2025年新華師大版數(shù)學七年級下冊全冊導學案

華師大版數(shù)學七年級下冊導學案（2025年春季新教材）

第5章一元一次方程5.1從實際問題到方程【學習要求】知識與技能1.掌握如何設未知數(shù).2.掌握如何找等式來列方程.3.了解嘗試法、代入法尋找方程的解.過程與方法初步建立方程能解決實際問題的觀念.【學習重難點】重點：1.確定所有的已知量和確定“誰”是未知數(shù)x.2.列方程.難點：找出問題中的相等關系.【學習過程】【情景導入，初步認識】在現(xiàn)實生活中，有很多問題都跟數(shù)學有關，例如下面的問題：問題學校運動隊員沿校園周邊的步道晨跑，甲、乙兩隊員同時出發(fā)，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙隊員跑步的平均速度分別是4m/s，3.5m/s，這一圈步道有多長？這個問題用數(shù)學中的什么方法來解決呢？【思考探究，獲取新知】1.在小學里，我們學過方程，還記得什么樣的式子是方程嗎？含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.講解導入中的問題：根據(jù)小學所學的列方程，按照問題問“什么”就設這個“什么”為未知數(shù)x的方法來解決這個問題.分析：設步道一圈的長為xm，可列出方程.eq\f(x,3.5)＝eq\f(x,4)＋60.設問：如何解這個方程？請試一試.3.課外活動中，張老師組織同學們進行“猜年齡”游戲，她提出如下問題：同學們今年的年齡是13歲，我今年的年齡是45歲，經過幾年我的年齡正好是你們年齡的3倍？方法一：我們可以按年齡的增長依次去試.1年后，同學們的年齡是14歲，老師的年齡是46歲，不是同學們年齡的3倍；2年后，同學們的年齡是15歲，老師的年齡是47歲，不是同學們年齡的3倍；3年后，同學們的年齡是16歲，老師的年齡是48歲，恰好是同學們年齡的3倍.方法二：也可以用列方程的辦法來解.解：設x年后老師的年齡是同學們年齡的3倍，x年后同學的年齡是(13＋x)歲，老師年齡是(45＋x)歲.根據(jù)題意，列出方程得3(13＋x)＝45＋x.這個方程不太好解，可以用嘗試、檢驗的方法找出它的解，即只要將x＝1，2，3，4，…代入方程的左右兩邊，看哪個數(shù)能使左右兩邊的值相等，這樣得到方程的解為x＝3.歸納結論能使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.要檢驗一個數(shù)是否為方程的解，只要把這個數(shù)代入方程的左、右兩邊，看能否使左、右兩邊的值相等.如果左、右兩邊的值相等，那么這個數(shù)就是方程的解.否則，就不是方程的解.4.由上面的兩個問題，能總結出列方程解決實際問題的步驟嗎？歸納結論設未知數(shù)x；找出相等關系；根據(jù)相等關系列方程.【運用新知，深化理解】1.下列各式中，是方程的是(A)A.x－2＝1B.2x＋5C.x＋y＞0D.3y2.下列方程中，解為x＝1的是(B)A.eq\f(5,6)x＝eq\f(6,5)B.－0.7x＝－0.7C.－eq\f(1,4)x＝eq\f(1,4)D.3x＝eq\f(1,3)3.下列四個數(shù)中，是方程x＋2＝0的解為(B)A.2B.－2C.4D.－44.語句“x的3倍比y的eq\f(1,2)大7”用方程表示為3x＝eq\f(1,2)y＋7.5.一根細鐵絲用去eq\f(2,3)后還剩2m，若設鐵絲的原長為xm，可列方程為x－eq\f(2,3)x＝2.6.甲、乙兩車間共生產電視機120臺，甲車間生產的臺數(shù)是乙車間的3倍少16，求甲、乙兩車間各生產電視機多少臺(列出方程，不解方程)?解：設乙車間生產的電視機x臺，則甲車間生產電視機是(3x－16)臺，根據(jù)題意列方程得x＋(3x－16)＝120.7.一個水缸原來有水8L，水缸總共可以裝水35L，小明每次往缸里加水9L，需要加水多少次才能加滿(列出方程，不解方程)?解：設需要加水x次才能加滿，根據(jù)題意列方程得9x＋8＝35.8.檢驗下面方程后面括號內所列各數(shù)是否為這個方程的解：2(x＋2)－5(1－2x)＝－13，{x＝－1，1}.解：將x＝－1代入方程的兩邊得左邊＝2(－1＋2)－5[1－2×(－1)]＝－13，右邊＝－13，因為左邊＝右邊，所以x＝－1是方程的解.將x＝1代入方程的兩邊得左邊＝2(1＋2)－5(1－2×1)＝11，右邊＝－13，因為左邊≠右邊，所以x＝1不是方程的解.

5.2解一元一次方程5.2.1等式的性質與方程的簡單變形第1課時等式的基本性質【學習要求】知識與技能1.借助天平的操作活動，發(fā)現(xiàn)并理解等式的性質.2.應用等式的性質進行等式的變換.過程與方法經歷觀察、比較、抽象、歸納等思維活動，發(fā)展數(shù)學思維能力.【學習重難點】重點：等式的性質和運用.難點：發(fā)現(xiàn)并概括出等式的性質.【學習過程】【情景導入，初步認識】還記得“曹沖稱象”的故事嗎？小時候的曹沖是多么的聰明?。‰S著社會的進步，科學水平的發(fā)達，我們有越來越多的方法測量物體的重量.最常見的方法是用天平測量一個物體的質量.我們來做這樣一個實驗，測一個物體的質量(設它的質量為x).首先把這個物體放在天平的左盤內，然后在右盤內放上砝碼，并使天平處于平衡狀態(tài)，此時兩邊的質量相等，那么砝碼的質量就是所要稱的物體的質量.【思考探究，獲取新知】請做這樣一個實驗：如圖，天平處于平衡狀態(tài)，它表示左右兩個盤內物體的質量a，b是相等的.得到a＝b.1.若在平衡天平兩邊的盤內都添上(或都拿去)質量相等的物體，則天平仍然平衡.得到a＋c＝b＋ca－c＝b－c2.若把平衡天平兩邊盤內物體的質量都擴大(或縮小)相同的倍數(shù)，則天平仍然平衡.得到ac＝bc(c≠0)eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0)觀察上面的實驗操作過程，回答下列問題：(1)從這個變形過程，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律？(2)這幾個等式兩邊分別進行什么變化？等式有何變化？(3)通過上面的操作活動，說一說等式有什么性質.歸納結論等式的基本性質：性質1：等式兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式.如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.性質2：等式兩邊都乘以(或都除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能為0)，所得結果仍是等式.如果a＝b，那么ac＝bc，eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0).【運用新知，深化理解】1.下列結論中正確的是(B)A.若x＋3＝y(tǒng)－7，則x＋7＝y(tǒng)－11B.若7y－6＝5－2y，則7y＋6＝17－2yC.若0.25x＝－4，則x＝－1D.若7x＝－7x，則7＝－72.下列說法中錯誤的是(C)A.若eq\f(x,a)＝eq\f(y,a)(a≠0)，則x＝y(tǒng)B.若x2＝y(tǒng)2，則－4x2＝－4y2C.若－eq\f(1,4)x＝6，則x＝－eq\f(3,2)D.若6＝－x，則x＝－63.已知等式ax＝ay，下列變形中不正確的是(A)A.x＝y(tǒng)B.ax＋1＝ay＋1C.ay＝axD.3－ax＝3－ay4.下列說法中正確的是(D)A.等式兩邊都加上一個數(shù)或一個整式，所得結果仍是等式B.等式兩邊都乘以一個數(shù)，所得結果仍是等式C.等式兩邊都除以同一個數(shù)，所得結果仍是等式D.一個等式的左、右兩邊分別與另一個等式的左、右兩邊分別相加，所得結果仍是等式5.在方程的兩邊都加上4，可得方程x＋4＝5，那么原方程是__x＝1__.6.在方程x－6＝－2的兩邊都加上__6__，可得x＝__4__.7.方程5＋x＝－2的兩邊都減5得x＝__－7__.8.如果－7x＝6，那么x＝－eq\f(6,7).9.只列方程，不求解.某制衣廠接受一批服裝訂貨任務，按計劃天數(shù)進行生產，如果每天平均生產20套服裝，就比訂貨任務少100套，如果每天平均生產32套服裝，就可以超過訂貨任務20套，原計劃幾天完成？解：設原計劃x天完成，由題意得20x＋100＝32x－20.

