河南省濮陽市第一某中學(xué)2023屆高三高考模擬質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

濮陽市一高2023屆高三高考模擬質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)(理科)

本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合"={1'3力，7},'=,則ADB中的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

2

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z與一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則z等于()

1-i

A.1+iB.-1—iC.1-iD.-1+i

3.平面向量a與匕相互垂直，己知a=(6,—8),W=5,且人與向量(1,0)的夾角是鈍角，則/,=()

A.(一31)B.(4,3)C.(-4,3)D.(-4,-3)

4.某高中高一學(xué)生從物化生政史地六科中選三科組合，其中選物化生組合的學(xué)生有600人，選物化地組合

的學(xué)生有400人，選政史地組合的學(xué)生有250人，現(xiàn)從高一學(xué)生中選取25人作樣本調(diào)研情況.為保證調(diào)研

結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確，下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生12人

B.用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生5人

C.物化生組合學(xué)生小張被選中的概率比物化地組合學(xué)生小王被選中的概率大

D.政史地組合學(xué)生小劉被選中的概率為」-

50

5.已知{q}是無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為S“，則”{%}為遞增數(shù)歹F是“存在〃eN*使得S“>0”

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件

6.焦點(diǎn)為尸的拋物線y2=2px（p>0）上有一點(diǎn)尸（2,2p）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足=的

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

j_3、

A.B.D.

(rl)1M2,2,GT

7.將函數(shù)/（x）=sin（；/x+q[（0>O）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，得到函

7T[%））三點(diǎn)，"為尤|,々的

數(shù)g（x）的圖象，直線/與曲線y=g（x）僅交于A（%,yJ,8（孫必），P工，g

16

等差中項(xiàng)，則。的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

8.古希臘亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一

平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體

的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即丫=.”（V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)

軸旋轉(zhuǎn)的體積，5表示平面圖形的面積，/表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）.如圖直角梯形A8CD，已

知A。BC,AB_LAD,AO=4,BC=2,則重心G到A3的距離為（）

A.—B.-C.3D.2

93

9設(shè)a=1，Z?=21n|sin-+cos-|,c=-ln2,貝ij()

3I62

A.c>h>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

10.在正三棱柱ABC-431cl中，AB=朋=1,點(diǎn)尸滿足=,其中2w[0,l],

4G[0,1],則下列說法正確的是（）

①當(dāng)兒=1時(shí)，△A87的周長為定值；

②當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐。一ABC的體積為定值;

③當(dāng)義=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得

IT

④若|AP|41，則點(diǎn)p的軌跡所圍成的面積為A.

8

A.①②B.②③C.②④D.①③

11.已知耳，尸2分別是雙曲線C：=1（4＞。力＞0）的左、右焦點(diǎn)，p為雙曲線c上的動(dòng)點(diǎn)，|與罵|=i（）,

閥H因=6,點(diǎn)尸到雙曲線c的兩條漸近線的距禺分別為4,d2,則J44=（）

12.函數(shù)"X）=In2x的圖象與函數(shù)g（x）=e,-e-'+x—g的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與,則e”n2x0=

（）

A.-In2B.C.ID.In2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若（奴+2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為160,則/+〃的最小值為.

14.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，h,c,滿足（sinB-sinCp=sin?A-sinBsinC.若

-ABC為銳角三角形，且。=3,則當(dāng)一ABC面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積為.

15.已知點(diǎn)1）,3。,—1）,若圓（x—a）2+（y—2。+4）2=1上存在點(diǎn)M滿足M4.M8=3,則實(shí)數(shù)“

的取值的范圍是.

16.若函數(shù)/（X）=e'-ax1-a存在兩個(gè)極值點(diǎn)%,與，且％=2%,則a=.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)S.是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，q=l,S；=a,（s“一g）,（n＞2）.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)；

s

（2）設(shè)仇=一^,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

2〃+1

18.如圖1,在梯形A3CD中，AD//BC,于E，且DE=2BC=2BE,將梯形ABC。沿

3E折疊成如圖2所示的幾何體，/4￡D=60。，/為直線AO上一點(diǎn)，且C/_LA￡＞于尸，G為線段

的中點(diǎn)，連接尸G,CG.

