高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) 59(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（59）

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.下列敘述正確的是（）

A.棱柱的側(cè)面都是矩形

B.五棱錐共有五個面

C.用一個平面去截棱錐，截面與底面的部分是棱臺

D.用一平面截三棱錐，所得圖形一定是三角形

2.己知4,8,C是球。的球面上的三點,AB=2,AC=2如，乙ABC=60。,且三棱錐。一4BC的表面

積為32兀，則點B到平面OAC的距離為

A.2B.管C.V5D.2V5

3.正方體4BCD棱長為4,M,N,P分別是棱&Di，AtA,

5G的中點，則過“，N,P三點的平面截正方體所得截面的面積為

（）

A.2V3

B.4V3

C.6^3

D.12V3

4.在正方體4BCD-4B1GD1中，二面角Ci—BD-C的正切值是（）

A.WB.IC.2D.V2

2

5.棱長為〃的正方體的外接球的表面積是（）

A.no2B.2na2C.3na2D.4na2

6.魯班鎖是中國古代傳統(tǒng)土木建筑中常用的固定結(jié)合器,也是廣泛流傳于中國民間的智力玩具,

它起源于古代中國建筑首創(chuàng)的樟卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即梯卯結(jié)構(gòu)）嚙

合，外觀看上去是嚴絲合縫的十字幾何體，其上下、左右、前后完全對稱，十分巧妙.魯班鎖

的種類各式各樣，其中以最常見的六根和九根的魯班鎖最為著名.九根的魯班鎖由如圖所示的

九根木梯拼成，每根木梯都是由一根正四棱柱狀的木條挖些凹槽而成，若九根正四棱柱底面邊

長均為1,其中六根短條的高均為3,三根長條的高均為5,現(xiàn)將拼好的魯班鎖放進一個圓柱形

容器內(nèi)，使魯班鎖最高的一個正四棱柱形木棒的上、下底面分別在圓柱的兩個底面內(nèi)，則該圓

柱形容器的表面積（容器壁的厚度忽略不計）的最小值為（）

A757r65「13+10任

BD.—71C.-------------71D.(13+5726)71

A-V2

DU

7.已知正四棱柱488-4181。1。1中，48==2,H,M分別為3%8傳1上的點.若麗=2,

則三棱錐M—HBC的體積為（）.

A.|B.2C.1D.g

8.在正方體4BCD-4B1C1D1中，點P,。分別為AB,4。的中點，過點。作平面a使〃平面

a,4Q〃平面a若直線Bi。n平面a=M,則端的值為

A.；B.|C.；D.\

4323

二、多項選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

9.a,b,c表示直線，a表示平面，下列命題錯誤的是（）

A.若可/6,a〃a,則b〃aB.若a_Lb,b1a,則a1a

C.若a1c,b1c,則a〃bD.若aJ.a,b1a,則a〃b

三、填空題（本大題共U小題，共55.0分）

10.如圖，將1張長為2,〃，寬為的長方形紙板按圖中方式剪裁并廢棄陰影部分，若剩余部分恰

好能折疊成一個長方體紙盒（接縫部分忽略不計），則此長方體體積的最大值為m3.

11.己知4B,CD是半徑為2的圓。的兩條直徑，且AB與C。成60。角，現(xiàn)將圓O沿直線AB折成直

二面角，此時線段CD的長為。

12.在三棱錐4-BCD中，AB=BC=BD=2,AC=CD=2>/2.CD=273）則三棱錐4-BCD的

外接球的半徑為.

13.已知2L4BC的頂點都在半徑為R的球。的球面上，球心。到平面ABC的距離為更R,

2

AB=BC=AC=V5,則球。的半徑R=

14.一個半徑為R的球內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大時，該圓柱的全面積與球的表面積的比值

為.

15.已知A,B,C三點都在以PA為直徑的球O的表面上，力8_18。,48=3,8（7=4若球。的體積

為U膽，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為.

2

16.己知。4。8,。。三條線段兩兩垂直，長分別是2,x,5,且O,4B,C,4個點都在同一個球面上，這

個球的表面積為38兀，則x的值_.