第2課時利用等式的基本性質解方程【學習要求】知識與技能1.理解并掌握方程的兩個變形規(guī)則.2.運用方程的兩個變形規(guī)則解簡單的方程.過程與方法通過對解方程過程的探討，獲得解方程的步驟，體會數(shù)學中由特殊到一般的思想方法.【學習重難點】重點：運用方程的兩個變形規(guī)則解簡單的方程.難點：運用方程的兩個變形規(guī)則解簡單的方程.【學習過程】【情景導入，初步認識】1.等式有哪些性質？2.在4x－2＝1＋2x兩邊都減去2x，得2x－2＝1，兩邊再同時加上2，得2x＝3，變形依據(jù)是等式的基本性質1.3.在eq\f(1,4)x－1＝2中兩邊乘以4，得x－4＝8，兩邊再同時加上4，得x＝12，變形依據(jù)分別是等式的基本性質2、等式的基本性質1.【思考探究，獲取新知】1.方程是不是等式？2.你能根據(jù)等式的性質類比出方程的變形依據(jù)嗎？歸納結論方程兩邊都加上(或都減去)同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變.方程兩邊都乘以(或都除以)同一個不等于0的數(shù)，方程的解不變.3.你能根據(jù)這些規(guī)則，對方程進行適當?shù)淖冃螁幔?.解下列方程：(1)x－5＝7；(2)4x＝3x－4.分析：(1)利用方程的變形規(guī)律，在方程x－5＝7的兩邊同時加上5，即x－5＋5＝7＋5，可求得方程的解.(2)利用方程的變形規(guī)律，在方程4x＝3x－4的兩邊同時減去3x，即4x－3x＝3x－3x－4，可求得方程的解.解：(1)由x－5＝7，兩邊都加上5，得x＝7＋5，即x＝12.(2)由4x＝3x－4，兩邊都減去3x，得4x－3x＝－4，即x＝－4.像上面，將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫做移項.5.解下列方程：(1)－5x＝2；(2)eq\f(3,2)x＝eq\f(1,3)；分析：(1)利用方程的變形規(guī)律，在方程－5x＝2的兩邊同除以－5，即－5x÷(－5)＝2÷(－5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(－5x,－5)＝\f(2,－5)))，也就是x＝eq\f(2,－5)，可求得方程的解.(2)利用方程的變形規(guī)律，在方程eq\f(3,2)x＝eq\f(1,3)的兩邊同除以eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或同乘以\f(2,3)))，即eq\f(3,2)x÷eq\f(3,2)＝eq\f(1,3)÷eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(3,2)x×\f(2,3)＝\f(1,3)×\f(2,3)))，可求得方程的解.解：(1)方程兩邊都除以－5，得x＝－eq\f(2,5).(2)①方程兩邊都除以eq\f(3,2)，得x＝eq\f(1,3)÷eq\f(3,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)，即x＝eq\f(2,9).②方程兩邊同乘以eq\f(2,3)，得x＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).即x＝eq\f(2,9).歸納結論上面兩題的變形通常稱作“將未知數(shù)的系數(shù)化為1”.上面兩個解方程的過程，都是將方程進行適當?shù)淖冃?，得到x＝a的形式.6.根據(jù)上面的例題，你能總結出解一元一次方程的一般步驟嗎？歸納結論解方程的一般步驟：①移項；②合并同類項；③系數(shù)化為1.【運用新知，深化理解】1.下列方程變形中錯誤的是(B)A.2x＋5＝0得2x＝－5B.5＝x＋3得x＝－5－3C.－0.5x＝3得x＝－6D.4x＝－8得x＝－22.方程－eq\f(1,3)x＝2兩邊都__乘以－3__，得x＝__－6__.3.方程5x＝6的兩邊都__除以5__，得x＝eq\f(6,5).4.下面是方程x＋3＝8的三種解法，請指出對與錯，并說明為什么？(1)x＋3＝8＝x＝8－3＝5；(2)x＋3＝8，移項得x＝8＋3，所以x＝11；(3)x＋3＝8，移項得x＝8－3，所以x＝5.解：(1)這種解法是錯的.變形后新方程兩邊的值和原方程兩邊的值不相等.所以解方程時不能連等.(2)這種解法是錯誤的，移項要變號.(3)這種解法是正確的.

第3課時利用移項解方程【學習要求】知識與技能了解移項法則，即“移項后變號”，并且能熟練運用移項法則解方程.過程與方法通過對解方程過程的探討，獲得解方程的步驟，體會數(shù)學中由特殊到一般的思想方法.【學習重難點】重點：運用移項法則解方程.難點：運用移項法則解方程.【學習過程】【情景導入，初步認識】1.什么是一元一次方程？2.等式的基本性質？3.解方程：8x＋5＝2x－7.解：8x＋(－2)x＝－7＋(－5).6x＝(－12).x＝－2.【思考探究，獲取新知】解方程：4x－5＝2x＋3.解：移項，得4x－2x＝3＋5.合并同類項，得2x＝8.兩邊都除以2，得x＝4.檢驗：把x＝4代入原方程左、右兩邊，左邊＝4×4－5＝11；右邊＝2×4＋3＝11，左邊＝右邊，因此，x＝4是原方程的解.歸納結論利用移項解一元一次方程的一般步驟：移項→合并同類項→系數(shù)化為1.【運用新知，深化理解】1.下列方程求解正確的是(C)A.－2x＝3，解得x＝－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)x＝5，解得x＝eq\f(10,3)C.3x－2＝1，解得x＝1D.2x＋3＝1，解得x＝22.方程3x＋1＝4的兩邊都__減1__得3x＝3.3.方程2y－3＝－1的兩邊都__加3__得2y＝2.4.解下列方程：(1)2x∶3＝6∶5；(2)1.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x；(3)3y－2＝y(tǒng)＋1＋6y.解：(1)eq\f(2x,3)＝eq\f(6,5)，系數(shù)化為1，得x＝eq\f(6,5)÷eq\f(2,3)＝eq\f(6,5)×eq\f(3,2)＝eq\f(9,5).(2)移項，得1.3x－2x＋2.7x＝1.2－1.2，合并同類項，得2x＝0，系數(shù)化為1，得x＝0÷2＝0.(3)合并同類項，得3y－2＝7y＋1，移項，得3y－7y＝1＋2，合并同類項，得－4y＝3，系數(shù)化為1，得y＝3÷(－4)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\f(3,4).5.方程2x＋1＝3和方程2x－a＝0的解相同，求a的值.解：2x＋1＝3，x＝1.因為方程2x＋1＝3和方程2x－a＝0的解相同，所以把x＝1代入2x－a＝0中，得2×1－a＝0，a＝2，即a的值為2.6.已知y1＝3x＋2，y2＝4－x.當x取何值時，y1與y2互為相反數(shù)？解：由題意得3x＋2＋4－x＝0，3x－x＝－4－2，x＝－3.所以當x＝－3時，y1與y2互為相反數(shù).