A

AED

F

B?BC

圖1圖2

（1）證明：AD1FG；

（2）若圖1中，AD=6,求當(dāng)四棱錐A—BCDE的體積最大時(shí)，平面ABC與平面CFG所成銳角的正

弦值.

19.江西省作為全國第四批啟動(dòng)高考綜合改革的7個(gè)省份之一，從2021年秋季學(xué)期起啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改

革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式?！?”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績：“1”指考

生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績：“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生

物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考

生原始成績從高到低劃分為A,B,C,D,￡五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

等級(jí)ABCDE

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為

Y-YT-T

亡彳=亡不，其中X，匕分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，（，心分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最

低分和最高分，y表示考生的原始分，7表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為乂時(shí)，等級(jí)分為石，計(jì)算結(jié)果四

舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

（1）同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，求實(shí)數(shù)”的值并估計(jì)本次考試的平均分：

（2）按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績A等級(jí)的原始分區(qū)間；

（3）用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績的原始分為90,試計(jì)算其等級(jí)分.

22/T

20.已知橢圓。：3+方=l（a>b〉0）的離心率為券，左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)、P、。為橢圓上異

于A、B的兩點(diǎn)，.-加8面積的最大值為2.

(1)求橢圓C方程；

(2)設(shè)直線4>、BQ的斜率分別為占、k2,且3匕=5e.

①求證：直線尸。經(jīng)過定點(diǎn).

②設(shè)△PQB和的面積分別為加、邑，求B-Szl的最大值.

21.已知函數(shù)y(x)=a(x?-1)-lnx(x>0).

(1)若。=工時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

2

,

(2)若0<以<(,設(shè)函數(shù)fa)的較大的一個(gè)零點(diǎn)記為看,求證：/(x0)<l-2a.

選考題：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)第與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為〈(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

y=sinla

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求。的極坐標(biāo)方程；

TTTT

(2)已知射線4=彳和&=w分別與c交于點(diǎn)(異于點(diǎn)。)，C與極軸交于點(diǎn)〃(異于點(diǎn)。)，求

四邊形Q48M的面積.

［選修45不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=Ix-1I+|x-m|(m>l),若f(x)>4的解集是{xIxVO或x>4}.

(1)求m的值；

I|1fTI

(2)若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足一+1+—=—,求證：a+2b+3c29.

4283c3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合，8={x|-l<x<2,xeN},則AuB中的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】應(yīng)用并運(yùn)算求AuBA={1,3,5,7},即可得元素個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè)8={1},所以AuB={l,3,5,7},故其中元素共有4個(gè).

故選：B

2

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z與——對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，貝ijz等于()

1-1

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

【答案】D

【解析】

2

【分析】計(jì)算得一r=l+i,關(guān)于虛軸對(duì)稱即關(guān)于V軸對(duì)稱，得出結(jié)果即可.

1-1

2

【詳解】由題意得——=l+i,

1-1

2

V復(fù)數(shù)z與一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱對(duì)稱，

1-i

Az=-l+i.

故選：D.

3.平面向量a與b相互垂直，已知。=(6,-8),欠=5,且與向量(1,0)的夾角是鈍角，則/?=()

A.(-3,-4)B.(4,3)C.(T,3)D.(T,-3)

【答案】D

【解析】

【分析】先設(shè)出向量人的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示及模的運(yùn)算，向量夾角的定義求解即可.

【詳解】設(shè)T=(iy)

a_LZ?,/.a-b=(),，6x-8y=(),①，

忖=+y2=5,②，

B與向量(1,0)夾角為鈍角，?,?元＜0,③，

[x=—4-

由①②③解得〈，."=(_4,一3),

[y=-3

故選：D.

