高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)文數(shù)版講義：第五章 平面向量 含解析

第五章平面向量

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.平面向量的有關(guān)概念；平面向量的線性運(yùn)算.

突破點(diǎn)(一)平面向量的有關(guān)概念

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

名稱(chēng)定義備注

既有大小又有方向的量叫做向量:向平面向量是自由向量，平面向量可自

向量

量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)由平移

零向量長(zhǎng)度為9的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為端

方向相同或相反的非零向量，又叫做

平行向量0與任一向量平行或共線

共線向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

［基本能力］

1.判斷題

⑴向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量.()

⑵若@〃1),b〃c,則a〃c.()

⑶若向量a與b不相等，則a與b一定不可能都是零向量.()

答案：⑴X(2)X(3)V

2.填空題

(1)給出下列命題：

①若a=b,b=c,貝!1a=c；

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則商=方才是四邊形45co為平行四邊形的充要條件；

③a=b的充要條件是|a|=|b|且a〃b；

其中正確命題的序號(hào)是.

解析：①正確...,a=b,；.a,b的長(zhǎng)度相等且方向相同，

又b=c,Ab,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，

Aa,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故2=a

②正確.'：~AB=~DC,：.\AB|=|PC\JLAB//~DC,

又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，

二四邊形ABCD為平行四邊形；

反之，若四邊形A5C。為平行四邊形，

則笈〃萬(wàn)才且|成|=|萬(wàn)國(guó),因此，AB=DC.

③不正確.當(dāng)a〃b且方向相反時(shí)，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b不是a=b的充要

條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②.

答案：①@

⑵若a、b都為非零向量，則使含+&=0成立的條件是________.

附II。I

答案：a與b反向共線

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

一點(diǎn)平面向量的有關(guān)概念

［典例］（1）（2018?海淀期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長(zhǎng)度等于0

D.前〃在就是前所在的直線平行于而所在的直線

（2）（2018?棗莊期末）下列命題正確的是（）

A.若|a|=|b|,貝!|a=b

B.若|a|>|b|,則a>b

C.若a=b,則a〃b

D.若|a|=0,則a=0

［解析］（1）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反的非零向量叫做

共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；當(dāng)笈〃Z方時(shí)，焉所在的直

線與在所在的直線可能重合，故D不正確.

(2)對(duì)于A,當(dāng)|a|=|b|,即向量a,b的模相等時(shí)，方向不一定相同，故a=b不一定成立；對(duì)于B,向

量的?？梢员容^大小，但向量不可以比較大小，故B不正確；C顯然正確；對(duì)于D,若|a|=0,則a=0,

故D不正確，故選C.

［答案］(1)C(2)C

［易錯(cuò)提醒］

⑴兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判薪也們是否相爭(zhēng)，但它們的澳可以比較大小；

(2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上.

［全練題點(diǎn)］

1.給出下列命題：

①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

②ia=0(2為實(shí)數(shù))，則).必為零；

③心"為實(shí)數(shù)，若2a=〃b,則a與b共線.

其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯(cuò)誤，當(dāng)a=0時(shí)，不論；I為何值,

ia=().③錯(cuò)誤，當(dāng)2=〃=0時(shí)，2a=〃b=0,此時(shí)，a與b可以是任意向量.錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D.

2.關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是()

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量

D.共線向量就是相等向量

解析：選C對(duì)于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對(duì)于B,單位向量的模為

1,其方向可以是任意方向，故B不正確；對(duì)于C,方向相反的向量一定是共線向

量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對(duì)于D,由共線向量和相等向量的定義可知D不

正確，故選C.

1A

3.如圖，△ABC和B1C是在各邊的3處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)△

ABC的邊長(zhǎng)為a,圖中列出了長(zhǎng)度均為g的若干個(gè)向量，則

A，

(1)與向量而相等的向量有;

(2)與向量蘇共線，且模相等的向量有;

(3)與向量EA一共線，且模相等的向量有.

解析：向量相等o向量方向相同且模相等.

向量共線o表示有向線段所在的直線平行或重合.

