大學數(shù)學練習題

大學數(shù)學習題及答案一填空題:1一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.2二階線性齊次微分方程的兩個解y1(x);y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是________.3方程的基本解組是_________.4一個不可延展解的存在區(qū)間一定是___________區(qū)間.5方程的常數(shù)解是________.6方程一個非零解為x1(t),經(jīng)過變換_______7若4(t)是線性方程組的基解矩陣,則此方程組的任一解4(t)=___________.8一曲線上每一占切線的斜率為該點橫坐標的2倍,則此曲線方程為________.9滿足_____________條件的解,稱為微分方程的特解.10如果在微分方程中,自變量的個數(shù)只有一個我們稱這種微分方程為_________.11一階線性方程有積分因子().12求解方程的解是().13已知(為恰當方程,則=____________.14,,由存在唯一性定理其解的存在區(qū)間是().15方程的通解是().16方程的階數(shù)為_______________.17若向量函數(shù)在區(qū)間D上線性相關(guān),則它們的伏朗斯基行列式w(x)=____________.18若P(X)是方程組的基本解方陣則該方程組的通解可表示為_________.19．方程所有常數(shù)解是____________________．20．方程的基本解組是____________________．21．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是____________________．22．函數(shù)組在區(qū)間I上線性無關(guān)的____________________條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零．23．若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們____________________共同零點．二單項選擇:1方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是().(A)上半平面(B)平面(C)下半平面(D)除y軸外的全平面2方程()奇解.(A)有一個(B)有兩個(C)無(D)有無數(shù)個3在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是().(A)(B)(C)(D)4方程的一個特解形如().(A)(B)(C)(D)5連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的()條件．（A）必要（B）充分(C)充分必要(D)必要非充分6二階線性非齊次微分方程的所有解().(A)構(gòu)成一個2維線性空間(B)構(gòu)成一個3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個線性空間(D)構(gòu)成一個無限維線性空間7方程過點(0,0)有().(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解(D)只有三個解8初值問題x,在區(qū)間,上的解是().(A)(B)(C)(D)9方程是().(A)一階非線性方程(B)一階線性方程（C)超越方程(D)二階線性方程10方程的通解是().(A)(B)(C)(D)11方程的一個基本解組是().(A)(B)(C)(D)12若y1和y2是方程的兩個解,則（e1,e2為任意常數(shù)）(A)是該方程的通解(B)是該方程的解(C)不一定是該方程的通解(D)是該方程的特解13方程過點(0,0)的解為,此解存在().(A)(B)(C)(D)14方程是().(A)可分離變量方程(B)齊次方程(C)全微分方程(D)線性非齊次方程15微分方程的通解是().(A)(B)(C)(D)16在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是().(A)(B)(C)(D)17方程的一個數(shù)解形如().(A)(B)(C)(D)18初值問題在區(qū)間上的解是().(A)(B)(C)(D)19．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）20.方程過點共有（）個解．（A）一（B）無數(shù)（C）兩（D）三21．階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（）個．（A）（B）-1（C）+1（D）+222．一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差（）．（A）不是其對應齊次微分方程組的解（B）是非齊次微分方程組的解（C）是其對應齊次微分方程組的解（D）是非齊次微分方程組的通解23．如果，都在平面上連續(xù)，那么方程的任一解的存在區(qū)間（）．（A）必為（B）必為（C）必為（D）將因解而定三求下列方程的解:1求下列方程的通解或通積分:(1)(2)(3)(4)(5)2求方程的解3解方程:并求出滿足初始條件:當x=0時,y=2的特解4求方程:5求方程:的通解6求的通解.7求解方程:8求方程:的解9求方程的通解10求下列方程組的通解11求初值問題的解的存在區(qū)間并求出第二次近似解12求方程的通解(1)(2)(3)(三種方法)(4)13計算方程的通解14計算方程15求下列常系數(shù)線性微分方程:16試求x的基解矩陣17試求矩陣的特征值和對應的特征向量.18試求矩陣的特征值和特征向量19解方程組20．求下列方程組的通解．四名詞解釋1微分方程2常微分方程、偏微分方程3變量分離方程4伯努利方程5條件6線性相關(guān)五證明題1在方程中已知p(x);q(x)在上連續(xù)求證:該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.2設x1(t)、x2(t)分別是非齊次性線方程證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3設f(x)在[0；+]上連續(xù)且f(x)=0求證：方程的一切解y(x)；均有y(x)=04在方程中p(x)、q(x)在（）上連續(xù)；求證：若p(x)恒不為零；則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式w（x）是（）上的嚴格單調(diào)函數(shù)。5證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6證明：函數(shù)組（其中當時）在任意區(qū)間（a,b）上線性無關(guān)。7．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．8．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．練習題答案一填空題:1、22、線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3、ex;xex4、開5、6、7、,c為常數(shù)列向量8、y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c為任意正常數(shù)13、/14、15、16、417、018、；其中c是確定的n維常數(shù)列向量19．20．21．，（或不含x軸的上半平面）22．充分23．沒有二單項選擇1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19．D20．B21．A22.C23．D三求下列方程的解1(1）解：當時，分離變量取不定積分，得通積分為1ny=Cex（2）解：令y=xu,則代入原方程，得分離變量，取不定積分，得（）通積分為：（3）解：方程兩端同乘以y-5,得令y-4=z，則代入上式，得通解為原方程通解為（4）解：因為，所以原方程是全微分方程。?。▁0,y0）=（0，0）原方程的通積分為即（5）解：原方程是克萊洛方程，通解為：y=cx+2c32解：設則方程化為，積分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5為任意常數(shù)==f1(t)+f2(t)故x1(t)+x2(t)為方程=f1(t)+f2(t)的解。3解：將變量分離，得到兩邊積分，即得

