黑龍江省佳木斯市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省佳木斯市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若可導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)滿足，所以.故選：D2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則257是這個(gè)數(shù)列的（）A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第8項(xiàng) D.第9項(xiàng)〖答案〗C〖解析〗令，解得.故選：C3.設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前7項(xiàng)的和為（）A.63 B.64 C.127 D.128〖答案〗C〖解析〗由及是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，得公比q=2，所以．4.在中國(guó)文化中，竹子被用來(lái)象征高潔、堅(jiān)韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國(guó)的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，早在新石器時(shí)代晚期，人類就已經(jīng)開(kāi)始使用竹子了.竹子可以用來(lái)加工成日用品，比如竹簡(jiǎn)、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來(lái)罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（）A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5〖答案〗C〖解析〗為等差數(shù)列，，故．故選：C．5.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項(xiàng)C符合要求.故選：C6.現(xiàn)有6本相同的數(shù)學(xué)課本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則不同的分配方案有多少種（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，分配方案有三種：第一種方案：兩個(gè)人各1本，一個(gè)人4本，分配的方法數(shù)為；第二種方案：三個(gè)人各2本，分配的方法數(shù)為；第三種方案：一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本，分配的方法數(shù)為；因此共有種方法.故選：D7.函數(shù)在區(qū)間上的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以在區(qū)間上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：A8.五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）A.3125 B.1000 C.1040 D.1020〖答案〗D〖解析〗五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無(wú)限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖五個(gè)區(qū)域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問(wèn)題.分為以下兩類情況：第一類：三個(gè)區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂區(qū)域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；第二類：三個(gè)區(qū)域涂?jī)煞N不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.若涂一色，第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，即涂個(gè)區(qū)域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，則共有種方法.由分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程可能為（）A. B.C D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，又，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，整理得，解得或，即切線方程為或．故選：BC．11.將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：從第2行開(kāi)始每一行比上一行多兩項(xiàng)，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列；第1列數(shù)成等差數(shù)列．若，則（）A. B.C.位于第45行第88列 D.2024在數(shù)陣中出現(xiàn)兩次〖答案〗ACD〖解析〗由第1列數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，又由，可得，解得，則第一列的通項(xiàng)公式為，又從第2行開(kāi)始每一行比上一行多兩項(xiàng)，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，可得，所以A正確,B錯(cuò)誤；又因?yàn)槊恳恍凶詈笠粋€(gè)數(shù)為，且，可得是的前一個(gè)數(shù)，且在第45行，因?yàn)檫@一行共有個(gè)數(shù)，則在第45行的第88列，所以C正確；由題設(shè)可知第行第個(gè)數(shù)的大小為，令，若，則即；若，則即；若，則，無(wú)整數(shù)解.故D正確.故〖答案〗為：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列滿足，，則____________.〖答案〗5〖解析〗因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，則有，解得.故〖答案〗為：.13.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則__________．〖答案〗〖解析〗由得，所以，得，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知首項(xiàng)均為的等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，且的各項(xiàng)均不相等，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最大值與最小值之差的絕對(duì)值為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由得，解得，，令，則，，隨著的增大而增大，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，隨著增大而減小，，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，隨著的增大而增大，，.所以，，，即的最大值為，最小值為，因此，的最大值與最小值之差的絕對(duì)值等于．故〖答案〗：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，公差，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由題意可得，即，又，故，即或，又，故，即；（2），故.16.3月11日，2024年廣西“二月二”侗族大歌節(jié)在三江侗族自治縣梅林鄉(xiāng)梅林村榕江河畔舉行，上萬(wàn)名群眾歡聚一堂，以非遺巡游、千人侗族大歌、多耶等活動(dòng)，盡展非遺多姿風(fēng)采.某地計(jì)劃在來(lái)年的侗族大歌節(jié)安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動(dòng)的舉辦順序.（1）共有多少種不同的安排方案?（2）若要求第一個(gè)舉辦的活動(dòng)不能是千人侗族大歌，共有多少種不同的安排方案?（3）若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，共有多少種不同的安排方案?解：（1）安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動(dòng)的舉辦順序，共有種不同的安排方案；（2）若要求第一個(gè)舉辦的活動(dòng)不能是千人侗族大歌，則從其余四個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目中選一個(gè)排在第一個(gè)舉行，則共有種不同的安排方案；（3）若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，則將這兩項(xiàng)活動(dòng)捆綁，看作一項(xiàng)活動(dòng)，內(nèi)部全排列，然后和其余活動(dòng)全排列，則共有種不同的安排方案.17.設(shè)函數(shù).（1）若，求的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.（2）由，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增18.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，也符合上式，所以（2）當(dāng)時(shí)，由，所以，依題意知：，所以而，所以數(shù)列是首相為3，公比為3的等比數(shù)列．（3）因?yàn)槭鞘紫酁?，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以，=，，得化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)椋?，所以，整理得，?dāng)，=；當(dāng)時(shí)，=，因?yàn)?當(dāng)時(shí)，，所以，故19.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))（1）求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）證明：解：（1）函數(shù)，則，所以曲線在處