答案：⑴前,~HC(2)EC,~LE,曲,~GB,~HC

(3)EF,~FB,,UK,KBr

突破點(diǎn)(二)平面向量的線性運(yùn)算

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

1,向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

a交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三先膠達(dá)則

(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四邊形法則

求a與b的相反向量

減法a—b=a+(—b)

-b的和的運(yùn)算a

三角形法則

|；,a|=|2||a|,當(dāng)2>023a)=(2〃)a；

時(shí)，2a與a的方向(A+//)a

求實(shí)數(shù)7與向量a的

數(shù)乘相同;當(dāng)義<0時(shí)，=2a+//a；

積的運(yùn)算

然與a的方向相反；x(a+b)

當(dāng)2=0時(shí)，ia=O=2a+2b

2.平面向量共線定理

向量b與a(aWO)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得b=2a.

［基本能力］

1.判斷題

⑴a〃b是an.bQGR)的充要條件.()

(2?8C中，。是5c的中點(diǎn)，則說(shuō)=點(diǎn)就+看).()

答案：(1)X(2)V

2.填空題

⑴化簡(jiǎn)：

?AB+MBVB6+OM=.

②磁+~QP+~MN~~MP=.

答案：①1聲②0

⑵若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則\AB~~CB+~CD\=.

解析：\AB-~CB+'CD\=\AB+~BC+~CD\=\AD\=2.

答案：2

(3)在QABCZ)中，AB=a,AD=b,~AN=3NC,則俞=(用a,b表示).

答案：本3+和3

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

1平面向量的線性運(yùn)算

應(yīng)用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的法則即可.注意加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法

的平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”；減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向“被減向量”；

數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算.

［例1］(1)(2018?河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形A5CD中，D.______CAB=2AD=

2DC,E為BC邊上一點(diǎn),~BC=3E方,尸為AE的中點(diǎn)，則”=()

A.|AB—B^AB—^AD

c.—+|ADD.-

(2)(2018?深圳模擬)如圖所示,正方形AHco中，M是Bc的中點(diǎn)，r\若就=2九看

+//BD,貝!M+〃=()

A.lB5

從3AB

噫D.2

［解析］(1)/=萬(wàn)7+方==BA+|AE

=-~AB+|(AD+|AB+/)

=-W+3誤！

=-~AB+|AD+|AB+1(CD+DA+~AB)

=—jAB+；a6.

(2)因?yàn)榫?；.4M+ABO=；.(AB+嬴)+〃(前+茄)=7錯(cuò)誤！+〃(一錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤!)=(2—4)錯(cuò)誤!

〃、一r尸〃=1，

+?/.+")詬，且女=方+說(shuō)，所以j&+_1

所以:.+〃=點(diǎn)，故選B.

［答案I(1)C(2)B

［方法技巧］

1.平面向量的線性運(yùn)算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中

位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解.

2.利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路

(1)沒(méi)有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.

(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.

(3)比較、觀察可知所求.

”二平面向量共線定理的應(yīng)用

求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng)

(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意

待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.

(3)直線的向量式參數(shù)方程：A,P,3三點(diǎn)共線o/=(1一，)?涼+法聲(0為平面內(nèi)任一點(diǎn)，fGR).

［例2］(1)(2017?蕪湖二樓)已知向量a,b是兩個(gè)不共線的向量，若向量,”=4a+b與n=aTb共線，

則實(shí)數(shù)2的值為()

A.—4B.—1

C.1D.4

(2)(2018?懷化一模)已知向量a,b不共線，向量無(wú)*=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,貝ij()

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.A,C,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

［解析］(1)因?yàn)橄蛄縜,b是兩個(gè)不共線的向量，所以若向量m=4a+b與n=a—2b共線，則4X(一力

=1X1,解得久=一：,故選B.

(2)因?yàn)檎f(shuō)=員+為方=2a+6b=2(a+3b)=273，所以說(shuō)，7芳共線，又有公共點(diǎn)8,所以A,B,

。三點(diǎn)共線.故選B.

【答案I(1)B(2)B

［方法技巧］平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用

證明向量共線對(duì)于非零向量a,b,若存在實(shí)數(shù)人使2=北，則a與b共線

若存在實(shí)數(shù)人使焉=1二就，,與就有公共點(diǎn)A,則A,B,C三點(diǎn)

證明三點(diǎn)共線

共線

求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

［提醒|證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn).