5.2.2解一元一次方程第1課時去括號【學習要求】知識與技能1.一元一次方程的定義.2.了解如何去括號解方程.過程與方法通過對方程變形的分析，探索求解簡單方程的規(guī)律.【學習重難點】重點：1.一元一次方程的定義.2.解一元一次方程的步驟.難點：靈活使用變形解方程.【學習過程】【情景導入，初步認識】觀察下面幾個方程：每一行的方程各有什么特征？(主要從方程中所含未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)兩方面分析)4＋x＝7；3x＋5＝7－2x；x＋y＝10；x＋y＋z＝6；x3－1＝0.【思考探究，獲取新知】1.比較一下，第一行的方程(即前2個方程)與其余方程有什么區(qū)別？可以看出，前一行方程的特點是：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的次數(shù)都是一次的.“元”是指未知數(shù)的個數(shù)，“次”是指方程中含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)，根據(jù)這一命名方法，上面各方程是什么方程呢？歸納結論只含有一個未知數(shù)，左右兩邊都是整式，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程.2.探究方程中含有括號的一元一次方程的解法.解方程：3(x－2)＋1＝x－(2x－1).分析：方程中有括號，先去括號，轉化成之前所學方程的特點，然后再解方程.解：去括號，得3x－6＋1＝x－2x＋1，合并同類項，得3x－5＝－x＋1，移項，得3x＋x＝1＋5，合并同類項，得4x＝6，系數(shù)化為1，得x＝1.5.回顧上面的解題過程，總結一下：解一元一次方程通常有哪些步驟？歸納結論解一元一次方程的一般步驟：去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1.【運用新知，深化理解】1.下列式子是一元一次方程的是__②__(選填題).①32x＋22－12x；②x＝0；③eq\f(1,x)＝1；④x2＋x－1＝0；⑤x－x＝2.2.解下列方程：(1)2(x－2)－3(4x－1)＝9(1－x)；解：2x－4－12x＋3＝9－9x，x＝－10.(2)3{2x－1－[3(2x－1)＋3]}＝5.解：3[2x－1－(6x－3＋3)]＝5，x＝－eq\f(2,3).3.y取何值時，2(3y＋4)的值比5(2y－7)的值大3?解：2(3y＋4)－5(2y－7)＝3，去括號，得6y＋8－10y＋35＝3，合并同類項，得－4y＋43＝3，移項，得－4y＝－40，系數(shù)化為1，得y＝10.答：當y＝10時，2(3y＋4)的值比5(2y－7)的值大3.

第2課時去分母【學習要求】知識與技能掌握去分母解方程的方法，靈活運用解方程的步驟解方程.過程與方法通過練習靈活的解一元一次方程.【學習重難點】重點：靈活的解一元一次方程.難點：靈活的解一元一次方程.【學習過程】【情景導入，初步認識】通過前面的學習，了解一元一次方程的一般步驟，任何一個一元一次方程都可以通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟轉化成x＝a的形式.當一個方程中的分母含有小數(shù)時，應首先考慮化去分母中的小數(shù)，然后再求解這個方程.【思考探究，獲取新知】1.解下列方程：(1)eq\f(x－3,2)－eq\f(2x＋1,3)＝1；分析：只要把分母去掉，就可將方程化為不含分母的類型.eq\f(1,2)和eq\f(1,3)的分母為2和3，最小公倍數(shù)是6，方程兩邊都乘以6，則可去分母.解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6，去括號，得3x－9－4x－2＝6，合并同類項，得－x－11＝6，移項，得－x＝17，系數(shù)化為1，得x＝－17.(2)eq\f(0.09x＋0.02,0.07)－eq\f(3＋2x,3)－eq\f(0.3x＋1.4,0.2)＝1.分析：此方程的分母中含有小數(shù)，通常將分母中的小數(shù)化為整數(shù)，然后再按解方程的一般步驟求解.解：eq\f(0.09x＋0.02,0.07)－eq\f(3＋2x,3)－eq\f(0.3x＋1.4,0.2)＝1，利用分數(shù)的基本性質，將方程化為eq\f(9x＋2,7)－eq\f(3＋2x,3)－eq\f(3x＋14,2)＝1，去分母，得6(9x＋2)－14(3＋2x)－21(3x＋14)＝42，去括號，得54x＋12－42－28x－63x－294＝42，移項，得54x－28x－63x＝42－12＋42＋294，合并同類項，得－37x＝366，系數(shù)化為1，得x＝－eq\f(366,37).學習說明解(2)時一定要注意區(qū)別：將分母中的小數(shù)化為整數(shù)根據(jù)的是分數(shù)的基本性質，分數(shù)的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數(shù)，分數(shù)的值不變，所以等號右邊的1不變.去分母是方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)42，所以等號右邊的1也要乘以42，才能保證所得結果仍成立.2.解下列方程：(1)3(2x－1)＋4＝1－(2x－1)；(2)eq\f(4x＋3,6)＋eq\f(4x＋3,2)＋eq\f(4x＋3,3)＝1.分析：第(1)小題中可以把(2x－1)看成一個整體，先求出(2x－1)的值，再求x的值；第(2)小題，應注意到分子都是4x＋3，且eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝1，所以如果把4x＋3看成一個整體，則無需去分母.解：(1)3(2x－1)＋4＝1－(2x－1)，3(2x－1)＋(2x－1)＝1－4，4(2x－1)＝－3，2x－1＝－eq\f(3,4)，2x＝eq\f(1,4)，x＝eq\f(1,8).(2)eq\f(4x＋3,6)＋eq\f(4x＋3,2)＋eq\f(4x＋3,3)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,2)＋\f(1,3)))(4x＋3)＝1，4x＋3＝1，4x＝－2，x＝－eq\f(1,2).學習說明解方程時，要注意觀察分析題目的結構，根據(jù)具體情況合理安排解題的步驟，注意簡化運算，這樣可以提高解題速度，培養(yǎng)觀察能力和決策能力.【運用新知，深化理解】1.解下列方程：(1)－eq\f(1,3)(1－2x)＝eq\f(2,7)(3x＋1)；解：－7(1－2x)＝3×2(3x＋1)，x＝－eq\f(13,4).(2)x＋2eq\f(1,2)＝eq\f(4x＋3,4)－eq\f(2－3x,8)；解：x＋eq\f(5,2)＝eq\f(4x＋3,4)－eq\f(2－3x,8)，x＝eq\f(16,3).(3)eq\f(2－x,2)－3＝eq\f(x,3)－eq\f(2x＋3,6)；解：3(2－x)－18＝2x－(2x＋3)，x＝－3.(4)x－eq\f(x－1,2)＝2－eq\f(x＋2,3).解：6x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，x＝1.2.解方程：eq\f(0.4x＋2.1,0.5)－eq\f(0.5－0.2x,0.03)＝0.6.解：原方程可化為eq\f(4x＋21,5)－eq\f(50－20x,3)＝eq\f(3,5)，去分母，得3(4x＋21)－5(50－20x)＝9，去括號，得12x＋63－250＋100x＝9，移項，得12x＋100x＝9－63＋250，合并同類項，得112x＝196，系數(shù)化為1，得x＝eq\f(7,4).3.解方程：eq\f(0.02x,0.03)＋1＝eq\f(－0.18x＋0.18,0.12)－eq\f(1.5－3x,2).解：原方程可化為eq\f(2x,3)＋1＝eq\f(18－18x,12)－eq\f(15－30x,20)，去分母，得40x＋60＝5(18－18x)－3(15－30x)，去括號，得40x＋60＝90－90x－45＋90x，移項、合并同類項，得40x＝－15，系數(shù)化為1，得x＝－eq\f(3,8).4.解方程：eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4)))＝5x－1.解：去中括號，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋1＝5x－1，去小括號，得4x－2＋1＝5x－1，移項、合并同類項，得x＝0.5.解方程：eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(1,4)))－\f(2,3)))＝2.解：去小括號，得eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,3)－\f(2,3)))＝2，方程兩邊同乘以3，得2x－1＝6，移項，得2x＝7，系數(shù)化為1，得x＝eq\f(7,2).6.當k為什么數(shù)時，式子eq\f(17－k,5)比eq\f(2k＋1,3)的值少3.解：依題意，得eq\f(2k＋1,3)＝eq\f(17－k,5)＋3，去分母，得5(2k＋1)＝3(17－k)＋45，去括號，得10k＋5＝51－3k＋45，移項，得10k＋3k＝51＋45－5，合并同類項，得13k＝91，系數(shù)化為1，得k＝7，∴當k＝7時，式子eq\f(17－k,5)比eq\f(2k＋1,3)的值少3.7.當k取何值時，方程2(2x－3)＝1－2x和8－k＝2(x＋1)的解相同？解：由2(2x－3)＝1－2x得x＝eq\f(7,6).把x＝eq\f(7,6)代入方程8－k＝2(x＋1)，得k＝eq\f(11,3).答：當k＝eq\f(11,3)時，方程2(2x－3)＝1－2x和8－k＝2(x＋1)的解相同.學習說明在解題之前一定要先觀察方程的特點，再選擇適當?shù)姆椒ǎ窍热ブ欣ㄌ?、還是去小括號；是先去分母、還是先去括號等.

