高中數(shù)學(xué)教學(xué)講義：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)講義：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)

LLn次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

情境導(dǎo)入課程標(biāo)準(zhǔn)

公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉

1.通過(guò)對(duì)有理數(shù)指數(shù)累

斯學(xué)派，該學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮—m

aRa>0,且a黃1,m,n為整數(shù)，

了一個(gè)問(wèn)題：

且n>0)含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)暴

邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少

的拓展過(guò)程。

呢?他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)來(lái)表

2.掌握有理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性

示，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)或的誕

質(zhì)。

生。

自主預(yù)習(xí),'明新知

l.n次方根

如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且n€N*。

可用下表表示：

n為

n為偶數(shù)

奇數(shù)

a￡Ra>0a=0a<0

x=不存

x=0

在

2.根式

(1)式子曾叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)。

(2)性質(zhì)：當(dāng)n>l,nCN*時(shí),

(T)(Va)n=a；

cnr-(a,n為奇數(shù)，

5［同,n為偶數(shù)。

3.分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義(a>0,m,nCN*,n>l)

第1頁(yè)共160頁(yè)

正分?jǐn)?shù)指m___

a"n=Va^

數(shù)累

負(fù)分?jǐn)?shù)指ii

aFF

數(shù)累

0的分?jǐn)?shù)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)落

指數(shù)塞沒(méi)有意義

4,有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(a>0,b>0,r,sGQ)

(l)aras=ar+s；(2)(ar)s=ars；(3)(ab)r二arbr。

等微思考

1.正數(shù)a的n次方根一定有兩個(gè)嗎？

提示：不一定。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，且互為相反

數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根只有一個(gè)且仍為正數(shù)。

m____

2.等式前=府成立的條件是什么？

提示：教材要求a>0,實(shí)際應(yīng)用時(shí)，只要府有意義即可，如：(-

8_-------------8

8

2)3=V(-2)=23O

合作探究,‘攻重難

類(lèi)

n次方根的概念

型一

【例1】(1)(多選)J(a-b)2+［(a-b)5的值可能是(AC)

A.0B,2(b-a)

C.2(a-b)D.a-b

解析若a?b,則原式二a?b+a?b=2(a?b),若avb,貝ij原式二b-a+a?b=O。

(2)化簡(jiǎn)：-a)2+1(l-a)3=a-1。

解析由(—a—1)2知a-lzO,a>l0故原式=a-l+|l-a|+l-a=a-l。

(3)若J(x-5)(x2-25)=(5_X)V^T^,則x的取值范圍是［-5,5］。

解析因?yàn)镴(x—5)(x2-25)=J(X-5)2(x+5)=(5-X)A/TT5,所以

第2頁(yè)共160頁(yè)

+cB2'所以-54X45。所以實(shí)數(shù)X的取值范圍是-54X45。

一3三U,

反思感悟

根式化簡(jiǎn)與求值的思路及注意點(diǎn)

(1)思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)

進(jìn)行化簡(jiǎn)。(2)注意點(diǎn)：①正確區(qū)分(%)n與他兩式。②運(yùn)算時(shí)注意變式、整

體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用，必要時(shí)要進(jìn)

行討論。

【變式訓(xùn)練】下列說(shuō)法：

①VZ^=3；

②16的4次方根是±2；

③V^=±5；

④J(x+y)2=|x+y/

⑤若x<2,則.(X—2)8+(/x-夜)3=2-&。

其中正確的是②④⑤o(填序號(hào))

解析V1而=-3,①錯(cuò)誤；16的4次方根有兩個(gè)，為±2,②正確；

“625=5,③錯(cuò)誤；J(x+y)2是非負(fù)數(shù),所以J(x+y)2=|x+y|,④正確；由題

意知x-2<0,^/(x-2)8+(Vx—V2)3=|x-21+x-V2=2-x+x-V2=2-V2,⑤正確。

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化

【例2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，其中a>0,b>0o

(1)府；(2)壺；(3)有；(4)代牙。

[1]Va^=as0

⑶洛野

(4)^/(—a)6=Va^=a2=a3。

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反思感悟

m

指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)后，當(dāng)awO時(shí)，a不有時(shí)有意義，有

1____1

時(shí)無(wú)意義，如但(-1)5就不是實(shí)數(shù)了。為了保證在辭取任何實(shí)數(shù)

m

時(shí)，aa都有意義，所以規(guī)定a>0。當(dāng)被開(kāi)方數(shù)中有負(fù)數(shù)時(shí)，暴指數(shù)不能隨意約

分。

【變式訓(xùn)練】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉。

⑴(2)V^(a>o)；

(3)b3?府；(4)3r—.

