人教A版必修第二冊722復(fù)數(shù)的乘除運算學(xué)案

7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運算

新課程標準新學(xué)法解讀

1.學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的乘法運算，應(yīng)類比多

1.把握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運算項式的乘法運算，這里留意把i2

法那么.寫成一1.

2.把握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運2.學(xué)習(xí)除法運算時留意分母“實

算法那么.數(shù)化"，即將分子分母同乘以分母

的共輒復(fù)數(shù).

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點1復(fù)數(shù)的乘、除運算

1.復(fù)數(shù)的乘法

(1)復(fù)數(shù)的乘法法那么

設(shè)z\=a+b\,Z2=c+di(“，b,c,d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么

它們的積(a+bi)(c+di)=ac^-bci+ad\+hdi2—(ac—bd)+(ad+hc)i.

(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律

復(fù)數(shù)的乘法滿意交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的安排律，即對

任意Z1,Z2,Z3￡C,有

交換律Z}Z2=Z2Z\

結(jié)合律（Z1Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

乘法對加法的安排律Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3

2.復(fù)數(shù)的除法

設(shè)z\—a-\-b\,Z2=c+di(。，h,c,d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么

它們的商(a+bi)*c+di)=筌華+警賽(c+diWO).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個確定的

復(fù)數(shù).在進行復(fù)數(shù)的除法運算時，通常先把伍+歷)+(c+di)寫成喏的

形式，再把分子與分母都乘分母的共輾復(fù)數(shù)C-di,化簡后就得到上

面的結(jié)果.

3.常用復(fù)數(shù)運算結(jié)論

....111-i1+i.1-i

(l)(l±i)-=±2i；(1+i)(l—i)=2；;=—4；］十尸?;〔_j=i；j_|_j

=-i.

1s1、八一一

(2)t己那么co2=-2-2?c02=①'co=①\②

|°|=|研=1；③1+。+。2=0.

(3)i4w=l,i4"+i=i,i4"+2=-l,i4"+3=-i(〃￡N).

學(xué)問點2復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程ta2+A%+c=0(aW0)的求根

公式為：

⑴當時，一。呼啊

(2)當/<0時，尸一風(fēng)一行一碎

［重點理解］

1.對復(fù)數(shù)乘法的三點說明

(1)類比多項式運算：復(fù)數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算很類

似，可仿多項式乘法進行，但結(jié)果要將實部、虛局部開⑴換成一1).

(2)運算律：多項式乘法的運算律在復(fù)數(shù)乘法中仍舊成立，乘法

公式也適用.

(3)常用結(jié)論

①(a±bi)2=a2±2abi~b2(a,b￡R)；

②(a+bi)(“一歷)=。2+62(Q,R)；

③(1土i>=±2i.

2.對復(fù)數(shù)除法的兩點說明

(1)實數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共枕復(fù)數(shù)c—di,化簡后即

得結(jié)果，這個過程實際上就是把分母實數(shù)化，這與根式除法的分母

“有理化〃很類似.

（2）代數(shù)式：留意最終結(jié)果要將實部、虛局部開.

特殊提示：復(fù)數(shù)的除法類似于根式的分母有理化.

［自我排查］

—1+i

1.復(fù)數(shù)z=E--1在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：B

-1+i

斛析：,?z=~?.-1=i-1,

，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為（一1,1）,在其次象限，應(yīng)選

B.

1—i、

2.i為虛數(shù)單位，那么［再，=（）

A.-1B.1C.-iD.i

答案：A

1-i）—2i

解析：［匚2=亍-=-1,應(yīng)選A-

3.普7=1—〃i,其中m，〃是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，那么m十〃i

=（）

A.l+2iB.l-2i

C.2+iD.2-i

答案：C

解析：由含=1一疝，

2mm.

yi=1—m,

那么與=1JL—y=-n,

故m=2,〃=1.應(yīng)選C.

4.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿意(1+i)z=2,那么z的實部為

答案：1

2

解析：由于(l+i)z=2,所以z="j=l—i,所以其實部為1.

