-(%=14-V7

8y=。解得

x2+y2—8%—y=1+V7(y=1—小'

???4(1-V7,l+?；?1+V7,1-V7).

解析：本題考查了向量模的計算、向量的夾角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

(1)由題意，可得％2+y2=]6①，(8+x)2+y2=112②，聯(lián)立①②求出x,yf從而利用向量夾

角公式即可得出；

(2)前1近，可得瓦心鉆=0，則/+y2-8x-8y=0,聯(lián)立/+y?=16解得坐標即可.

5.答案：解:(1)因為五=(bsin%,—cos%),b=(cosx,cos%)?

所以f(x)=a-b=(V3sinx,-cos%)?(cosx,cosx)=V3sinxcosx—cos2x

=Ysin2x—|(cos2x4-1)=sin(2x—

令---F2/CTT<2x—<—F2kji,kWZ得------Fkii4％〈—Fku,kEZ,

26263

所以/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[—*+/ot](kGZ);

(2)因為/(B)=抑sin(2B-^)-i=(

所以sin(2B一弓)=1,

所以2B+2/CTT,kGZ即B=-+k7i,keZ,

623

因為BG(O,TT),

所以B=?

由余弦定理得Z>2=a2+c2-2accosB即心+c2—3=ac,

由基本不等式得a?+c2>2ac,當且僅當a=c時取等號，

所以a?+c2>2(a2+c2-3)即心+c2<6>

又因為a?+c?=3+ac>3,

所以&2+02的取值范圍為(3,6].

解析：本題考查平面向量坐標運算、數(shù)量積，三角函數(shù)性質(zhì)以及余弦定理得應用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)/(%)=a.就入數(shù)值得到=sin(2x一習后，然后令一/+2/OT《2x-看4]+2k兀,kG

Z即可求解單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)先利用/(B)=：求解角B,然后利用余弦定理得到爐=a2+c2-2accosB即a2+c?-3=ac,最

后利用基本不等式a?+c2>2ac求解取值范圍即可.

6.答案：證明：(1)如圖建立直角坐標系X。)，，其中4為原點，

則4(0,0),8(2,0),C(2,2),E(l,2),F(0,l).

JE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1).

vBE-CF=-1x(-2)+2x(-1)=0.

:.BE1CF.

(2)設P(%,y),則而=(%,y-l),CF=(-2,-1)，

-FP//CF,

???—x=-2(y—1),即％=2y—2.

同理由并〃而，

得y=-2x+4,代入％=2y-2.解得x=

■,-y=?即p聯(lián)>

.?./=(丁+(?=4=就

.?.網(wǎng)=畫，

解析：本題考查利用平面向量證明線段垂直與線段相等，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標系將幾何問題

轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行計算證明，即利用平面向量的坐標運算及數(shù)量積運算證明線段垂直；利用平面

向量的坐標運算及計算平面向量模相等證明線段相等.屬中檔試題.

(1)解題的關(guān)鍵是將線段垂直轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積為0,即而.CF=0,得到BE1CF.

(2)解題的關(guān)鍵是將線段相等轉(zhuǎn)化為平面向量的模相等，即|而|=|四得到4P=4B.

7.答案：ft?：(I)=AB+BC.

AC2=(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB-BC>

即爐=+2accos(n-5)=a24-c2-2accosB.

(口)...前=皿，...|BD|2=?±±?L±?￡,

24

即小+4a—21=0,:、a=3或a=-7(舍)，

又???b2=a2+c2-2accosB,.?.b=2V21?

：?sin/=fsinB=—.

解析：本題主要考查了向量的加法、減法、數(shù)乘運算，向量的模，正弦定理及余弦定理的應用，考

查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

(1)由前=而+就，兩邊平方整理即可得出結(jié)論；

(2)由|前1=3花，可求出“，從而利用余弦定理可求出人,進而根據(jù)正弦定理可求出sinA.

