浙江省湖州市2023-2024學年高一下學期期末調研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省湖州市2023-2024學年高一下學期期末調研測試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，是兩個單位向量，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗單位向量的模長相等，則，故D正確；且兩者并不一定是相同或相反向量，故A錯誤；兩者不一定共線，故B錯誤；兩者不一定垂直，故C錯誤.故選：D.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，則，∴復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限．故選：D．3.已知圓錐的母線長為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓錐的母線長為，底面半徑為，則，所以，所以.故選：A.4.設，是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，依次分析選項：對A，若，，，直線可能平行、相交或異面，故錯誤；對B，若，，，平面可能相交或平行，故錯誤；對C：如圖，若，，，過直線作兩個平面，，根據(jù)線面平行的性質可得可得，則，因為，，則，又因為，，則，則，故C正確；對D，若，，，則，故D錯誤.故選：C.5.如圖所示的頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，則根據(jù)此圖作出以下判斷，正確的是（）A.眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù) B.眾數(shù)<平均數(shù)<中位數(shù)C.中位數(shù)<平均數(shù)<眾數(shù) D.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)〖答案〗A〖解析〗由頻率分布直方圖知，數(shù)據(jù)組的眾數(shù)為左起第2個小矩形下底邊中點值，顯然在過該中點垂直于橫軸的直線及左側的矩形面積和小于0.5，則眾數(shù)<中位數(shù)，由頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，得中位數(shù)<平均數(shù)，所以眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù).故選：A.6.在正方體中，E是的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點，連接，因為//，且，則為平行四邊形，可得//，又因為分別為的中點，則//，所以//，故異面直線DE與AC所成角為（或的補角），設正方體的棱長為2，則，在中，由余弦定理，所以異面直線DE與AC所成角的余弦值是.故選：D.7.湖州東吳國際雙子大廈是湖州目前已建成的第一高樓，也被稱為浙北第一高樓，是湖州的一個壯觀地標．如圖，為測量雙子大廈的高度CD，某人在大廈的正東方向找到了另一建筑物，其高AB約192m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D共線）處測得建筑物頂A、大廈頂C的仰角分別為45°和60°，在建筑物頂A處測得大廈頂C的仰角為15°，則可估算出雙子大廈的高度CD約為（）A.284m B.286m C.288m D.290m〖答案〗C〖解析〗因為是等腰直角三角形，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知：，在中，.故選：C.8.已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗已知，由正弦定理得，得，由余弦定理，則，即，由正弦定理得，因為，則，所以，即.因為為銳角三角形，，則，又在上單調遞增，所以，則，因為為銳角三角形，，解得，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某學校為了豐富同學們的課外活動，為同學們舉辦了四種科普活動：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動；事件：至少參加兩種科普活動；事件：只參加一種科普活動；事件：一種科普活動都不參加；事件：至多參加一種科普活動，則下列說法正確的是（）A.與是互斥事件 B.與是對立事件C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件：只參加科技游藝活動，與事件：一種科普活動都不參加，二者不可能同時發(fā)生，交集為空集，故A正確；對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個發(fā)生.事件和事件滿足兩個特點，故B正確；對C：表示：至多參加一種科普活動，即為事件，故C正確；對D：表示：只參加一種科普活動，但不一定是科技游藝活動，故D錯誤.故選：ABC.10.若復數(shù)z，w均不為0，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗不妨設且，對于A，，故，而，故A錯誤；對于B，，，則，，故，B正確；對于C，，，故，因此C正確；對于D，，，故，D正確．故選：BCD.11.如圖，一張矩形白紙，，，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，BE交AC于點M，DF交AC于點．現(xiàn)分別將，沿BE，DF折起，且點A，C在平面的同側，則下列命題正確的是（）A.當平面平面時，平面B.當A，C重合于點時，平面C.