滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)考試滿分全攻略第26章二次函數(shù)(基礎(chǔ)、典型、壓軸)分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版+解析)

第26章二次函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、壓軸）分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）把拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．2．（2022·上海嘉定·九年級(jí)期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）已知拋物線的頂點(diǎn)是此拋物線的最低點(diǎn)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·上海靜安·九年級(jí)期末）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C．（1，0） D．（0，0）5．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（1，－2） B．（1，－） C．（－2.1） D．（－2.－1）6．（2022·上海虹口·二模）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值為_(kāi)____．8．（2022·上海楊浦·九年級(jí)期末）已知拋物線，它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________．9．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）將拋物線y=2x2向下平移2個(gè)單位后的拋物線解析式為y=______．10．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）拋物線y=(a?1)x2?2x+3在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是________．11．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）如果拋物線的對(duì)稱軸是軸，那么頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________12．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）如果拋物線開(kāi)口向下，那么a的取值范圍是______．13．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）已知點(diǎn)、為函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，若，則______（填“>”、“=”或“<”）．14．（2022·上海青浦·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的圖像有最______點(diǎn)．（填“高”或“低”）15．（2022·上海金山·九年級(jí)期末）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么這個(gè)拋物線的開(kāi)口向______．16．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）拋物線過(guò)點(diǎn)（2，3）、（﹣6，3），則拋物線的對(duì)稱軸是直線_______．17．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如果二次函數(shù)的圖像在y軸的右側(cè)部分是下降的，寫(xiě)出符合條件的一個(gè)a的值是________．【典型】一、單選題1．（2020·上海黃浦·一模）把拋物線y=-2x2向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．二、填空題2．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）拋物線的圖像一定經(jīng)過(guò)__________象限．3．（2020·上海·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）拋物線y＝x2﹣2在y軸右側(cè)的部分是_____．（填“上升”或“下降”）4．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一條拋物線上，則k的值等于_____．三、解答題5．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c過(guò)A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．6．（2019·上海市嘉定區(qū)豐莊中學(xué)二模）如圖，已知拋物線分別交軸、軸于點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．（1）若．①求拋物線的解析式；②當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【壓軸】一、解答題1．（2022·上海嘉定·二模）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．2．（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸為直線x=1，交x軸于點(diǎn)E．(1)求該拋物線的表達(dá)式．(2)點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)，證明：∠CDB=∠CAB．(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，以及拋物線上一點(diǎn)N，使得以M、N、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？如果有，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，拋物線與已知直線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），頂點(diǎn)為．(1)求直線的表達(dá)式；(2)若拋物線的頂點(diǎn)不在第一象限，求的取值范圍；(3)若直線與直線所成夾角的余切值等于3，求拋物線的表達(dá)式．4．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校東校九年級(jí)期中）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，設(shè)BE＝m．(1)如圖，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)CF，①當(dāng)m＝時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)；②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；(2)設(shè)過(guò)BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與m的關(guān)系5．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB＝OC＝12．(1)求拋物線的解析式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)聯(lián)結(jié)BD，F(xiàn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)∠FAB＝∠ACO時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)平行于x軸的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ＝MN時(shí)，求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)．6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求的正弦值；（2）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，且與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．7．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果拋物線C1：與拋物線C2：的開(kāi)口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系．8．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如果拋物線與的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱它們是關(guān)聯(lián)拋物線．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，9）且與y軸交于點(diǎn)C（0，5），對(duì)稱軸為直線．（1）求拋物線的關(guān)聯(lián)拋物線的解析式；（2）記拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)坐標(biāo)為F，求的值；（3）在的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)G，使，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．9．