4.某高中高一學(xué)生從物化生政史地六科中選三科組合，其中選物化生組合的學(xué)生有600人，選物化地組合

的學(xué)生有400人，選政史地組合的學(xué)生有250人，現(xiàn)從高一學(xué)生中選取25人作樣本調(diào)研情況.為保證調(diào)研

結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確，下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生12人

B.用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生5人

C.物化生組合學(xué)生小張被選中的概率比物化地組合學(xué)生小王被選中的概率大

D.政史地組合學(xué)生小劉被選中的概率為專

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣，計(jì)算各層抽取的人數(shù)以及抽樣比，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，用分層抽樣的方法抽取物化生組合的學(xué)生為25x-------.............=12人，故A項(xiàng)

600+400+250

正確；

250

對(duì)于B項(xiàng)，用分層抽樣的方法抽取政史地組合的學(xué)生為25x--------------------=5,故B項(xiàng)正確；

600+400+250

25I

對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)分層抽樣的特征知，每位同學(xué)被選中的概率相等，均為/CC，二故C項(xiàng)

600+400+25050

錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由C知，每位同學(xué)被選中的概率均為」故D項(xiàng)正確.

50

故選：C.

5.已知｛%｝是無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為S“，則”｛%｝為遞增數(shù)列”是“存在〃eN*使得S“>0”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：因?yàn)椋?｝無窮等差數(shù)列，若｛4｝為遞增數(shù)列，

所以公差”>0,

令S=n%+—.......-d>0解得〃>1——

fl29d

［得］表示取整函數(shù),

所以存正整數(shù)〃0=1+1--^-,有S“0>0,故充分;

設(shè)數(shù)列｛4｝為5,3,1,-1........滿足S2=8>0,但。=一2<0,

則數(shù)列｛為｝是遞減數(shù)列，故不必要，

故選：A

6.焦點(diǎn)為尸的拋物線？2=22犬（"0）上有一點(diǎn)尸（2,20,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足1MH=|MO|=|M目的

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A-（4B.（；，｛|C.（；,|）D.AQ

【答案】B

【解析】

【分析】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線中，解得〃=1,從而得到點(diǎn)P和點(diǎn)〃的坐標(biāo)，要滿足|網(wǎng)=\M0\=\MF\,

則只需點(diǎn)M為0P的垂直平分線和OF的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而求解即可.

【詳解】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線中得（2〃）2=2〃X2,解得p=l,

則P（2,2）,所以。尸的斜率為1,且0P的中點(diǎn)為（1,1）,

則。尸的垂直平分線方程為y—1=—（x—1），即x+y-2=0,

又OF的垂直平分線方程為x=-,

4

又\MP\=\MO\=\MF\,則點(diǎn)M為OP的垂直平分線和OF的垂直平分線的交點(diǎn)，

（17）

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為二，二.

故選：B.

7.將函數(shù)/（x）=sin（gs+；［（y>0）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，得到函

數(shù)g（x）的圖象，直線/與曲線y=g（x）僅交于4（不乂）,3（程必），「但，g但￥三點(diǎn)，$為“，々的

6

等差中項(xiàng)，則。的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函數(shù)圖象的平移變換可得g（x）=sin（3］）,由題意推得尸/g《［|必為函數(shù)g（x）

的對(duì)稱中心，可得口=6k—2#eZ,即可求得答案.

【詳解】由題意將函數(shù)/（"=疝］；8+高（0〉0）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍，

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=sin［0x+m

因?yàn)橹本€/與曲線y=g(x)僅交于4(%,兇),8(%2，%)P三點(diǎn)，■為的等差中項(xiàng),

由于4(%,名),8(工2，%)，在直線/上，故g為乂,為的等差中項(xiàng)，

71兀

不妨設(shè)玉=--rj,x=-+r/,

626

7C7T兀兀7171

則sina)(——7)+—+sin以一+〃)+—=2sin(G—+一),

_63」63J63

口rc./兀刃兀、/、--/RCD兀、

即2sin(---1—)cos(6977)=2sin(---1—),

6363

若sin(理+二)。0,則cos(my)=l,即=此時(shí)直線/與曲線y=g(x)不止三個(gè)交點(diǎn)，

不合題意；

故sin(—+-)=0,結(jié)合g(x)=sin］蛆+孚的對(duì)稱性，可得有直線/與曲線y=g(%)僅有3個(gè)交點(diǎn)，

63I3J

即「*g［］］必為函數(shù)8⑴的對(duì)稱中心，

即g(四］=sin+女］=0,故鱉「=kit,kGZ,co=6k-2,k&Z,

JI63J63

因?yàn)?。?,故k=l時(shí)，。的最小值為4,

故選：C

8.古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一

平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體

的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積"，即丫=.”(V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)

軸旋轉(zhuǎn)的體積，$表示平面圖形的面積，/表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長).如圖直角梯形ABCQ,已

知5。,45,4),49=4,8。=2,則重心3到43的距離為()

144

A.—B.—C.3D.2

93

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，用式子分別表示出圓臺(tái)體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長，進(jìn)而求解答

案.

