高中數(shù)學(xué)選修第一冊：強化練9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

專題強化練9直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

一、選擇題

22

1.（2020山東濟寧實驗中學(xué)高二上期中，聚?）已知點Q,1）是直線1被橢圓工+9=1所截

得的線段的中點，則直線1的方程是（）

A.2x+3y-7=（）B.2x-3y-l=0

C.4x+3y-ll=0D.4x-3y-5=0

2.（站）已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線x-2y+4=0與C交于A.B兩點，則

sinNAFB=（）

A-B-C-D—

3.（2020山東淄博一中高二上期中W）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為1,過

點F的直線交1于點A,與拋物線的一個交點為B,且兩二2而，則|AB|二（）

A.3B.9C.6D.12

22

4.（2020河北唐山一中高二上期中,"）直線x-gy+g=0經(jīng)過橢圓與+3=l（a>b>0）的

Kb

左焦點F,交橢圓于A,B兩點，交y軸于點C.若元=2不，則該橢圓的離心率為（）

A.V3-1B與

C.2V2-2D.V2-1

二、填空題

22

5.（*7）過雙曲線3-%=l（a>0,b>0）的右焦點F作一條直線,當直線斜率為2時,直線與

雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線和雙曲線右支有兩個不

同交點，則雙曲線離心率的取值范圍為.

6.(2020黑龍江牡丹江第一高級中學(xué)期末,")如圖,已知拋物線的方程為

x2=2py(p>0),過點A((),-l)作直線，與拋物線相交于P,Q兩點，點B的坐標為(0,1),連接

BP,BQ,設(shè)QB,BP的延長線與x軸分別相交于M.N兩點.如果QB的斜率與PB的

斜率的乘積為一3,則NMBN的大小等于.

三、解答題

7.(2020廣東惠州高二上期末,家?)已知橢圓與拋物線y2=4應(yīng)x有一個相同的焦點，且

該橢圓的離心率為爭

⑴求橢圓的標準方程；

(2)過點P(0,l)的直線與該橢圓交于A,B兩點,0為坐標原點，若前=2而，求AAOB

的面積.

22

8.(*)已知橢圓C:59=l(a>b>0)淇左、右焦點分別為FiE,過Fi的直線

vb

l:x+my+V3=0與橢圓C交于A,B兩點，且橢圓的離心率e=y.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓上存在一點M,使得2項=a+加瓦求直線1的方程.

9.(2020吉林長春市實驗中學(xué)高二上期中,*)如圖所示,斜率為1的直線過拋物線

y2=2px(p>0)的焦點F,與拋物線交于A,B兩點,M為拋物線弧AB上的動點.

(1)若|AB|=8,求拋物線的方程；

(2)求SMBM的最大值.

10.(*)已知動點P在y軸的右側(cè)，且點P到y(tǒng)軸的距離比它到點F(l,0)的距離小1.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)設(shè)斜率為-1且不過點M(l,2)的直線交C于A,B兩點，直線MA,MB的斜率分別

為ki,k2,求ki+k2的值.

11.(*)如圖，橢圓C:*3=l(a>b>0)的右頂點為A(2,0),左、右焦點分別為FI,F2,過

點A且斜率為2的直線與y軸交于點P,與橢圓交于另一點B,且點B在x軸上的射

影恰好為點Fb

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點P的直線與橢圓交于M,N兩點(M,N不與A,B重合)，若S4PAM=6SAPBN,求直

線MN的方程.

12.(*)在平面直角坐標系Oxy中，點A(-2,0),過動點P作直線x=-4的垂線，垂足為

M,且詢?存=-4.記動點P的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點A的直線1交曲線E于不同的兩點B,C.

①若B為線段AC的中點，求直線1的方程；

②設(shè)B關(guān)于x軸的對稱點為D,求4ACD面積S的取值范圍.

答案全解全析

一、選擇題

、、一仁+或=1，/

1.A設(shè)直線1與橢圓交于A(xi,yD,B(X2,y2)兩點，由七：得(x「

X2)(x1+x2)+3(y1-y2)(yi+y2)=0.