第3課時列一元一次方程解簡單的應用題【學習要求】知識與技能1.掌握用一元一次方程解決實際問題的一般步驟；初步了解用列方程解實際問題(代數(shù)方法)比用算術方法解的優(yōu)越性.2.通過分析找出實際問題中已知量和未知量之間的等量關系，并根據(jù)等量關系列出方程.過程與方法通過一元一次方程解實際問題的例題學習，了解“未知”可以轉化為“已知”的思想方法，提高分析和解決問題的能力.【學習重難點】重點：掌握用一元一次方程解決實際問題的一般步驟.難點：通過分析找出實際問題中已知量和未知量之間的等量關系，并根據(jù)等量關系列出方程.【學習過程】【情景導入，初步認識】一個實際問題能否用一元一次方程來解決，若能解決，怎樣解？用一元一次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較有什么優(yōu)越性？某數(shù)的3倍減2等于它與4的和，求某數(shù).(用算術方法解)解：(4＋2)÷(3－1)＝3.答：某數(shù)為3.如果設某數(shù)為x，根據(jù)題意，得3x－2＝x＋4，解得x＝3.學習說明通過算術法與方程解決實際問題的對比，明白方程的優(yōu)越性.【思考探究，獲取新知】1.如圖，天平的兩個盤內分別盛有51g、45g鹽，問應該從盤A內拿出多少鹽放到盤B內，才能使兩者所盛鹽的質量相等？分析：設應從盤A內拿出鹽xg，可列出下表.盤A盤B原有鹽5145現(xiàn)有鹽(51－x)(45＋x)等量關系：盤A中現(xiàn)有的鹽＝盤B中現(xiàn)有的鹽.解：設應從盤A內拿出鹽xg，放到盤B內，則根據(jù)題意，得51－x＝45＋x，解得x＝3.經檢驗，符合題意.答：應從盤A內拿出鹽3g放到盤B內.2.學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚.女同學每人搬6塊，男同學每人搬8塊，每人各搬4次，總共搬了1800塊.有多少名男同學？分析：設男同學有x人，可列出下表.(完成下表)男同學女同學總數(shù)參加人數(shù)x65－x65每人搬磚數(shù)(塊)8×46×4共搬磚數(shù)(塊)32x24(65－x)1800解：設男同學有x人，根據(jù)題意，得32x＋24(65－x)＝1800，解得x＝30，經檢驗，x＝30符合題意.答：這些團員中有30名男同學.3.根據(jù)上面兩道例題的解答過程，能總結出用一元一次方程解實際問題的過程嗎？歸納結論列一元一次方程解決實際問題，關鍵在于抓住問題中有關數(shù)量的相等關系，列出方程.求得方程的解后，經過檢驗，得到實際問題的解答.這一過程也可以簡單地表述為：問題eq\o(→,\s\up7(分析),\s\do5(抽象))方程eq\o(→,\s\up7(求解),\s\do5(檢驗))解答其中分析和抽象的過程通常包括：(1)弄清題意和其中的數(shù)量關系，用字母表示適當?shù)奈粗獢?shù)(設元)；(2)找出能表示問題含義的一個主要的等量關系；(3)對這個等量關系中涉及的量，列出相關的表達式，根據(jù)等量關系，得到方程.在設未知數(shù)和解答時，應注意量的單位要統(tǒng)一.【運用新知，深化理解】1.某面粉倉庫存放的面粉運出15%后，還剩余42500kg，這個倉庫原來有多少面粉？解：設原來有xkg面粉，那么運出了15%xkg面粉，根據(jù)題意，得x－15%x＝42500，即x－0.15x＝42500，解得x＝50000.經檢驗，x＝50000符合題意.答：倉庫原來有50000kg面粉.2.在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人.現(xiàn)在另調20人去支援，使在甲處的人數(shù)為在乙處的人數(shù)的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？解：設應該調往甲處x人，那么調往乙處的人數(shù)就是(20－x)人.根據(jù)題意，得27＋x＝2[19＋(20－x)]，解得x＝17，經檢驗，x＝17符合題意.20－x＝20－17＝3，答：應調往甲處17人，調往乙處3人.3.某城市市內電話按時收費，3min內(含3min)收0.2元，以后每加1min加收0.1元.某人通話用掉了1.2元錢，問他通話多少分鐘？解：設這個人通話xmin.由題意，得0.2＋0.1×(x－3)＝1.2，解得x＝13，經檢驗，x＝13符合題意.答：這個人通話13min.4.某車間有工人34人，平均每人每天可加工大齒輪16個或小齒輪10個，又知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，要使每天生產的大小齒輪剛好配套，怎樣分配工人？解：設每天分配x人加工大齒輪，根據(jù)題意，得2×10×(34－x)＝3×16x，解得x＝10，經檢驗，x＝10符合題意.34－10＝24(人).答：每天分配10人加工大齒輪，分配24人加工小齒輪.5.兒童節(jié)期間，文具商店搞促銷活動，同時購買一個書包和一個文具盒可以打8折優(yōu)惠，能比標價省13.2元.已知書包標價比文具盒標價的3倍少6元，那么書包和文具盒的標價各是多少元？解：設一個文具盒標價為x元，則一個書包標價為(3x－6)元，依題意，得(1－80%)(x＋3x－6)＝13.2，解得x＝18，經檢驗，x＝18符合題意.3x－6＝48(元).答：書包和文具盒的標價分別是48元/個，18元/個.6.整理一批圖書，如果由一個人單獨做要用30h，現(xiàn)先安排一部分人用1h整理，隨后又增加6人和他們一起又做了2h，恰好完成整理工作.假設每個人的工作效率相同，那么先安排整理的人員有多少？解：設先安排整理的人員有x人，依題意，得eq\f(x,30)＋eq\f(2（x＋6）,30)＝1，解得x＝6，經檢驗，x＝6符合題意.答：先安排整理的人員有6人.

