專題27 圖形的相似（46題）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

PAGE13PAGE14專題27圖形的相似（46題）一、單選題1．（2024·重慶·中考真題）若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是，故選：D．2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時，在點光源的照射下形成的投影是，，∴，∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為，∵三角形硬紙板的面積為，∴，∴的面積為．故選：D．3．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由題意得，∴，∴，即，解得，故選：B．4．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點分別為邊的中點，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯誤；故選：．5．（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網(wǎng)格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．故選D．6．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應(yīng)點為，則點的對應(yīng)點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點的坐標可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵與是位似圖形，點的對應(yīng)點為，∴與的位似比為，∴點的對應(yīng)點的坐標為，即，故選：．7．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點的坐標分別為，，，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應(yīng)點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意橫縱的坐標乘以，即可求解．【詳解】解：依題意，，以原點為位似中心，將這個矩形按相似比縮小，則頂點在第一象限對應(yīng)點的坐標是故選：D．8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項可以判定．【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，∴，故A正確；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D錯誤；∵，∴，故C正確，故選：D．9．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．10．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A為反比例函數(shù)圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負值舍去），故選：A．11．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，連接，，，交于點．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項，D選項給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A選項正確，B.若，，，∴是的角平分線，∴∵∴∴∴∴四邊形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B選項正確，C.∵，∴∵，∴∴∴∴四邊形是菱形，∴，又∵∴，∵，∴垂直平分，∴∴，故C選項正確；D.若，則四邊形是菱形，由，且時，可得垂直平分，∵∴，故D選項不正確故選：D．12．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．13．（2024·安徽·中考真題）如圖，在中，，，，是邊上的高．點E，F(xiàn)分別在邊，上（不與端點重合），且．設(shè)，四邊形的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，過點E作于點H，由勾股定理求出，根據(jù)等面積法求出，先證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可求出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出，根據(jù)，代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根據(jù)自變量的大小求出對應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】解：過點E作于點H，如下圖：∵，，，∴，∵是邊上的高．∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴∵，∴當時，，當時，．故選：A．14．（2024·山東·中考真題）如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．作輔助線如圖，由平行正相似先證，再證，即可求得結(jié)果．【詳解】解：延長和，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．故選：B．二、填空題15．（2024·江蘇鹽城·中考真題）兩個相似多邊形的相似比為，則它們的周長的比為．【答案】/【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形周長之比等于相似比即可求解，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩個相似多邊形的相似比為，∴它們的周長的比為，故答案為：．16．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點，且．若，則．

【答案】/0.5【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比，即可解題．【詳解】解：，，，故答案為：．17．（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設(shè)，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為．【答案】【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意得，，過作于點，交于點，利用已知得出，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】由題意得：，∴，如圖，過作于點，交于點，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距離為，故答案為：．18．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．【詳解】解：∵正方形的對角線相交于點O，∴，，∵點E是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長，交于，是的直徑，，，平分，，又∵，∴，，，，，，，又∵，∴，，，，，，故答案為：．20．（2024·湖北·中考真題）為等邊三角形，分別延長，到點，使，連接，，連接并延長交于點．若，則，．【答案】/30度/【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理．利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得；作交的延長線于點，利用直角三角形的性質(zhì)求得，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，，∴，，∴，，，作交的延長線于點，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得，故答案為：，．21．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長為6，，過點作，交的延長線于點，連結(jié)分別交，于點，，則的長為．【答案】/【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，然后勾股定理求出，，然后證明出，得到，求出，然后證明出，得到，求出，進而求解即可．【詳解】解：菱形的邊長為6，，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，．故答案為：．22．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形中，，對角線和交于點O，若，則．【答案】【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)的距離為，則，即，證明，則，計算求解即可．【詳解】解：設(shè)的距離為，∴，即，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．23．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明得出，，進而可得，即可求解．【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，∵四邊形是平行四邊形，點，，，∴，∴，即，則，∵軸，軸，∴∴∴∴，∴∴故答案為：．24．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則．

【答案】【分析】連接，過E作于F，設(shè)，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，，，進而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得到；根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，進而得到關(guān)于x的一元二次方程，進而求解即可．【詳解】解：連接，過E作于F，設(shè)，，