又Xi+x2=4,yi+y2=2,

，4+3kABx2=0,解得k=--.

AB3

因此直線1的方程為y-l=*x-2),

即2x+3y-7=0,故選A.

2.B由拋物線方程可知焦點F的坐標為(0,1),聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得

K=°,解得=＞域｛二::不妨令A(yù)(-2,1),B(4,4),A

|AB|=V36+9=3V5,|AF|=V4T0=2,|BF|=V16+9=5,在△ABF

MF|2+|BF|2-|AB|2

中,cosNAFB=4+25-454，.\sinZAFB=-聶故選B.

2\AF\\BF\2x2x5J

3.B如圖所示，設(shè)E為準線與x軸的交點，過B作BB」1于Bi.

由啟=2而得，”與粵

\AB\3IBB/

又|EF|=2,二|BB11=3,設(shè)A(xA,yA),B(XB,yB).

V|BB,|=X+^=XB+1=3,二XB=2,結(jié)合圖象得B(2,2遮),

.,?|AB|=|XA-XB|?+?Jl+(2//=9,故選B.

4.A在x-V3y+V3=0中，令y=0,得x=-V3,

.,.F(-V3,0).

令x=0,得y=l,，C(O,l),設(shè)A(xi,yi),則定=(三,1),石<=(xi,y1),由定=2石5得

2X1=電解得

2仇-1)=1

由A在橢圓上，得2a=I-+-+月:=3+百，

\444

?\—￡=4=31：=6-1,故選A.

a2a3+v3

二、填空題

5.答案(遙,“U)

解析由學(xué)、l(a>0,b>0)得，雙曲線的漸近線方程為y=±-x.

a"b'a

結(jié)合圖形(圖略)知,2<R<3=2a<b<3a=4a2<c2-

a

a2<9a2^5a2<c2<10a2=?5<e2c10=V5<e<V10.

故雙曲線離心率的取值范圍是（通,汨）.

6.答案；

解析設(shè)直線PQ的方程為y=kx-l(k#0),P(xi,yi),Q(X2,y2),

由｛1二^菰消去y，得x2-2pkx+2p=0,

則x1+x2=2pk,xiX2=2p.

因為kBP^—,kBQ=—,

X1x2

所以kBP+kBQ凸33=竺衛(wèi)2=0.

xix22p

又kBP*kBQ=3,所以kBP=V5,kBQ=-V5,

所以ZBNM=pZBMN=p

故NMBN=TU-NBNM-ZBMN=-.

3

三、解答題

7.解析(1)設(shè)橢圓的標準方程為介±l(a>b>O),c為橢圓的半焦距，由題意可得拋物

線的焦點為(魚,0),所以c=V2,

因為橢圓的離心率e-=4所以a=2.

a2

又b2=a2-c2=2,

22

所以橢圓的標準方程為七巨=1.

42

(2)設(shè)A(xi,yD,B(X2,y2),則方=(-xi,l-yi),而=(X2,y2-l>

-%]—

由Q=2而，得

1-71=2。2-1)，

驗證易知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+l,

代入橢圓方程整理得(2k2+l)x2+4kx-2=0,

所以Xl+X2=:"，X1*X2=:.

2k2+12k2+1

將22X2代入上式，可得&劫2=念解得上

所以aAOB的面積S三|OP|?|XLX2|="”}2=；?需

8.解析(1)、?過Fi的直線l:x+my+V3=0,

.,.令y=0,解得x=-V3,c=V3,

/e=￡=￡.\a=2,?'.b2=a2-c2=4-3=l,???橢圓C的方程為、+y2=L

a24

(2)設(shè)A(xi,yD，B(X2,y2),M(X3,y3),

由2OM=OA+A/3。反得X3=；xi+^X2,y3=；yi+^y2,將其代入橢圓方程，可得:+

7X2)+(泌+3)-1=()，

??(鴻+羽)+：(鴻+禿)+9,(xix2+4yiy2)=l,

?,.xiX2+4yiy2=0,

x+my+V3=0,_

聯(lián)立方程，得/消去*,可得(1112+4?2+2b111丫-1=0,

匕+y=L

?-2V3m-1

??%+丫2==?少2=高，

xiX2+4y?y2=(my?+V3)(my2+V3)+4yiy2=(m2+4)yiy2+V3m(yi+y2)+3=(m2+4)?

