高中數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊知識點總結(jié)-高考數(shù)學備考復習重點資料歸納

高中數(shù)學必修2

第六章平面向量

設0為AABC所在平面上一點，角所對邊長分別為a,"c,則

.2.22

(1)。為AABC的外心oOA=OB'=OC.

(2)。為AA3C的重心=OA+OB+OC=0.

(3)。為AA8C的垂心oQ408=080C=0C0A.

(4)。為AA6C的內(nèi)心oaOA+人O3+cOC=0.

[6.1]平面向量的概念

1、向量的定義及表示(向量無特定的位置，因此向量可以作任意的平移)

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)表示：①有向線段：帶有方向的線段，它包含三個要素：起點、方向、長度;

②向量的表示:用有向線段表示.此時有向線

蟹方向就是向量的方向.向■

幾何表示卜

.6的大小就是向量的長度(或

稱模)妃作畫

印刷時?用黑體小寫字

字母也求卜表示.書寫用適來表示

2、向量的有關(guān)概念：相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量

向量名稱定義

零向量長度為0的向量，記作0

單位向量長度等于1個單位長度的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量，向量a，方平行，記作a〃4

(共線向量)規(guī)定：零向量與任一向量平行

相等向量長度相等且方向相同的向量；向量a,8相等，記作a=b

[6.2]平面向量的運算

1、向量的加法

(1)定義：求兩個向量和的運算.

(2)運算法則：

向量求和的法則圖不幾何意義

三角形法則C已知非零向量a，b,在平面內(nèi)任取一點A,

使用三角形法則時要注意“首尾\b作方=a,BC=b,則向量I?叫做a與分的

相接''的條件，而向量加法的平行和，記作a+b,即。+)=通+就=彳？

a'B

四邊法則應用的前提是共起點J

平行四邊形法則J5~>C以同一點。為起點的兩個已知向量a,b,

以。4,0B為鄰邊作口OACB,則以0為起

點的向量灰(0C是Q0AC3的對角線)就

OA

是向量。與b的和

(3)規(guī)定：對于零向量與任意向量a,規(guī)定a+0=0+a=a.

(4)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四邊形

法則的物理模型.

（5）一般地我們有|a+四W|a|十同，當且僅當a,、方向相同時等號成立.

（6）向量加法的運算律與實數(shù)加法的運算律相同

2、向量的減法

（1）相反向量（利用相反向量的定義，一方=瓦?就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法）

定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量

性質(zhì)：①對于相反向量有：a+（—a）=0；②若a,〃互為相反向量，則a=—5，a+b=0；③零向

量的相反向量仍是零向量

（2）向量減法運算（向量的減法是向量加法的一種逆運算）

定義：求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

a~b=a+C—b）,減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.

幾何意義：a—b表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.

3、向量的數(shù)乘運算（實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算）

（1）定義：規(guī)定實數(shù)％與向量。的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：而，它的長度

和方向規(guī)定如下：

①|(zhì)加=|川同；②當2>0時，癡的方向與a的方向相同；當2<0時，癡的方向與a的方向相反.

③由①可知，當2=0時，癡=0;由①②知，（-1）a=—a.

（2）運算律：設心日為任意實數(shù)，則有：①2（⑷=（加）a；②（A+g）a=〃+眸；③％Ca+b）

=2a+M；

特別地，有（-2）a=—（2a）=2（—a）；2（a—b）—/.a—Xb.

（3）向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量的線性運算結(jié)果仍是向

量.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)九小，〃2,恒有2（⑷。±〃2））=z/zia+X/j.2b.

（4）共線向量定理：向量a（中0）與。共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)九使力=相.也就是

說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.

4、向量的數(shù)量積

（1）向量的夾角：兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是［0,兀］,而兩直線夾

角的范圍為［0,外

（2）向量的夾角的定義：已知兩個非零向量a,5,0是平面上的任意一點，作卜

向量。l=a,OB=b,則NaC力=0（0<e<7t）叫做向量a與分的夾角.X

當0=0時，a與方同向；當0=兀時，a與b反向.--------

如果。與b的夾角是》我們說。與b垂直，記作aJ_b.

（3）向量的數(shù)量積及其幾何意義：向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，它的值可正可負可為0

（4）向量的數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與從它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a||加cos。叫做向

量a與力的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作4力，即a?5=|a||b|cose.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（5）投影：如圖，設a,方是兩個非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如下變

換：過荏的起點。和終點上分別作方所在直線的垂線，垂足分別為A1,B!