∵，為中點，∴，又，∴，，，∴，，∵，∴，則，又，∴，∴，，∴，則；∵是的一條角平分線，∴，又，∴，∴∴，則，∴，即，解得（負值已舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．25．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則．【答案】/【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．設(shè)，，根據(jù)折疊性質(zhì)得，，過E作于H，設(shè)與相交于M，證明得到，進而得到，，證明是等腰直角三角形得到，可得，證明得到，則，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∵沿翻折，得到，∴，，過E作于H，設(shè)與相交于M，則，又，∴，∴，∵，，，∴，∴，，則，∴是等腰直角三角形，∴，則，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∵的面積是面積的2倍，∴，則，解得，（舍去），即，故答案為：．三、解答題26．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結(jié)．(1)求證：是的切線；(2)當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，求得，連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，連接，平分，，，，是的直徑，，．27．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，平分交于點，過點的直線，交的延長線于點，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)連接并延長，分別交于兩點，交于點，若的半徑為，求的值．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可證明；（2）連接，先解，求得，，則，，可證明，由，得，故，證明，即可得到．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，即，∵是的半徑∴是的切線；（2）解：連接，∵，∴在中，，由勾股定理得：∴，∵在中，，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點C在以為直徑的上，過點C作的切線l，過點A作，垂足為D，連接．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)題意得，，利用等量代換確定，再由相似三角形的判定即可證明；（2）先由勾股定理確定，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵是的切線，點C在以為直徑的上，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得，∴即，∴，∴的半徑為．29．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與相切于點A，是的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側(cè)，連接，分別與交于點E，F(xiàn)，連接．(1)求證：；(2)若的半徑，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）利用切線和直徑的性質(zhì)求得，再利用等角的余角相等即可證明；（2）先求得，，證明和是等腰直角三角形，求得的長，再證明，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵直線l與相切于點A，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵直線l與相切于點A，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵是的直徑，∴，∴也是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．30．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．(1)求證：；(2)為線段延長線上一點，且滿足，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）證明：連接交于點，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．31．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，延長，交于點，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進一步求出【詳解】（1）證明：連接，延長，交于點，連接如圖，∵∴是等腰直角三角形，∴∵是的直徑，∴∴∴∴∵∴即∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在等腰直角三角形中，,∴，解得，，∴，∴在中，∴，又，∴∴∴∴【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵．32．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，在四邊形中，，連接，過點作，垂足為，交于點，．(1)求證：；(2)若．①請判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）由余角的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得；（2）①設(shè)，可求，可求，根據(jù)等腰三角形的判定可得；②由勾股定理可求，由“”可證，可得，通過證明，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：①，理由如下：設(shè)，，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，．33．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題．如圖1，在中，，點D是上的一個動點，過點D作于點E，延長交延長線于點F．請你解決下面各組提出的問題：(1)求證：；(2)探究與的關(guān)系；某小組探究發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．請你繼續(xù)探究：①當時，直接寫出的值；②當時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，過點F作，垂足為點P，連接，得到圖2，當點D運動到使時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①②，證明見解析(3)【分析】（1）等邊對等角，得到，等角的余角的相等，結(jié)合對頂角相等，得到，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)給定的信息，得到是的2倍，即可得出結(jié)果；②猜想，作于點，證明，得到，三線合一得到，即可得出結(jié)論；（3）過點作，角平分線的性質(zhì)，得到，推出，等角的余角相等，得到，進而得到，得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，，且，∴，∴；（2）解：①當時，；當時，，∴總結(jié)規(guī)律得：是的2倍，∴當時，；②當時，猜想，證明：作于點，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）知，又，∴，即，∴；（3），理由如下：過點作，∵，，∴，由（2）知，當時，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由（1）知，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．34．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．(1)求的值；(2)求證：；(3)求證：與互相平分．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結(jié)果；（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，得出，得出，再由平行線判定得出，，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】（1），且是的直徑，．，在中，．，在中，．，；（2）過點作，交延長線于點．．，，．，，，，，．，，，，．（3）如圖，連接．是的直徑，．，．由（2）知，，，，．．，．由（2）知，，．，，，四邊形是平行四邊形，與互相平分．【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．35．（2024·北京·中考真題）如圖，是的直徑，點，在上，平分.