課堂篇?重點難點研習(xí)突破

研習(xí)1復(fù)數(shù)的乘'除運算

［典例1］計算或解答以下各題:

(1)(1)2.昌+娜;

(2)(5-29^50-(7-3^51)；

⑶考+［哥。7

z2—3z+6

(4)z=l+i,求二的模.

[解]⑴原式=-2i[]—；+坐i1(—;+當)]

=-2il=-2i.

⑵(5—29巾i)?(7—3^i)

5—2胞(5—2%國。+3啊

=7-3小i-(7-3^51)(7+3^50

(35+29X15)+(15小一29X7同

49+(3后

470-188^51

=5-2y/5i.

94

)1005

-}2010=?+'2i2-----

⑶若-ij--2i(2i)1005

=i(l+i)+p^)05=—1+i—i=-1.

z2-3z+6(1+i)2-3(1+i)+63-i

⑷z+12+i2+i=1—

z2—3z+6

所以:的模為啦.

z+1

［巧歸納］(1)復(fù)數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項式乘法的法

那么進行，留意要把i2化為一1,最終把結(jié)果化簡；復(fù)數(shù)的除法先寫

成分式的形式，再把分母實數(shù)化(方法是分母與分子同時乘分母的共

朝復(fù)數(shù)，假設(shè)分母是純虛數(shù)，那么只需同時乘i即可).

(2)對于復(fù)數(shù)的運算，除了應(yīng)用四那么運算法那么之外，對于一

些簡潔的算式要知道其結(jié)果，這樣起點就高，計算過程就可以簡化，

到達快速、簡捷、出錯少的效果.

［練習(xí)1J計算:

(1)(2+日」+i、

22

⑵層+會停+品(1+i)；

(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i")(4-3i)；

(1+評(l—i)7(3—4i)(2+2i)3

()1-i1+i4+3i

解：⑴原式等+制一器f

_(2i)11

=(2+i)―211

=2+i+i=2+2i.

(2)原式=(一乎一；i+京+率2)(i+i)

$+A用(1+i)

十號+#+i)

SV3.,1.1

=-2-2I+?-2

_1+^311—^/3.

一2十2】?

(3)原式=2(4—i)(3—i)+(7—i)(4—3i)

=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)

=2(ll-7i)+25(l-i)

=47-39i.

(4)原式=[(l+i)2p.罟+[(1—。用.冷8(3~4i)(l+i)2(l+i)

(3-4i)i

,,,8.2i(l+i)

=(2iAi+(-2i)3.(—i)——z

=8+8-16-16i=-16i.

研習(xí)2共輾復(fù)數(shù)的求解與應(yīng)用

［典例2］設(shè)a,8互為共輾復(fù)數(shù)，且(a+b)2—3〃歷=4—6i,求a

和。.

[解]設(shè)a=x+y\,b=x—yi(x,y￡R),那么(a+O)?—3a歷=(%

+yi+%—yi)2—3(%+yi)(%—yi)i

=4%2-BiQ2+y2)=4—6i.

x2=l,%=±1,

所以＜解得，

_A:2+)^=2,尸土1,

a=l+i,ct=\-i,a=—l+i,

所以或《或

b=l-ib=l+iz?=—1—1

<a——1-i,

也=-l+i.

［巧歸納］共軌復(fù)數(shù)的求解與應(yīng)用

(1)假設(shè)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，那么依據(jù)共扼復(fù)數(shù)的定義可以寫出

7,再進行復(fù)數(shù)的四那么運算.必要時，需通過復(fù)數(shù)的運算先確定出

復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，再依據(jù)共朝復(fù)數(shù)的定義求3.

(2)共粗復(fù)數(shù)應(yīng)用的另一種常見題型是：關(guān)于z和T的方程，而復(fù)

數(shù)z的代數(shù)形式未知，求z,解此類題的常規(guī)思路為設(shè)z=a+歷(a,b

GR),那么一歷，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，

轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.

［練習(xí)2］復(fù)數(shù)2=支喑墳且|z|=4,z對應(yīng)的點在第一象限,

假設(shè)復(fù)數(shù)0,Z,高對應(yīng)的點是正三角形的三個頂點，求實數(shù)4,〃的

值.

5(l+i)2-(l+i),

解：z=---丁二---(a+hi)

=2宙(。+〃)=一2。一2萬.

