初升高數學暑假銜接（人教版）第07講 基本不等式（教師版）

第07講基本不等式1．了解基本不等式代數和幾何兩方面的背景，了解幾何平均數和代數平均數的概念；2．理解基本不等式的代數證法和幾何證法；嚴謹規(guī)范表達不等式證明過程；3．熟練地掌握基本不等式及其不變形形式，并能熟練運用基本不等式來比較兩個實數的大小，求某些函數的最大（?。┲?，證明簡單的不等式；4．會應用基本不等式模型解決一些簡單的實際問題。一、基本不等式的概念1、兩個不等式（1）重要不等式：,（當且僅當時取號）.常見變形公式：、（2）基本不等式：,（當且僅當時取到等號）.常見變形公式：；【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數，而后者要求都是正數；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.（3）我們稱為的算術平均數，稱為的幾何平均數.因此基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.2、由公式和引申出的常用結論①（同號）；②（異號）；③或二、基本不等式的證明1、法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有.得到結論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當且僅當時取等號“=”）2、法二：代數法∵，當時，；當時，.所以，（當且僅當時取等號“=”）.三、基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，,，過點作交圓于點D，連接、.易證，那么，即.這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立.四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函數的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.①一正：各項均為正數；②二定：含變數的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：含變數的各項均相等，取得最值.2、積定和最小，和定積最大（1）設x，y為正實數，若x＋y＝s(和s為定值)，則當x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4).（2）設x，y為正實數，若xy＝p(積p為定值),則當x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2eq\r(p).考點一：對基本不等式的理解例1．不等式中，等號成立的條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，當且僅當，即時等號成立，故選：.【變式訓練】（多選）已知a，，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】對于A，因為，故當時，不等式不成立，故A不正確；對于B，因為，所以恒成立，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，因為，所以，則，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，當時滿足，但，此時，故D不正確.故選：BC.考點二：利用基本不等式比較大小例2．設（、為互不相等的正實數），，則與的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】、為互不相等的正實數，則，所以，，時，，所以．故選：A．【變式訓練】若，，，則，，2ab，中最大的一個是______．【答案】/【解析】，，，則，，，綜上所述：最大的一個是.故答案為：考點三：利用基本不等式求和的最小值例3．若，則的最值情況是（）A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當且僅當即等號成立，所以若時，有最小值為6，無最大值.故選：B.【變式訓練】若，且，求的最小值．【答案】【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為．考點四：利用基本不等式求積的最大值例4．已知，則當取最大值時，的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，則，當且僅當，即時取等號，所以時，取得最大值.故選：B.【變式訓練】若，，且，則的最大值為（）A．5B．6C．8D．9【答案】D【解析】因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值為9.故選:D.考點五：利用基本不等式證明不等式例5．已知，，且，求證：.【答案】證明見解析【解析】因為，，，所以，當且僅當，即時等號成立.故原題得證.【變式訓練】已知，，，求證：.【答案】證明見解析【解析】∵，，，∴，當且僅當，即時，等號成立，同理：，，當且僅當，時，等號成立，以上三式相加得：，當且當且僅當時，等號成立，所以.考點六：利用基本不等式解決實際問題例6．用長度為20米的籬笆圍成一矩形場地，則矩形的最大面積為__________．【答案】【解析】設矩形場地的長為米，則矩形的寬為米，且，所以矩形的面積為平方米，因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以矩形的最大面積為平方米.故答案為：平方米.【變式訓練】如圖設矩形ABCD（AB＞AD）的周長為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點P．設AB＝xcm．（1）若，求x的取值范圍；（2）設△ADP面積為S，求S的最大值及相應的x的值．【答案】（1）；（2），【解析】（1）由矩形周長為，可知，設，則∵，∴．在中，，即，得，由題意，，即，解得，由得，，∴，即x的取值范圍是．（2）因為，．化簡得．∵，∴，當且僅當，即時，，.1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（）A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項均為正數，所以不等式成立的前提條件為，即.故選：B.2．下列不等式中等號可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故A不符合；對于B，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故B不符合；對于C，因為，所以，當且僅當，即時取等號，故C符合；對于D，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故D不符合.