高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（強(qiáng)基計(jì)劃）歷年真題練習(xí) 14 初等數(shù)論 （學(xué)生版+解析版）

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題14初等數(shù)論真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）

一、單選題

1.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）2021年是北大建校123周年，則滿足建?！ㄖ苣甑恼?/p>

數(shù)〃能整除對(duì)應(yīng)年份的〃的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.12D.前三個(gè)選項(xiàng)都

不對(duì)

2.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)“，6是正整數(shù)〃的正因數(shù)，使得（a-l）S+2）=〃-2,

則〃可以等于（）

A.2O2O2020B.2x2O2O2020

C.3x20202期D.前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

3.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）201928。在十進(jìn)制下的末兩位數(shù)字是（）

A.01B.21C.81D.前三個(gè)選項(xiàng)都

不對(duì)

4.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)〃為正整數(shù)，且4"+2021是完全平方數(shù)，則這樣的〃

的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.無窮個(gè)D.前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

5.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)％=122??21，若1。9-1|笫，則〃的最小值為（）

n木2

A.71B.72C.80D.81

6.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）方程1=z5的正整數(shù)解（x,y,z）的組數(shù)為（）

A.0B.2C.無窮多D.以上答案都不

對(duì)

20212一

7.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知S=￡，則S的個(gè)位數(shù)字是（）

j_

i=Q

A.4B.5C.7D.以上答案都不

對(duì)

8.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）方程，-29+3/-4》+5=0的整數(shù)解的組數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.以上答案都不

對(duì)

9.（2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知整數(shù)數(shù)列｛4｝（〃>1）滿足q=I"=4,且對(duì)任意n>2,

有a：-%+4T=2"L則喂。的個(gè)位數(shù)字是（）

A.8B.4C.2D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

10.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)正整數(shù),42021,且“5-5/+4”+7是完全平方數(shù)，

則可能的n的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不

對(duì)

11.（2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）對(duì)于不小于3的正整數(shù)〃，若存在正整數(shù)1使

得c：T,c：,cH構(gòu)成等差數(shù)列，其中c：=,為組合數(shù),則稱〃為“理想數(shù)”.不超

k'.（n-k）'.

過2020的“理想數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.40B.41C.42D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

12.（2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）在（2019x2020）2⑼的全體正因數(shù)中選出若干個(gè)，使得其

中任意兩個(gè)的乘積都不是平方數(shù)則最多可選因數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.16B.31C.32D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

13.（2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）方程19x+93y=4盯的整數(shù)解個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.16D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

14.（2019?北京?高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）已知不定方程邸+丈；++x：=799有正整數(shù)解，

則正整數(shù)〃的最小值為（）

A.11B.13C.15D.17

113

15.（2019?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）滿足方程一+一=訴的有序正整數(shù)組（*，y）的個(gè)數(shù)

xy100

為（）

A.12B.13C.24D.25

16.（2019?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）在十進(jìn)制數(shù)下，設(shè)a是4444.的各位數(shù)字之和，

而6是a的各位數(shù)字之和，則b的各位數(shù)字之和是（）

A.5B.6C.7D.16

17.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）若如々，，王為非負(fù)整數(shù)，則方程

玉+々++尤?=X,X2X-1的解有（）

A.83組B.84組

C.85組D.以上答案都不對(duì)

18.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)可是與的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，幻是與";的

差的絕對(duì)值最小的整數(shù).記I，的前〃項(xiàng)和為5“，」的前〃項(xiàng)和為則27；0c-S項(xiàng)

的值為（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不

對(duì)

二、多選題

19.（2021?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）若x,y為兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，”為不小于2的正整數(shù)

且（x+y）|x"+y",則（）

A.存在奇數(shù)〃符合題意B.不存在奇數(shù)〃符合題意

C.存在偶數(shù)〃符合題意D.不存在偶數(shù)”符合題意

20.（2020?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)/IBC的三邊長(zhǎng)a,b,c都是整數(shù)，面積是有理

數(shù)，則“的值可以為（）

A.1B.2C.3D.4

21.（2020?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)x,），為不同的正整數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有

（）

A.y?+2x與r+2y不可能同時(shí)為完全平方數(shù)

B.V+4x與尤?+4y不可能同時(shí)為完全平方數(shù)

C.y?+6x與d+6y不可能同時(shí)為完全平方數(shù)

D.以上答案都不正確

三、填空題

22.（2。18?江西?高三競(jìng)賽）“、b為正整數(shù)，滿足/齊募’則所有正整數(shù)對(duì)"

的個(gè)數(shù)為.