【詳解】直角梯形繞A6旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積為

128幾〃

廠=§（16兀+4兀+8兀）//=工一；梯形A8CO的面積

s=；（4+2）。=3。，故記重心G到AB的距離為h',

貝ij.2,〃=（2兀/;'）?3%,則力'=那，

故選：A

9.設(shè)4=1,Z?=21n[sin—+cos—I，c=，ln2,則（）

3<66j2

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（x）=x-sinx,g（x）=x-ln（x+l）,利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個(gè)函數(shù)在（0,+。）上的單調(diào)

性，可得出。、b的大小關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出。、。的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)椤?21nsin—4-cos—=lnsin—+cos—=Inl+sin-,

I66jI66)I3)

令/(x)=x-sinx,則,尸(%)=1一85%>°在[0卷)上恒成立,

所以，函數(shù),f（尤）在（o,]）上單調(diào)遞增，則〃x）=x-sinx>,f（0）=。，即光〉sinx,

因?yàn)閯t]〉所以,

3￡[0,5),sin§,Ini1+sin-l<lnl1+-

1X

令g(尤)=%-4n(x+l),則g[x)=l一,當(dāng)X￡（0,+oc）時(shí)，

x+1x+\

所以，g（x）在（（）,+"）上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x>0時(shí)，g（x）=x-ln（x+l）>^（0）=0,即冗>ln（l+x）,

所以，+故力，

又因?yàn)閏=1In2=In=In我，-=InVe=InV?,

23

8＞e2，?'?c＞。，故。＞。＞力，

故選：B.

10.在正三棱柱ABC-44G中，AB=A4,=1,點(diǎn)尸滿足8P=其中/Iw[。/],

則下列說法正確的是（）

①當(dāng)/1=1時(shí)，△A&P的周長為定值；

②當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-43C的體積為定值；

③當(dāng)幾=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得A/L8P；

④若|4尸區(qū)1,則點(diǎn)P的軌跡所圍成的面積為;.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【答案】C

【解析】

【分析】取BC的中點(diǎn)。，連接AO,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、OB、AA的方向分別為x、，、z軸

的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，取〃=0和〃=（求△A8￡的周長，可判斷①；利用錐體的體積公式可判

斷②；利用AP-BP=O求出〃的值，可判斷③；求出點(diǎn)尸的軌跡所圍成的面積，可判斷④.

【詳解】取BC的中點(diǎn)。，連接AO,

因?yàn)镴3C為等邊三角形，則AO1BC,且?平面ABC，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、OB、A&的方向分別為）、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系,

則A（-^-,O,O、B（O,2,O）、c（o,—5,0）、a—0,1、4（o,g/}￡（。，-；，1

BP=ABC+pBB,=2（0,-1,0）+//（0,0,1）=（0,-2,//）,其中;/e[0,l],

此時(shí)，△AgP的周長為1+2加；

若Y，則則網(wǎng)=值-。）+（。+[+（。-「邛，

同理可得?=弓，此時(shí)，△AqP的周長為0+2x^=&+6,

故當(dāng)4=1時(shí)，/XABiP的周長不是定值，①錯(cuò);

對(duì)于②，當(dāng)〃=1時(shí)，Pl0,^-2,11,則點(diǎn)p到直線8c的距離為1，

所以，5ABPC=1x|5c|xl=i,且點(diǎn)A到平面PBC的距離也為定值,

故修-A}BC~VA「PBC為定值，②對(duì);

對(duì)于③，當(dāng)/1=，時(shí)，P（0,0,〃），\P=一當(dāng),0,〃一1,=

2i2jI2

因?yàn)锳PLBP,則AP-8P=M(M_1)=0,因?yàn)椤ń獾?=0或1，

所以，當(dāng)4=g時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)尸，使得4PLBF,③錯(cuò)；

對(duì)于④，設(shè)點(diǎn)P(0,y,z),其中y=；--g，；，z=//e[0,l],

2222

則網(wǎng)=Jo—等)+y+z=^+2+j<1，可得V+z?],

所以，點(diǎn)P的軌跡是平面BCG片內(nèi)以點(diǎn)。為圓心，半徑為!的半圓及其內(nèi)部，

故點(diǎn)P的軌跡所圍成的面積為，xTUX]，]=工，④對(duì).