I全練題點(diǎn)］

1.［考點(diǎn)一］(2018?長(zhǎng)叁一模)在梯形4BC。中，~AB=3DC,則友=()

A.-^AB+ADB.-|AB+^AD

C.-|AB+|ADD.-fAB-~AD

解析：選A因?yàn)樵谔菪蜛BC。中，弁=3萬(wàn)下，所以就=五？+說(shuō)+萬(wàn)方=一黃+而+；前=

—^AB+~AD,故選A.

2.［考點(diǎn)二］已知a,b是不共線的向量，AB=za+b,AC=a+//b,2,〃GR,則A,B,C三點(diǎn)共線的

充要條件為()

A.計(jì)〃=2B.A-fi=\

C.⑷=一1D.AH=\

解析：選DVA,B,C三點(diǎn)共線，//~\C,設(shè)立濟(jì)=機(jī)就(機(jī)W0),則2a+b=/n(a+“b),:.

2=nt,

：.).u=\,故選D.

3.［考點(diǎn)二］(2018?南寧模擬)已知ei,。2是不共線向量，a=/nei+2e2,b=nei—ei,且mn#0,若a/b,

貝哈=()

A.—2B-2

C.-2D.2

An=m,

解析：選CVaz/b,Aa=zb,即/nei+2e2=，nei—e2),則彳故m—=—2.

—2=2,〃

4.［考點(diǎn)一］已知點(diǎn)M是△ABC的邊8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且衣=2了9，則蘇=()

A.^AC+3^^B.4C?+去AB

1—>1—>1—>3~>

C.7AC+不ABD.TAC+^AB

oZoZ

解析：選C如圖，?.,衣=2笈，.?.瑞=反+南=/就=j

就就)=緊+沫.0MC

5.［考點(diǎn)一］如圖，在△0A8中，尸為線段A8上的一點(diǎn)，~OP=nxl)A+y()B,B.

~BP=2PA,貝！|()/

12

-

21X-V-一

A-x=?產(chǎn)3B.V-3

C.x=［，7=4D-x=4,J=4

解析：選A由題意知蘇=笳+而，又蘇=2右，所以蘇=涼+：前=/聲+小畝一下1)

翔121

就

所-

+-以=-=

=3XJ3

3J

［全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律I

1.(2017?全國(guó)卷H)設(shè)非零向量”，〃滿足|。+"=|。一加貝！|()

A.a±bB.|"|=步|

C.a//bD.|網(wǎng)>網(wǎng)

解析：選A法一：V\a-Vb\=\a—b\,|a+ft|2=|a—Z>|2,.\a2+b2+2a-b=a2-}-b2—2a'b,.'.a-b=0,

：.a±b.

法二：利用向量加法的平行四邊形法則.在。A8C。中，設(shè)磊=a,~AD=b,由|。+勿=|。一引，知|就

\=\DB\,從而四邊形ABC。為矩形，即A5_LA￡>,故aJ■瓦

2.(2014?全國(guó)卷I)設(shè)O,E,尸分別為△ABC的三邊BC,CA,A8的中點(diǎn)，則竊+不?=()

A.~ADB.TAD

1---->

C.BCD.zBC

解析：選A商+京4丸浮+■）+：（就+就）=

+AC)=AD,故選A.

3.（2015?全國(guó)卷H）設(shè)向量a,b不平行，向量2a+b與a+2b平行，則實(shí)數(shù)2=

解析：Wa+b與a+2b平行,**.za+b=/(a+2b),

2=Z,

即2a+b=/a+2/b,工解得3

,1=2/,1

z=r

答案：I

［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)］

［小題對(duì)點(diǎn)練---點(diǎn)點(diǎn)洛實(shí)］

對(duì)點(diǎn)練（一）平面向量的有關(guān)概念

1.若向量a與b不相等，則a與b一定（）

A.有不相等的模B.不共線

C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量

解析：選C若a與b都是零向量，則2=13,故選項(xiàng)C正確.

2.設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a卜聞；②若a與a°平行，則a

=|a|ao；③若a與a0平行且|a|=L則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與同期的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；

若a與a0平行，則a與a?的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a=一|a|a?,故②③也是假命

題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.