23.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合｛1,2,,2015｝中任取一個(gè)正整數(shù)n恰

為方程y=y+的解的概率為（[可表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.

24.（2018?安徽?高三競(jìng)賽）設(shè)n是正整數(shù)，且滿足/=438427732293,則n=.

25.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）用[同表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).則1,—=

sin"-/

_V2014_

26.（2018?山東?高三競(jìng)賽）己知“，beZ,且a+人為方程Y+5+/,=（）的一個(gè)根，則人

的最大可能值為.

27.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）｛為｝為正整數(shù)列，滿足4=2,4向?yàn)榈?134+133的最小素

因子，卬,生，,構(gòu)成集合A,尸為所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合，則集合aA的最小元素

為.

28.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）集合A=｛xeZ+|x整除苫[4]中元素的個(gè)數(shù)為.

29.（2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知[X]表示不超過x的最大整數(shù)，記&｝=x-W,則

方程&｝=〔一1的整數(shù)解個(gè)數(shù)為.

30.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）若帶可化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù):，則“=.

31.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）若正整數(shù)〃?，〃滿足加+〃3+99優(yōu)〃=333,則（見〃）有

組.

32.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）若存在正整數(shù)〃，使得3ml（1!+2!++?!）,則正整數(shù)，〃

的最大值是.

33.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知/（x）=[x]+[2x]+[3x],[x]表示不超過x的最大整數(shù)，

則/“）的值域?yàn)?

34.（2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知⑴表示不超過x的最大整數(shù)，如kl=3,[-乃]=Y等,

則。圖+修卜…干2020~

'3~二----------'

35.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知/*）是常數(shù)項(xiàng)不為0的整系數(shù)多項(xiàng)式，

q==/（?！ǎ?，則〃2，。4，，“2020中有項(xiàng)為。.

四、解答題

36.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）求最小的兩個(gè)正整數(shù)m,使得47（病+46m+713）為完全平

方數(shù).

37.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)n,使得［〃］+|〃，其

中，［X］表示不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù).

p-1

38.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）求所有素?cái)?shù)p,使得/》孫,.

&=1

39.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）證明：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得對(duì)于這些素?cái)?shù)中的每一個(gè)p,

至少存在一個(gè)“eZ+，滿足“（20142"+2014）.

40.（2018?江西?高三競(jìng)賽）求最小的正整數(shù)〃，使得當(dāng)正整數(shù)點(diǎn)kN”時(shí)，在前改個(gè)正整

數(shù)構(gòu)成的集合M=｛1,2,L閨中，對(duì)任意xeM總存在另一個(gè)數(shù)yeM且ywx,滿足

X+N為平方數(shù).

41.（2019?全國(guó)?高三校聯(lián)考競(jìng)賽）求滿足以下條件的所有正整數(shù)〃：

（1）〃至少有4個(gè)正因數(shù)；

（2）若4<4<<4是"的所有正因數(shù)，4-4,4-4，,4-4—構(gòu)成等比數(shù)列.

42.（2019?上海?高三校聯(lián)考競(jìng)賽）求證：不存在無窮多項(xiàng)的素?cái)?shù)數(shù)列P「0，，P,，，

使得P*+i=5p*+4,&=1,2,.

43.（2019?吉林?高三校聯(lián)考競(jìng)賽）求所有的正整數(shù)〃，使得方程4+1++3="1

%X2XnXn+\

有正整數(shù)解.

44.（2019?江西?高三校聯(lián)考競(jìng)賽）試求所有由互異正奇數(shù)構(gòu)成的三元集｛a,b,c］,使

其滿足：cr+kr+C1=2019.

45.（202卜全國(guó)福三競(jìng)賽）求方程（3萬+1）（3嚴(yán)1）（32+1）=34乎的所有正整數(shù)解（a,2）.

46.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）求方程|p'-q”=l的整數(shù)解，其中p、q是質(zhì)數(shù)，r、s是大于1

的正整數(shù)，并證明所得到的解是全部解.

