專題36 函數(shù)綜合壓軸題（27題）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

PAGE13PAGE14專題36函數(shù)綜合壓軸題（27題）一、解答題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與實踐問題情境在一次綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象．紙片和滿足，．下面是創(chuàng)新小組的探究過程．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，取的中點，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點與點重合．當(dāng)旋轉(zhuǎn)紙片交邊于點、交邊于點時，設(shè)，，請你探究出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解答過程．問題解決（2）如圖2，在（1）的條件下連接，發(fā)現(xiàn)的周長是一個定值．請你寫出這個定值，并說明理由．拓展延伸（3）如圖3，當(dāng)點在邊上運動（不包括端點、），且始終保持．請你直接寫出紙片的斜邊與紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號）．

3．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)的讀數(shù)為x，讀數(shù)為y，拋物線的頂點為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關(guān)系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：方案一：將二次函數(shù)平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為．①此時點的坐標(biāo)為________；②將點坐標(biāo)代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：設(shè)C點坐標(biāo)為①此時點B的坐標(biāo)為________；②將點B坐標(biāo)代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系中有A，B兩點，，且軸，二次函數(shù)和都經(jīng)過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點（點在點左側(cè)），頂點為，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖1，若是軸正半軸上一點，連接．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，求證：；(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點落在第四象限的點處，過點的直線與線段相交于點，與軸負半軸相交于點．當(dāng)時，與是否相等？請說明理由．5．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關(guān)于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．7．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．8．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當(dāng)時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當(dāng)時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．9．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設(shè)的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．10．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點，在第一象限的拋物線上取一點，過點作軸于點，交于點．(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點重合），過點作軸的垂線交于點，連接，當(dāng)四邊形為菱形時，求點的橫坐標(biāo)．11．（2024·上海·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．(1)求平移后新拋物線的表達式；(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．12．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當(dāng)兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標(biāo)；(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．13．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線與直線相交于兩點，與軸相交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點作直線軸于點，交直線于點，當(dāng)時，求點坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)如圖，當(dāng)時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；(3)當(dāng)，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．15．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．(1)如圖，若，，求點與點之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點在點之間運動時，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．16．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在菱形中，，，為對角線上一動點，以為一邊作，交射線于點，連接．點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度運動至點處停止．設(shè)的面積為，點的運動時間為秒．(1)求證：；(2)求與的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)求為何值時，線段的長度最短．17．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．18．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標(biāo)；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．(1)直接寫出a的值和點Q的坐標(biāo)．(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進行說理．(3)當(dāng)時，①求直線PQ的解析式；②作直線，當(dāng)l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標(biāo)．(4)設(shè)與的交點A，B的橫坐標(biāo)分別為，且．點M在上，橫坐標(biāo)為．點N在上，橫坐標(biāo)為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．21．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當(dāng)時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設(shè)的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．22．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．(1)求的值．(2)為函數(shù)圖象上一點，滿足，求點的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點，記，記頂點橫坐標(biāo)為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點，直接寫出的取值范圍．23．（2024·湖南長沙·中考真題）已知四個不同的點，，，都在關(guān)于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上．(1)當(dāng)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，時，求代數(shù)式的值；(2)當(dāng)A，B兩點的坐標(biāo)滿足時，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)，并說明理由；(3)當(dāng)時，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點，且A，B，C，D四點的坐標(biāo)滿足：，．請問是否存在實數(shù)，使得，，這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為？若存在，求出m的值和此時函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于的m倍的線段）．24．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，頂點為P．(1)求拋物線的解析式及P點坐標(biāo)；(2)拋物線交y軸于點C，經(jīng)過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點為D，求線段的長；(3)過點P的直線分別與拋物線、直線交于x軸下方的點M，N，直線交拋物線對稱軸于點E，點P關(guān)于E的對稱點為Q，軸于點H．請判斷點H與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．25．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應(yīng)點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．26．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)