8.答案：解：⑴?響量6？=(1,7),宿=(5,1),加=(3,4)，

：.PA=OA-OP=(-2,3),而=OB-OP=(2,-3).

二兩廂=-2x2+3X(-3)=-13.

(2)設罰=(x,y).

vP在直線OM上，

又兩=(2,1)，

：.x-2y=0,即加=(2y,y),

又兩=應一加=(1—2%7—y)，P5O^-OP(5-2i/.1-y).

：.PA-'PB=5y2-2Oy+12=5(y-2)2-8.

二當y=2時，可?而取得最小值一8,此時罰的坐標為(4,2).

解析：本題考查了向量的數(shù)量積和平面向量的坐標運算以及函數(shù)的最值，是中檔題.

(1)先得出刀，而坐標，由向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果.

(2)先設赤=(%,y),因為尸在直線0M上，利用向量共線可得x=2y,從而得出方?麗=5必—

20y+12=5(y—2)2—8,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出同.麗的最小值，進而得出加的坐標；

9.答案：解：(1)/(%)=y/3sinx—cosx+1

V31

=2(—sinx--cosx)+1

nn

=2(sinxcos——cosxsin-^)4-1

=2sm(x--)4-1,

6

其最小正周期為2m

對稱中心為(k兀+91),kez；

o

(2)/(a+7)=2sina+1=

65

???stna=4

又a為銳角，

???cosa-3

?“G(0,7T),

.-.a+/?e(O,y),

vsin(a+°)=-卷<0,

二a+0e(7T,y),

cos(a+/?)=一《，

:.sin(2a+/?)=sin[a+(a+/?)]

=sinacos^a+夕)+cosasin^a+0)

45312

=-x(-----)+-x(-----)

5l田5l13J

56

=一密

解析：(1)利用數(shù)量積把f。)化為三角函數(shù)，可直接得到周期和中心；

(2)把2a+/?看成a+(a+￡)是解題的關(guān)鍵，結(jié)合角的范圍分別求出a和a+0的正余弦值，代入公式

即可得解.

此題考查了向量數(shù)量積，三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的求值變換等，難度適中.

10.答案：解：⑴由題意知4B,c三點滿足衣=4而+[而,

可得而一市=|(話—麗)，所以前=|荏=式就+函)，Bpi^c=|ce

即祝2方，則I正I=2|四|,所以爆=2.

(2)由題意，函數(shù)f(%)=04.OC—(2m+1)\AB\=14-jcosx+cos2%—(2m+§cosx

=(cosx-m)24-1-m2因為％G[0^],所以cosxE[0,1],

當mV0時,/(%)取得最小值g(m)=1,

當0WmW1時，當cosx=ni時，f(%)取得最小值g(m)=1-m2,

當m>1時，當cos%=1時，f(%)取得最小值g(m)=2-2m,

rl,m<0

綜上所述，g(m)=j1-0<m<1,

(2-2m,m>1

可得函數(shù)g(?n)的最大值為1,即g(m)的最大值為1.

解析：本題考查平面向量的線性運算以及函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.

(1)利用向量線性運算可得前=20進而求出結(jié)果；

(2)利用向量數(shù)量積結(jié)合/(%)=(cos%-?n)2+1-僧2因為工￡[(),§,所以cos%€[0,1],然后

分別討論即可求出結(jié)果.

11.答案：⑴因為4—3,5),B(l,10),C(2,l),

所以石<=(-5,4),CB=(-1,9),

所以不CB=-5x(-1)4-4x9=41;

0

(2)因為」

,25+16x，1+81

所以孑

(3)點A到直線BC的距離為|不|xsin乙4cB=V41x—=—

解析：本題考查了向量的坐標表示與運算問題，求兩向量的夾角大小的應用問題，由數(shù)量積求點到

直線的距離等知識，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量的坐標表示和向量的數(shù)量積計算求解即可；

(2)利用夾角公式求出兩向量的夾角；

(3)利用數(shù)量積求點到直線的距離求解即可.