(1)求證：；(2)延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得，結(jié)合，得到，繼而得到，根據(jù)平分，得到，繼而得到，可證；（2）不妨設(shè)，則，求得，證明，，求得，取的中點M，連接，則，求得，，結(jié)合切線性質(zhì)，得到，解答即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長為.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.36．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．在中，點為邊上一點，連接．(1)初步探究如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點為中點，，求的長；(3)創(chuàng)新提升如圖4，點為中點，連接，若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由，，利用兩個三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)，由（1）中相似，代值求解得到，從而根據(jù)與的相似比為求解即可得到答案；（3）過點作的平行線交的延長線于點，如圖1所示，設(shè)，過點作于點，如圖2所示，利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可得到相關(guān)角度與線段長，再由三角形相似的判定與性質(zhì)得到，代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵點為中點，∴設(shè)，由（1）知，∴，∴，∴與的相似比為，∴，∵∴；（3）解：過點作的平行線交的延長線于點，過作，如圖1所示：∵點為中點，∴設(shè)，∵，∴，，在中，，則由勾股定理可得，過點作于點，如圖2所示：∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，點為中點，∴，，，又∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查幾何綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．37．（2024·安徽·中考真題）如圖1，的對角線與交于點O，點M，N分別在邊，上，且．點E，F(xiàn)分別是與，的交點．(1)求證：；(2)連接交于點H，連接，．（?。┤鐖D2，若，求證：；（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．【答案】(1)見詳解(2)（?。┮娫斀猓áⅲ痉治觥浚?）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再證明是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出，再利用證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得出．（2）（ⅰ）由平行線截線段成比例可得出，結(jié)合已知條件等量代換，進一步證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性質(zhì)得出，進一步得出，，進一步可得出，進一步得出，同理可求出，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．在與中，∴．∴．（2）（ⅰ）∵∴，又．，∴，∵，∴，∴，∴（ⅱ）∵是菱形，∴，又，，∴，∴，∵．，∴，∴，即，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，∴∴，故．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及性質(zhì)，全等三角形判定以及性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)，平行線截線段成比例以及菱形的性質(zhì)，掌握這些判定方法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，為銳角，點在邊上，連接，且．

(1)如圖1，若是邊的中點，連接，對角線分別與相交于點．①求證：是的中點；②求；(2)如圖2，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點．試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)①見解析；②(2)，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)，得出為的中點，證明出即可；②先證明出得到，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找到線段的數(shù)量關(guān)系求解；（2）連接交于點，證明，進一步證明出四邊形為平行四邊形，得出為的中位線，得到，再證明出得到，再通過等量代換即可求解．【詳解】（1）解：①，為的中點，，是邊的中點，，，在中，∴，又∵，，，是的中點；②，四邊形為平行四邊形，，，，∵，，，，，；（2）解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：連接交于點，如下圖：