故選：C.

22

11.已知6，F(xiàn),分別是雙曲線C:[-1=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，I耳居1=10,

a~b

|P用—I尸閭=6,點(diǎn)p到雙曲線。的兩條漸近線的距離分別為4，d2,則向%=()

512144

A.-B.—C.-----D.2

3525

【答案】B

【解析】

【分析】運(yùn)用雙曲線定義求得。、C的值，進(jìn)而求得兩條漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【詳解】由忻閭=2c=10,得C=5.

因?yàn)閨「耳|一|尸段=2=6,

所以。=3.

又因?yàn)椤?=儲(chǔ)+從,

所以人=4,

22

故雙曲線C方程為工—匕=1,

916

4

所以兩條漸近線的方程為y=±-x.

22

設(shè)P(x。,%)，則叢—生=1,

916

故嗒一尤=16?

9144

所以4d2=~25

所以J4d25

故選：B.

12.函數(shù)=In2x的圖象與函數(shù)g(x)=e'-e-x+x-的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與,則e"In2x0=

()

A.-In2B.C.yD.In2

【答案】B

【解析】

【分析】由/(Xo)=g(x。)，代入整理變形可得e演—e』—七=e,(2⑹—構(gòu)造函數(shù)

〃(x)=e"一b―x,求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出〃(x)在R上單調(diào)遞增.即可得出x°=Tn(2xo),則

e'°=J—，代入即可得出答案.

2玉)

【詳解】由已知可得，/(%)=8(%)，即e"—e-~+x°—《=1112x0,

A11121

即e'°-而-x0=In2x0-2x0+-e*^+In2x0

2%

令〃(x)=e,—eT-x,則=e'+/—1N2je*e*—1=1>0，

當(dāng)且僅當(dāng)e*=e-3即x=()時(shí)等號(hào)成立.

所以〃'(x)>0恒成立，所以〃(x)在R上單調(diào)遞增.

所以有/?($)=〃(一111(2%))可得，與=-ln(2xo),則e"=,

所以e&ln2/=5x(_Xo)=_g.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由/（Xo）=g（x。）得出6"-6-"+%-/一=1112%后，進(jìn)行同構(gòu)變形得到

zx。

e*,—e』—X。=1皿2與）一9限3+1112天）然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于吃的關(guān)

系式，即可得出答案.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若（公+2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為160,則/+〃的最小值為.

【答案】4

【解析】

【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的幕指數(shù)等于0,求出4的值，即可求出。力之間的關(guān)系，再結(jié)

合不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】二項(xiàng)式（以+2）展開式的通項(xiàng)公式為：Tk+l=《（公）6-“§）&=。6-廿《》6-2人,

令6-2/=0,則氏=3,

所以卡因：=160,即a3b3C1=160,

所以曲=2,

因?yàn)?+/22。。=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立.

所以/+〃的最小值為今

故答案為：4.

14.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,滿足（sin3—sinC）2=sir?A—sin8sinC.若

△ABC為銳角三角形，且a=3,則當(dāng)_ABC面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積為.

【答案】-71##--

44

【解析】

【分析】先用正弦定理及余弦定理可得A,結(jié)合面積公式和基本不等式可得當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，

ABC面積取到最大值，再利用等面積法求內(nèi)切圓半徑即可.

【詳解】V（sinB-sinC）2=sin2A—sinBsinC,

則由正弦定理可得（b一C）2="一左，整理得b2+c2_a2=b（：f

/+c2一片

則cosA-

2bc2

?；_ABC為銳角三角形，則Aw0,5,故4=三,

c

由_ABC面積為SAABC=；/?csinA==~~^，

可得當(dāng),ABC面積取到最大值，即為。c取到最大值.