因而，通解為這里c是任意常數(shù)。以x=0,y=1代入通解中以決定任意常數(shù)c，得到c=-1因而，所求特解為4解：以及代入，則原方程變?yōu)榧磳⑸鲜椒蛛x變量,即有兩邊積分,得到這里是任意函數(shù),整理后,得到令,得到sinu=cx5解:令z=y-1得代入原方程得到這是線性方程,求得它的通解為代回原來的變量y,得到這就是原方程的通解。此外，方程還有解y=0。6解：這里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，這時因此方程是恰當方程?，F(xiàn)在求u，使它同時滿足如下兩個方程由（1）對x積分，得到為了確定，將（3）對y求導數(shù)，并使它滿足（2），即得于是=4y4積分后可得=y4將代入（3），得到u=x3+3x2y2+y4因此，方程的通解為x3+3x2y2+y4=c這里c是任意常數(shù)7解：特征方程即特征根i是重根，因此方程有四個實值解cost、tcost、sint、tsint故通解為x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c1;c2;c3;c4為任意常數(shù)8解：令則方程化為：積分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5其中c1;c2…c5為任意常數(shù)，這就是原方程的通解。9解對應齊次方程的特征方程為，特征根為齊次方程的通解為y=C1+C2e5x因為a=0是特征根。所以，設非齊次方程的特解為y1(x)=x（Ax2+Bx+C）代入原方程，比較系數(shù)確定出A=，B=，C=原方程的通解為10解：先解出齊次方程的通解=C1+C2令非齊次方程特解為=C1(t)+C2(t)滿足=解得積分，得通解為11解：M=max=4故解的存在區(qū)間為2)q0(x)=0q1(x)=0q2(x)=0+=12求方程的通解:1)解:變形(1),將y看作自變量,x為未知函數(shù)解齊線性方程,通解為x=cy令x=c(y)y…..(2)微分得,由(1)(2)知,積分得故(是任意常數(shù))2)解:令則,于是則原方程變?yōu)榧磳⑸鲜椒蛛x變量有積分得為任意常數(shù)。整理令得方程還有解tanu=0即sinu=0,故通解為sinu=cx(c為任意常數(shù))3）(三種方法)解：法一，這里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y因此此方程是恰當方程現(xiàn)求u使（1），（2）對（1）中x積分得（3）對（3）中y求導積分得，代入（3）得故通解為，c為任意常數(shù)法二，重新組合得，即于是通解為其中c是任意常數(shù)。4）解：令則對x求導得積分得于是方程通解為（p=0）13方程的通解解：齊次方程是由于2i是特征方程單根故所求特解應具形式代入原方程故通解為，其中c1c2為任意常數(shù)14解：特征方程有重根因此對應齊線性方程的通解為，其中c1,c2為任意常數(shù)。因為不是特征根，現(xiàn)求形如的特征解，代入原方程化簡于是故故通解為其中c1,c2為任意常數(shù)15求下列常系數(shù)線性微分方程對應的齊次方程為特征方程為特征根為a不是特征根，故原方程有形如y*=(ax+b)e2x的特解代入原方程得故原方程通解為，（為任意常數(shù)）16解：因為=+而且后面的兩個矩陣是可交換的得到t={E+t+但是，=所以，級數(shù)只有兩項。因此，基解矩陣就是17解：特征方程為因此，是A的二重特征值.為了尋求對應于的特征向量,考慮方程組因此,向量是對應于特征值的特征向量,其中是任意常數(shù).18解A特征方程為特征根為對應于1=3+5i的特征向量滿足解得u=a為任意常數(shù)對應于特征向量滿足解得為任意常數(shù)19解:的特征方程為1=1,2=4為特征根,為方程組解a為任意常數(shù).為方程組解.這樣為方程的解20．解方程組的特征方程為即特征根為，對應的解為其中是對應的特征向量的分量，滿足可解得．同樣可算出對應的特征向量分量為．所以，原方程組的通解為四名詞解釋1聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導數(shù)的關(guān)系式，稱之為微分方程。2如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，稱這種微分方程的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程。3形如的方程，稱為變量分離方程，這里分別是x,y的連續(xù)函數(shù)。4形如的方程，稱為伯努利方程，這里為x的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)5函數(shù)f(x,y)稱為在R上關(guān)于y滿足條件，如果存在常數(shù)L>0,使得不等式對于所有都成立,L稱為常數(shù).6定義在區(qū)間上的函數(shù),如果存在不全為零的常數(shù)c1,c2,….ck使得恒等式對于所有都成立,稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的.五1在方程中,已知p(x),q(x)在上連續(xù),求證:該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切.證明：方程，設是它的任一非零解。若p(x),q(x)在上連續(xù)，假設在平面上與軸相切。則與方程有非零解矛盾。故與x軸不相切。2由已知得把x1(t)+x2(t)代入方程由左端得=3證明設y=y(x)是方程任一解，滿足y(x0)=y0，該解的表達式為取極限4證明設y1(x),y2(x)是方程的基本解組,則對任意,它們朗斯基行列式在上有定義,且.又由劉維爾公式由于,于是對一切,有或故是上的嚴格單調(diào)函數(shù)5答案略6證明:已知函數(shù)組的行列式為W(x)==上述最后的行列式為范德蒙受行列式它等于由題設知由此行列式不為零.從而由性質(zhì)知.已知的函數(shù)組在上線性無關(guān)證畢.7．證明由已知條件，該方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件．顯然是方程的兩個常數(shù)解．任取初值，其中,．記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．（10分）8．證明由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是．顯然，該方程有零解．