17.如圖，三棱柱中，E、尸分別為48、4（7的中點，平面比8￡將凡人

三分成體積為匕彩的兩部分，那么匕：％=.A\

18.已知圓錐的底面半徑為2c/n,高為2%cm,則該圓錐的側(cè)面積為

19.正方體ABCD-AiBiGDi中，P,Q分別是棱AB,&劣上的點，PQ1AC,則尸。與8劣所成角

的余弦值的取值范圍是.

20.己知圓臺上底面半徑為土下底面半徑為|,母線長為2,A8為圓臺母線，一只螞蟻從點A出發(fā)

繞圓臺側(cè)面一圈到點B,則螞蟻經(jīng)過的最短路徑長度為-

四、解答題（本大題共10小題，共120.0分）

21.如圖，四棱錐P-ABCC中，AD"BC,AD=3,BC=4,M為線段AD上一

點，AM=2MD,N為PC中點,證明：MN"平面PAB/i\\

D

22.已知直三棱柱力BC-AiBiG中，/.ABC=120°,AB=2,BC=CCr=1,求:

(1)異面直線與41cl所成角的余弦值；

(2)異面直線與BG所成角的余弦值.

23.如圖所示，平面ABB"】為圓柱。。1的軸截面，點C為底面圓周上異于4,3的任意一點.

(1)求證：BCJL平面4送C；

(2)若。為AC的中點，求證：&D〃平面OiBC.

24.如圖，在三棱錐力—BC。中，已知BC=BD,/.ABC=/.ABD,瓦M分別是棱CD,4。的中點，點

N在C￡>上，且ZW：NC=1：3,

(1)求證：MN〃平面4BE；

(2)平面4BE_L平面BCD.

25.如圖，AB是圓0的直徑,C是圓0上的點,PA垂直于圓。所在平面,AE1PB于E,AF1PC于F

__1—一_?.

C

求證：(l)BCJLAF3平面AEF1平面PAB

26.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABC。是菱形，PA，平面ABC。，點尸為PC的中點.

(1)求證：PA〃平面BDF；

(2)求證：PC1BD.

27.如圖，已知等邊△ABC與直角梯形AB0E所在平面互相垂直，且AEJL4B,BD//AE,

AB=BD=2AE=2,AM=^MC.

(1)證明：直線CO〃平面BEM；

(2)求三棱錐。-BEM的體積.

28.如圖，PAL平面ABC,AC1BC,AB=2,BC=\[2,PB=#>

C

(1)求二面角P-BC-4的大小

(2)求三棱錐P-ABC的全面積

(3)求點A到平面PBC的距離

29.如圖1,矩形4BCO中，AB=10,/ID=4,E、尸分別為4)、BC邊上的點，且。E=2,BF=2,

將44BE沿BE折起至4PBE位置如圖2所示，連結(jié)PC、PF，其中PF=2k.

(1)求證：PF1平面BC￡?E；

(2)求點C到平面PBE的距離.

30.在四棱錐中P-48c0,AB1PA,AB//CD,AB<DC,PA=PD,平面P40_L平面ABCD.

(I)求證：平面PCO_L平面PAD；

(口)在棱PA上是否存在點。，使DQ〃平面P8C,若存在，求震的值；若不存在，說明理由.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題主要考查幾何體的特征.根據(jù)柱體錐體的幾何特征逐個排出即可，屬于基礎(chǔ)題.

解：斜棱柱的側(cè)面不都是矩形，故排除4,

五棱錐共有6個面，故排除B,

用一個平面去截棱錐，當(dāng)截面與底面平行時，截面與底面的部分是棱臺，故排除C.

故選。.

2.答案：B

解析：

本題考查了棱錐的體積，考查學(xué)生的計算能力和推理能力，屬于中檔題.

利用等體積法可求出點B到平面OAC的距離.

解：因為4B=2,AC=2痘，乙ABC=60"，所以44BC是直角三角形，S=32兀=4兀腔，R=2VL

設(shè)九1為三棱錐頂點O到底面的高，設(shè)九2為三棱錐頂點8到底面的高，b=折二7=2，

^O-ABC=KB-40C>

V0_ABC=|x|x2x2>/3x2=ix1x2>/3xV5x/i2,h2=?，

故選B

3.答案：D

解析：

本題考查了空間中的平行關(guān)系與平面公理的應(yīng)用問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意，取正方體4BC0-4B1GD1棱AB、BC、CQ的中點L、K、Q,連接NL,LK、KQ、QP,

得出六邊形PQKLNM是所得的截面，求出該六邊形的面積即可.