當A，C重合于點時，三棱錐的外接球的表面積為D.當A，C重合于點時，四棱錐的體積為〖答案〗AC〖解析〗由題意，將沿折起，且點在平面，此時、、、四點共面，平面平面，平面平面，當平面平面，，由題意得：，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；因為，所以，則可得，即，同理可得，當重合于點時，如上圖，在中，，又因為，所以，因為，所以，所以為等腰三角形，即，，，故和不垂直，則不垂直于平面，故B錯誤；在三棱錐中，，均為直角三角形，所以為外接球直徑，則外接球半徑，則三棱錐外接球表面積為，故C正確；，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，平面平面，過點作，因為是邊長為的等邊三角形，所以可得，由面面垂直性質定理可知平面，即為四棱錐的高，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知事件和事件相互獨立，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗∵事件A與事件B相互獨立，則A與事件也相互獨立，且，，∴.故〖答案〗為：．13.已知向量，，則在上的投影向量的坐標是__________．〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知四面體中，棱BC，AD所在直線所成的角為，且，，，則四面體體積的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗在平面內，分別過作的平行線交于點，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，則，在中，，，由正弦定理得，其中為的外接圓半徑，解得，則點在半徑為的的外接圓的劣弧上，作⊥，垂足為，如圖1，則當為的中點，即時，最大，此時，如圖2所示，此時，當平面⊥平面時，點到平面的距離最大，且最大距離為，連接，此時三棱錐的體積最大，最大為，而，故四面體的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.若某袋中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球從中不放回地依次隨機摸出2個球，記事件“第一次摸到紅球”，事件“第二次摸到紅球”．（1）求和的值；（2）求兩次摸到的不都是紅球的概率．解：（1）將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5，第一次摸球時有5種等可能的結果，對應第一次摸球的每個可能結果，第二次摸球時都有4種等可能的結果，將兩次摸球的結果配對，組成20種等可能的結果，第一次摸到紅球的可能結果有8種，即，所以；第二次摸到紅球的可能結果也有8種，即，所以．（2）事件“兩次摸到都是紅球”包含2個可能結果，即，則兩次摸到都是紅球的概率，故兩次摸到的不都是紅球的概率．16.在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．解：（1）因為，由正弦定理，得，即，即，因在中，，所以，又因為，所以.（2）因為的面積為，所以，得，由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.17.某學校組織“防電信詐騙知識”測試，隨機調查400名學生，將他們的測試成績（滿分100分）的統(tǒng)計結果按，，…，依次分成第一組至第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中x的值；（2）估計參與這次測試學生成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）和第60百分位數(shù)；（3）現(xiàn)從以上第三組、第四組和第五組中參與測試的學生用分層隨機抽樣的方法選取15人，擔任學?！胺离娦旁p騙知識”的宣傳員．若這15名學校宣傳員中來自第三組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為75和5，來自第四組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為85和10，來自第五組學生的測試成績的平均數(shù)和方差分別為93和5．2，據(jù)此估計這次第三組、第四組和第五組所有參與測試學生的成績的方差．解：（1）由題意得，所以.（2）參與測試學生的成績平均值：，第60百分位數(shù)為.（3）設第三組，第四組，第五組測試學生成績的平均數(shù)和方差分別為，，，，，，且三組的頻率之比為4：6：5，則這三組的平均數(shù)，所以第三組、第四組和第五組所有參與測試學生的測試成績的方差.18.如圖，在四棱臺中，底面為菱形，且，，側棱與底面所成角的正弦值為．若球與三棱臺內切（即球與棱臺各面均相切）．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱臺的體積和球的表面積．解：（1）設與、與BD分別交點E，F(xiàn)，連接EF，因為底面為菱形，所以，在等腰梯形中，因為E，F(xiàn)為底邊中點，所以，又EF與BD相交，平面，所以平面．（2）由（1）可知平面平面，又平面平面，過點作于，則平面，因為平面，所以，再作于，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以，則是二面角的平面角，因為平面，故是側棱與底面所成角，所以，在，，，在，，在，，因此二面角的正切值為．（3）將四棱臺還原為四棱錐，由題意可知三棱臺為正三棱臺，所以三棱錐為正三棱錐，因此三棱臺和三棱錐的內切球為同一個球，設，是和的中心，由（2）易知在，所以三棱錐為正四面體，所以，因此平面是四棱錐中截面，則，，故四棱臺的體積，球的表面積為．19.已知