47.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）證明：對(duì)任意正整數(shù)N,都存在正整數(shù)〃>汽和〃個(gè)互不相

同的正整數(shù)玉,右，4,使X；石片-2020（x；+x；++片）+2020是完全平方數(shù).

48.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）對(duì)于素?cái)?shù)p,定義集合E（p）=｛（〃,"￡?）€Z'M/+bY+

c2a2+1=0(mod〃)}.

及S?(p)={3"c)wZ[/b2c2+(a262c2+/+從+°2)=0(mod〃)}.試求所有的素?cái)?shù)p,

使得

s"p)aS2(p).

49.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知4={《,%,,a2a},B={bl,b2,，瓦J是兩個(gè)整數(shù)集合，

且對(duì)于任意整數(shù)”，存在唯一的4€A,“€B使得“三q+%(mod2020).記

(")A=4，(〃)8=%.證明：對(duì)任意的aeA,6e8,存在4亡A,使得a=(101a*+6,.

50.(2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽)設(shè)4,4，M,為〃個(gè)正整數(shù)，并且滿足4+電++a“=2〃，

令/+；=《,，=1,2,，并記$“/=4+a“+i++*4,("，=1,2,).求證：對(duì)于任意AeZ+，

必存在正整數(shù)〃、v,使得S,*,等于A或A+1.

51.(2022?浙江杭州?高三學(xué)軍中學(xué)校考競(jìng)賽)設(shè)數(shù)列{q}滿足4=1,%=2,%=3,且對(duì)

任意整數(shù)〃>3,a”是最小的不同于4,4，，4i的正整數(shù)，使得對(duì)與互質(zhì)，但不與凡一2

互質(zhì).證明：每個(gè)正整數(shù)都在{%}中出現(xiàn).

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題14初等數(shù)論真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）

一、單選題

1.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）2021年是北大建校123周年，則滿足建校〃周年的正整

數(shù)n能整除對(duì)應(yīng)年份的n的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.8C.12D.前三個(gè)選項(xiàng)都

不對(duì)

【答案】B

【分析】根據(jù)題設(shè)可得“11898,從而可根據(jù)1898的因數(shù)分解可求〃的個(gè)數(shù).

【詳解】根據(jù)題意,有〃|（〃+（2021—123））n〃|1898n“|2?13?73,

因此所有1898的正約數(shù)均符合題意，有23=8個(gè).

故選：B.

2.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)”，方是正整數(shù)"的正因數(shù)，使得（a-l）S+2）="2,

則〃可以等于（）

A.2O2O2020B.2x2O2O2020

C.3x20202,,a,D.前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

【答案】B

【分析】根據(jù)整除性可得b=a或6從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，有ab+2a-b=n,

[a\ab+2a-b,[a\b,

k[b\n,=>[b\ab+2a-b,^[b\2a,

于是b=a或。=2a,從而”=a（a+D或“=2/，只有選項(xiàng)B符合.

故選：B.

3.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）20199。在十進(jìn)制下的末兩位數(shù)字是（）

A.01B.21C.81D.前三個(gè)選項(xiàng)都

不對(duì)

【答案】A

【分析】根據(jù)同余及二項(xiàng)定理可判斷末兩位數(shù)字，也可以利用歐拉函數(shù)的性質(zhì)來判斷末

兩位數(shù)字.

【詳解】法1：根據(jù)題意，有：

2022020202020192020

20\9°=19=(20-1)=C2020x20x(-1)+(-1)=l(modlOO).

法2：根據(jù)歐拉函數(shù)的性質(zhì)由*(25)=9(52)=5x4=20,而(19,25)=1,

20

故190到=19=l(mod25),故2019?回三l(mod25),

而2019.°三(-1)2020=l(mod4),因此2019?回三l(modlOO).

故選：A

4.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)〃為正整數(shù)，且4"+2021是完全平方數(shù)，則這樣的〃

的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.無窮個(gè)D.前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

【答案】A

【分析】利用因數(shù)分解可求不定方程的解.

【詳解】設(shè)4"+2021=蘇，則（〃?+2"）（〃?一29）=2021=43x47,

注意到（〃?+2"）-（旭-2"）=2向>0

“|??+2"=47「」機(jī)+2”=2021m=45

“2"=432"=1解得《

n=1

從而符合題意的正整數(shù)n只有1個(gè).