Vb2+c2—a2=bc?即從+C2=0c+9N?c，即歷W9，

當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=3,即工ABC為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng)A5C為等邊三角形時(shí)，面積取到最大值立x9=?叵，

44

設(shè)，A8C的內(nèi)切圓半徑為，則竽，解得r=等，

.3

故內(nèi)切圓面積為兀產(chǎn)=一兀.

4

3

故答案為：一兀.

4

15.已知點(diǎn)若圓(x—a)2+(y—2a+4>=l上存在點(diǎn)M滿足M4.MB=3,則實(shí)數(shù)。

的取值的范圍是.

'12'

【答案】0,y

【解析】

【分析】設(shè)M(x,y),由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得M點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，然后由圓與圓的位置關(guān)系可得。的范圍.

【詳解】設(shè)M(x,y),貝==-

MAMB=(-l-x)(l-x)+(-i-y)2=3,BPx2+(y+1)2=4,

M在以(0,-1)為圓心，2為半徑的圓上，由題意該圓與圓(x—。y+⑶―2a+4)2=l有公共點(diǎn)，

____________________12

所以2-1<J(0—a)2+(—1—2a+4)242+1，解得0<。<二.

12

故答案為：［0,彳］.

16.若函數(shù)/(x)=e'一加一。存在兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì).，且々=2%，則。=.

【答案嗎

【解析】

xv22r

［分析】求導(dǎo)得到/'(x)=e-2ax,e'_2axt=0,e'-2ax2=0,%=2%，貝Ue'-4ax1=0,解得

答案.

【詳解】〃x)=e'-以2一明定義域?yàn)镽,所以r(x)=e*-2公，

r,V22x,

故e-2ax1=0,e-2ax2=0；又％=2%，所以e-4ax]=0.

又eA|>0，故e*=2,所以再二In2,所以。=——=-—.

12%In2

故答案為：-~—

In2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,

其中利用消元的思想解方程是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)S,,是數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，q=l,S；=%(S“—(n>2).

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)；

s

(2)設(shè)d=―—,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和小

2〃+1

1,n=1

【答案】⑴4=-2

(2〃f(2〃-3)'一

【解析】

【分析】(1)將/轉(zhuǎn)化為化簡后利用配湊法得到告)是以2為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為

1，求得s.，再根據(jù)s；=a,(s“—g),(n>2),求得｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)根據(jù)(1)化簡％=((丁二一丁二1，利用裂項(xiàng)求和法求得方.

212〃-12n+lJ

【小問1詳解】

解：S；=a“(s,-g)(〃22),

.?.讓2時(shí)，S；=(S“-S,I)(S“一￡|,展開化簡整理得，S-S吁鬲,

若S“=0,(n>2),則見=0,此時(shí)S“=4+4++?！?1，顯然不成立，所以S,產(chǎn)0,

-=2,所以數(shù)列?。且?為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為三=1,?.?不=1+2(〃-1),

1

S〃

2n-\

2（n2s2-2

又〃"所以40=（2…（2〃一,顯然當(dāng)〃=1時(shí)

%=（2〃一虛一3）不滿足題意，

21〃=1

所以《，=；S?'-、，=，|（2?-l-）（22n-3）,n>2.

【小問2詳解】

；s“=1=1（1_____J_]

解：由于H~2n+l~（2n-l）（2n+l）~?X2n-\~2n+\）'

1IY（iiy

1-

數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和*=3-+---+---+???+-一~-0.

213yy35y\57）[2〃—12〃+1y

=Ui__1〃

2v2/2+1）2〃+1，

18.如圖1,在梯形ABC。中，AD//BC,BE_LAD于￡，且DE=2BC=2BE,將梯形ABC。沿

3E折疊成如圖2所示的幾何體，ZA￡D=60°,/為直線AO上一點(diǎn)，且C/_LA￡＞于尸，G為線段

EZ）的中點(diǎn)，連接尸G,CG.

（2）若圖1中，AD=6,求當(dāng)四棱錐A-BCDE的體積最大時(shí);平面ABC與平面CR7所成銳角的正

弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直即可證明線線垂直,

(2)根據(jù)體積公式表達(dá)出體積，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，進(jìn)而根據(jù)空間向量求解面面角.