得到尼瓦，我們稱上述變換為向量。向向量方投影，石瓦叫做向量@在向量〃上

的投影向量.

（6）向量數(shù)量積的性質(zhì)

設a,〃是非零向量，它們的夾角是ae是與方方向相同的單位向量，則

①a-e=e%=M|cos/）°_1_。<=?仍=0③當a與。同向時，a-b=\a\\b\；當a與方反向時，a-b=—\a\\b\,特

別地，。?。=間2或同=7^］不.在求解向量的模時一般轉(zhuǎn)化為模的平方，但不要忘記開方④M力兇。卜網(wǎng).

(7)運算律：@a-b=ba；②(a+b)?c=0c+A?c

(8)運算性質(zhì)：類比多項式的乘法公式

［6.3］平面向量基本定理及坐標表示

1、平面向量基本定理(定理中要特別注意向量ei與向量e2是兩個不共線的向量)

條件：ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量

結(jié)論：對于這一平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對實數(shù)加,后，使a=/iei+/l2e2

基底：不共線的向量e”e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

2、平面向量的坐標表示

(1)基底：在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,?。鹖,/｝作

為基底.

(2)坐標：對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數(shù)x,?使得a

=xi+yj,則有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標.

(3)坐標表示：a=(x,y).

(4)特殊向量的坐標：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

(5)平面向量的加減法坐標運算(可類比實數(shù)的加減運算法則進行記憶)

設向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),2.&R,則有下表：

文字描述符號表示

加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和a-\-b=(xi+x2>y\~\~y2)

減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差a-b=(九1—犬2，y\~y2)

重要結(jié)論一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的已知A(xi,y1),B(%2,y2),

坐標減去起點的坐標則48=(X2~xi,y2~y1)

(6)平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

設向量a=(x,y),則有羽=("，肛)，這就是說實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來

向量的相應坐標.

(7)平面向量共線的坐標表示：設a=(xi,yi),b=(X2,y2),其中厚0.向量a,b(b#0)共

線的充要條件是xiy2—x2yi=0.

(8)中點坐標公式：若Pi,「2的坐標分別是Gi,yi),(》2,>2),線段P1P2的中點P的坐

標為(x,y),則％=空、=空.此公式為線段的中點坐標公式.

(9)兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標表示

已知兩個非零向量，向量a=(xi,yi),b=(X2,y2),a與8的夾角為夕

數(shù)量積：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和，即：ab=xxx2+yxy2

向量垂直：Q_L)G1xz+y2=0

(10)與向量的模、夾角相關(guān)的三個重要公式

①向量的模：設。=(X,y),則同=JX2+y2.

②兩點間的距離公式：若A(x1,y1),B(尤2,yz),則(x1-x2)+(yj—y2).

③向量的夾角公式：設兩非零向量Q=(XI,yi),b=(X2,%),“與。的夾角為仇則

6=ab=+yry2

-|a||h|--rI

卜2+%2卜2+y?2

[6.4]平面向量的應用

1、平面幾何中的向量方法

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”

（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量

問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

2、向量在物理中的應用舉例

（1）向量與力：向量是既有大小，又有方向的量，它們可以有共同的起點，也可以沒有共同的起點.

而力是既有大小和方向，又有作用點的量用向量知識解決力的問題時，往往把向量平移到同一作用

點上.

（2）向量與速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成與分解，實質(zhì)上就是向量的加、減運

算.用向量解決速度、加速度、位移等問題，用的知識主要是向量的線性運算，有時也借助于坐標來

運算.

（3）向量與功、動量：力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是力

和位移兩個向量的數(shù)量積，即W=Fs=|F||s|cos。（。為F和s的夾角）.動量mv實際上是數(shù)乘向量.

3、余弦定理、正弦定理

（1）余弦定理的表示及其推論（SAS、SSS、SSA）

文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩

倍.

符號語言：a2=b2+c2-2bccosA；b~=c2+cr-2cacosB；c2=a1+b2-2abcosC.

1222

在△ABC中，有a2=/+c2—20ccosA,推論：cosA=

2bc

（2）解三角形：一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三

角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）

文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，該比值為該三角形外接圓的直徑.