故選：A.

5.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)％=12^:21,若io1）-1|州，則〃的最小值為（）

〃個(gè)2

A.71B.72C.80D.81

【答案】C

【分析】利用整除性和二項(xiàng)式定理可得〃+1=%9€葉），再利用

10*】）+10*2）++109+1模9的余數(shù)為鼠可求％的最小值，故可求”的最小值.

【詳解】根據(jù)題意，有%=122…21=11…1x11=」------L,

加9

因此IO"-1瓦nll=>9(109-l)|ll(10n+l-1)-

而10、1三-2(modll),故9(10,—1)|(10向-1),

所以009_1)|(10"

設(shè)“+1=%+r,0W8,則10"+1=10"+r=設(shè)9￡xl0r-l=(109-l+l)*xl0r-l,

由二項(xiàng)式定理可得(109-l+l)'xl(r-l=A(109-l)+l(r-l,其中A為正整數(shù),

因?yàn)?109_1施01_1),故r=0,故〃+1=9&RWN)

則10向-1=10"-1=(IO'-+io9<i-2)++109+1],

考慮109(*-0+10*2)++6+1模9的余數(shù)為k,

因此女的最小值為9,從而〃的最小值為80.

故選：C.

6.(2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)方程/+y4=z5的正整數(shù)解(x,y,z)的組數(shù)為()

A.0B.2C.無窮多D.以上答案都不

對(duì)

【答案】C

【分析】通過特例可得不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為無窮多個(gè).

【詳解】嘗試(x3,y4,z5)=(2",2",2"+),BP(x,y,z)=^2\2\2-I,

p?=0(mod3),

只需要(〃三0(mod4),=〃三24(mod60),

[??=4(mod5),

因此對(duì)應(yīng)的(X,y,z)=(22°“8,#+6,23+5)從eN,

因此所求正整數(shù)解有無窮多組.

故選：C.

2021「2廠

7.(2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)已知5=工彳，則S的個(gè)位數(shù)字是()

,=07

A.4B.5C.7D.以上答案都不

對(duì)

【答案】B

2'

【分析】利用二項(xiàng)式定理可得~不同的形式，再利用公式可求S,故可求S的個(gè)位數(shù)

字.

2,-1

,z=O(mod3),

2’2:2

【詳解】注意到2,模7的余數(shù)，有y「三］(mod3),

7

2'—4

----J=2(mod3),

因此S=Z亍-674X-674,

注意到8的方幕的尾數(shù)以8,4,2,6為一循環(huán)，因此

22022-1

---三l+(8+4+2+6)xl68+8=9(modl0),

從而S的個(gè)位數(shù)字為5.

故選：B.

8.(2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)方程w-2孫+3/-4x+5=0的整數(shù)解的組數(shù)為()

A.0B.1C.2D.以上答案都不

對(duì)

【答案】C

【分析】利用判別式可求y=i,從而可得整數(shù)解的組數(shù).

【詳解】題中方程即x2-(2y+4)x+3y2+5=0,

其判另lj式A=(2y+4)2—4(3丁+5)=4(-2尸+4丫一1"0,

滿足該不等式的整數(shù)y只有丫=1,因此方程變?yōu)閒-6x+8=0nx=2或x=4,

因此所求整數(shù)解的組數(shù)為2組.

故選：C.

9.(2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)已知整數(shù)數(shù)列{q}(〃>1)滿足4=1嗎=4,且對(duì)任意n>2,

有。；-勺+口,1=2"',則%)2。的個(gè)位數(shù)字是()

A.8B.4C.2D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

【答案】A

t分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得4+2=4%.「2%，從而各項(xiàng)個(gè)位數(shù)字周期性出現(xiàn)，故可得

正確的選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，有始-

。2+〃，山+

因"七_(dá)2±2---2a2?.=_ii±>---2-a?Hz,L==-aJ.-+--2-a.L=4A

%ana2

從而4+2=4a“+「2a“，

于是巴模10的余數(shù)為

n1234567891()

a”(modl0)1448402886

n11121314151617181920

tzH(modlO)8046626082

n21222324252627282930

〃〃(mod10)2420644840

從第2項(xiàng)起，以24為周期，因此見回三包三8(modl0).

故選A.