Jx(標(biāo))2

解：

⑴球=2套。

(2)>/aVa=jr?a2=-Ja^=(az)2=a4o

(3)b3-Vb2=b3-bt=bT0

1_1ii--

(4),=-^^=~3(X第xlx5o

33

XX5

類(lèi)

有理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算

型三

【例3】計(jì)算下列各式:

⑴(2|)0+2-2x(23<0,010.5；

1/7\0_4_

(2)0.0643-^--j+[(-2)3]3+16-0.75；

ab1)3

^~1(a>0,b>0)o

O.「2(a3b-3”

解：

⑴原式=1+3削島戶(hù)展舄唱

(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=2-1+工+工=4。

216816

13

hlx42-4223A4

原式二----?

i(3J)100a2-a2b2-b2=—25aObO=—250

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反思感悟

有理數(shù)指數(shù)塞運(yùn)算的解題通法

（1）有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算。（2）先乘除后加減，

負(fù)指數(shù)毒化成正指數(shù)幕的倒數(shù)。（3）底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先

化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)。（4）若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，

并盡可能用累的形式表示，運(yùn)用指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答。（5）運(yùn)算結(jié)果不能同

時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)累，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)幕，形式力求統(tǒng)一。

1111

【變式訓(xùn)練】（1）化簡(jiǎn)（a3b5）5+（a5bl］（a>0,b>0）的結(jié)果為（A）

oh

A.aB.bC.-D.-

ba

31

解析原式=翌=2。

a2b4

核心素養(yǎng)達(dá)成明易錯(cuò)?誤區(qū)警示

兩重根號(hào)的根式

化簡(jiǎn)

［典例］計(jì)算：V5-2V6+V5+2V6o

【分析】將5-2遍和5+2遍配成平方形式。

(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+2ab；

(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2abo

【解】M^=J(V3-V2)2+J(V3+V2)2=IV3-V21+1V3+V21=V3-

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V2+V3+V2=2V3o

反思感悟

對(duì)于形如Jm±2VH（m>0,n>0）的雙重根式，當(dāng)滿足a>b>0,a+b=m,

ab=n時(shí)，WVm±2Vn=VaiVb?

【變式訓(xùn)練】⑴求值：V4-V15+V4+V15o

解：

(2)求值：,5+2遍+J7-4存-4怎

解：

75+276+77-473-76-4A/2=J(V3+V2)2+J(V3-2)2-

J(2-V2)2=V3+V2+2-V3-(2-V2)=2V2o

當(dāng)堂檢測(cè),'提素養(yǎng)

1.已知J（a—b）2=a?b,則（B）

A.a>bB.a>b

C.a<bD.a<b

2.（多選）下列各式中有意義的是（AC）

A-V（-4）2nB，V（-4）2n+1

C.Va^D.Va^（aGR）

3,化簡(jiǎn)（方而）4-（退序）49>0）的結(jié)果是（C）

A.al6B.a8C.a4D.a2

4.若黃二3+（a-4）0有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2,4）U（4,+oo）。

解析由a-2“，且a-4黃0,得a“，且a"。

5?計(jì)算（1+3（1+套）（1+41+3的值。

解:

第6頁(yè)共160頁(yè)

原式=（1-』）（均）（1+表）S+專(zhuān)）（1+者）

八"T

_（1-今）（1+為（i+書(shū)（i+專(zhuān)）

_（"金（1+,）（1+表）

一:-I

課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十五)n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉

-------------基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)-------------

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列各等式中成立的是(a>0)(B)

A.al=V^B.al=V^

2______1

C.as=±Va2D.a-2=-Va

解析因?yàn)閍?="\/系，a3=Va2,aW=J丞，a_5=石，所以成立的是a5=J示。

2.下列各式正確的是(D)

A.VZ5=V(Z5)2

B.J(3—n)2=3-IT

C.Va"=|a|(n>l,nGN*)

D.(V^)n=a(n>l,nGN*)

解析V^5=-V5,，(一57=耨,A錯(cuò)誤；J(3-n)2=|3-n|=TT-3,B錯(cuò)誤;