解：如圖所示：

取正方體ABC。一4%右。1棱AB、BC、CQ的中點乙、K、Q,

連接NL,LK、KQ、QP,

由立方體兒何性質(zhì)以及中位線性質(zhì)得NI7/4B〃DiC〃PQ,

同理KL//MP,MN〃KQ,：.PQKLNM共面.

則六邊形尸QKLNM是過M,N,P三點的平面截正方體所得的截面,

該六邊形是正六邊形，其邊長為《NQ=2&,

其面積為6x1x(2V2)2X12V3.

故選D

4.答案：D

解析：

本題考查二面角，取8。的中點E,連接CE,GE,根據(jù)三垂線定理易得NGEC即為所求二面角

C1-BD-C的平面角，

解AJEC,即可求二面角G-BO-C的正切值.

解：取80的中點E,連接CE,GE,則ZC1EC即為所求二面角G-BO-C的平面角，

設(shè)正方體4BC0-4&。也的棱長為1,在ACiEC中，CCi=l,CE=與,

所以tan^GEC

故選￡).

5.答案：C

解析：

本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，求出正方體的體對角線的長度，就是外接球的直徑，求

出半徑即可求外接球的表面積.

解：正方體的體對角線的長度，就是外接球的直徑，

因為正方體的棱長是4,

?1-2R=V3a，

解得R=^a，

2

2

所以外接球的表面積為S=4TTR2=4TTx=3zra2,

故選C.

6.答案：D

解析：

本題主要考查圓柱的表面積的運用，屬于基礎(chǔ)題；

先設(shè)圓柱的底面半徑為r,求出產(chǎn)的值，再將，值代入圓柱表面積公式中即可求解.

解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,圓柱的高h=5,

當(dāng)圓柱形容器的體積最小時,

用平行于圓柱的底面的平面截圓柱和中間橫向最長木條的截面圖如圖所示,

則r=咨

2

二此時圓柱表面積為+27rr/t=2JTx—+2TTxx5=137r+5V^6H-

92

故選。.

7.答案：B

解析：

本題考查棱錐的體積，考查學(xué)生的計算能力和推理能力，屬于中檔題型.

由題意可知，到平面BCG團的距離等于。到平面8"出的距離的|,由此能求出三棱錐M-HBC的

體積.

解：正四棱柱力BCD-4遇1(71。1中，H,M分別為上的點，款=2,

H到平面BCGBi的距離等于。到平面BCC/i的距離的|,故“到平面BCC向的距離為3x|=2,

???M為線段當(dāng)6上的點，

---S4ZBC=5s四邊帝8cq4=-x2x3=3,

,,,VM-HBC=%-BCM=-X3X2=2.

故選8.

8.答案：B

解析：

本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是線面平行和面面平行的判定和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化

思想和推理能力，屬于中檔題.

取BC的中點T,連接尸T,BiT,QT,取久久的中點N,的久的中點K,連接NK,ND,KD,AC,

QT,由線面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性質(zhì)定理，可得當(dāng)P〃平面ZWK,4Q〃平

面DNK,結(jié)合題意可得平面。NK即為平面a,結(jié)合三角形的中位線定理可得所求值.

解：取BC的中點7,連接P7,B[T,QT,

取的中點N,C“i的中點K,連接NK,ND,KD,AC,&G，QT,

在正方形ABC。中，AC//PT,

在正方形4/iGDi中，&CJ/KN,

由截面4CCM1為矩形，可得4C〃4Ci，

可得P7//NK,又PTC平面ONK,NKu平面DNK,

可得PF〃平面DNK,

由Q77/4B,AB11A[B],可得QT〃AiBi，

且QT=48i，可得四邊形為平行四邊形，即有當(dāng)77/4(2,

又ND〃&Q,可得BiT〃ND,又BiTC平面￡WK,NDu平面EWK,

可得當(dāng)77/平面DNK,且BJCiPT=T,

可得平面BJP〃平面DNK,

由8記u平面々TP,可得By〃平面DNK,

由NC〃&Q,&QU平面。NK,NDu平面DNK,

可得4Q〃平面DNK,

結(jié)合題意可得平面ONK即為平面a,

由NK與81cl交于M,

在正方形A/iGCi中，A、C[〃KN,且KN=14iG，

所以MD】

所以需/

MB13

故選8.