3.已知a,b是非零向量，命題p：a=b,命題g：|a+b|=|a|+|b|,則p是g的條件.

解析：若a=b,則|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p今q.若|a+b|=|a|+|b|,由加法的運(yùn)算

知a與b同向共線，即a=2b,且2>0,故g，/p.；.p是g的充分不必要條件.

答案：充分不必要

對(duì)點(diǎn)練（二）平面向量的線性運(yùn)算

A,D

fE

B1

1.如圖，在平行四邊形ABC。中，￡為。。邊的中點(diǎn)，且K=a,AD=b,則笳=()

A?；b-aB.：a-b

C.—5+bD.^b+a

解析：選CBE=BA+AD+^OC=—a+b+^a=b—^a,故選C.

2.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+(22—l)b,若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)2的值為()

A.1B.一；

C.1或一；D.—1或一彳

解析：選B由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)A使c=Ad(AVO),于是2a+b=Ha+(22—1沏.整理得

入,[

Na+b=Aa+(2iA—4)b.由于a,b不共線，所以有“整理得2A2—7—1=0,解得2=1或7=一刀.

2入k—k=l,/

又因?yàn)閅0,所以;IV0,故4一

3.(2018?江西八校聯(lián)考)在△A5C中，P,。分別是邊Ab,3C上的點(diǎn)，_&AP=\ABf.若其

=a,AC=b,則P6=()

B./a+jb

A3a+3b

號(hào)a—；bD.玲斗

解析：選APQ=PB+BQ+^(AC—AB)=^AB+^AC=^a+|b,故選A.

Aj

4.(2017?鄭州二樓)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，且滿足8O=/C,

過(guò)點(diǎn)。的直線分別交直線48,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若加=機(jī)笈，'AN=nAC,則

A.,〃+n是定值，定值為2

B.2m+n是定值，定值為3

C.A+5是定值，定值為2

D.2%十1是定值，定值為3

解析：選D法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交于點(diǎn)AE.由京=n就

B

-N

可得A就T=》1所以AEAC2n

匕,由BD=^DC=3,所以愛(ài)=因?yàn)槲?/n肉,

EM~CN~n可得黑〃一13〃一1’

"+w

所以桁:公不整理可得2+5=3.

法二：因?yàn)镸,D,N三點(diǎn)共線，所以罰=元1筋+（1—乃?肅.又彳筋=小笈，^N=nAC,所以茄

=力"就'+（IT）?n就.又訪=4萬(wàn)工所以罰一就一白方，所以罰=]就+占方.比較系數(shù)

2121

知力〃=§,（1—2）n=^,所以江+[=3，故選D.

5.（2018?銀川一模）設(shè)點(diǎn)P是△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且進(jìn)+京=2訴，則發(fā)+五彳=.

解析：因?yàn)榫?前=2訴，由平行四邊形法則知，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，故衣+石T=0.

答案：0

6.（2018?衡陽(yáng)模擬）在如圖所示的方格紙中，向量a,b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形頂點(diǎn)）上，

若c與xa+yb（x,y為非零實(shí)數(shù)）共線，貝號(hào)的值為.

解析：設(shè)ei,e2分別為水平方向（向右）與豎直方向（向上）的單位向量，則向量c=ei—2ez,a=2ei+e2,

b=-2ej—2ez,由c與xa+jb共線，得c=2（xa+jb）,所以ei—2ez=22（x—j）ei+2（^—2j）ez,所以

r3

X=T,

2i(x-j)=l,所以《:貝盧的值為去

/(x—2j)=-2,[y=25i>J?

答案：|

7.（2018?鹽城一模）在△ABC中，N4=60°,NA的平分線交BC于點(diǎn)O,若4B=4,且茄=：就+

xABQGR）,則AZ）的長(zhǎng)為.

解析：因?yàn)閮?yōu)D,C三點(diǎn)共線，所以：+2=1,解得2=點(diǎn)如圖，B過(guò)點(diǎn)。分別作

_______________

AC,4B的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,則京=：就，~AM=^AB,經(jīng)計(jì)算得AN

=AM=3,AD=34.