由|z|=4,得足+〃=4,①

由于復(fù)數(shù)0,z,，對應(yīng)的點構(gòu)成正三角形，

z——2a~\~2hi,

所以|z—z\=\z\.

把z=-2a—2歷，》=-24+2萬代入化簡得|加=1.②

又由于z對應(yīng)的點在第一象限，

所以a<0,b<0.

］。=一/，

由①②得；

［Z?=—1.

故所求值為Q=—3，b=~l.

研習(xí)3復(fù)數(shù)的方程問題

［典例3］在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程|zF+(z+3)i=|^(i為虛數(shù)單

位).

［解］原方程化簡為|z/+(z+z)i=1—i.

ixz=x+yi(x,y￡R),

代入上述方程，得爐+)，2+2七=1一1

1

%2+y2=],

所以區(qū)=.1,解得

y一±2?

所以原方程的解是z=一；土當.

［巧歸納］解關(guān)于復(fù)數(shù)方程的問題，一般可先設(shè)出方程的根的代

數(shù)形式，代入方程化簡后，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題

解決.此類問題的解答過程表達了化歸思想的運用.

［練習(xí)3］設(shè)方程/—2x+%=0的兩個根分別為a,且|a—用

=2虛，求實數(shù)上的值.

解：4=4—4匕當心0,

即時，方程兩根為實數(shù)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，a+￡=2,

a/3=k,

那么|a—￡|=N(a+￡)2—4磔=^4—42=2,1—%=2媳,解得k=

—1;

當/<0,即a>1時，a,￡為共甄復(fù)數(shù)，

a—1—li,￡=1—\jk—li>

那么心一加=|2#=1“=2/二1=2也，解得左=3.

綜上可知，實數(shù)％的值為-1或3.

課后篇?根底達標延長閱讀

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿意關(guān)系z+|z|=2+i,那么z=()

Aq+iB.—j+iC.-1-iD.|-i

答案：A

解析：設(shè)z=a+bi(a,b￡R),那么舟+己+打屋+加=2+1,由復(fù)

數(shù)相等的充要條件，得8=1,。+勺(22+公=2,將b=1代入

=2,得后FT=2—Q,兩邊同時平方，得。2+1=4—4。+次，解得

33,

a=4，.?.z=a+i，應(yīng)選A.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)母+(1+小ip對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：B

解析：Aj+(1+Si)2=—1+(；+2?。?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

的坐標為1一,，義+2?。?該點位于其次象限.應(yīng)選B.

3.(多項選擇)(2020?江蘇泰州中學(xué)高二(下)其次次月考)i為虛數(shù)

單位，復(fù)數(shù)2=巖，那么以下命題為真命題的是()

A.z的共物復(fù)數(shù)為三4一7段i

B.z的虛部為日

C.|z|=3

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

答案：AD

在力加3+2i(3+2i)(2+i)4+7i4,_7i.-_4_7i

解析：z-2_j—5-5-5+5，故z—55，故

6b

A正確；z的虛部為:，故B錯誤；|z|="1549=隼中3,故C錯

誤；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為修，雪，在第一象限，故D正確.應(yīng)選

AD.

4.假設(shè)zi=a+2i,Z2=3—4i,且日為純虛數(shù)，那么實數(shù)。=

Z2

答案：|

解析：由題意，1=3=不［34-8+(6+4a)i］,由于￡是純虛

Q

數(shù)，故3。-8=0,且6+4QW0,解得Q=J

5.復(fù)數(shù)z=3+bi(b￡R),且(l+3i>z為純虛數(shù).

⑴求復(fù)數(shù)z；

(2)假設(shè)/=條，求復(fù)數(shù)次的模|孫.

解：(1)由題意得，(l+3i>(3+0i)=(3—3b)+(9+b)i.

由于(l+3i>z為純虛數(shù)，

所以3-36=0,且9+670,

所以b=l,所以z=3+i.

e3+i(3+i)-(2-i)7~i71.

(2汝=1=(2+i).(2-i廣亍=5,

所以用,吩+(—%亞

課后自讀方案

［誤區(qū)警示］對復(fù)數(shù)的概念理解不透致誤

［例如］設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,b￡R)的共胡