9.答案：ABC

解析：

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)空間中線線、線面之間的位置關(guān)系依次判斷各個選項即可.

解：對于A,若a〃b,a//a,此時有b〃a或bua,故A錯誤；

對于8,若alb,61a,此時有a//a或aua,故B錯誤；

對于C,若。_1「，b±e,此時a,b可能平行、異面或相交，故C錯誤；

對于。，若ala,bla,根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行可得。正確.

故選ABC.

10.答案：1

解析：

本題考查長方體體積的體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題.

解：設(shè)陰影部分的寬為x,則長為2x,

所以長方體的下底面邊長為l-2x,高為2x,

所以長方體體積V=2x(1-2x)2=3_(o<x<|),

8X8X2+2X,

所以V'=24/-16X+2,

令片=24/-16x+2=0,解得％=7，

知XG(0,，),。'>0,XG<0>

2

所以X='時,Vmax=2XiX(1-2Xi)=

故答案為M

11.答案：Vio

解析：

本題考查面面垂直的性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.

由折疊后面BE1面ABD,面BC4n面ABD=48,過點C作CE1AB于點E,連接。E,則CE1面

ABD,則CE1DE,從而再RtADC'E中，求CQ即可.

解：折疊后棱錐C-ABD中，^BCA1?ABD,

是半徑為2的圓。的兩條直徑，A8與CQ成60。角,

4BCA=/.BDA=90°,AB=CD=4,

?.RtWA空RtaBD.4，

由oc=OA=60°,

???ACBA=4DAB=30°,

CA=BD=2,BC=AD=2^3，

???面8cA_L面ABD,面BC4n面力BD=AB,

過點C作CE14B于點E,連接。E,

則CE_1面48。，

CE1DE,

RtASC'.A中，CE=*=g，

AD

???AE=1,

2L4DE中，/.BAD=30°,AD=273.

二由余弦定理得CE=^/AE2+AD2-2AE-ADcos^BAD=V7,

RtADCE中，CO=VCE2+DE2=VTo.

故答案為au.

12.答案:V5

解析：

本題考查了求三棱錐外接球半徑的應(yīng)用問題，中檔題.

由勾股定理得，再由余弦定理和正弦定理求得回8CD的外接圓半徑，設(shè)回BCD的

外心為"，三棱錐4-BCO的外接球球心為。，根據(jù)勾股定理列出等式，求出OM的長，再用勾股

定理求得外接球的半徑R.

解：如圖,

AB2+BC2=8,AC2=（2V2）2=8,

AB2+BC2=AC2,

..ABJ.BCi同理，ABA.BD,

由線面垂直的判定定理可得481平面CBD.

4+4-121

由余弦定理得，cos乙CBD=BC--------———

2X2X22

?J

所以回BCD的外接圓半徑為9?券=2,

Zsin~

設(shè)團BCD的外心為M,三棱錐4-BCD的外接球球心為。，則。M_L平面8CQ,

作0E14B,垂足為E,易得OEBM為矩形.

設(shè)外接球半徑為R,?:OA=OD=R,

???0E2+AE2=OM2+MD2,

又OE=MB=MD=2,AE=OM=BE=1,

R=VOM2+MD2=V1+4=V5.

13.答案：2

解析：

本題主要考查球的截面問題.△「13「的外接圓半徑廣，球面距離讓球半徑R構(gòu)成直角三角形，利

用產(chǎn)+&2=R2解題.

解：設(shè)AA3C的外接圓半徑，，根據(jù)正弦定理得：上=2r,r=l,

sm60

因為A.ABL的外接圓半徑「，球面距離“，球半徑R構(gòu)成直角三角形，

即產(chǎn)+d?=/?2,

2

所以(粵)+I2=R2,.，?R=2，

所以球。的半徑R為2.

