江蘇省徐州市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則復數(shù)的共軛復數(shù)為.故選：A.2.某圓錐的側面展開圖是半徑為2，圓心角為π的扇形，則該圓錐的高為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗依題意，圓錐的母線長，設圓錐的底面圓半徑為，依題意，，解得，所以圓錐的高.故選：B.3.已知一組數(shù)據(jù)4，8，9，3，3，5，7，9，則（）A.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)C.這組數(shù)據(jù)的極差為5 D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6〖答案〗D〖解析〗對于A，給定數(shù)據(jù)由小到大排列為3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3和9，B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)的極差為6，C錯誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確.故選：D.4.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則使得成立的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗C〖解析〗對于A：若，，則或，若，又，則與可能平行、相交（不垂直）、異面（不垂直）、相交垂直、異面垂直，若，又，則與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故A錯誤；對于B：若，，，則，故B錯誤；對于C：若，，則，又，所以，故C錯誤；對于D：若，，則與可能平行或相交（不垂直）或垂直或，又，此時不能保證成立，如，此時與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故D錯誤.故選：C.5.將撲克牌4種花色的K，Q共8張洗勻，若甲已抽到了2張K后未放回，則乙抽到2張Q的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲抽到了2張K后未放回，則乙從余下6張牌中任取2張有種方法，抽到2張Q有種方法，所以乙抽到2張Q的概率為.故選：B.6.以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點在上，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，垂直于方向為軸，建立平面直角坐標系，因為，，所以，即，且，所以，所以.故選：A.7.已知，，，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，兩邊平方得：，①由得，兩邊平方得：，②①+②得：，因為，所以，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A錯誤；由，兩邊平方得，③由得，兩邊平方得：，④③+④得：，因為，所以，故，由，，可得，故C正確，D錯誤；綜上不是定值，故B錯誤.故選：C.8.在矩形中，，，將沿對角線折起，使到，形成三棱錐，則異面直線與所成角的范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，四邊形是矩形，，所以初始狀態(tài)時直線與直線所成的角為，已知矩形中，，，，翻折過程中，如下圖，因為，所以，則與平面不垂直，因為，，所以異面直線與不垂直，翻折過程中，當平面與平面重合時，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，如下圖：因為矩形中，，，，，所以，同理，所以，即異面直線與所成角的臨界值為，所以異面直線與所成角的范圍為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.盒子里有3個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設事件“兩個球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個球顏色不同”．則（）A.與互為對立事件 B.與互斥C.A與B相互獨立 D.〖答案〗AD〖解析〗依題意可設個紅球為，，，2個白球為，，則樣本空間為：，共個基本事件，事件，共個基本事件，事件，共個基本事件，事件，，共個基本事件，事件，共個基本事件，對于A，顯然、不可能同時發(fā)生，且與中一定有一個會發(fā)生，所以與互為對立事件，故A正確；對于B：注意到，則與不互斥，故B錯誤；對于C：因為，則，故與不獨立，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD.10.已知，，，，則下列說法正確的是（）A.為純虛數(shù) B.C.的最大值為 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對于A：因為，所以，故A錯誤；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：設，則，又，所以，所以點為以為圓心，為半徑的圓上的點，所以，表示點與點的距離，因為，所以，故C正確；對于D：設所對應的向量為，所對應的向量為，因為，則，所以，所以，所以，所以，即，故D錯誤.故選：BC.11.在正四棱臺中，，，，點E在內(nèi)部（含邊界），則（）A.平面 B.二面角的大小為C.