（2022·上海楊浦·二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交線段于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作，垂足為點(diǎn)M．(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，如果，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如果以N為圓心，為半徑的圓與以為直徑的圓內(nèi)切，求m的值．第26章二次函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、壓軸）分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）把拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：把拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線解析式為：,即；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．2．（2022·上海嘉定·九年級(jí)期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故A不符合題意；B、函數(shù)關(guān)系式不是整式，不是二次函數(shù)，故B不符合題意；C、，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故C不符合題意；D、是二次函數(shù)，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二次函數(shù)定義：一般地，把形如（a、b、c是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．x為自變量，y為因變量．3．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）已知拋物線的頂點(diǎn)是此拋物線的最低點(diǎn)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)是此拋物線的最低點(diǎn)，得出拋物線開(kāi)口向上，即，解出a即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)是此拋物線的最低點(diǎn)，∴拋物線開(kāi)口向上，∴，解得：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．理解拋物線有最低點(diǎn)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·上海靜安·九年級(jí)期末）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C．（1，0） D．（0，0）【答案】D【分析】求原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移得出新拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：拋物線化成頂點(diǎn)式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與平移，解題關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．5．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（1，－2） B．（1，－） C．（－2.1） D．（－2.－1）【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】解：，所以二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海虹口·二模）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析為，∴二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（x-h）2+k中，對(duì)稱軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．二、填空題7．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）二次函數(shù)y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值為_(kāi)____．【答案】-1【分析】將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入二次函數(shù)解析式，列方程求m即可．【詳解】解：∵點(diǎn)（0，0）在拋物線y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，∴m2﹣1＝0，解得m1＝1或m2＝﹣1，∵m＝1不合題意，∴m＝1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，能夠熟練掌握待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·上海楊浦·九年級(jí)期末）已知拋物線，它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________．【答案】【分析】把代入拋物線求出y值，即可得到拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】將代入拋物線得：∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法．9．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）將拋物線y=2x2向下平移2個(gè)單位后的拋物線解析式為y=______．【答案】2x2-2【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的規(guī)則求解即可．【詳解】解：將拋物線y=2x2向下平移2個(gè)單位后的拋物線解析式為y=2x2-2．故答案為：2x2-2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移的規(guī)律“上加下減常數(shù)項(xiàng)，左加右減自變量”是解題關(guān)鍵．10．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）拋物線y=(a?1)x2?2x+3在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是________．【答案】a<1【分析】根據(jù)題意列出不等式并解答即可．【詳解】解：∵拋物線y=(a?1)x2?2x+3在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴a?1<0，解得a<1，故答案為：a<1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)，需要熟悉拋物線的對(duì)稱性和增減性．11．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）如果拋物線的對(duì)稱軸是軸，那么頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________【答案】（0，-1）【分析】由題意知，即可解得拋物線為，將代入即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)．【詳解】中a=-1，b=b故解得故拋物線為將代入有故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）故答案為：（0，-1）．【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，與y軸的交點(diǎn)為（0，c）．12．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）如果拋物線開(kāi)口向下，那么a的取值范圍是______．【答案】a＞2【分析】】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)2-a＜0．【詳解】∵拋物線y=（2-a）x2+2開(kāi)口向下，∴2-a＜0，即a＞2，故答案為：a＞2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．用到的知識(shí)點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）來(lái)說(shuō)，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）開(kāi)口向下．13．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）已知點(diǎn)、為函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，若，則______（填“>”、“=”或“<”）．【答案】＜【分析】根據(jù)題意得：拋物線的對(duì)稱軸為直線，且開(kāi)口向下，可得在對(duì)稱軸的左側(cè)隨的增大而增大，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：拋物線的對(duì)稱軸為直線，且開(kāi)口向下，∴在對(duì)稱軸的左側(cè)隨的增大而增大，∵，∴．故答案為：＜【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上海青浦·九年級(jí)期末）二次函數(shù)的圖像有最______點(diǎn)．（填“高”或“低”）【答案】高【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)∴二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下∴二次函數(shù)的圖像有最高點(diǎn)．