故答案為2.

14.答案：；

解析：

本題考查了球的組合體，考查了空間想象能力，以及求球的表面積，屬于中檔題.

設(shè)出圓柱的上底面半徑為，，球的半徑與上底面夾角為a,求出圓柱的側(cè)面積表達式，求出最大值,

計算球的表面積，即可得到兩者的比值.

解：設(shè)圓柱的上底面半徑為廠，球的半徑與上底面半徑的夾角為a,

則r=Rcosa,圓柱的高為2Rsina,

圓柱側(cè)面積為：2丁廠-27：R'sin2(\<

當(dāng)且僅當(dāng)c；時，sin2a=1,此時圓柱的側(cè)面積最大，

圓柱的全面積為：sin2(\+2TTR2co62c,

當(dāng)C:時，圓柱的全面積為：2萬7?2+TTR?=3TTR2,

球的表面積為：4TT/?2,

所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積之比是K

4

故答案為：.

15.答案：還

15

解析：

本題考查異面直線所成角的余弦值的求解，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，

考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

推導(dǎo)出ZSABC的外心。'是AC的中點，從而。。'1平面48C,PC//OO',從而PCJ?平面ABC,進而球

0的半徑OC=R=匣，設(shè)PB與AC所成角為0,則cos。=cosNPCA-cos4BCA,由此能求出異面直

2

線PB與AC所成角的余弦值.

p

-A,8兩點都在以月4為直徑的球。的表面上，ABA.BC,AB=3,BC=4,

ABC的外心。'是AC的中點，二00'JL平面ABC,

由題意得PC〃。。'，平面ABC,

?.?球。的體積為粵畫“軻?二竽”，解得”亨

"AC=V32+42=5，

???C0'=00'=V2.PC=200'=2V2.PB=2V6.

設(shè)PB與AC所成角為。，

則cos。=cosZ.PCA-cosZ-BCA=—x-=—.

3515

???異面直線PB與AC所成角的余弦值為延.

15

故答案為公.

15

16.答案：3

解析:

本題考查多面體外接球體積與表面積的求法，訓(xùn)練了“分割補形法”，是基礎(chǔ)題.

把三棱錐。-4BC補形為長方體，可得長方體對角線長，得到三棱錐。-ABC的外接球半徑為

叵正，代入球的表面積公式求解.

2

解：把三棱錐。-ABC補形為長方體，可得長方體對角線長六22+52+方=-29+M.

???三棱錐0-ABC的外接球半徑為R=適正，

2

____2

由題意,47r('*:+")=(29+/)兀=38兀，即x=3.

故答案為3.

17.答案：\

解析：

本題考查棱柱、棱臺的體積，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想，考查空間想象能力，屬于中檔題.

設(shè)AE尸面積為S],ABC和4B1G的面積為S,二棱柱高位〃；匕EF-4181cl=匕；%CFE-%Ci=彩；總

體積為：V,根據(jù)棱臺體積公式求匕；彩=/-匕以及面積關(guān)系，求出體積之比.

解：由題：設(shè)4E尸面積為s「ABC和4窗修1的面積為$,三棱柱高位/?；

^AEF-A1B1C1=匕；

，BCFE-BiQ=/；總體積為：匕

計算體積：

1.—?

匕=”⑸+S+歷?)①

V=sh@

%=展匕③

由題意可知，S1=;@

根據(jù)①②③④解方程可得：匕=各八，%=臺無；

貝仁

故答案為，

18.答案：STTCTTI2

解析：

本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周

長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長.

根據(jù)圓錐的母線長=/R2+h2,(其中人為圓錐的高)，圓錐的側(cè)面積=底面周長X母線長+2,把相

應(yīng)數(shù)值代入即可求解

解：圓錐的母線長[=,22+（2次）2=4，

故圓錐的側(cè)面積S=nRl=7Tx2x4=Sircm2.

故答案為：8ncm2；

19.答案：哼,1]

解析：

本題考查異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題.