12.答案：解：⑴由題意，在復平面直角坐標系中，4(2,1),瓦5=(1,2),

BC=(5,-1),

?■AC=BC-BA=(2,-3),

又能=d5+配=(4,-2)，

???點C對應的復數(shù)為4一2九

又前=瓦5+瓦(4,1),OB=OA-BA=(1,-1).

.-.OD=OB+BD=(5,0)，

點。對應的復數(shù)為5.

(2)；瓦?.BC=\'BA\\BC\cosB，

cR4BC3-21

??COS—同懈|-y[5Xy[10-

，smB=金,

"S四邊形ABCD=IBA11BC\sinB

=V5xV10x^==7.

??.平行四邊形ABCD的面積為7.

解析：本題考查復數(shù)的幾何意義，平面向量數(shù)量積的運算，考查計算能力，屬于基礎題.

(1)表示向量前對應的復數(shù)，用品=初+前求點C對應的復數(shù)；而=赤+而求出。對應的復

數(shù)；

(2)由平面向量的數(shù)量積求出cosB,再求sinB,利用|瓦？||瓦:|s譏B求平行四邊形A8C。的面積.

13.答案：解：(1)因為瓦^=3兩，

所以前=荏+1前=荏+1(而-荏)=7荏+1尼.

(2)過點C作CD1AB于。,

則AD=1,AC-AB=\AB\-IJC|COS/4=2.

因為前=2AN，

所以而=而一宿=%而—乙荏+二而)=-IAB+^AC,

2133736

從而麗?而=(-|AB+^AC)?AB=-||AB|2+1AB-AC=-|x22+|x2=-1.

解析：本題考查平面向量的基本定理，考查平面向量的線性運算及數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)依題意，由宿=荏+]就即可解題；

(2)過點C作CD_LAB于。，求出前.荏，表示出而，即可由麗?荏=而+:而)?而求出.

36

14.答案：(1)/(%)=(sin%—cosx)-2sinxcosx

設sin%—cosx=3則1—2sinxcosx=t2

所以/(%)=/+t—1

又sinx-cosx=V2sin(x一》%一彳￡[。,外

所以&sin(x-9€[0,金],g|lte[0,V2]

y=t2+t—1在[o,a]上單調(diào)遞增，

t=0時，y=-1；1=夜時，y=V2+1

/(x)的值域為[―1,&+1]

(2)令f2+t-l=0,tG[0,V2]

得「=呼，即應sin?,*)=三更

故2夜sin（&+乎）=2V2sin（x0一?+兀）=-2V2sin（x0一力=1一遍.

解析：本題結(jié)合向量的數(shù)量積，換元法求最值等知識考查了三角函數(shù)求值域問題以及化簡求值問題,

屬中檔題.

(1)利用向量的數(shù)量積求出/(X)的表達式，利用換元法求出值域.

(2)由/'(%())=0得到或sin(沏-》=-1+V5,利用角的配湊求出2&sin(x。+為即可.

24

15.答案:解：(1)???布〃五,

1

~22cosa

V32sina

T

cosaV3

------=——

sina3

sin2a

sin2a+sinacosa—cos2a—1

2sinacosa

sin2a+sinacosa—(1—2sin2a)—1

2sinacosa

sin2a+sinacosa+2sin2a—2(sin2a+cos2a)

2cosa

sina

=3+V3

(2)v\m+n\=|n|,

即」(2cosa-1)2+(2sina+乎)=V4sin2a4-4cos2a,

???4cos2a—2cosa+工+4sin2a+2V3sina4--=4cos2a+4sin2a,

44

2bsina—2cosa+1=0,

V3.11

八一sina=-cosa——

224

=^si?a+Aco8a=si?r(a-^7T11遺_3v/5-1

sm(a+-+-T

\622L\6/42r8

解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式及

其應用、向量的模、向量垂直的判斷與證明、向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)根據(jù)記〃五，得出吧=一些，將需求的式子先降角成一倍狀態(tài),

sina3

再上下同時除以siMa,即可求出結(jié)果;

(2)由|m4-n|=|n|,得出2V5sina—2cosa+1=0,即^sina=|cosa—5

利用&in(a+sina+，即可求出結(jié)果.