5.3實踐與探索第1課時等積變形問題【學習要求】知識與技能1.能夠找出簡單應用題中的已知量、未知量和相等關系，然后列出一元一次方程來解簡單應用題，并會根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理.2.能夠利用一元一次方程解決圖形面積、體積等相關問題.過程與方法在自主學習的過程中學會理解和體會數(shù)學建模思想在實際問題中的作用.【學習重難點】重點：利用一元一次方程解決圖形面積、體積等相關問題.難點：找問題中的等量關系.【學習過程】【情景導入，初步認識】我們學過一些圖形的相關公式，回憶一下，有哪些公式？【思考探究，獲取新知】問題：用一根長60cm的鐵絲圍成一個長方形.(1)如果長方形的寬是長的eq\f(2,3)，求這個長方形的長和寬；(2)如果長方形的寬比長少4cm，求這個長方形的面積；(3)比較(1)(2)所得兩個長方形面積的大小.還能圍出面積更大的長方形嗎？解：(1)設長方形的長為xcm，則寬為eq\f(2,3)xcm.根據(jù)題意，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,3)x))＝60，解得x＝18.所以長方形的長為18cm，寬為12cm.(2)設長方形的長為xcm，則寬為(x－4)cm，根據(jù)題意，得2(x＋x－4)＝60，解得x＝17，所以S＝13×17＝221(cm2).(3)在(1)的情況下S＝216(cm2)；在(2)的情況下S＝13×17＝221(cm2).還能圍出面積更大的長方形，當圍出的長方形的長寬相等時，即為正方形，其面積最大，此時其邊長為15cm，面積為225cm2.討論：在第(2)小題中，能不能直接設面積為xcm2？如不能，怎么辦？如果直接設長方形的面積為xcm2，則如何才能找出相等關系列出方程呢？探索：將題(2)中的寬比長少4cm改為3cm，2cm，1cm，0cm(即長寬相等)，長方形的面積有什么變化？歸納結論在周長一定的情況下，長方形的面積在長和寬相等的情況下最大；如果可以圍成任何圖形，則圓的面積最大.【運用新知，深化理解】1.一個長方形的周長為26cm，這個長方形的長減少1cm，寬增加2cm，就可成為一個正方形，求長方形的長.解：設長方形的長為xcm，則長方形的寬為(13－x)cm.依據(jù)題意，得x－1＝13－x＋2，解得x＝8.答：長方形的長為8cm.2.現(xiàn)有直徑為0.8m的圓柱形鋼坯30m，可鍛造直徑為0.4m，長為3m的圓柱形機軸多少根？解：設可鍛造直徑為0.4m，長為3m的圓柱形機軸x根.依據(jù)題意，得3×0.22πx＝30×0.42π，解得x＝40.答：可足夠鍛造直徑為0.4m，長為3m的圓柱形機軸40根.3.將棱長為20cm的正方體鐵塊鍛造成一個長為100cm，寬為5cm的長方體鐵塊，求長方體鐵塊的高度.解：設長方體鐵塊的高度為xcm.依據(jù)題意，得100×5x＝20×20×20，解得x＝16.答：長方體鐵塊的高度為16cm.4.將棱長為6cm的正方體鐵塊沒入盛水量筒中，已知量筒底面積為12cm2，問量筒中水面升高了多少厘米？解：設量筒中水面升高了xcm.依據(jù)題意，得12x＝6×6×6，解得x＝18.答：量筒中水面升高了18cm.5.將一個裝滿水的內部長、寬、高分別為300mm，300mm和80mm的長方體鐵盒中的水，倒入一個內徑為200mm的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高？(精確到0.1mm，π≈3.14).解：設圓柱形水桶的高為xmm，依題意，得π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(200,2)))eq\s\up12(2)x＝300×300×80，解得x≈229.3.答：圓柱形水桶的高約為229.3mm.6.有一梯形和長方形，如圖，梯形的上、下底邊的長分別為6cm，2cm，高和長方形的寬都等于3cm，如果梯形和長方形的面積相等，那么圖中所標x的長度是多少？解：由題意得(6－x)×3＝(2＋6)×3×eq\f(1,2)，解得x＝2.答：x的長度為2cm.7.有A，B兩個圓柱形容器，如圖，A容器內的底面積是B容器內的底面積的2倍，A容器內的水高為10cm，B容器是空的，B容器的內壁高度為22cm.若把A容器內的水倒入B容器，水會不會溢出？解：設A容器內的水倒入B容器后的高度為xcm，根據(jù)題意，得2×10＝1·x，解得x＝20.因為20<22，所以把A容器內的水倒入B容器中，水不會溢出.

第2課時百分率與銷售問題【學習要求】知識與技能掌握儲蓄中的數(shù)量關系，以及商品利潤等有關知識，會用方程解決實際問題.過程與方法通過分析儲蓄中的數(shù)量關系，以及商品利潤等有關知識，經歷運用方程解決實際問題的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型.【學習重難點】重點：探索這些實際問題中的等量關系，由此等量關系列出方程.難點：找出能表示整個題意的等量關系.【學習過程】【情景導入，初步認識】1.了解教育儲蓄嗎？了解儲蓄存款征收利息稅的情況嗎？2.了解與銀行存款有關的用語：什么是本金？什么是利息？什么是期數(shù)？什么是本息和？什么叫利率？什么叫利息率？3.小明爸爸前年存了年利率為2.1%的兩年期定期儲蓄.今年到期后，所得利息正好為小明買了一只價值48.60元的計算器.問小明爸爸前年存了多少元？你能否列出較簡單的方程？【思考探究，獲取新知】問題1爸爸為小明存了一個3年期的教育儲蓄(假設3年期的年利率為4.00%).3年后能取5600元，他開始存入了多少元？分析：5600元是什么量？要求的是什么量？相等的關系是什么？等量關系：本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×年利率×期數(shù).解：設他開始存入x元，根據(jù)題意，得x(1＋4.00%×3)＝5600，解得x＝5000.所以他開始存入了5000元.你還知道儲蓄問題中有哪些計算公式？歸納結論利息的計算方法：利息＝本金×利率×期數(shù).本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù)).問題2商場出售某種文具，每件可盈利2元，為了支援山區(qū)，現(xiàn)在按原售價的7折出售給一個山區(qū)學校，結果每件仍盈利0.2元.該文具每件的進價是多少元？分析：基本關系式：進價＝標價×折數(shù)－利潤.解：設該文具每件的進價是x元.根據(jù)題意得x＝eq\f(7,10)(x＋2)－0.2，解得x＝4.答：該文具每件的進價是4元.歸納結論利潤問題中的等量關系式：商品利潤＝商品售價－商品進價.商品售價＝商品標價×折扣數(shù).商品利潤/商品進價×100%＝商品利潤率.商品售價＝商品進價×(1＋利潤率).學習說明明確解決銷售問題的關鍵是利用銷售問題的公式，尋找問題中隱藏的相等關系.【運用新知，深化理解】1.某商店有一套運動服，按標價的8折出售仍可獲利20元，已知這套運動服的成本價為100元，問這套運動服的標價是多少元？解：設這套運動服的標價是x元.根據(jù)題意得0.8x－100＝20，解得x＝150.答：這套運動服的標價為150元.2.小王去新華書店買書，書店規(guī)定花20元辦優(yōu)惠卡后購書可享受8.5折優(yōu)惠.小王辦卡后購買了一些書，購書優(yōu)惠后的價格加上辦卡費用比這些書的原價還少了10元錢，問小王購買這些書的原價是多少？解：設書的原價為x元，由題意可得20＋0.85x＝x－10，解得x＝200.答：小王購買這些書的原價是200元.3.某小店老板從面包廠購進面包的價格是每個0.6元，按每個面包1.0元的價格出售，賣不完的以每個0.2元于當天返還廠家，在一個月(30天)里，小店有20天平均每天賣出面包80個，其余10天平均每天賣出面包50個，該月小店老板獲純利600元，如果小店老板每天從面包廠購進相同數(shù)量的面包，求這個數(shù)量是多少？解：設這個數(shù)量是x個，由題意得(1－0.6)×(20×80＋10×50)－(0.6－0.2)×[20(x－80)＋10(x－50)]＝600，解得x＝90.答：這個數(shù)量是90個.4.一家商店因換季將某種服裝打折銷售，如果每件服裝按標價的5折出售，將虧本20元.如果按標價的8折出售，將盈利40元.求：(1)每件服裝的標價是多少元？(2)為保證不虧本，最多能打幾折？解：(1)設每件服裝標價為x元.由題意得0.5x＋20＝0.8x－40，解得x＝200.答：每件服裝標價為200元.(2)設最多能打y折.由(1)可知成本為0.5×200＋20＝120，列方程得200×eq\f(y,10)＝120，解得y＝6.答：最多能打6折.5.為了準備小敏6年后上大學的學費5000元，她的父母現(xiàn)在就參加了教育儲蓄.下面有兩種儲蓄方式：(1)直接存一個6年期，年利率是4.75%；(2)先存一個3年期的，3年后將本息和自動轉存一個3年期，3年期年利率為4.00%.你認為哪種儲蓄方式開始存入的本金比較少？解：(1)設開始存入x元，則(1＋4.75%×6)x＝5000，解得x≈3891.所以開始存入大約3891元，六年后本息和為5000元.(2)(1＋4.00%×3)y×(1＋4.00%×3)＝5000，解得y≈3986.所以開始存入大約3986元，6年后本息和就能達到5000元.因此，按第1種儲蓄方式開始存入的本金少.

