第七章　§7.3　空間點、直線、平面之間的位置關系-2025高中數(shù)學大一輪復習講義人教A版

§7.3空間點、直線、平面之間的位置關系課標要求1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．知識梳理1．基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點；)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l無數(shù)個5.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).常用結論1．過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．2．分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)(2)直線與平面的位置關系有平行、垂直兩種．(×)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(×)(4)兩兩相交的三條直線共面．(×)2．(必修第二冊P147例1改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，直線BD1與直線AA1所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),3)答案D解析連接BD(圖略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即為直線BD1與直線AA1所成的角，不妨設正方體的棱長為a，則BD＝eq\r(2)a，BD1＝eq\r(D1D2＋BD2)＝eq\r(3)a，所以cos∠DD1B＝eq\f(DD1,D1B)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).3．(多選)給出以下四個命題，其中錯誤的是()A．不共面的四點中，其中任意三點不共線B．若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面C．若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D．依次首尾相接的四條線段必共面答案BCD解析反證法：如果四個點中，有3個點共線，第4個點不在這條直線上，根據(jù)基本事實2的推論可知，這四個點共面，這與已知矛盾，故A正確；如圖1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B錯誤；如圖2，a，b共面，a，c共面，但b，c異面，故C錯誤；如圖3，a，b，c，d四條線段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D錯誤．圖1圖2圖34.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則：(1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)由題意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.題型一基本事實的應用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．證明(1)如圖所示，連接B1D1.因為EF是△C1D1B1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設A1，C，C1確定的平面為α，又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．(3)因為EF∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點．思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．跟蹤訓練1在如圖所示的空間幾何體中，四邊形ABEF與ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為AF，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由題設知，因為G，H分別為AF，F(xiàn)D的中點，所以GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD，又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，故GH∥BC且GH＝BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形．(2)解C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下：由BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G是AF的中點知BE∥GF且BE＝GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，F(xiàn)H共面．又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．題型二空間位置關系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案ABD解析對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，故A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，故B正確；對于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，故C錯誤；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，α，β重合，故D正確．(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面答案D解析如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時a和c異面．思維升華判斷空間直線的位置關系一般有兩種方法：一是構造幾何體(如長方體、空間四邊形等)模型來判斷．二是排除法．特別地，對于異面直線的判定常用到結論：“平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．”跟蹤訓練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是()A．平行 B．異面C．相交或平行 D．平行或異面或相交均有可能答案D解析根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況．(2)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個選項正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線答案CD解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以直線AM與CC1是異面直線，故A錯誤；取DD1的中點E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，所以AM與BN不平行，故B錯誤；因為點B1與直線BN都在平面BCC1B1內(nèi)，點M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確．題型三異面直線所成的角例3(1)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6) D.eq\f(\r(6),6)答案D解析如圖，過點E作圓柱的母線交下底面于點F，連接AF，易知F為的中點，設四邊形ABCD的邊長為2，則EF＝2，AF＝eq\r(2)，所以AE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6).連接ED，則ED＝eq\r(6).因為BC∥AD，所以異面直線AE與BC所成的角即為∠EAD(或其補角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).(2)四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，異面直線AC與PD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5)，則四棱錐外接球的表面積為()A．48πB．12πC．36πD．9π答案D解析如圖，將其補成長方體．設PA＝x，x>0，連接AB1，B1C，則異面直線AC與PD所成的角就是∠ACB1或其補角．則cos∠ACB1＝eq\f(\r(10),5)＝eq\f(8＋x2＋4－x2－4,2×2\r(2)×\r(x2＋22))，解得x＝1(舍去負值)，所以外接球的半徑為eq\f(1,2)×eq\r(12＋22＋22)＝eq\f(3,2)，所以該四棱錐外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝9π.思維升華異面直線所成角的求法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補形法在該幾何體的某側(cè)補接上一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解跟蹤訓練3(1)(2023·莆田模擬)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，高為eq\r(6)，則直線AE1和EF所成角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案C解析如圖所示，EF∥E1F1，則∠AE1F1即為所求．∵AF＝EF＝1，EE1＝eq\r(6)，且∠AFE＝eq\f(2π,3)，∴AE＝eq\r(AF2＋EF2－2AF·EF·cos