該四棱臺外接球的體積為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，如圖1，設底面對角線交于點，由棱臺的結構特征易知與的延長線必交于一點，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；對于B，正四棱臺中，為中點，，則，由，則有，所以二面角平面角為，，，為正三角形，所以二面角的大小為，故B正確；對于C，如圖2，設為的中點，為正四棱臺外接球的球心，設外接球的半徑為，則，在等腰梯形中，易得，為方便計算，不妨設，則由，即，得，又，解得，即與重合，故，故球的體積為，故C錯誤；對于D，由圖2易得，，，面，故面，不妨設落在圖3(在外)處，過作，交于，則面，面，故，故在中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動點只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由AB選項可知，，，和都為正三角形，關于的對稱點為，可知，即與重合時，有最小值，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則________．〖答案〗1〖解析〗向量，，則，所以.故〖答案〗為：1.13.已知，且，則________．〖答案〗或〖解析〗，解得：或，因為，所以或.故〖答案〗為：或.14.在中，，分別在邊上，且平分，平分，若，則________，________．〖答案〗〖解析〗設三個內(nèi)角所對的邊的長度分別為，則由角平分線定理可得，結合知，；同理有，，故，而，故，故由可得，即，從而，故，由于題目中的條件和所求的量均只涉及線段間的長度比，故可以不妨設，從而，展開，合并同類項，即得，由于，故，從而，所以，同時，之前得到的又等價于，故，所以，從而，這就得到，故，假設，則，矛盾，故，從而由上面已經(jīng)得到的，就有，故，結合和就有，這就得到，所以，這就得到，最后，設，則，且，故，所以，即，從而或，而，故，所以，即，由于，故，而，故，從而，又因為，故，所以，故，從而，這得到，故，從而由知，將弧度轉換為角度，就得到.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，且，求．解：（1）因為，且，所以，則，所以.（2）因為，且，所以，則，所以，則，所以，又，所以，所以，所以.16.2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，航天員葉光富、李聰、李廣蘇開始了他們的太空征程．為紀念中國航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國航天精神，某市隨機抽取2000名學生進行了航天知識競賽，將成績（滿分：150分）整理后分成五組，從左到右依次記為[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補全頻率分布直方圖，并估計這2000名學生成績的平均數(shù)、求85%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學生成績的平均數(shù)為94，方差為1，第四組中被抽取的學生成績的平均數(shù)為124，方差為2，求這200人中分數(shù)在區(qū)間[90，130）的學生成績的方差．解：（1）頻率為，所以該組數(shù)據(jù)的縱坐標為，補齊的直方圖如圖：平均數(shù)為，因為前三組的頻率之和，而前四組的頻率之和，所以第分位數(shù)為第四組數(shù)據(jù)的中點即.（2）設第三組的平均數(shù)是，權重為，方差為，設第四組的平均數(shù)是，權重為，方差為，兩組的平均數(shù)是，方差為，由直方圖可知則，，則，根據(jù)分層抽樣方差公式得：.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若點D在邊BC上，且，，求的值．解：（1）在中，因為，所以，所以，因為，，結合題意知，所以，所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以，所以，所以，化簡得，因為，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，，點E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點，點G在線段AF上．（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離；（3）設直線與平面，平面，平面所成的角分別為，，，求的最大值．解：（1）連接，取的中點，連接，因為底面為菱形，且，所以、為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以，，又，，，所以，所以，又，所以，設點到平面的距離為，則，即，解得，即點到平面的距離.（3）連接，，則且，又平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即，所以，取的中點，連接，則且，又為中點，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，則平面，又，平面，所以平面，連接，，則為直線與平面所成的角，即，所以，為直線與平面所成的角，即，所以，所以，又，設，，所以，所以，令，則，所以，因為，所以，所以當時取得最大值，且最大值為，所以.19.在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)點稱為整點，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列：，，，…，與；，，，…，，其中，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同；②，其中，2，3，…，，則稱與互為正交點列．（1）求：，，的正交點列；（2）判斷：，，，是否存在正交點列？并說明理由；（3）證明：，，都存在整點列無正交點列．解：（1）設點列，，的正交點列是，，，由正交點列的定義可知，，設，，由正交點列的定義可知，即，解得，所以點列，，的正交點列是，，.（2）由題可得，設點列，，，是點列，，，的正交點列，則可設，，，，因為與，與相同，所以有，因為，，，得方程，顯然不成