當(dāng)a<0,n為奇數(shù)時(shí)，C錯(cuò)誤。故選D。

3.若xy黃0,那么等式J^p=-xy4成立的條件是(C)

A.x>0,y>0B,x>0,y<0

C.x<0,y>0D.x<0,y<0

(x2y3>0,(X<0

解析因?yàn)閤yHO,所以XHO,y*Oo由《-xy>0,得|'

(y>0口>。。

2

4.已知a>0,將不一表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)暴，其結(jié)果是(C)

Ja-Va2

第7頁(yè)共160頁(yè)

1573

A.a2B.a6C.a6D.a2

221_57

解析,-a---=a2-r(a*a3)2=a2-6=a6o故選C。

Ja-Va2

5.把a(bǔ)R根號(hào)外的a移到根號(hào)內(nèi)等于(D)

A.V^B.~VsC.V—8D."V—a

解析由題知a<0,所以a巨-卜(-滬戶(hù),故選D。

3

6.(3-2x)F中x的取值范圍是(C)

A.(-8,+00)B.(-8,1)U(|,+8)

C(-8?)D,g,+oo)

解析(3-2x)V=」-y=而，=『，要使該式有意義，需3-2x>0,BPx<|o

(3-2x)4J(3-2X)32

二、多項(xiàng)選擇題

7,下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕互化中正確的是(BC)

A.J(—2)2=2B.7V?=25

C.Vm2+n2=(m2+n2)3D.(')=a^b5

8.當(dāng)a,beR時(shí)，下列各式恒成立的是(BC)

A.(Va-Vb)4=a-bB.(Va+b)4=a+b

C.Va^-Vb^=|a|-|b|D.，(a+b)，=a+b

解析對(duì)于A,可令a=16,b=81,y/a=2,Vb=3,式子左邊為(2-3)4=l,

右邊為16-81=-65,右邊H左邊，不成立；對(duì)于B,由n次方根的定義，可知

(Va)n=a,則(Va+b)4=a+b恒成立,故B對(duì)；對(duì)于C,由n次方根的性質(zhì)知,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，V亞=|a|,可知於至孤私|a|-|b|恒成立，故C對(duì)；

V(a+b)4=|a+b|,故D不成立，故選BC。

三、填空題

9.化簡(jiǎn)：-a)2+?(l-a)3=al。

解析由(—a—1)2矢口a-1-0,a>lo故原式=a-l+|l-a|+l-a=a-l。

10.若(際遼)4有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>-l,若(VKTI)4=-a-

第8頁(yè)共160頁(yè)

1,則實(shí)數(shù)a的值為-1o

解析要使(vm)4有意義，須滿足a+CO,即a〉l；又

(Va+l)4=a+l,而已知為(〃a+l)4=-a-l,所以有a+l=-a-l,解得a=-l。

11.己知弓+6=1,則o

解析由畀b=l,得[歲=32a+b*4=3京+b=3。

四、解答題

12.計(jì)算或化簡(jiǎn)：

_2

(1)(-33+(O,OO2)4-1O(V5-2)-1+(V2-V3)O；

5

⑵Jaly/a^-J(a-)4.(a4)13o

解：

_2_1_2

⑴原式=(-l)-f(3|尸+(高廣-卷+1=停廠+5。。豆。(遙+2)+1=扣。花-

10V5-20+l=--o

9

331111151311

(2)原式=?迫可[@5尸(a刁13]?=(a0聲?T初=(a-4)5=a-2。

-------------素養(yǎng)提升-------------

13,已知集合A={-a,Va^,4),B=梟2b,J@LA=B,則a+b=

3o

解析由集合中元素的互異性，可知-aw后，aHO,所以a>0,所以A={-

a,a,4},B={-a,1,2b},又八=8,所以a=l,4=2b,即a=l,b=2,所以

a+b=3o

14.設(shè)f(x)=《^,若Ovavl,試求f(a)+f(l-a)的值，并進(jìn)一步求

f(焉)+(rh)+f(高)+??,+，(焉)的值。

解：

4

因?yàn)閒(a)+fri-a)=^-+^—-=—+V!-=—+—=1-

1J1

J4a+24一+24a+2±+24a+24a+2

所以f(—)+)+)+)=ff(—)+f(—)]

ki001/li001/li001/ki001/li001/ki001/