第3課時工程與行程問題【學習要求】知識與技能理解用一元一次方程解行程問題、工程問題的本質規(guī)律.過程與方法通過對“行程問題、工程問題”的分析進一步培養(yǎng)用代數(shù)方法解決實際問題的能力.【學習重難點】重點：用一元一次方程解決行程問題、工程問題.難點：如何找行程問題中的等量關系.【學習過程】【情景導入，初步認識】1.行程問題中路程、速度、時間三者間有什么關系？相遇問題中含有怎樣的相等關系？追及問題中含有怎樣的相等關系呢？2.工作量、工作效率、工作時間之間有怎樣的關系？【思考探究，獲取新知】問題1小張和父親計劃搭乘家門口的公共汽車趕往火車站，去家鄉(xiāng)看望爺爺.在行駛了三分之一路程后，估計繼續(xù)乘公共汽車將會在火車開車后半小時到達火車站.隨即下車改乘出租車，車速提高了一倍，結果趕在火車開車前15min到達火車站.已知公共汽車的平均速度是40km/h，則小張家到火車站有多遠？小紅同學給出了一種解法：設小張家到火車站的路程是xkm，由實際時間比原計劃乘公共汽車提前了45min，可列出方程eq\f(x,40)－eq\f(x,120)－eq\f(x,120)＝eq\f(3,4)，3x－x－x＝90，x＝90.經檢驗，x＝90符合題意.答：小張家到火車站的路程是90km.小勇同學又提出另一種解法：設實際上乘公共汽車行駛了xkm，則從小張家到火車站的路程是3xkm，乘出租車行使了2xkm.注意到提前的eq\f(3,4)h是由于乘出租車而少用的，可列出方程eq\f(2x,40)－eq\f(2x,80)＝eq\f(3,4)，解得x＝30.3x＝90.所得的答案與解法一相同.討論：試比較以上兩種解法，它們各是如何設未知數(shù)的？哪一種比較方便？是不是還有其他設未知數(shù)的方法？試試看.學習說明兩種解題方法，體驗設不同的未知數(shù)，可列出不同的方程，難易度也不一樣.從而得出為了解題方便應選擇設適當?shù)奈粗獢?shù)的結論.歸納結論1.行程問題中基本數(shù)量關系：路程＝速度×時間；變形可得到：速度＝路程÷時間，時間＝路程÷速度.2.常見題型是相遇問題、追及問題，不管哪個題型都有以下的相等關系：相遇：相遇時間×速度和＝路程和；追及：追及時間×速度差＝被追及距離.問題2李老師出了幾道題，有一道題只寫了“學校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人.已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天”，就停住了.片刻后，同學們帶著疑問的目光，竊竊私語：“這個題目沒有完呀？要求什么呢？”李老師開口了：“同學們的疑問是有道理的，今天我們就是要請同學們自己來提問.”調皮的小劉說：“讓我試一試.”上去添了“兩人合作需幾天完成？”.有同學反對：“這太簡單了！”，但也引起了大家的興趣，于是各自試了起來：有添上一人先做幾天再讓另一人做的，有兩人先后合作再一人離開的，有考慮兩人合作完成后的報酬問題的……李老師選了兩位同學的問題，合起來在黑板上寫出：現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得到報酬450元.如果按各人完成的工作量計算報酬，那么該如何分配？解：設兩人合作的時間是x天，根據(jù)題意得eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,4)))x＝1，解得x＝2.經檢驗，x＝2符合題意.所以徒弟工作時間為3天，完成工作總量的eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)；師傅工作時間為2天，完成工作總量的eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).因為他們完成的工作量一樣，所以報酬也應該一樣多，都是270元.歸納結論工程問題中的三個量，根據(jù)工作量＝工作效率×工作時間，已知其中兩個量，就可以表示第三個量.兩人合作的工作效率＝每個人的工作效率的和.【運用新知，深化理解】1.有一火車以每分鐘600m的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二座鐵橋比過第一座鐵橋多5s，又知第二座鐵橋的長度比第一座鐵橋長度的2倍短50m，試求各鐵橋的長.解：設第一座鐵橋的長為xm，那么第二座鐵橋的長為(2x－50)m，過完第一座鐵橋所需的時間為eq\f(x,600)min.過完第二座鐵橋所需的時間為eq\f(2x－50,600)min.依題意，得eq\f(x,600)＋eq\f(5,60)＝eq\f(2x－50,600)，解得x＝100.所以2x－50＝2×100－50＝150.答：第一座鐵橋長100m，第二座鐵橋長150m.

2.一艘船由A地開往B地，順水航行需5h，逆水航行要比順水航行多用50min.已知船在靜水中每小時走12km，求水流速度.解：設水流速度為xkm/h.根據(jù)題意，得5(12＋x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(50,60)))(12－x).解得x＝eq\f(12,13).答：水流速度為eq\f(12,13)km/h.3.一條環(huán)形跑道長400m，甲、乙兩人練習跑步，甲每秒鐘跑6m，乙每秒鐘跑4m.(1)兩人同時、同地、背向出發(fā)，經過多少時間，兩人首次相遇？(2)兩人同時、同地、同向出發(fā)，經過多少時間，兩人首次相遇？解：(1)設經過xs后兩人首次相遇，根據(jù)題意，得6x＋4x＝400，解得x＝40.答：兩人同時、同地、背向出發(fā)，經過40s后兩人首次相遇.(2)設經過xs后兩人首次相遇，根據(jù)題意，得6x－4x＝400，解得x＝200.答：兩人同時、同地、同向出發(fā)，經過200s后兩人首次相遇.4.甲、乙兩隊合挖一條水渠，5天可以完成.如果甲隊獨挖8天可以完成，那么乙隊獨挖幾天可以完成？解：設乙隊單獨挖需x天完成，根據(jù)題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,8)))x＝1，解得eq\f(3,40)x＝1，x＝eq\f(40,3).答：乙隊獨挖eq\f(40,3)天可以完成.5.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網絡，甲獨做需6h，乙獨做需4h，甲先做30min，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？解：設甲、乙一起做還需xh才能完成工作.根據(jù)題意，得eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,4)))x＝1.解得x＝2.2.答：甲、乙一起做還需2.2h才能完成工作.