10.(2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)設(shè)正整數(shù),42021,且/一5/+4”+7是完全平方數(shù),

則可能的n的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.以上答案都不

對(duì)

【答案】D

【分析】可證明〃5-5〃3+4〃+7模4余3,故可得正確的選項(xiàng).

［詳解］意至IJ/-5/+4〃+7=(”-2)(?-l)n(?+1)("+2)+7,

而連續(xù)的5個(gè)整數(shù)的乘積必然被4整除，

因此〃5-5/+4”+7模4余3,不可能是完全平方數(shù).

故選：D.

11.(2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)對(duì)于不小于3的正整數(shù)〃，若存在正整數(shù)14左4〃-1使

?7I

得c：T,c：,cH構(gòu)成等差數(shù)列，其中C：=,為組合數(shù),則稱”為“理想數(shù)”.不超

K'.(n—K)：

過2020的“理想數(shù)”的個(gè)數(shù)為()

A.40B.41C.42D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

【答案】C

【分析】利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得關(guān)于左的方程，從而可判斷“理想數(shù)”的個(gè)數(shù).

2〃！〃！〃！

【詳解】c/，C，c/成等差數(shù)列，即--------=----------------1----------------

%!(〃_&)!(k-l)!(〃-Z+l)!(&+1)!(〃_&_1)!

也即2(%+1)(〃一%+1)=左(k+1)+(〃-%+1)(〃一Q,

"土J〃+2

整理得A=

2

當(dāng)”+2為完全平方數(shù)時(shí)，k為正整數(shù)，考慮到“+2N5,

因止匕“+2=32,42,,442(442=1936,452=2025),

故不超過2020的“理想數(shù)”的個(gè)數(shù)為42.

故選：C.

12.(2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)在(2019x2020)2⑼的全體正因數(shù)中選出若干個(gè)，使得其

中任意兩個(gè)的乘積都不是平方數(shù)則最多可選因數(shù)個(gè)數(shù)為()

A.16B.31C.32D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

【答案】C

【分析】我們定義從(2019x2020)2⑼的全體正因數(shù)組成的集合G中選出若干個(gè)組成集

合K為“好的”，當(dāng)且僅當(dāng)其中任意兩個(gè)的乘積都不是平方數(shù)，可以證明若K是“好的”,

且&wK,而左="討P：.,其中P「P2，，以為質(zhì)數(shù)，?2,，心eN*,那么將其替

換為〃=p,用，其中《i=l,2,,則K仍然是“好的”.故可求可選因數(shù)

n[1,2xJKp

個(gè)數(shù)的最大值.

【詳解】考慮至lj2019=3x673,2020=2?x5xl01,于是

(2019x2020產(chǎn)1=24042x32021x52021xlOl2021x6732021.

我們定義從(2019x2020)2°2i的全體正因數(shù)組成的集合G中選出若干個(gè)組成集合K為“好

的”，當(dāng)且僅當(dāng)其中任意兩個(gè)的乘積都不是平方數(shù).

容易證明，若K是“好的”，且左eK,而4="點(diǎn)弓.，

其中P，P2,，P“為質(zhì)數(shù),匕冉,,，，&“eN*,

那么將其替換為〃=/浮力,，

[0,2|附

其中"=[1,2Gt,/-,,

則K仍然是“好的”.

因此任何“好的”集合K中的元素都可以簡(jiǎn)化后對(duì)應(yīng)于｛2,3,5,101,673｝的某個(gè)子集，如

23X34X57^2X5^{2,5},

于是K中的元素最多有2$=32個(gè)，且｛2,3,5,101,673｝的所有子集對(duì)應(yīng)的32個(gè)數(shù)組成的

集合是“好的”，因此最多可選因數(shù)個(gè)數(shù)為32.

故選：C.

13.(2020?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃)方程19x+93y=4孫的整數(shù)解個(gè)數(shù)為()

A.4B.8C.16D.前三個(gè)答案都

不對(duì)

【答案】B

【分析】利用因式分解可求不定方程的解的個(gè)數(shù).

【詳解】題中方程即4x-4y-19-4x-93-4y=0n(4x-93)(4y-19)=3xl9x31,

考慮到4x-93m3(mod4)且4y-19三l(mod4),且虐19,31模4均為3,

于是4x-93的所有可能取值為3,19,31,3x19x31,-1,-3x19,-3x31,-19x31,共8個(gè).

