江蘇省蘇州市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限.故選：C2.已知向量，，則“”是“和的夾角是銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗B〖解析〗和的夾角是銳角，則且和不同向共線，故且，解得且，由推不出且，故充分性不成立，由且推得出，故必要性成立，所以是和的夾角是銳角的必要不充分條件.故選：B3.點(diǎn)聲源在空中傳播時(shí)，衰減量（單位：dB）與傳播距離d（單位：米）之間的關(guān)系式為．若傳播距離從20米變化到40米，則衰減量的增加值約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則．故選：B．4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.18 B.21 C.24 D.27〖答案〗A〖解析〗由題結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)有，，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，故.故選：A.5.如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，每一層均要乘以，共做10次選擇，故服從二項(xiàng)分布，，又，令最大，則，即,解得，又因，所以,所以，，且．故選：B．6.已知的角對(duì)應(yīng)的邊分別為的平分線交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)榈钠椒志€交邊于點(diǎn)，且，所以，，，而，所以，化簡(jiǎn)得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即最小值為．故選：C．7.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率不存在時(shí)，應(yīng)該在軸上，不符合題意，直線的斜率為0時(shí)，兩點(diǎn)重合，不符合題意，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，聯(lián)立解得，不妨令，聯(lián)立，解得，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即，②式兩邊分別平方得③，將①代入③并化簡(jiǎn)可得，所以離心率.故選：D．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域?yàn)椋?，且都為奇函?shù)．若，則（）A.0 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得，即，可知的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，可得，可知的周期為4，所以.故選：C．二、多選題9.在某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，高三班的男生數(shù)學(xué)平均分為120，方差為2，女生數(shù)學(xué)平均分為112，方差為1，已知該班級(jí)男女生人數(shù)分別為25、15，則下列說(shuō)法正確的有（）A.該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的均分為118B.該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為16.625C.利用分層抽樣的方法從該班級(jí)抽取8人，則應(yīng)抽取5名男生D.從該班級(jí)隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有1名女生的概率為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的均分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，該班級(jí)此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差，故B正確；對(duì)于C，利用分層抽樣的方法從該班級(jí)抽取8人，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為，C正確；對(duì)于D，從該班級(jí)隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則至少有1名女生的概率，故D正確．故選BCD．10.定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，則（）A.有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)為 B.有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)為3C D.恒成立〖答案〗ACD〖解析〗由題意，函數(shù)作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象知，有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)為，所以A正確；函數(shù)有兩個(gè)極大值點(diǎn)1和3，所以B錯(cuò)誤；令，可得或或，解得或，即當(dāng)時(shí)，，所以C正確；由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值，所以存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，所以D正確.故選：ACD．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且，則（）A. B.C.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線有公共點(diǎn) D.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線沒(méi)有公共點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗設(shè)直線方程為，即，則，由，消去整理得，則，,由可得，，則，整理得，所以，解得，.又因?yàn)橹本€過(guò)，所以，即，驗(yàn)證，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).故A正確，B錯(cuò)誤；可知：準(zhǔn)線方程為，直線的方程：，由弦長(zhǎng)公式得，則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線沒(méi)有公共點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．三、填空題12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗14〖解析〗因?yàn)榈恼归_(kāi)式通項(xiàng)公式為，其中，故二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為：．故〖答案〗為：.13.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則______．〖答案〗〖解析〗由題知，所以，即，則．因，所以，則．故〖答案〗為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，若沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的余弦值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可知，沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，仍有，則，由，可得，即，即，可得．故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心．（1）求；（2）記的角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，求邊上的高長(zhǎng)的最大值．解：（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即．（2），化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，故長(zhǎng)的最大值為．16.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋砸C，只要證明即可，即要證，等價(jià)于（*）．令，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．17.如圖，已知斜三棱柱的側(cè)面是菱形，，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接．因?yàn)閭?cè)面是菱形，，所以是正三角形，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)樾比庵?，所以，所以．?）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫詾樵c(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即．取，則，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則，所以．又，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球．從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，記為一次操作．重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為．（1）求隨機(jī)變量的分布列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證：．（1）解：由題可知的可能取值為0，1，2，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到：即為甲盒中拿黑球乙盒中拿紅球交換，即為甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交換或甲盒中拿紅球乙盒中拿紅球交換，即為甲盒中拿紅球乙盒中拿黑球交換，則，的分布列為：012（2）解：由全概率公式可知：，即，即，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比等比數(shù)列，，即的通項(xiàng)公式；（3）證明：，所以得證.19.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．（1）若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，直線與有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，過(guò)的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)（在軸上方），分別過(guò)作的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．解：（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，所以，，聯(lián)立方程，得，又與有唯一的公共點(diǎn)，所以，即，的橫坐標(biāo)為，把代入中，，所以，過(guò)且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以