故選：C.3．若正實數、滿足，則當取最大值時，的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為正實數、滿足，則，可得，當且僅當時，即當時，等號成立.故選：A.4．已知正實數，則“”是“”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】根據基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D5．的最小值等于（）A．3B．C．2D．無最小值【答案】A【解析】因為，則，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值等于.故選：A6．已知a、b為正實數，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為a、b為正實數，所以，當且僅當時，等號成立，，所以，當且僅當時，等號成立，綜上：.故選：B7．（多選）下列命題中正確的是（）A．對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立B．若a≠0，則a＋≥2＝4C．若a，b∈R，則ab≤D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，則ab≤64【答案】CD【解析】對于A，當，時，才能成立，A錯誤；對于B，當時才能使用基本不等式求最小值，B錯誤；對于C，因為，所以，即，C正確；對于D，，，所以，D正確.故選：CD.8．（多選）已知正數滿足，則下列選項正確的是（）A．的最小值是2B．的最大值是1C．的最小值是4D．的最大值是2【答案】AB【解析】因為正數滿足，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是2，故A正確；因為正數滿足，所以，當且僅當時，等號成立，等號成立，所以的最大值是1，故B正確；由，得，當且僅當時，等號成立，等號成立，所以的最小值是,故C錯誤；，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值是，故D錯誤；故選：AB.9．（多選）若，且，則在四個數中正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由于，則，又，所以，又，即.故選：ABD10．已知.（1）當時，求的最小值；（2）當時，求的最小值.【答案】（1）16；（2）【解析】（1）當時，，即，即，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值為16.（2）當時，，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.11．（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實數，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），當且僅當時等號成立，所以.（2），當且僅當時等號成立，因為a，b，c為不全相等的正實數，所以.12．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產提供（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產量將增加到（萬件）．同時波司登制衣有限公司生產（萬件）產品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產的產品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項補貼成本．（1）求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產所獲收益（萬元）關于政府補貼（萬元）的表達式；（2）高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產所獲收益（萬元）最大？【答案】（1）；（2）6萬元【解析】（1）．因為，所以（2）因為．又因為，所以，所以（當且僅當時取“”）所以即當萬元時，取最大值30萬元．1．若，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，則，又，所以.故選：B.2．已知，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，當且僅當，即時取等號.所以的最大值為.故選：C3．已知，則的最小值是（）A．3B．4C．5D．2【答案】B【解析】由于，故，所以，當且僅當，即時等號成立，故最小值為4，故選：B4．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是（）A．20B．25C．28D．30【答案】D【解析】設一年的總運費與總存儲費用之和為，顯然，則，當且僅當時取等號，即時取等號，故選：D5．已知，且.則下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】當時，，所以BD選項錯誤.A，，當且僅當時，等號成立，A正確.C，，，當且僅當時，等號成立，C正確.故選：AC6．（多選）設正實數m、n滿足，則下列說法正確的是（）A．的最小值為3B．的最大值為1C．的最小值為2D．的最小值為2【答案】ABD【解析】因為正實數m、n，所以，當且僅當且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；由，當且僅當m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；因為，當且僅當m=n=1時取等號，故≤2即最大值為2，C錯誤；，當且僅當時取等號，此處取得最小值2，故D正確.故選：ABD7．已知，則與的大小關系是____________【答案】.【解析】∵，∴，，∴，當且僅當，即時取等號，故答案為：.8．已知，，，則的最大值為______．【答案】/2.25【解析】因為，，，所以，所以，當且僅當時取“=”故答案為：.9．已知正數，滿足，則的最小值為___________．【答案】【解析】因為正數，滿足，則，當且僅當時等號成立.所以的最小值為，故答案為：10．證明：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】（1），當且僅當時，即時，等號成立.（2），當且僅當時取等號，此時，顯然的值不存在，所以等號不成立，所以.11．利用基本不等式證明：已知都是正數，求證：【答案】證明見解析【解析】都是正數，（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號），即.12．（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最