故選：B.

14.(2019?北京?高三校考強(qiáng)基計(jì)劃)已知不定方程父+石++工：=799有正整數(shù)解，

則正整數(shù)〃的最小值為()

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

0(mod16),x三0(mod2)

【分析】利用/三可得x：+x；+-+模16的余數(shù)的范圍，結(jié)

l(mod16),x=I(mod2)

合799三15(modl6)可求正整數(shù)〃的最小值.

0(mod16),x=0(mod2),

【詳解】由于十三

l(mod16),x=l(mod2),

于是x：+考++片模16的余數(shù)在0和”之間.

又799ml5(modl6),于是“215.注意到歹+3"+3"+14+>+…+1"=799

12個(gè)

因此正整數(shù)〃的最小值為15.

故選：C.

113

15.（2019?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）滿足方程一+—=7；京的有序正整數(shù)組（x,y）的個(gè)數(shù)

xy100

為（）

A.12B.13C.24D.25

【答案】A

【分析】反表示后根據(jù)整除性可得有序正整數(shù)組的個(gè)數(shù).

r.………，…/.100%10024-54

【詳解】根據(jù)題意，y=-~—=—+—~—?

3JC-10033（3x-100）

于是3x-100=2"5,其中〃?+〃為奇數(shù)，且肛we{0,1,2,3,4}.

這樣的（孫〃）有12對(duì),

因此對(duì)應(yīng)的（x,y）也有12對(duì).

故選：A.n

16.（2019?北京?高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）在十進(jìn)制數(shù)下，設(shè)。是4444如4的各位數(shù)字之和，

而b是4的各位數(shù)字之和，則b的各位數(shù)字之和是（）

A.5B.6C.7D.16

【答案】C

【分析】先估計(jì)的范圍，再根據(jù)模9同余可求的各位數(shù)字之和.

【詳解】設(shè)c是人的各位數(shù)字之和，

由于44441g4444<4444x4=17776,于是a<17776x9=159984,

因此。<1+9x5=46.

進(jìn)而c<4+9=13.

乂4444"1=a=b=c（mod9）,

而4444"*三（-2）皿=64740x16三7（mod9）,

這樣就得到了c=7.

故選：C

17.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）若占,々，，與為非負(fù)整數(shù)，則方程

再+々++X?=x,x2X-,的解有（）

A.83組B.84組

C.85組D.以上答案都不對(duì)

【答案】C

【分析】就為當(dāng)七=0及為々七片0分類討論，后者可利用放縮法得到

X］=%=w=七=1,再就%=1、%=2分類討論后可得所有解的個(gè)數(shù).

［詳解】若占％X7=0,則X}=X2==X7=0,

此時(shí)（王,X2，,，與）=（0,。，，0）是滿足條件的一組解.

若玉/天工0，d<奶設(shè)。<當(dāng)工工2工工與，貝1王X2工7?7七=玉工2工647,

此時(shí)必有“=%2=七=%=1（否則%%/223=8>7,矛盾），因此問題即

X5X6Xy=44-x54-x6+x7

且由毛％47,可得%=1,2.

X

情形一天=1，此時(shí)X6X7=5+X6+X7=（X6-1）（7-1）=6，

解得K，不）=（2,7）,（3,4）.

情形二*5=2,此時(shí)2%七=6+/+七n（2x6T）（2毛-1）=13,無解.

綜上所述，（芭,電，，電）=（0,0,,0）,（1,1,1,1,1,2,7）,（1,1,1,1,1,3,4）及其對(duì)稱式，有85組解.

故選：C.

18.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)%是與杳的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，女是與瘍的

差的絕對(duì)值最小的整數(shù).記的前〃項(xiàng)和為5“，的前〃項(xiàng)和為0,則27^-53

lan\

的值為（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不

對(duì)

【答案】A

【分析】根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)可得%^T>M==?！狈璵=々且*M="“=*=',故可

22

求求00-EM的值.

【詳解】容易證明J1的小數(shù)部分不可能為0.5,因此a,,=A=k-；<e<&+g,

整理可得25一22+—<〃<2公+2%+—=>2%（%—1）+1?〃《2%（4+1）,

22

故°2Ml）+i=…=a2k（k+i）=k,

6（1、］?