由題意畫出圖形，根據(jù)P,Q分別是棱AB,&劣上的點，且PQ14C,得到當(dāng)產(chǎn)與3重合,Q與5重合時

P。與所成角最小為0。,當(dāng)P與A重合,。與4重合時PQ與BO1所成角最大，為圖中的NBiBDi，設(shè)

出正方體棱長，通過解直角三角形求得角的余弦值，則PQ與3D1所成角的余弦值的取值范圍可求出.

?：P,。分別是棱AB,4D]上的點，且PQ1AC,

???當(dāng)P與B重合，。與5重合時，滿足PQ1AC,

此時P。與BL）1重合，所成角最小，所成角的余弦值最大為1,

當(dāng)尸與A重合，。與&重合時，此時441在平面BBiCi。上的射影與BDi所成角最大,

即PQ與BDi所成角最大，也就是圖中的

設(shè)正方體的棱長為a,則為。1=y[2a,BDr=y/3a,

COSZBIBDI=總=冬

???PQ與所成角的余弦值得取值范圍是[9,1].

故答案為：停“

20.答案:2A/3

解析：

本題考查旋轉(zhuǎn)體上的最短距離問題，解答此類問題應(yīng)弦根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再

確定兩點間的最短距離，由此即可求解.

解：???圓臺上底面半徑為彳下底面半徑為|,母線長為2,

由相似三角形的知識得，8點為圓錐母線的中點，

將圓臺所在的圓錐展開如圖所示：

則線段48就是螞蟻經(jīng)過的最短距離，

因為圓錐的底面邊緣的周長=扇形的弧長，

2417

所以扇形的弧長/:2;rr2TTX：,

扇形的半徑等于圓錐母線長=4,

.??扇形圓心角為llSI*X1的，

n=—60

4t7r

在△APB中，由余弦定理得，

AB-=16+4-2x4x2cofi600=12，

所以4B=2V3.即螞蟻經(jīng)過的最短路徑長度為2K.

故答案為2H.

21.答案：證明：取尸8的中點T,連接AT,TN,

"AD=3,且4M=2MD,

.-.AM=2,

■.■T,N分別為PB,PC的中點，

.-.TN//BC,且「"泗，

vBC=4

TN=2,AM=TN,

?：AD//BC,

TN//AD,即TN〃AM,

.??四邊行INMA為平行四邊形.

MN//AT,

"MN不在平面PAB內(nèi)，ATu平面PAB,

???MN〃平面PAB.

解析：本題主要考查了線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件取PB的中點T,連接AT,7W,推導(dǎo)出四邊行TNMA是平行四邊形，由此能證明MN〃平面

PAB.

22.答案：解：⑴?.?直三棱柱ABC-a8心中,4C〃4G

NaAC即為異面直線AB】與&G的所成角或補角。

在直角AABBI中=；在直角△CBS［中,CB］=;

在AABB］中,2BC=120。，AB=2,BC=CCt=1,

AC=v/4+l-2x2xlxco.sl2(y=/，

在△ACBi中，由余弦定理得COSN&AC=苧。

(2)設(shè)M、N、尸分別為AB,BBi和8修1的中點，得出4當(dāng)、BC1夾角為MN和NP夾角或其補角；根

據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ,例P和/MNP的余弦值即可.

解：如圖所示，

設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiG的中點,

貝NP//BC「

則AB】、BCi夾角為MN和N尸夾角或其補角(因異面直線所成角為(0,§),

可知MN=^4BI=在，NP=-8^=—;

212212

作BC中點Q,則APQM為直角三角形，PQ=1,MQ=|AC,

△4BC中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2AB-BC-cos^ABC

=4+l-2x2xlx(-1)=7,

???AC=V7>MQ=y，MP=yjMQ2+PQ2=手:

在八PMN中,由余弦定理得cos/MNP=MN；胃L=堂綽譽=_萼;

2MNNP2X—X—5

22

又異面直線所成角的范圍是((),§,???4當(dāng)與BC1所成角的余弦值為理.

45

解析：本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，

考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

先用余弦定理求出AC=V7,再連接B[C,與BC1交于點E,取AC有中點D,連接BD,DE,則/BED是異

面直線AB1與BC】所成的角或補角，由勾股定理得NDBE=903即可求出異面直線與BC1所成角

的余弦值.