即m2=2,解得m=±V2.

故所求直線1的方程為x±V2y+V3=0.

9.解析⑴由條件知L\B：y=xj，與y2=2px聯(lián)立，消去y,得x2-3px+；p2=(),貝!jxi+x2=3p.

由拋物線的定義得|AB|=xi+x2+p=4p.

又因為|AB|=8,所以p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.

⑵解法一:由⑴知|AB|=4p,且lAB：y=xg設(shè)M?,y0),

y0P

一方幾萬

貝ijM至UAB的距離d=—

V2

因為點M在直線AB的上方，

2

所以'-yo-"<O,

2p2

家/隙+%+|

貝UdT=—

J齒+2pyo+p2L.(y()-p)2+2p2

25/2p20p

當yo=p時,dmax=/p.

故SAABM的最大值為:x4pxqp=0p2.

解法二:由⑴知|AB|=4p,且lAB：y=x;

設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+m(m。)

代入拋物線方程，得x2+2(m-p)x+m2=0.

令△=4(m-p)2-4m2=0,得m=|.

所以與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+親

兩平行直線間的距離(1=嗒=寫,故SAABM的最大值為；x4px3=&p2.

10.解析解法一：(1)依題意知動點P的軌跡是拋物線(除原點)，

其焦點為F(1,O),準線為x=-l,

設(shè)其方程為y2=2px(p>0),則;=1,解得p=2,

所以動點P的軌跡C的方程是y2=4x(x>0).

(2)設(shè)直線AB:y=-x+b(b#3),A(xi,yD,B(X2,y2),

由匕~-x'+b得y=：+b,即y2+4y-4b=0,

所以yi+y2=-4,

又A=16+16b>0,所以b>-l,

因為X1=-,X2=",

44

所以k2+kI=^W

知知

=4仇-2)?4(力-2)

於-4將4

二4?4=少]+2+/+2)=0

+2,+2

力+2%+2(y2)6i)

因此ki+k2=0.

解法二:(1)同解法一.

⑵設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2)是直線與C的交點，

易知X1=-,X2=-,

44

所以kAB=^p2=—'—，

44

又直線的斜率為-1,所以」=-1,即yi+y2=-4,

八+丫2

所以k2+k尸格￥=宇卓

或1條1yay<4

=4]4=4d+2+為+2).0

力+2y1+2(72+2)。1+2)

因此ki+k2=0.

11.解析⑴由題意，得BF」x軸器三所以點B-c,-7).XA(2,0),

a=2,a=2,

b2_1

b=V3,

所以a(a+c)2f解得

a2=b2+c2,c=1,

所以橢圓C的標準方程為沼=1.

(2)因為a：c=2：1,所以|PA|=2|PB|.

所以5八上=；一?|PM|?sinN/!PM=2|PM|=6

SNBN1|PB|?|PN|?sinZBPN\PN\'

所以竺1=3所以麗=3-pN.

|PW|

由題意知P(o,-1),設(shè)M(xi,yD,N(X2,y2),則兩=(xi,yi+l),麗=(X2,y2+l),所以XI=-3X2.

①當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=0,

此時巴吼等=2+百或巴也手=2-8,均不符合條件，故舍去.

\PN\V3-1|PN|V3+1

②當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx-l.

y=kx-1,

x2"W(4k2+3)x2-8kx-8=0.

{—H--=1

43

由根與系數(shù)的關(guān)系，

,8k

+%2=-，

可得㈤3

\%11?%/2=4/+-31

/r8k

-2X'2=4M+3>

將X|=-3X2代入，可得

3遙=急，

所以3(?)2=}.

14k2+3，4k2+3

所以k2=：,解得k=土當

所以直線MN的方程為y