答案：3y[3

8.在直角梯形ABC。中，NA=90。，NB=30°,AB=2小,BC=2,點(diǎn)E在線段CZ)上，若AE=

~AD+/^AB,則〃的取值范圍是.

解析：由題意可求得40=1,CD=小,所以7/=2萬(wàn)不.

?.?點(diǎn)E在線段CD上，：JDE=kDC(0W2W1).

'：^E=~AD+~DE,

又n=~AD+^AB=~AD+2"虎=~AD+^DE,

.,岑=1,即.，收"］

即〃的取值范圍是「0,1.

L乙_

答案:1°,d

［大題綜合練——遷移貫通］

1.在△ABC中，D,E分別為8C,AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB=

2GE,設(shè)方'=a,~AC=b,試用a,b表示說(shuō)，AG.

解:AD=1(AB+AC)=^a+1b.

AG=AB+BG=AB+^BE='AB+|(BA+~BC)

+1(AC—AB)=1ABAC=1a+1b.

2.已知a,b不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)fGR,如果3a=c,2b=d,e

=f(a+b),是否存在實(shí)數(shù)r使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)f的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

解：由題設(shè)知，CD=d-c=2b-3a,C￡=e-c=(Z-3)a+zb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條

件是存在實(shí)數(shù)&,使得及'=/員，即。-3)a+fb=-3Aa+2Ab,

整理得“-3+3A)a=(2A-f)b.

7—3+34=0,6

因?yàn)閍,b不共線，所以有解得f=￡.

7—2*=0,5

故存在實(shí)數(shù)使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

A

3.如圖所示，在△A5C中，D,尸分別是3C,AC的中點(diǎn)，~AE=fAD,~AB=a,AC=b.

(1)用a,b表示向量而，~AE,~AF,~BE,BF；

(2)求證：B,E,尸三點(diǎn)共線.

—*1—*d

解：(1)延長(zhǎng)4。到G,使AO=5AG,/Kr

連接BG,CG,得到口ABGC,如圖,

所以前=磊+就=2+13,

(2)證明：由(1)可知笳=李瓦濟(jì),

又因?yàn)锽E,BF有公共點(diǎn)、B,

所以B,E,尸三點(diǎn)共線.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標(biāo)表示.

突破點(diǎn)(一)平面向量基本定理

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

I基本知識(shí)1

如果e?ez是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九,

X2?使a=21eI+iie2.

其中，不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底一

［基本能力1

1.判斷題

(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()

(2)在△45C中，設(shè)焉=a,BC=b,則向量a與b的夾角為NA8C.()

(3)若a,b不共線，且九a+"ib=22a+/2b,則右=不，小="2.()

答案：(1)X⑵X⑶J

2.填空題

(1)設(shè)ei，e2是平面內(nèi)一組基底，若2iei+22e2=0,則九+22=.

答案：0

(2)設(shè)ei,e2是平面內(nèi)一組基向量，且2=61+262,b=-ei+e2,則2a—b=.

答案：3ei+3e?

(3)(2018?嘉興測(cè)試)在△ABC中，已知"是3c中點(diǎn)，設(shè)苕=a,~CA=b,則冗=.

答案：-b+：a

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

考點(diǎn)平面向量基本定理

［典例］(1)(2018?長(zhǎng)磨M擬)如圖所示下列結(jié)論k正確的是()

①方=去+券；

②Pi=ga-b；;：P：：!：T;

③PS=^a—jb；

(4)PR=ga+b.

A.B.@@

C.@(3)D.②④

(2)(2018?岳陽(yáng)質(zhì)檢)在梯形A3C。中，已知AB〃CO,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn).若其

=AAM+/iAN,則;>.+“的值為()

A.I

BSC,5D,4

PQ=|a+|b,故①正確；②根據(jù)向量的減法法則，得?子=會(huì)

［解析］(1)①根據(jù)向量的加法法則，

一|b,故②錯(cuò)誤；③同'=方+運(yùn)=多i+|b—2b=|a—1b,故③正確；④于芹=/［+至齊=濃+和一b

=|a+|b,故④錯(cuò)誤，故選C.