第6章一次方程組6.1二元一次方程組和它的解【學習要求】知識與技能1.理解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義.2.會檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解.3.能根據(jù)問題情境列二元一次方程組.過程與方法通過概念的形成過程，發(fā)展分析問題、解決問題、歸納概括的能力；在經歷分析實際問題數(shù)量關系的過程中，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學模型.【學習重難點】重點：二元一次方程組和它的解的概念.難點：二元一次方程組的解的概念.【學習過程】【情景導入，初步認識】暑假里，某地組織了“我們的小世界杯”足球邀請賽.勇士隊在第一輪比賽中共賽9場，得17分.比賽規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.勇士隊在這一輪中只負了2場，那么這個隊勝了幾場？又平了幾場呢？【思考探究，獲取新知】1.能否用已經學過的知識來解決這個問題？可以用一元一次方程來求解.設勇士隊勝了x場，因為它共賽了9場，并且負了2場，所以它平了(9－x－2)場.根據(jù)得分規(guī)則和它的得分，可以列出一元一次方程：3x＋(9－x－2)＝17.解這個方程可得x＝5.所以勇士隊勝了5場，平了2場.2.由上面解答可知，這個問題可以用一元一次方程來求解，而我們很自然地會提出這樣一個問題：既然要求勝的場數(shù)和負的場數(shù)，而這其中有兩個未知數(shù)，那么能不能同時設出這兩個未知數(shù)呢？不妨就設勇士隊勝了x場，負了y場.在下表的空格中填入數(shù)字或式子.勝平合計場數(shù)xy得分根據(jù)填表的結果可知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，①,3x＋y＝17，②))觀察這兩個式子，和我們以前所學的一元一次方程有什么不同？它們有什么共同點？觀察方程①②的特點，并與一元一次方程作比較，可知：這兩個方程都含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1.歸納結論有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程.把兩個二元一次方程用一個大括號“{”合在一起，就組成了一個二元一次方程組.學習說明注意：方程組中的各方程中，同一個字母必須代表同一個量.3.什么是方程的解？答：能使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.由算術法我們已得到答案，勇士隊勝了5場，平了2場，即x＝5，y＝2.x＝5與y＝2既滿足方程①，又滿足方程②，我們就說x＝5與y＝2是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,3x＋y＝17))的解，并記作eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2.))歸納結論一般地，使二元一次方程組中兩個方程的左、右兩邊的值都相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.學習說明注意：(1)未知數(shù)的值必須同時滿足兩個方程，才是方程組的解.若取x＝4，y＝3時，它們能滿足方程①，但不滿足方程②，則它們不是方程組的解.(2)二元一次方程組的解是一對數(shù)，而不是一個數(shù)，所以必須把x＝5與y＝2合起來，才是方程組的解.4.某?，F(xiàn)有校舍20000m2，計劃拆除部分舊校舍，改建新校舍，使校舍總面積增加30%，同時使建造新校舍的面積為被拆除的舊校舍面積的4倍.若設應拆除舊校舍xm2，建造新校舍ym2，請根據(jù)題意列一個方程組.分析：由建造新校舍的面積為被拆除的舊校舍面積的4倍，可得出方程y＝4x.拆除部分舊校舍，改建新校舍后，校舍總面積增加30%，其增加量應當對應到新校舍面積與拆除的舊校舍面積的差值，所以可列出另一方程y－x＝20000×30%.解：設應拆除舊校舍xm2，建造新校舍ym2，根據(jù)題意列出方程組.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝20000×30%，,y＝4x.))【運用新知，深化理解】1.下列方程中，屬于二元一次方程的是(B)A.xy－7＝1B.2x－1＝3y＋1C.4x－5y＝3x－5yD.3x－eq\f(2,y)＝12.下列方程組是二元一次方程組的是(D)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,z＋x＝3))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＝1，,\f(1,x)－y＝3))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋xy＝4，,3x－y＝4))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y＝13，,\f(1,3)x－\f(1,2)y＝2（x－2y）))3.方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝3，,x＋y＝3))的解是(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))4.關于m，n的兩個方程2m－n＝3與3m＋2n＝1的公共解是(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝－3))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝\f(1,2)))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝－2))5.由x＋2y＝4，得到用y表示x的式子為x＝__4－2y__；得到用x表示y的式子為y＝eq\f(4－x,2).6.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1))是二元一次方程ax＋by＝－2的一個解，則2a－b－6的值是__－8__.7.已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))是一個二元一次方程的解，試寫出一個符合條件的二元一次方程組.解：答案不唯一，∵x＝2，y＝3，∴x＋y＝2＋3＝5，2x＋y＝2×2＋3＝7，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,2x＋y＝7))就是所求的一個二元一次方程組.8.根據(jù)下列語句，分別設適當?shù)奈粗獢?shù)，列出二元一次方程或方程組.(1)甲數(shù)的eq\f(1,3)比乙數(shù)的2倍少7；(2)摩托車的時速是貨車的eq\f(3,2)倍，它們的速度之和是200km/h；(3)某種時裝的價格是某種皮裝價格的1.4倍，5件皮裝比3件時裝貴700元.解：(1)設甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，則eq\f(1,3)x＋7＝2y.(2)設摩托車的速度為xkm/h，貨車的速度為ykm/h，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)y，,x＋y＝200.))(3)設時裝的價格為x元/件，皮裝的價格為y元/件，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.4y，,5y－3x＝700.))