\f(2π,3))＝eq\r(3)，∴AE1＝eq\r(AE2＋EE\o\al(2,1))＝3，AF1＝eq\r(AF2＋FF\o\al(2,1))＝eq\r(7)，∴cos∠AE1F1＝eq\f(AE\o\al(2,1)＋E1F\o\al(2,1)－AF\o\al(2,1),2AE1·E1F1)＝eq\f(9＋1－7,2×3×1)＝eq\f(1,2)，∴∠AE1F1＝eq\f(π,3)，即直線AE1和EF所成角的大小為eq\f(π,3).(2)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如圖所示，過點A補作一個與正方體ABCD－A1B1C1D1相同棱長的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1.∵△AF1E為正三角形，∴sin∠EAF1＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).課時精練一、單項選擇題1．若直線上有兩個點在平面外，則()A．直線上至少有一個點在平面內(nèi)B．直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C．直線上所有點都在平面外D．直線上至多有一個點在平面內(nèi)答案D解析根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi)．2．已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過同一點，可設l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi)．3．已知平面α∩平面β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且B?l，又AC∩l＝M，過A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ是()A．直線CM B．直線BMC．直線AB D．直線BC答案B解析已知過A，B，C三點確定的平面為γ，則AC?γ.又AC∩l＝M，則M∈γ，又平面α∩平面β＝l，則l?α，l?β，又因為AC∩l＝M，所以M∈β，因為B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.4.如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，M為A1C1的中點，則AM與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(15),3) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)答案D解析如圖，取AC的中點D，連接DC1，BD，易知AM∥DC1，所以異面直線AM與BC1所成角就是直線DC1與直線BC1所成的角，即∠BC1D，因為直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，可設三棱柱的棱長都為2，則DC1＝eq\r(5)，BD＝eq\r(3)，BC1＝2eq\r(2)，則在△BDC1中，由余弦定理可得cos∠BC1D＝eq\f(\r(5)2＋2\r(2)2－\r(3)2,2×\r(5)×2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，即異面直線AM與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),4).5．四邊形ABCD是矩形，AB＝3AD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)至與四邊形BEFC重合，則直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過程中()A．逐步變大 B．逐步變小C．先變小后變大 D．先變大后變小答案D解析由題可知初始時刻ED與BF所成的角為0，如圖1，故B，C錯誤；圖1在四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)過程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，F(xiàn)C?平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF?平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE內(nèi)的投影P一直落在直線CF上，如圖2，圖2所以一定存在某一時刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE?平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此時DE與BF所成的角為eq\f(π,2)，然后α開始變小，故直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過程中先變大后變小，故A錯誤，D正確．6．在正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為AB，PC，AD的中點，直線BF與EG所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3)，則三棱錐P－EFG的體積為()A.eq\f(5\r(2),12)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),6)答案B解析連接BD，DF，AC，CG，CE，如圖，設BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即為BF與EG所成的角，在△FBD中，易知BD＝2eq\r(2)，cos∠FBD＝eq\f(x2＋8－x2,4\r(2)x)＝eq\f(\r(6),3)，解得x＝eq\r(3).設PB＝PC＝y(tǒng)，在△PFB中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＋3－2eq\r(3)·eq\f(y,2)cos∠PFB＝y(tǒng)2，①因為∠PFB＋∠BFC＝180°，故cos∠BFC＝cos(180°－∠PFB)＝－cos∠PFB，則在△BCF中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＋3－2eq\r(3)·eq\f(y,2)cos∠BFC＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＋3＋2eq\r(3)·eq\f(y,2)cos∠PFB＝4，②①＋②得eq\f(y2,2)＋6＝y(tǒng)2＋4，因為y>0，解得y＝2.因為F為PC的中點，故V三棱錐P－EFG＝V三棱錐C－EFG＝V三棱錐F－ECG，因為PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC為等腰直角三角形，則在等腰直角三角形PAC中，易求得點P到AC的距離即點P到底面的距離為eq\f(2×2,2\r(2))＝eq\r(2)，故點F到平面CEG的距離為eq\f(\r(2),2)，S△ECG＝S?ABCD－S△AEG－S△CDG－S△CEB＝2×2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×2＝4－eq\f(1,2)－1－1＝eq\f(3,2)，故所求三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).二、多項選擇題7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是()A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，B1，B四點共面D．D1，D，O，M四點共面答案AB解析∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD?平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，同理可得，點M和點C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，∴點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，故A，B正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得BB1與C1O為異面直線，故C1，O，B1，B四點不共面，故C不正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得DD1與MO為異面直線，故D1，D，O，M四點不共面，故D不正確．8．(2024·朝陽模擬)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，則()A．AB⊥CDB．三棱錐A－BCD的體積為eq\f(2,3)C．三棱錐A－BCD外接球的半徑為eq\r(6)D．異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)答案ABD解析將三棱錐補形為長方體，如圖所示．其中BE＝BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，連接MF，則AM∥BF，AM＝BF，所以四邊形AMFB為平行四邊形，所以AB∥MF，又四邊形MCFD為正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正確；長方體的體積V1＝1×1×2＝2，三棱錐E－ABC的體積V2＝V三棱錐A－BEC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3)，同理，三棱錐N－ABD，三棱錐F－BCD，三棱錐M－ACD的體積也為eq\f(1,3)，所以三棱錐A－BCD的體積V＝2－4×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B正確；長方體的外接球的直徑為eq\r(12＋12＋22)＝eq\r(6)，所以長方體的外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，長方體的外接球也是三棱錐A－BCD的外接球，所以三棱錐A－BCD外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，故C錯誤；連接MN，交AD于點O，因為MN∥BC，所以∠AOM(或其補角)為異面直線AD與BC所成的角，由已知OA＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(5),2)，OM＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(\r(5),2)，AM＝2，所以cos∠AOM＝eq\f(\f(5,4)＋\f(5,4)－4,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝－eq\f(3,5)，所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)，故D正確．三、填空題9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，則點P與直線l的位置關系用符號表示為________．答案P∈l解析∵m?α，n?β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴點P在直線l上，即P∈l.10.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．答案3解析畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3對．11．(2023·南陽模擬)如圖，AB和CD是異面直線，AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(7)，則AB與CD所成角的大小為________．答案60°解析在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點G，連接GF，如圖，∵eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，又eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)，則GF∥CD，∴∠EGF(或其補角)即為AB與CD所成的角，在△EGF中，EG＝eq\f(2,3)AB＝2，GF＝eq\f(1,3)CD＝1，EF＝eq\r(7)，∴cos∠EGF＝eq\f(22＋12－\r(7)2,2×2×1)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.12．(2023·長春模擬)如圖，在底面為正方形的棱臺ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱CC1，BB1，CF，AF的中點，對空間任意兩點M，N，若線段MN與線段AE，BD1都不相交，則稱點M與點N可視，下列與點D不可視的為________．(填序號)①B1；②F；③H；④G.答案①②③解析如圖所示，連接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因為E，F(xiàn)分別為棱CC1，BB1的中點，所以EF∥BC，又底面ABCD為正方形，所以BC∥AD，所以EF∥AD，所以四邊形EFAD為梯形，所以DH與AE相交，DF與AE相交，故②③不可視；因為B1D1∥DB，所以四邊形B1D1DB是梯形，所以B1D與BD1相交，故①不可視；因為EFAD為梯形，G為CF的中點，即G?EF，則D，E，G，A四點不共面，所以DG與AE不相交，若DG與BD1相交，則D，B，G，D1四點共面，顯然D，B，B1，D1四點共面，G?平面DBB1D1，所以D，B，G，D1四點不共面，即假設不成立，所以DG與BD1不相交，即點G與點D可視，故④可視．四、解答題13.已知ABCD是空間四邊形，如圖所示(M，N，E，F(xiàn)分別是AB，AD，BC，CD上的點)．(1)若直線MN與直線EF相交于點O，證明：B，D，O三點共線；(2)若E，N為BC，AD的中點，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求異面直線AB與DC所成角的余弦值．(1)證明因為M∈AB，N∈AD，AB?平面ABD，AD?平面ABD，所以MN?平面ABD，因為E∈CB，F(xiàn)∈CD，CB?平面CBD，CD?平面CBD，所以EF?平面CBD，由于直線MN與直線EF相交于點O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，則O∈BD，所以B，D，O三點共線．(2)解連接BD，作BD的中點G，并連接GN，GE，如圖所示，在△ABD中，點N，G分別是AD和BD的中點，且AB＝6，所以GN∥AB，且GN＝eq\f(1,2)AB＝3，在△CBD中，點E，G分別是BC和BD的中點，且DC＝4，所以GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)DC＝2，則異面直線AB與DC所成的角等于直線GE與GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的補角，又NE＝2，由余弦定理得cos∠EGN＝eq\f(GE2＋GN2－NE2,2GE·GN)＝eq\f(22＋32－22,2×2×3)＝eq\f(3,4)>0，故異面直線AB與DC所成角的余弦值為eq\f(3,4).14.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點E是PB的中點．(1)線段PA上是否存在一點G，使得點D，C，E，G共面？若存在，請證明，若不存在，請說明理由；(2)若PC＝2，求三棱錐P－ACE的體積．解(1)存在．當G為PA的中點時滿足條件．如圖，連接GE，GD，則GE是△PAB的中位線，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四點共面．(2)因為E是PB的中點，所以V三棱錐P－ACE＝V三棱錐B－ACE＝eq\f(1,2)V三棱錐P－ACB.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×2×1＝1，V三棱錐P－ACB＝eq\f(1,3)PC·S△ABC＝eq\f(2,3)，所以V三棱錐P－ACE＝eq\f(1,3).15.(多選)如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動，則下列判斷中正確的是()A．DP∥平面AB1D1B．三棱錐C－AD1P的體積為定值C．平面PB1D⊥平面ACD1D．異面直線DP與AD1所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))答案ABC解析對于A，連接DB，C1D，AB1，D1B1，因為BC1∥AD1，BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，因為DB∥D1B1，DB?平面AB1D1，D1B1?平面AB1D1，所以DB∥平面AB1D1，又DB∩BC1＝B，DB，BC1?平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，又DP?平面BDC1，所以DP∥平面AB1D1，故A正確；對于B，由點P在線段BC1上運動知平面