山西省臨汾2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)期末測(cè)試題2

數(shù)學(xué)試題(理)(考試時(shí)間120分鐘滿分150分)選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共計(jì)60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的1.直線的傾斜角是A.B.C.D.2.是空間向量的一個(gè)基底，給出下列向量組，其中不可以作為空間的基底的向量組有A.B.C.D.3．過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是A.B.C.D.4．如果雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為A.eq\r(2)B．eq\r(3)C.2D.2eq\r(2)5.圓錐的底面半徑是3，高是4，則它的側(cè)面積是A.B.C.D.6.平行于直線,且與圓相切于第四象限的直線方程是A.B.C.D.7.如圖,正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是A.B.C.∥平面D.異面直線8.在極坐標(biāo)系中，直線，被圓截得的弦長(zhǎng)為A. B.C. D.9.A．B.C．D．點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，若則的面積為A．B．C．D．11.下列命題中為真命題的是A.命題“若，則”的逆命題;B.命題“若，則”的否命題; C.若，則兩個(gè)橢圓與的焦距不同;D.如果命題“”與命題“”都是真命題，那么命題一定是真命題.12.如圖，已知中心在原點(diǎn)，的橢圓，橢圓的短軸，且兩個(gè)橢圓的離心率都為直線，交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為若存在直線，使得∥，則離心率的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案寫在答題卡的相應(yīng)位置.13.命題的否定形式是________________________________14.四面體的三視圖如圖所示，三個(gè)三角形均為直角三角形，則該四面體的外接球表面積是________________已知是以點(diǎn)為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn).點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為16．以下四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是①；②“平面∥”的充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”；③“直線與平面所成的角相等”的必要條件是“∥”；④若直線的方向向量為平面的法向量為∥.三、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．（本小題滿分10分）（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距為6，離心率為3的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,在極坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位.且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與直線交于點(diǎn)，,若點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）,求的最小值．19．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線和平面所成角的大小．20．（本小題滿分12分）如圖，已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn)．(1)；(2)21．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為正三角形，平面PBC⊥平面ABC，AB=，PB=PC=2，D為線段AP上一點(diǎn)，AD=2DP，O為底面△ABC的中心（1）求證：BD⊥AC；（2）設(shè)M為PC的中點(diǎn)，求二面角M-BD-O的余弦值。22．（本小題滿分12分）在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N的軌跡E是什么？（2）點(diǎn)M為軌跡E和y軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩條直線的斜率分別為,且；求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)

高二理科數(shù)學(xué)答案一選擇題題號(hào)123456789101112答案CBBACADDBCDB二填空題13.14.15.16.①三解答17.(1)…4分（2）…10分18．（1）由得，化為直角坐標(biāo)方程為，即.……………5分（2）將的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得.由，故可設(shè)是上述方程的兩根，所以又直線過(guò)點(diǎn)，故結(jié)合t的幾何意義得=所以的最小值為……………12分19.解析：(1)證明：根據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝BC＝CC1＝a(a〉0)，則B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，a)).所以eq\o(BA1,\s\up12(→))＝(a，－a，a)，eq\o(CA1,\s\up12(→))＝(a,0，a)，eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2))).于是eq\o(MN,\s\up12(→))·eq\o(BA1,\s\up12(→))＝0，eq\o(MN,\s\up12(→))·eq\o(CA1,\s\up12(→))＝0，即MN⊥BA1，MN⊥CA1.又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.………………6分(2)因?yàn)镸N⊥平面A1BC，則eq\o(MN,\s\up12(→))為平面A1BC的法向量，又eq\o(BC1,\s\up12(→))＝(0，－a，a)，則cos〈eq\o(BC1,\s\up12(→))，eq\o(MN,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up12(→))·\o(MN,\s\up12(→)),|\o(BC1,\s\up12(→))||\o(MN,\s\up12(→))|)＝eq\f(\f(a2,2),\r(2)a·\f(\r(2),2)a)＝eq\f(1,2)，所以〈eq\o(BC1,\s\up12(→))，eq\o(MN,\s\up12(→))20．（本小題滿分12分）如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=－1，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線AO，BO分別與直線m：x＝－2相交于M，N兩點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)證明：△ABO與△MNO的面積之比為定值．(1)解由準(zhǔn)線方程為x=－1可知eq\f(p,2)＝1，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.………………4分(2)證明當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，△ABO與△MNO相似，所以eq\f(S△ABO,S△MNO)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OF,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)；………………6分當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，………………7分設(shè)M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消y并整理得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1·x2＝1.………………9分所以eq\f(S△ABO,S△MNO)＝eq\f(\f(1,2)·AO·BO·sin∠AOB,\f(1,2)·MO·NO·sin∠MON)＝eq\f(AO,MO)·eq\f(BO,NO)＝eq\f(x1,2)·eq\f(x2,2)＝eq\f(1,4)，綜上，eq\f(S△ABO,S△MNO)＝eq\f(1,4)，即△ABO與△MNO的面積之比為定值．………………12分21．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，底面△為正三角形，平面平面，AB=，為上一點(diǎn)，為底面三角形的中心。（1）求證：；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值。證明：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).為正三角形的中心，∴,且為中點(diǎn).又，∴,∴∥,………………2分,且為中點(diǎn),∴,又平面平面，∴平面,由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴.………………4分連結(jié),則,又,∴平面,∴．………6分（2）由（1）知，兩兩互相垂直，且為中點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則…………9分∴，設(shè)平面的法向量為，則，令，則．……………………10分由（Ⅱ）知平面,∴為平面的法向量，又，∴，由圖可知，二面角的余弦值為．……………12分22．（本小題滿分12分）在圓x2＋y2＝8上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．N為線段PD上的點(diǎn)，|PD|=eq\r(2)|ND|．（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N的軌跡是E什么？（2）M為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)．解：（1）設(shè)N(x,y)，P(x0,y0),則x0=x，y0=eq\r(2)y．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝8上故E方程為．所以軌跡E是短軸長(zhǎng)為4，焦距為4，且中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓………………4分（2）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意．設(shè)，，由得．……6分則．由已知，所以，即．……8分所以，整理得．故直線的方程為，即（）．所以直線過(guò)定點(diǎn)（）．………………10分若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，設(shè)，，由已知，得．此時(shí)方程為，顯然過(guò)點(diǎn)（）．綜