16.答案：解：(1)延長AG交8c于O,則。為8C中點，

.?.GZJ+GC=2GD，

??,G是重心，,GA=-2而)，

.\GA^GB^GC=-2GD+2GD=0；

(2)設旗=3品

--IP-—a

???AP=pPB，［各'

..?花=勺亦.?.疝=言乙

???P,G,Q三點共線，

則存在a,使得花=入而，即/Q-zip=a(4G-/p),

即空二=也即2一三=三+1,即上+三=1

pqpqpq

(3)由⑵Q=€b，而=言”，

S[府WnNBACI益H后IPq

S21網(wǎng).網(wǎng).sinNBACAB-AC1+P1+9

11p

.?;+Z=L9=有，可知P>L

則當：時，金取得最小值，，當：=i時，金取得最大值

PZ，29P322

?爭1,則包的取值范圍為KA)?

解析：本題考查平面向量的線性運算，考查基本定理和共線定理的應用，考查面積公式的應用，屬

于較難題.

(1)延長4G交BC于。，則。為8c中點，可得由?+而，=2Gb，GA=-2GD'即可求出;

⑵設/可得力"'/，疝=/</，可得啟一人=%(/一六)，即可建立

關(guān)系求得;

J|.4P|-|.4Q|-siuZB.4CAPAQ

(3)可得、,J.；」'，，再根:+；=1結(jié)合P的范圍求

軻?網(wǎng)sinABACABAC

出.

17.答案：解：⑴荏=荏+而

=（2%+孩）+（一久+2或

=瓦+(1+4)宅.

-A,E,C三點共線，

存在實數(shù)鼠使得荏=/￡就，

即可+(1+4)五=軟―2瓦<+或)，

得(l+2k)瓦=(k-l-a)孩.

???瓦，瓦是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，

??.6+yI。,解得卜=心,A=-|.

(2)"A,B,C,。四點按順時針順序構(gòu)成平行四邊形，

???AD-BC<

設4(*,y),則而=(3—X,5—y),

-.?BC=FE+FC=-3e7-|eJ=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2),

隹;U，解瞰二°

故點A的坐標為(10,7).

解析：本題考查了向量共線、向量的坐標運算、平面向量的基本定理，本題屬于中檔題.

(1)可以利用三點共線，得到向量的線性關(guān)系，解出4的值，即可得到結(jié)果；

(2)由已知條件得到面的坐標，再由標=近，得到A點的坐標，即可得到結(jié)果.

18.答案：解：方案一：選條件①

由題意可知，7=答=兀，

2a)

AO)=1

：,/(%)=1sin(2x+<p),

???g(x)=1sin(2x+w

zo

又函數(shù)9(%)圖象關(guān)于原點對稱，

：?(p=kn+三，kEZ,

l<pl<p

n

?1?/（X）=，sin（2x+J

方案二：選條件②

vm=(V3sincox,cos2cox),n=|costox,J

V311/V31

???/(x)=m-n=--sina)xcosa>x-{---cos2a)x---sin2d)x+-cos2tox

242\22

=1sin(2a)x+胃

又T=爭=7T,

2a)

，3=1

]

???fM=]sin(2x+

方案三：選條件③

/7T\]/n7l\1

/(%)=cos6>xsinIa)x+-)--=coscox(sintoxcos—+costoxsin-

\6，4166，4

V3.,iiV3.,1

=—sintoxcosx+-cos2￡a)x——=—sinzocox+-coszoeox

22444

=j(ysin2(ox+jcos2o)x=jsin(2o)x+/),

又T==7T,???co=1,???/(%)=；sin(2%+J

(1)0<0<-,sin9=-,cos9——,sin20=—,cos20=-

VJ23399

1V314V64-7

f⑻=5(亍sin26+5cos2。)=———

22236

(2)由—F2/CTTW2XH—W—Ti+2kn,k6Z,

262

得=+/CTT<%<|TT+k7l,keZ,

63

令k-0,得g<%<

63

令k=1,得：7T<X<|兀，

???函數(shù)”久）在［0,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為K，|T,七兀q兀］.