⑵法一:連接AC（圖略），由其=/C蓊+"俞，得京=忌茄+衣）+舄（就+方'）,則《一1）成

+齊方+［灣）就=0,得右一1）蠡方+修+勻錯(cuò)誤!=0,得錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=（）.又錯(cuò)誤!，

4

5,4

而不共線，所以由平面向量基本定理得《所以2+4=g.

法二：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接MN并延長(zhǎng)，交A6的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,

由已知易得A5=*4T,所以/=下方=2了法+"京，因?yàn)門(mén),M,N三點(diǎn)共線，

4

所以2.+〃=1

［答案］（1）C（2）C

［方法技巧］

一拓而■莖獲羸藤?gòu)R友露面恿花一

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)

乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

［全練題點(diǎn)］

1.（2018?泉州調(diào)研）若向量a,b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是（）

A.a—2b與一a+2bB.3a—5b與6a—10b

C.a—2b與5a+7bD.2a_3b與ga—

解析：選C不共線的兩個(gè)向量可以作為一組基底.因?yàn)閍-2b與5a+7b不共線，故a-2b與5a+7b

可以作為一組基底.

2.向量ei,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a-b=（）

A.-4ei-2eiB.-2ei—4ez

C.ei—3eiD.3ei—ei

解析：選C結(jié)合圖形易得，a=—ej—4ei,b=_2e）—ez,故a—b

E

3.如圖，正方形AbCD中，E為。。的中點(diǎn)，若AE=2A3+〃AC,D.,c則2+〃的值為

)

B

C.1D.-1

解析：選A由題意得3=詬+當(dāng)適=就+7^—/^=就一]瓦A2=-1,從=1,???：+"

=；,故選A.

__>._?C

4.(2018?湖南邵陽(yáng)一棋)如圖，在△A5C中，設(shè)4B=a,AC=b,AAP的中點(diǎn)為

Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)為P,若N?=/?a+nb,則m+n=.Ac\\

解析：根據(jù)已知條件得，~BQ=^Q-^BA口B

=1AP—AB=1(ma+nb)—a=^y—l)a+鄂,CR=BR—BC—AC+AB=^g—[>+?]

-b+a=(j+1)a+(j-l)b,：.~QP=^a+^b,蔽=已一：1+/$=\,豆+

"3m1m1(2

m=?

工(著T)a+蕓=(dV)a+G-電彳-5=一9一7

解得，/故小+n

〃

—3—1——n4

【428'//=7,

6

T

答案：專(zhuān)

突破點(diǎn)(二)平面向量的坐標(biāo)表示

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模

設(shè)a=(xi,ji),b=(x2>J2).則:

a+b=(xi+x2，丫1+丫2)，a-b=(xi~~必,Vi-V2)，2a=(Ari,2yi),|a|=^/xi+jf.

(2)向量坐標(biāo)的求法

若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).一般地，設(shè)A(xi，yD，B(X2,y2),則立聲=公

-XI，於一力).

2.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(*i,ji),b=(*2,J2)>其中b#0,則a〃bOxiy2~~X2Vi=0.

［基本能力］

(1)已知a=(2,l),b=(-3,4),貝!|3a+4b=.

答案：(一6,19)

(2)已知向量a=(2,l),b=(l,-2),若/na+nb=(9,—8)(”?，nGR),則/n-n的值為.

解析：■，"a+nb=(2,"+n,/n—2n)=(9,—8),

2m+n=9,f/n=2,

Ai/.i，機(jī)一n=2—5=—3.

yn-2/i=-8,l〃=5,

答案：一3

(3)若AC為平行四邊形A8CO的一條對(duì)角線，弁=(2,4),就=(1,3),則罰=.

答案：(-1,-1)

(4)若三點(diǎn)4(1,-5),B(a,-2),C(一2,—1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為.

解析：AB=(a-l,3),AC=(-3,4),據(jù)題意知了^〃就，.\4(a-l)=3X(-3),即4a=-5,.\a=

5

4-

答案：一?

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

［例1］(1)(2018?紹興模擬)已知點(diǎn)M(5,—6)和向量a=(l,-2),若MN=-3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

(2)在△ABC中，點(diǎn)尸在8c上，且N=2左