【小問1詳解】

由已知得6石，田，BELAE,且AEED=E,u平面AED,

所以BE,平面AED，因?yàn)锳Du平面AE￡>，所以

在梯形￡88中，DE=2BC=2BE,

因?yàn)镚為線段的中點(diǎn)，所以CG〃BE,故CG，A￡>，

又因?yàn)镃ELA。，且CGCCF=C,CG,CFu平面CFG,所以平面CFG,

因?yàn)镕Gu平面CFG,所以ADJ.EG.

【小問2詳解】

過點(diǎn)A作AM_L￡>E于點(diǎn)M,又因?yàn)锽EJ_平面A￡D,AMu平面AE。，所以BEL40，

又AMIDE，BEDE=E,BE,DEu平面BCDE,所以AM工平面BCDE,

所以線段AM的長度為點(diǎn)A到平面BC0E的距離.

設(shè)DE=2BC=2BE=2x,則AE=6—2x(()<x<3),

則四棱錐A—3CDE的體積V=Jx3xx2x《l(6—2x)=—且d+WI/,

322''22

令/(尤)=+^^彳2,XG(0,3),+35/3%=3-V3xfl-,

則XG(O,2)時(shí),制x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

%?2,3)時(shí),r(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以/(力,皿=/(2),即當(dāng)x=2時(shí)，四棱錐A—BCD￡的體積最大，此時(shí)AE=2，DE=4,

以點(diǎn)￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線￡B，￡￡)分別為x軸、)軸，在平面AED內(nèi)過點(diǎn)E作與。E垂直直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(O,1,6),3(2,0,0),C(2,2,0),。(0,4,0),

則A0=(0,3,-A6=(2,-1,-淺=(0,2,0),

n-AB=2x-y-y/3z=Q

設(shè)平面ABC的法向量〃=(x,y,z),則有,可取〃=(6,0,2卜

n-BC=2y=0

因?yàn)锳D，平面CFG，所以A。=(0,3,-6)即為平面CFG的一個(gè)法向量,

n-AD

則cos(n,ADcos2AD^=

n\\AD

所以平面ABC與平面CFG所成銳角的正弦值為—.

7

19.江西省作為全國第四批啟動(dòng)高考綜合改革的7個(gè)省份之一，從2021年秋季學(xué)期起啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改

革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式?！?”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績：“1”指考

生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績：“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生

物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績.按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考

生原始成績從高到低劃分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

等級(jí)ABCDE

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等t匕例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)叵內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為

-YT,—T

-7=工才，其中毛，八分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，1,72分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最

低分和最高分，丫表示考生的原始分，了表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為毛時(shí)，等級(jí)分為工，計(jì)算結(jié)果四

舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

頻率

0.04-------——

0.03---.........——

0.02.......-............

a5060708090100成績

(1)同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求實(shí)數(shù)。的值并估計(jì)本次考試的平均分；

(2)按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績A等級(jí)的原始分區(qū)間；

(3)用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績的原始分為90,試計(jì)算其等級(jí)分.

【答案】(1)。=0.005,73

(2)[85,98]

(3)91分

【解析】

【分析】(1)先利用頻率分布直方圖頻率之和為1,求出a的值，再利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法，將

每一個(gè)組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率然后求和即可求出答案.

(2)由等級(jí)A所占的人數(shù)比例為15%,由頻率分布直方圖可知原始分成績位于區(qū)間［90,100］的占比為5%,

位于區(qū)間［80,90］的占比為20%,等級(jí)A的最低原始分在區(qū)間［80,90］中，可設(shè)最低原始分并結(jié)合該區(qū)間所

占比例為10%即可求出等級(jí)A的最低原始分，再結(jié)合題意最高原始分可得出結(jié)果.

(3)由化學(xué)成績的原始分為90分，落在4等級(jí)中，根據(jù)題意得出原始分的最高和最低，4等級(jí)中賦分區(qū)間

的最低分和最高分，代入公式即可求出等級(jí)分.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可知，頻率之和為1,得(2a+0.04+0.03+0.02)x10=1,

解得a=