解析：本題主要考查了函數(shù)y=4s譏（3x+3）+k的圖象與性質(zhì)，涉及向量的數(shù)量積、函數(shù)圖象的平

移、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式、輔助角公式，屬于較難題.

選①先平移求得g（x），再根據(jù)g（x）的周期及關(guān)于原點對稱求得3,0得到函數(shù)解析式，（1）由0的范圍

及正弦值求得。，進一步求得/（。）的值；（2）利用函數(shù)/（x）=Jsin（2x+g）求得單調(diào)遞減區(qū)間，再求

交集即可；

選②利用向量的數(shù)量積及二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的周期求得3得到

函數(shù)的解析式，余下同選①；

選③利用兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期求得

3得到函數(shù)的解析式，余下同選①.

19.答案：解：（1）因為向量房B滿足|砧=4,西|=2,a,3的夾角為宗

所以五+=a2+a-b=16+4x2x（-i）=12

⑵向量五，B滿足|百|(zhì)=4,|引=2，a,石的夾角為。，又cos。=%

則|為+x方|=Ja2+2xa-b+x2b2-V4x24-4x+16

=2卜+/1+.彳15

所以，當x=-：時，

|a4-%b|的最小值為

解析：本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬于基礎題目.

(1)直接把已知條件代入其數(shù)量積即可；

(2)先求其平方；進而求得結(jié)論.

20.答案：解：(1)因為點E為邊AC中點，AD與BE交于點、P,

且前=4而，

所以前=:近=\*,(近+褊)=|前+：褊，

又點。為邊8c上一點，

所以存在實數(shù)f,使得前=t而，

因此麗=:近+|前=|t前+(明，

因為A,P,。三點共線，

所以ft+|=1,則t=|,

即就=|前，

所以前?■希=|(而一四)，

整理得：AD=^AB+IAC,

又而—xAB+y'AC>

(i

所以《x=-；，

ly=3

因此y-x=i；

(2)分別取AB,AC的中點M,N,連接OM,ON,

B

則0Ml4B,ONLAC,

所以南.荏=g|荏巳AO-AC=^\AC\i,

又4B=6,AC=3,

所以而-AD=Ad-(^AB+1AC)=|^40-AB+1前?AC

=||AB|2+||^C|2=^X36+|X9=9.

解析：求解本題的關(guān)鍵在于利用平面向量基本定理，以及三點共線的充要條件，確定點。的具體位

置，即由前=4屈，結(jié)合題中條件，由A,P,。三點共線，求得能=|前，即可求解，屬于中檔

題.

(1)根據(jù)平面向量基本定理，由向量的運算法則，先得到麗=|正+|雨，設瓦t=t前，根據(jù)三點

共線的充要條件，得到t=|,再由向量運算法則，用荏和前表示出而，結(jié)合題中條件，即可得出

結(jié)果；

⑵根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得到布?荏=?同『，同=?而匕即可根據(jù)⑴的結(jié)果,

求出布?前的值.

21.答案:(1)證明：，：入=遮,

???Q+b=V3c,

???C=pBPsinC=—,

32

???由正弦定理得sin/+sinB=y/3sinC=|,

???sinA+sinB=sinB+sin(——B)=sinB4--cosB4--sinB=

k37222

???|sinB4-ycosB=|,即sin(B+')=?，

??,8+,=；或8+/=.，即或B=],

oo63oZ

若B=±得到4=三此時△ABC為直角三角形;

ON

若B=1時，△4BC亦為直角三角形；

(2)解：：AC.BC=gab=gM,...附=\",

又a+b=34,

由余弦定理知a?+b2—c2=2ab-cosC,即a?+b2—ab=c2=9,

■.(a+b)2—3ab=9,BR9A2—yA2=9,A>1,

解得：A=2.