注意到當(dāng)々=6時(shí)，2取+1）=84,因此5Kx,=2廠奴+以x（I00-84）=26小

類似的，有b”=knk-；<4^<k+；,

k(k-l)1%伏+1)1k(k-l)，//k(%+l)

整理可得—-----+-<n<--------+-=>—-------+1<?<—-------,

282822

故6處+|='=匕3=4,

22

注意到當(dāng)％=13時(shí)，空W=9i,因此，

2k=iI化J1414

綜上所述，有27；w,-品)o=l.

故選：A.

二、多選題

19.(2021?北京?高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃)若x,y為兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，〃為不小于2的正整數(shù)

且(x+y)|x"+y",則()

A.存在奇數(shù)〃符合題意B.不存在奇數(shù)〃符合題意

C.存在偶數(shù)”符合題意D.不存在偶數(shù)”符合題意

【答案】AD

【分析】利用因式分解可判斷AB的正誤，利用遞推可判斷CD的正誤.

【詳解】當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，有/+了"=(》+以/1一產(chǎn)2丫+/3/一+y-),

于是(x+y)Ix"+y",故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

當(dāng)”是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)"=2時(shí)，，有—+y2=(x+y>-2個(gè)，

若》+丫|2個(gè)，則2孫=f(x+y),其中，為正整數(shù)，故x|y且y|x,

而x，V為質(zhì)數(shù)，則》=兒這與題設(shè)矛盾，故x+y(Ex)，，

于是(x+y)C&2+/.

當(dāng)〃24,注意到爐+/=(x+雙尸+尸)―到任-2+廣2),

若(x+y)|x"+y",則(x+y)|x"2+y”2,依次類推，則可得到(*+力/+9,

這與(x+y)(E-2+y2矛盾，

因此可以遞推證明當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，(x+y)(H"+y",故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

20.(2020?北京?高三校考強(qiáng)基計(jì)劃)設(shè).ABC的三邊長(zhǎng)小b,c都是整數(shù)，面積是有理

數(shù)，則4的值可以為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【分析】由特例可得a的值可以取3,4,再利用整數(shù)的性質(zhì)可判斷”的值不可能為1,

2,故可得正確的選項(xiàng).

【詳解】取三邊為3,4,5的三角形，其面積為6,此時(shí)“的值可以取3,4.

當(dāng)°=1時(shí)，有|a-O|<c<|a+"nc=6,

此時(shí)的面積為!J4b2-1,注意到4從一1三3(mod4),不為完全平方數(shù)，

4

因此A8C的面積不可能是有理數(shù).

當(dāng)a=2時(shí)，，不妨設(shè)24b4c,有|a-〃Kc<|a+b|=>c=6或c=6+l.

情形一若。=〃，貝hABC的面積為爐I.

若病=？=",其中2，g為互質(zhì)的正整數(shù)，則/僅2-1)=",

于是從-1為完全平方數(shù)，而正整數(shù)的完全平方數(shù)的最小間隔為2?-仔=3,因此該情形

不成立.

情形二若c=b+l,則COSC=>+2；(H1)2=-2”+3,

4b4b

于是面積為有理數(shù)，等價(jià)于sinC為有理數(shù)，即J(46)2-(-2b+3)2=J12，+12匕-9為完

全平方數(shù)，注意到12〃+126-9=3(mod4),因此，ABC的面積不可能是有理數(shù).

綜上所述，a的值不可能為1,2,可能為3,4.

故選：CD.

21.(2020?北京?高三校考強(qiáng)基計(jì)劃)設(shè)x,y為不同的正整數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有

()

A.丁+2》與x2+2y不可能同時(shí)為完全平方數(shù)

B.V+4x與r+與不可能同時(shí)為完全平方數(shù)

C.丁+6%與/+6y不可能同時(shí)為完全平方數(shù)

D.以上答案都不正確

【答案】AB

【分析】利用不等式放縮可得r+2y不可能是完全平方數(shù)且V+4y只可能是0+1)2；

x2+6y可能是(x+1)2或者(x+2下,分類討論后可得正確選項(xiàng).