故答案是高．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0，函數(shù)圖象開(kāi)口方向向上，函數(shù)圖象開(kāi)口方向向下．15．（2022·上海金山·九年級(jí)期末）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么這個(gè)拋物線的開(kāi)口向______．【答案】下【分析】把點(diǎn)代入，可得，即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∵，∴這個(gè)拋物線的開(kāi)口向下．故答案為：下【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）拋物線過(guò)點(diǎn)（2，3）、（﹣6，3），則拋物線的對(duì)稱軸是直線_______．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)A（﹣6，3），B（2，3）縱坐標(biāo)都是3，∴此拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝＝﹣2．故答案為：x＝﹣2．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，解題的關(guān)鍵是熟知對(duì)稱軸公式的運(yùn)用．17．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）如果二次函數(shù)的圖像在y軸的右側(cè)部分是下降的，寫(xiě)出符合條件的一個(gè)a的值是________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由圖像在軸的右側(cè)部分是下降的可得，進(jìn)而求解．【詳解】解：圖像在軸右側(cè)部分下降，拋物線開(kāi)口向下，，解得，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．【典型】一、單選題1．（2020·上海黃浦·一模）把拋物線y=-2x2向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】按“左加右減括號(hào)內(nèi)，上加下減括號(hào)外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式．【詳解】拋物線向上平移1個(gè)單位，可得，再向右平移1個(gè)單位得到的拋物線是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是：將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k

(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k)，在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”．二、填空題2．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）拋物線的圖像一定經(jīng)過(guò)__________象限．【答案】一、二【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上解答．【詳解】∵a＞0，∴拋物線的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且開(kāi)口方向向上，∴一定經(jīng)過(guò)第一、二象限.故答案為一、二.【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵在于判斷圖象的開(kāi)口方向3．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）拋物線y＝x2﹣2在y軸右側(cè)的部分是_____．（填“上升”或“下降”）【答案】上升．【分析】根據(jù)拋物線解析式可求得其對(duì)稱軸，結(jié)合拋物線的增減性可得到答案．【詳解】∵y＝x2﹣2，∴其對(duì)稱軸為y軸，且開(kāi)口向上，∴在y軸右側(cè)，y隨x增大而增大，∴其圖象在y軸右側(cè)部分是上升，故答案為上升．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的增減性，掌握開(kāi)口向上的二次函數(shù)圖象在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大是解題的關(guān)鍵．4．（2020·上海·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一條拋物線上，則k的值等于_____．【答案】6【分析】由拋物線的對(duì)稱性解答即可．【詳解】∵拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，7）、B（5，7），∴點(diǎn)A、B為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x==2．∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，即C（﹣2，﹣3）與D（k，﹣3）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴，解得：k=6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c過(guò)A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）利用配方法將所求的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可直接得到答案．【詳解】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）兩點(diǎn)代入y＝﹣2x2+bx+c，得解得故該拋物線解析式為：y＝﹣2x2+3x+1．（2）由（1）知，拋物線解析式為：y＝﹣2x2+3x+1．所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．【點(diǎn)睛】考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的三種形式以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，掌握配方法是將二次函數(shù)解析式的三種形式間轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵．6．（2019·上海市嘉定區(qū)豐莊中學(xué)二模）如圖，已知拋物線分別交軸、軸于點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．（1）若．①求拋物線的解析式；②當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①y=－2x2+2x+4；②P的坐標(biāo)是(1，2)；(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）①把A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，由a+b=0，解方程組即可得出結(jié)論；②設(shè)直線AB的解析式為，把A的坐標(biāo)代入即可求出k的值，從而得到直線AB的解析式．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣2m+4），則D（m，－2m2+2m+4），可表示出PD的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）如圖2，利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)，再求出P的坐標(biāo)，則可計(jì)算出PB的長(zhǎng)，接著表示出拋物線解析式為y＝ax2﹣2（a+1）x+4，則可用a表示出點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△PDB∽△BOA，即；當(dāng)時(shí)，△PDB∽△BAO，即，然后解方程分別求出a的值，從而得到對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式．【詳解】（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入得：．∵a+b=0，∴∴，∴拋物線的解析式為y=－2x2+2x+4；②設(shè)直線AB的解析式為，則，∴，∴直線AB的解析式為．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣2m+4），則D（m，－2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∴當(dāng)時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，2）．（2）存在．如圖2，OB=4，OA=2，則AB==2．當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣2x+4=2，則P（1，2），∴PB==．把A（2，0）代入y=ax2+bx+4得4a+2b+4=0，解得：b=－2a－2，∴拋物線的解析式為y=ax2－2（a+1）x+4．當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2－2（a+1）x+4=a－2a－2+4=2－a，則D（1，2－a），∴PD=2－a－2=﹣a．∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA．當(dāng)時(shí)，△PDB∽△BOA，即，解得：a=－2，此時(shí)拋物線解析式為y=－2x2+2x+4；當(dāng)時(shí)，△PDB∽△BAO，即，解得：a=－，此時(shí)拋物線解析式為y=－x2+3x+4．綜上所述：滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣2x2+2x+4或y=－x2+3x+4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題．熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活運(yùn)用相似比表示線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．【壓軸】一、解答題1．（2022·上海嘉定·二模）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得，，∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；（2）如圖1，連接PC、PE，x=﹣=﹣=1，當(dāng)x=1時(shí)，y=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，則，解得，，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，則y=﹣2×2+6=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時(shí)，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，當(dāng)2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時(shí)，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；正方形的性質(zhì)．2．（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸為直線x=1，交x軸于點(diǎn)E．(1)求該拋物線的表達(dá)式．(2)點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)，證明：∠CDB=∠CAB．(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，以及拋物線上一點(diǎn)N，使得以M、N、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？如果有，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)或或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意求出線段CD，BC，BD的長(zhǎng)度，證明是直角三角形，再求出兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的正切值，從而證明兩個(gè)角相等；（3）按照對(duì)邊平行進(jìn)行討論，根據(jù)對(duì)邊相等或者對(duì)角線互相平分進(jìn)行計(jì)算，也可結(jié)合圖像判斷．（1）解：設(shè)拋物線解析式為，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且對(duì)稱軸為直線，，解得，．（2）如圖：由題意得，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，，，，，，．（3）當(dāng)BM//CN時(shí)，如圖（1），∵對(duì)稱軸為直線x=1,C（0，3），∴，，，，，當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，或；當(dāng)CM//BN時(shí)，如圖（2），與互相平分，N點(diǎn)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得N點(diǎn)縱坐標(biāo)為，把代入解析式解得：，，所以N1的橫坐標(biāo)為，N2的橫坐標(biāo)為，由平行四邊形對(duì)角線互相平分可得或，解得或，所以或，綜上所述：或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中線段長(zhǎng)度及角的正切值的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)．證明是直角三角形以及利用平行四邊形對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，拋物線與已知直線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），頂點(diǎn)為．(1)求直線的表達(dá)式；(2)若拋物線的頂點(diǎn)不在第一象限，求的取值范圍；(3)若直線與直線所成夾角的余切值等于3，求拋物線的表達(dá)式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由待定系數(shù)法直接代入點(diǎn)坐標(biāo)求解即可得到答案．（2）由拋物線頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而依題意“頂點(diǎn)不在第一象限”列出不等式，進(jìn)而可得到答案．（3）由直線及拋物線的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而作PH垂直AB于點(diǎn)H，設(shè)出點(diǎn)H坐標(biāo)，依題意有，即有，聯(lián)立等式成方程組，進(jìn)而求解可得到答案．（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，∴有解得∴直線的表達(dá)式為（2）解：∵∴∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2-4a）∵頂點(diǎn)不在第一象限∴∴（3）解：依題意有，解得或∴拋物線與已知直線交于（0,2）、兩點(diǎn)∵頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2-4a）且點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)∴點(diǎn)C，點(diǎn)D（0,2）過(guò)點(diǎn)P作PH垂直AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為（m，m+2）∴，∴直線DP與直線AB所成夾角的余切設(shè)直線PH的表達(dá)式為，直線PH過(guò)點(diǎn)P、H，∴有解得∵∴即聯(lián)立①②，解得或∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,2）與點(diǎn)D重合，不符合題意∴∴拋物線的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、余切的概念定義、解二元一次方程組等知識(shí)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)，構(gòu)造直角三角形建立方程組求解是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校東校九年級(jí)期中）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，設(shè)BE＝m．(1)如圖，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)CF，①當(dāng)m＝時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)；②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為h，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；(2)設(shè)過(guò)BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長(zhǎng)為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與m的關(guān)系【答案】(1)①；②h＝?m2＋m；h最大值是；(2)【分析】（1）①過(guò)F作FG⊥BC于G，連接CF，先證明△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，則EG?EC＝BC?EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；②△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADE'，過(guò)P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共線，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，從而∠QEP＝90°?∠AEQ＝90°?∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分線，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1?m），即可得h＝?m2＋m，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得h的最大值；（2）分兩種情況：①當(dāng)0≤m≤時(shí)，由△ABE∽△ECP，可求HG＝?m2＋m，根據(jù)MG∥CD，G為BC中點(diǎn)，可得MN＝DQ，設(shè)DQ＝x，則EQ＝x＋m，CQ＝1?x，Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG?HG?MN＝1?m?＋m2，②當(dāng)m＞時(shí)，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝．(1)解：①過(guò)F作FG⊥BC于G，連接CF，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，∴∠BAE＝90°?∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，在△ABE和△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，∴EG?EC＝BC?EC，即CG＝BE＝，在Rt△CGF中，CF＝；②△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADE'，過(guò)P作PH⊥EQ于H，如圖：∵△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADE'，∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，∴∠ADC＋∠ADE'＝180°，∴C、D、E'共線，∵∠BAE＋∠EAD＝90°，∴∠DAE'＋∠EAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，在△EAQ和△E'AQ中，，∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ＋DE'＝DQ＋BE，∴∠QEP＝90°?∠AEQ＝90°?∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分線，又∠C＝90°，PH⊥EQ，∴PH＝PC，∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECP，∴，即，∴CP＝m（1?m），∴PH＝h＝?m2＋m＝，∴m＝時(shí)，h最大值是；(2)解：①當(dāng)0≤m≤時(shí)，如圖：∵∠BAE＝90°?∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，∴△ABE∽△EGH，∴，即，∴HG＝?m2＋m，∵M(jìn)G∥CD，G為BC中點(diǎn)，∴MN為△ADQ的中位線，∴MN＝DQ，由（1）知：EQ＝DQ＋BE，設(shè)DQ＝x，則EQ＝x＋m，CQ＝1?x，Rt△EQC中，EC2＋CQ2＝EQ2，∴（1?m）2＋（1?x）2＝（x＋m）2，解得x＝，∴MN＝，∴y＝NH＝MG?HG?MN＝＝，②當(dāng)m＞時(shí)，如圖：∵M(jìn)G∥AB，∴，即，∴HG＝，同①可得MN＝DQ＝，∴HN＝MG?HG?MN＝＝，∴y＝，綜上所述，【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問(wèn)題、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵構(gòu)造輔助線及分類(lèi)討論．5．（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB＝OC＝12．(1)求拋物線的解析式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)聯(lián)結(jié)BD，F(xiàn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)∠FAB＝∠ACO時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)平行于x軸的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ＝MN時(shí)，求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)．【答案】(1)y＝x2﹣5x﹣12，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，﹣）(2)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）(3)菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為或【分析】（1）先求得B、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式，進(jìn)而求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，再證△FAG∽△ACO，然后由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，進(jìn)而求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，設(shè)出PT的長(zhǎng)為n，從而可表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到n的方程，可求得n的值，從而可求得MN的長(zhǎng)．（1）解：∵OB＝OC＝12，∴B（12，0），C（0，﹣12），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣5x﹣12，∵y＝x2﹣5x﹣12＝（x﹣5）2﹣，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，﹣）．（2）解：如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)F（x，x2﹣5x﹣12），則FG＝|x2﹣5x﹣12|，在y＝x2﹣5x﹣12中，令y＝0可得x2﹣5x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝12，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，則AG＝x+2，∵C（0，﹣12），∴OC＝12，當(dāng)∠FAB＝∠ACO時(shí)，∵∠FGA＝∠AOC＝90°，∴△FAG∽△ACO，∴，即，∴＝＝，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有＝，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，則有＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或x＝，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；綜上可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．（3）解：∵點(diǎn)P在x軸上，∴由菱形的對(duì)稱性可知P（5，0），如圖2，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，∵PQ＝MN，∴MT＝PT，設(shè)PT＝n，則MT＝n，∴M（5+n，n），∵M(jìn)在拋物線上，∴n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去），∴MN＝2MT＝3n＝；當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，同理可設(shè)PT＝n，則M（5+n，﹣n），∴﹣n＝（5+n）2﹣5（5+n）﹣12，解得n＝或n＝（舍去），∴MN＝2MT＝3n＝；綜上可知，菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合，主要考查了待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．（1）求的正弦值；（2）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為，且與相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）將代入可得表達(dá)式，配方即得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)BC與x軸交于E，過(guò)E作EH⊥AB于H，求出EH、BE即可得出答案；；（2）設(shè)D坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，則用兩邊對(duì)應(yīng)成比例列方程，求出D的坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】解：（1）將代入得：，解得，∴拋物線表達(dá)式為，∵，∴；設(shè)BC與x軸交于E，過(guò)E作EH⊥AB于H，如圖：拋物線與y軸交于，設(shè)BC解析式為，將，代入得：，解得，∴解析式為，令得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴又∴；（2）拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為D，設(shè)，則平移后的新拋物線的表達(dá)式為，∴，，，，如圖，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則，∵，∴，∴，∴，故若△DCA與△ABC相似，只需或兩種情況：①若△ABC∽△DCA，如圖：∴，即，∴，∴，∴平移后的新拋物線的表達(dá)式為；②若△ABC∽△ACD，如圖：∴，即，解得，∴，∴平移后的新拋物線的表達(dá)式為；綜上所述，△DCA與△ABC相似，平移后的新拋物線的表達(dá)式為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)及相似三角形的綜合知識(shí)，難度較大，解題的關(guān)鍵是求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．7．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果拋物線C1：與拋物線C2：的開(kāi)口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系．【答案】（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的