解析：此題考查了正弦、余弦定理，三角恒等變換等知識，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，

屬基礎題.

(1)將;I代入已知等式得到a+b=Wc,利用正弦定理化簡，由C的度數(shù)得出4+B的度數(shù)，用8表

示出A,代入化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出8的度數(shù)，即可確定三角形為直角

三角形；

(2)利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知等式，表示出心，再利用余弦定理列出關(guān)系式，再由已

知的等式，代入計算即可求出4的值.

22.答案：解:(l)OB-XB=K(i-a)

―2——

=b—a-b=4-

(2)設=xa+(1—x)b(0<%<1)

OQ=t/?(t<0),

所以的=-%a+(t+%—1)方，

因為而?聞=而萬^

所以(%為+(1—x)K)-(%a-(t+x-1)K)

=(xa+(1—x)b)?五,

所以/a2+[(1—x)x—x(t4-x-1)]a-6—(1—x)(t+x-1)b

=xa2+(l-x)a-K，

所以2%2+(x2—x+%2+(t—])%)+3Q2+(￡—2)x—(￡-1))=3x—1,

所以7/+4tx—11%—3t+4=0,

又因為tv0,0<%<l,

所以巴等2<0,

所以(7x-4)(4x-3)<0,

43

所

以-<%<-

74

所以|OPI2=(xa+(1—x)b)2

=7x2—8%4-3

=7(%-i)2+|,

所以；<|而『<3

所以苧<1研〈平.

解析：本題考查了向量的數(shù)量積以及向量的模，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量的數(shù)量積直接進行運算：

(2)0P=xa+(l-x)b.根據(jù)已知把|而|轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值.

23.答案：解：(1)因為/(x)=2cosG+x)=cosx-遍sinx

所以/'(x)的伴隨向量麗=(-73,1)；

(2)向量。紓=(1,75)的伴隨函數(shù)為g(x)=sinx+V5cosx，

因為g(x)=sinx+75cosx=2sin(x+g),且g(x)=三

所以2sin(x+卞=2,

所以sin(x+g)=g，

因為xe(—5O

所以0<x+K5,

所以cos(x+g)=Jl-sin2(x+=Jl一=|?

所以sinx=sin[(x+-)—-]=-sin(x+-)--cos(x+-)=-x-——x-=4-3^；

I、3，3」2'3，2'3，252510

(3)將函數(shù)/(x)的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)y=2cosc"+$

再把所得的圖象向右平移半個單位長度得到/i(x)的圖象，得到妙)=2cos[/-爭+白=

C1

ZC0S-%,

2

假設在y=M尤)的圖象上存在一點P,使得司,3，

設P的坐標為(x,2cos|x),

因為4(-2,3),B(2,6),

所以同=(-2—%,3—2cos=(2—x,6-2cos|x),

因為可,對，

所以可?而=0,

11

即(—2一%)(2—x)+(3-2cos-x)(6—2cos-x)=0

整理得:x2+4cos21—18cos|x+14=0

所以(2cos=弓_%2①

由于一242cos<2,

所以g《(2cos、一獷《詈，

又與一/《印

44

所以當且僅當％=0時①式成立，

所以在y=/i(x)的圖象上存在點P(0,2),使得可,對.

解析：本題主要考查新定義，正弦和余弦函數(shù)的圖象特征，向量數(shù)量積運算，向量垂直的性質(zhì)，兩

角和差的三角函數(shù)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題.

(1)化簡函數(shù)f(x)的解析式，可得f(x)的伴隨向量而；

(2)先由條件而=(