由題意，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點，，又，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，為的中點，，，為的中點，為的中位線，，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角線相似的判定及性質(zhì)，三角形的中位線等知識，解題的關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形來求解．39．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；(2)如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；(3)如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．【答案】(1)或；(2)；(3)．【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點對角線所在直線上運動，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當三點共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，則，解得：或，∴或；（2）設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，當時，有最大，最大值為；（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點在對角線所在直線上運動，如圖，作關(guān)于的對稱點，連接，過作于點，∴，四邊形為矩形，則點三點共線，，∴，∴，∵，點是的中點，∴，∴，∴當三點共線時，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點之間線段最短等知識，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．40．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若，，，求的長（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點M，N，使四邊形是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．【答案】(1)②④(2)①．理由見解析；②(3)或【分析】（1）根據(jù)鄰等對補四邊形的定義判斷即可；（2）①延長至點E，使，連接，根據(jù)鄰等對補四邊形定義、補角的性質(zhì)可得出，證明，得出，，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出結(jié)論；②過A作于F，根據(jù)三線合一性質(zhì)可求出，由①可得，在中，根據(jù)余弦的定義求解即可；（3）分，，，四種情況討論即可．【詳解】（1）解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對角互補，圖2和圖4中存在對角互補且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對補四邊形，故答案為：②④；（2）解：①，理由：延長至點E，使，連接，∵四邊形是鄰等對補四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；②過A作于F，∵，∴，∵，∴，在中，，∴；（3）解：∵，，，∴，∵四邊形是鄰等對補四邊形，∴，∴，當時，如圖，連接，過N作于H，∴，在中，在中，∴，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當時，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；當時，連接，過N作于H，∵，，∴，∴，即，解得，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當時，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；綜上，的長為或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，明確題意，理解新定義，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解題的關(guān)鍵．41．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．(1)求證：．(2)若為中點，且，求長．(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關(guān)系并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由折疊得出，得出，即可證明；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及線段中點，得出，根據(jù)代入數(shù)值得，進行計算，再結(jié)合，則，代入數(shù)值，得，所以；（3）由折疊性質(zhì)，得直線，，是等腰三角形，則，因為為中點，為中點，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，，∵為中點，∴，設(shè)，∴，在中，，即，解得，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∵，∴；（3）解：如圖：延長交于一點M，連接∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，∴直線，，∴是等腰三角形，∴，∵為中點，∴設(shè)，∴，∵為中點，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．42．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．【模型建立】（1）求證：；【模型應(yīng)用】（2）若，，，求的長；【模型遷移】（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出，即可得證；（2）延長交于點，證明，得到，再證明，求出的長，進而求出的長；（3）設(shè)正方形的邊長為，延長交于點，證明，得到，進而得到，勾股定理求出，進而求出的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延長交于點，∵矩形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）設(shè)正方形的邊長為，則：，延長交于點，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．43．（2024·廣西·中考真題）如圖1，中，，．的垂直平分線分別交，于點M，O，平分．(1)求證：；(2)如圖2，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為．連接，①求面積的最大值及此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，并說明理由；②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①，；②或【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，結(jié)合角平分線定義可得出，最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先求出，然后利用含的直角三角形性質(zhì)求出，，，利用勾股定理求出，，取中點，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，則，，，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短知，三角形三邊關(guān)系得出，故當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；②先利用三角形三邊關(guān)系判斷出，，則當為直角三角形時，只有，然后分A和重合，和C重合，兩種情況討論即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∴，∵平分∴，∴，又；∴；（2）解：①∵，∴，∴，∴，又，∴，，∵垂直平分，∴，，∴，∴，取中點，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，∴，，，根據(jù)垂線段最短知，又，∴當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，∴面積的最大值為；②∵，，∴，同理∴為直角三角形時，只有，當A和重合時，如圖，∵∴，，∴，∵，∴，∴，∴、O、M三點共線，∴為直角三角形，此時旋轉(zhuǎn)角；當和C重合時，如圖，同理，，∴，∵，∴，∴，∴、O、M三點共線，又∴為直角三角形，此時旋轉(zhuǎn)角；綜上，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或時，為直角三角形．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．44．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：【分析】問題背景：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)點，分別是，的中點，可得，即可得證；問題探究：取的中點，連接，得是的中位線，根據(jù)已知條件可得平行且等于，進而可得是平行四邊形，得，則，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進而可得，等量代換可得，等角對等邊，即可得證；問題拓展：過點作，則四邊形是矩形，連接，根據(jù)已知以及勾股定理得出；根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合已知可得，證明垂直平分，進而得出，證明，進而證明，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，∴，∵，分別是，的中點∴，即，∴；問題探究：如圖所示，取的中點，連接，

∵是的中點，是的中點，∴，又∵，∴，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∴∴又∵，是的中點，∴∴∴，∴；問題拓展：如圖所示，過點作，則四邊形是矩形，連接，

∵，∴，設(shè)，則，在中，，∵，由（2）∴，又∵是的中點，∴垂直平分∴，，在中，∴設(shè)，則∴，又∵∴∴又∵∴∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．45．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四