【詳解】不妨設(shè)xNy,則

x2<x2+2y<x2+2x<(x+1)2,

x2<x2+4^<X2+4X<(X+2)2,

x2<x2+6y<x2+6x<(x+3)2,

于是爐+2y不可能是完全平方數(shù)；

而V+4y只可能是(x+1)?；f+6y可能是(x+1)2或者(x+2)2.

若/+4y=*+1)2,則4y=2x+l,矛盾;

若V+6y=0+1)2,則6y=2x+l,矛盾;

若x2+6y=(x+2)2,則3y=2x+2,于是(x,y)=(3r-l,2f)?eN*),

y2+6x=4『+18f-6,

此時(shí)<

x2+6y=(3/+l)2,

考慮到(2f+2)2<4r+18f-6<(2t+5)2,

于是4戶+18-6=(2/+2)2或4/+181-6=(21+4)2,

解得r=l(舍去)或f=U.

因此當(dāng)(x,y)=(32,22)時(shí)，/+6x=676=262,%2+6y=1156=342|nj時(shí)為完全平方數(shù).

綜上所述，選項(xiàng)AB正確.

故選：AB.

三、填空題

22.（2018?江西?高三競(jìng)賽）。、匕為正整數(shù)，滿足’-1=熹，則所有正整數(shù)對(duì)（4力）

ab2018

的個(gè)數(shù)為.

【答案】4

【詳解】由1-'=-^-,知14a<2018,且ab+2018a—201助=0,

ab2018

于是（2018-a）（2018+b）=20182=221g,

而0<2018-"2018,2018+/?>2018.

因1009為質(zhì)數(shù)，數(shù)2Z10092所有可能的分解式為

1x2018?,2X(2X10092),4X10092.1009X(4X1009).

其中每一個(gè)分解式對(duì)應(yīng)于（4力）的一個(gè)解，故其解的個(gè)數(shù)為4.

故答案為4

23.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合｛1,2,,2015｝中任取一個(gè)正整數(shù)n恰

n

+（［x］表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.

為方程-二7的解的概率為

3O

【答案】繳

【詳解】當(dāng)〃=6小/）時(shí)，［升y6k

+=2k+k=3k.

R即日喑~6

滿足題中方程的n為6,12,…,201（）,共335個(gè);

n6左一5

當(dāng)九二6攵一5（4wZ+）時(shí)，=3左一3,

22

nn6k-564一5

++=2k-2+k-1=3k-3.

3636

滿足題中方程的n為1,7,13,2011,共336個(gè);

n6k-4

當(dāng)九二6A—4（ZEZ+）時(shí),=3)1-2,

22

nn6左一46k-4

+=2k-2+k-\=3k-3.

3636

滿足題中方程的n不存在;

6左一3

肖〃=6攵一3（攵叱）時(shí)=3k-2

2f

nn6k-36左—3

+=2k-]+k-]=3k-2.

3636

滿足題中方程的n為3,9,15,2013,共336個(gè);

/z6k-2

當(dāng)M=6Z-2(ZEZ+)時(shí),二31,

_2_-2

6k-26k-2'

+=2k—T+k—1=3k—2.

注H36

滿足題中方程的n不存在:

n61

當(dāng)肛=6A-l(&eZ+)時(shí),=3%—1,

22

nn6fe-l6fc-l

4-+=2攵-1+2—1=3%—2.

36

滿足題中方程的n不存在.

因此，從集合｛1,2,,2015｝中任取一個(gè)正整數(shù)n恰為題中方程的解的概率為

335+336+3361007

20152015

24.（2018?安徽?高三競(jìng)賽）設(shè)n是正整數(shù)，且滿足〃,=438427732293,則n二

【答案】213

【詳解】由小t44x101°,得200<〃<300.設(shè)4=200(1+X).

由(l+x)snl+Sx+lOf+loV+Sf+x5凄1|=1.375,得x以0.075,〃：215.

再由〃5三〃(modlO),得n=213.(注：“以”表示”小于約等于”.)

故答案為213

25.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）用［x］表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).則

【答案】2014

【詳解】因?yàn)椤！囱尚?/p>

,所以°<sin一『<-『<tan)?

V2014V20142014

—>2014

"si「百高

-------!——=1+-------!——<1+2014=2015

又.

sin2-[1tan2~/1

V2014V2014

]

故=2014.

sin2」—

V2014

26.（2018?山東?高三競(jìng)賽）己知“，beZ,且為方