23.答案：解：(1)證明：在圓柱。。1中，???43為0。的直徑，；.801。，

力41_L平面ABC,BCu平面ABC,4411BC,

vBC1AC,4AliBC,AArC\AC=A,ACu平面&AC,A&u平面44C,

BC1平面4AC；

(2)取BC的中點E,連結(jié)QE,0/,

B

在圓柱0。1中，又???。為AC的中點，

DE//ABQ.DE=^AB,

???40i〃4B且=：AB,

CE〃AiOi且DE=4。1

.,?四邊形4DE01為平行四邊形&D〃EOi，

???A1D//EO1,&DC平面。iBC,ERu平面。鳳

???〃平面OiBC.

解析：本題主要考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，屬于中檔題；

(1)根據(jù)題意BC1AC,AA11BC,即可得解；

(2)取8c的中點E,連結(jié)。E,。出，得到四邊形&OEO1為平行四邊形，即可得解.

24.答案：解：⑴,：DN:NC=1:3,

DN:DC=1:4,

???E是棱QC的中點，

DE:DC=1:2,

???DN-.DE=1:2,

??.N為DE的中點，

又用是AQ的中點，

MN//AE,

又MNC面ABE,AEU面ABE,

AMN〃平面ABE；

(2)-AB=AB,BC=BD,/.ABC=乙ABD,

???△ABC三4ABD,

???AC—AD,

又E是棱OC的中點，

???AELCD,

vBC=BD,E是棱OC的中點，

BE1CD,

vAEflBE=E,AEU面ABE,BEU面ABE,

CDJ?面ABE,

：.DCU面BCD,

.??平面48E1平面BCD.

解析：本題考查線面平行的判定，考查面面垂直的判定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

(1)由已知條件，推導(dǎo)出MN〃AE,由此能證明MN〃平面4BE；

(2)由題意，可推出BE1CD,得CD1面ABE,由此能證明平面ABE1平面BCD.

M力安-TRB〃、；?平面4BC.BCU平面4BC,

25.答案：證明:(1),p4±BC

又AB是圓O的直徑，

/..4C1BC.

XAC,PA在平面PAC中交于A,

:.Z?CJ■平面P4C,

又AFU平面PAC,

BC±AF.

(2)由BC_L4F,AF1PC,BC,PC在平面P3C中交于C,

???AF1平醉BC又PBu平面PBC,

AF1PB.

又AF,AE在平面AEF中交于A

PBJ■平面AEF,

又PBC平面PAB,

Z?±5F?.4EF.

解析：本題考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，屬基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明平面P.AL,進而得到線線垂直；

(2)先證明PBJ.平面」EF,再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證得最后結(jié)論.

26.答案：證明：(1)連接AC,8。與AC交于點。，連接。F.

???4BCD是菱形，

???。是4C的中點.

???點F為PC的中點，

OF//PA.

?：OFu平面BDF,PA仁平面BDF,

P4〃平面BDF.

(2)vPA_L平面ABCD,

???PA1.BD.

又??,底面ABCD是菱形，

BD1AC.

又P4nac=4PA,ACPAC,

BDJ?平面PAC.

又?；PCu平面PAC,

???PCLBD.

解析：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間中線線、線面間的位

置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，屬于中檔題.

(1)設(shè)8。與AC交于點0,利用三角形的中位線性質(zhì)可得0F〃P4,從而證明P4〃平面8。八

(2)由PA_L平面ABC。得PALBD,依據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD1AC,從而證得8D1平面PAC,進而

PC1BD.

27.答案：(1)證明：連接交EB于點。，連接0M,

因為BD//4E,BD=2AE,所以4。:。。=1:2,

因為宿=：前乙

所以AM:MC=1:2,

所以MO〃CC,

又因為CDC平面BEM,MOu平面BEM,

所以CD〃平面BEM;

(2)解：取43中點F,連接CF,

因為△ABC等邊，所以CF14B,

因為平面ABC_L平面ABOE,^ABCCynABDE=AB,CFu平面ABC

所以CF_L平面A8QE,

因為宿=：祝，

所以點M到平面ABDE的距離是］CF,

所以％_EM8=匕=QSAK-J'/7

<5<5

111

=§xq町砌?尹

，x（工X2X2）W=2

3、2739

解析：本題重點考查線面平