6.2二元一次方程組的解法第1課時代入消元法【學習要求】知識與技能會用代入消元法解簡單的二元一次方程組.過程與方法通過探索代入消元法解二元一次方程組的過程，理解代入消元法的基本思想所體現(xiàn)的化歸思想方法.【學習重難點】重點：用代入消元法解二元一次方程組.難點：探索如何用代入消元法解二元一次方程組，感受“消元”思想.【學習過程】【情景導入，初步認識】1.什么叫做二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解？2.上節(jié)問題：設應拆除舊校舍xm2，建造新校舍ym2，那么根據(jù)題意可列出方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝20000×30%，①,y＝4x.②))怎樣求出這個二元一次方程組的解？【思考探究，獲取新知】1.此題可以用一元一次方程來求解，即設應拆除舊校舍xm2，則建造新校舍4xm2，根據(jù)題意可得到4x－x＝20000×30%.對于一元一次方程的解法是非常熟悉的.如果能將解二元一次方程組轉化為解一元一次方程，那么問題不就可以解決了嗎？可是如何來轉化呢？在方程組中的方程②y＝4x，把它代入方程①中y的位置，可以得到一元一次方程4x－x＝20000×30%.通過“代入”，消去了未知數(shù)y，得到了一元一次方程，這樣就可以求解了.解：解方程得x＝2000，把x＝2000代入②得y＝8000.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2000，,y＝8000.))答：應拆除舊校舍2000m2，建造新校舍8000m2.2.解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，①,3x＋y＝17.②))與上面的方程組不同，這里的兩個方程中，沒有一個是直接用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的形式，這時怎么辦呢？觀察后得出結論：可以將方程①變形成為用x來表示y的形式，即y＝7－x，然后再將它代入方程②，就能消去y，得到一個關于x的一元一次方程.解：由①得y＝7－x.，③將③代入②，得3x＋7－x＝17.即x＝5.將x＝5代入③，得y＝2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2.))(可以再依據(jù)二元一次方程組的定義來驗證得出的解是否正確.)歸納結論由上面的例題可看出，通過“代入”消去一個未知數(shù)，將方程組轉化為一元一次方程來解的.這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法.解方程組的基本思想方法就是“消元”.3.解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－7y＝8，①,3x－8y－10＝0.②))解：由①，得x＝4＋eq\f(7,2)y，③將③代入②，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(7,2)y))－8y－10＝0，y＝－0.8.將y＝－0.8代入③，得x＝1.2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.2，,y＝－0.8.))學習說明這里是先消去x，得到關于y的一元一次方程，可不可以先消去y呢？(試一試，并比較兩種解法的優(yōu)劣.易知先消去x使變形后的方程比較簡單且代入后化簡比較容易).由上面的解題過程，能總結出用代入法解二元一次方程組的步驟嗎？歸納結論代入法解二元一次方程組的方法：1.將方程組中的一個方程的一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示.2.把得到的式子代入另一個方程，得到一元一次方程，并求解.3.把求得的解代入方程，求另一未知數(shù)的解.【運用新知，深化理解】1.已知方程－x＋4y＝－15，下面是用含y的代數(shù)式表示x的是(C)A.－x＝4y－15B.x＝－15＋4yC.x＝4y＋15D.x＝－4y－152.將y＝－2x－4代入3x－y＝5可得(B)A.3x－2x＋4＝5B.3x＋2x＋4＝5C.3x＋2x－4＝5D.3x－2x－4＝53.用代入法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝8，①,3x－5y＝5②))有以下過程：(1)由①得x＝eq\f(8－3y,2)③；(2)把③代入②得3×eq\f(8－3y,2)－5y＝5；(3)去分母得24－9y－10y＝5；(4)解得y＝1，再由③得x＝2.5，其中錯誤的一步是(C)A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)4.把下列方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式：(1)3x＋4y－1＝0；(2)5x－2y＋9＝0.解：(1)y＝eq\f(1－3x,4).(2)y＝eq\f(5x＋9,2).5.解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,4x－y＝5；②))解：由②得y＝4x－5.③把③代入①得2x＋3(4x－5)＝－1，解得x＝1，把x＝1代入③，得y＝－1.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，①,2x＋3y＝5；②))解：由①得方程y＝1－x，③將③代入②消去y，得2x＋3(1－x)＝5；解得x＝－2；把x＝－2代入③，得y＝3.所以方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4y＝6，①,3x＋2y＝17；②))解：由①得x＝3＋2y，③將③代入②，得3(3＋2y)＋2y＝17，解得y＝1，把y＝1代入③，得x＝5.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2（x＋2y）＝3，①,11x＋4（x＋2y）＝45.②))解：整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＝3，③,15x＋8y＝45.④))由③得x＝3＋4y，⑤將⑤代入④，得15(3＋4y)＋8y＝45；解得y＝0.把y＝0代入⑤，得x＝3.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0.))6.在解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝16，①,bx＋ay＝19②))時，小明把方程①抄錯了，從而得到錯解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7.))而小亮把方程②抄錯了，得到錯解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4.))你能求出正確答案嗎？原方程組到底是怎樣的？解：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7))代入方程②，得b＋7a＝19.把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4))代入方程①，得－2a＋4b＝16.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋7a＝19，,－2a＋4b＝16，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5.))所以原方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝16，,5x＋2y＝19，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))

第2課時加減消元法【學習要求】知識與技能1.會闡述用加減法解二元一次方程組的基本思路.通過“加減”達到“消元”的目的，從而把二元一次方程組轉化為一元一次方程來求解.2.會用加減法解簡單的二元一次方程組.過程與方法在探究的過程中，獲得用加減法解二元一次方程組的初步經驗.【學習重難點】重點：學會用加減法解簡單的二元一次方程組.難點：準確靈活地選擇和運用加減消元法解二元一次方程組.【學習過程】【情景導入，初步認識】1.解二元一次方程組的基本思路是什么？2.用代入法解方程組的關鍵是什么？3.你會解下面這個方程組嗎？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝5，①,3x－4y＝23.②))【思考探究，獲取新知】1.觀察方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝5，①,3x－4y＝23.②))(1)未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點？(2)怎么樣才能把這個未知數(shù)x消去？這樣做的依據(jù)是什么？(3)把兩個方程的左邊與左邊相減，右邊與右邊相減.你得到了什么結果？9y＝－18，(消去了未知數(shù)x，達到了消元的目的)y＝－2.把y＝－2代入①，得3x＋5×(－2)＝5，x＝5.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－2)).從上面的解答過程中，你發(fā)現(xiàn)了二元一次方程組的新的解法嗎？2.解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋7y＝9，①,4x－7y＝5.②))看一看：y的系數(shù)有什么特點？想一想：先消去哪一個比較方便呢？用什么方法來消去這個未知數(shù)呢？解：①＋②，得7x＝14，x＝2.把x＝2代入①，得6＋7y＝9，7y＝3，y＝eq\f(3,7).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(3,7).))歸納結論將兩個方程的兩邊分別相加(或相減)消去一個未知數(shù)，將方程組轉化為一元一次方程來解.這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法.3.討論：用加減法解二元一次方程組的時候，什么條件下用加法、什么條件下用減法？歸納結論當方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，我們可以把兩方程相加，當方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)相等時，我們可以把兩方程相減，從而達到消元的目的.4.解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝10，①,5x＋6y＝42.②))問題：能直接相加減消掉一個未知數(shù)嗎？如何把同一未知數(shù)的系數(shù)變成一樣呢？解：方法一：利用加減消元法消去未知數(shù)y.①×3，②×2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9x－12y＝30，③,10x＋12y＝84.④))③＋④，得19x＝114，x＝6.把x＝6代入②，得30＋6y＝42，y＝2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝2.))思考：能否先消去x再求解？方法二：利用加減消元法消去未知數(shù)x.①×5，②×3，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x－20y＝50，③,15x＋18y＝126.④))④－③得38y＝76，y＝2.把y＝2代入②，得5x＋12＝42，x＝6.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝2.))當同一未知數(shù)的系數(shù)即不相等也不互為相反數(shù)，該如何求解呢？歸納結論一般步驟：(1)方程組的兩個方程中，如果同一未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)又不相等，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程；(4)將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)，從而得到方程組的解.【運用新知，深化理解】1.若關于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5k，,x－y＝9k))的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，則k的值為(B)A.－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D.－eq\f(4,3)2.已知方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－4y＝m，,3x＋5y＝8))中，x，y的值相等，則m的值為(B)A.1或－1B.1C.5D.－53.解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，①,2x＋y＝3；②))解：①－②，得－x＝－2，解得x＝2，把x＝2代入①，得2＋y＝1，解得y＝－1.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝7，①,x－3y＝－7；②))解：①－②，得x＝14，把x＝14代入①，得y＝7.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝14，,y＝7.))(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝－5，①,3x＋2y＝12.②))解：①×3－②×2，得－13y＝－39，解得y＝3，把y＝3代入①，得2x－3×3＝－5，解得x＝2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3.))4.已知關于x，y的二元一次方程y＝kx＋b的解有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4))和eq\b\lc\{(\a\