符號語言：在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則—L=—J=2R（R為&ABC

sinAsinBsinC

的外接圓的半徑）

（4）正弦定理的變形形式變形形式是在三角形中實現(xiàn)邊角互化的重要公式

設三角形的三邊長分別為a,b,c,外接圓半徑為R,正弦定理有如下變形：

①a=2/?sinA,力=2RsinB,c=2RsinC；②sinA=—，sinB=—,inC=—；③

2R2Rs2R

a:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

（5）三角形面積公式:SAABC=—〃csinA=—ahsinC——acsinB.

（6）相關(guān)術(shù)語

①仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上

方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示.視線

水平覘線

視線

②方位角

指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如8點的

方位角為a（如圖1所示）.

③方位角的其他表示——方向角

正南方向：指從原點0出發(fā)的經(jīng)過目標的射線與正南的

方向線重合，即目標在正南的方向線上.依此可類推正北

方向、正東方向和正西方向.

東南方向：指經(jīng)過目標的射線是正東和正南的夾角平分線（如圖2所示）.

（7）解三角形應用題

解題思路：

抽象概括

實際問題數(shù)學模型

推

巴(

解

理

以

三

運

解

角

克

決

形

)

.-----------還座i*明------------

I實際問題的解卜小樂忱"__I數(shù)學模型的斛

基本步驟：

運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟如下：

①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）；

②建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個解三

角形的數(shù)學模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學模型的解.

④檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.

第七章復數(shù)

[7.1]復數(shù)的概念

1、數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

（1）復數(shù)的定義：形如a+4（a,bGR）的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，全體復數(shù)所構(gòu)成的

集合C=｛a+Wa,bGR｝叫做復數(shù)集.

（2）復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z=a十萬（a,b￡R）,其中a與b分別叫做復數(shù)z的實部

與虛部.

（3）復數(shù)相等：在復數(shù)集。=｛。+6la,OGH｝中任取兩個數(shù)a+萬，c+di（?,b,c,d^R）,我們

規(guī)定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d.

（4）復數(shù)的分類

①對于復數(shù)。子勿?（a,t>QR）,當且僅當b=0時，它是實數(shù)；當且僅當a=b=O時，它是實數(shù)0；

當厚0時，叫做虛數(shù)；當a=0且屏0時，叫做純虛數(shù).這樣，復數(shù)（a,匕6火）可以分類如

下：

魚■物/實數(shù)（b=0）

I虛數(shù)（bro）（當a=0時為純虛數(shù)）’

②集合表示：

（1）復平面（復平面中點的橫坐標表示復數(shù)的實部，點的縱坐標表示復數(shù)的虛部）

（2）復數(shù)的幾何意義

~~■■對應

①復數(shù)z=a+Z?i（a,bGR）?--->復平面內(nèi)的點z（a,b）.

---對應___>

②復數(shù)z=a+bi（a,bGR）<---->平面向量OZ.

（3）復平面上的兩點間的距離公式：d=|4-Z21=+（%—MP（4=%+yi,z2=x2+y2i）.

（4）復數(shù)的模

①定義：向量方的模叫做復數(shù)z=a+①（a,bGR）的?；蚪^對值.

②記法：復數(shù)z=a+Z?z'的模記為|z|或|a+汕

③公式：|z|=|a+/?z|=Va2+b2（a,bGR）.

如果人=0,那么z=a+4是一個實數(shù)，它的模就等于同（a的絕對值）.

（5）共瓢復數(shù)：一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共枕復

數(shù)，虛部不等于0的兩個共軌復數(shù)也叫做共鈍虛數(shù).復數(shù)z的共軌復數(shù)用N表示，即如果z=a+bi,那

么z=ahi.

(6)兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小。

(7)解復數(shù)方程

若A=〃-4"<0,在復數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個共粗復數(shù)根x=一b±J一；：-4ac)i面一面。<0).

[7.2]復數(shù)的四則運算

1、復數(shù)的加、減運算及其幾何意義

(1)復數(shù)的加法法則

①運算法則：設zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR)是任意兩個復數(shù)，那么,]z

(a+bi)+Cc+di)=(a+c)+(b+d)i,兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復,廠。7

數(shù).

②復數(shù)加法的幾何意義：如圖，復數(shù)Z1+Z2是以西，西為鄰邊的平行四邊形的

對角線及所對應的復數(shù).

③加法運算律：對任意Zl,Z2,Z3&C,有Z1+z2=Z2+z1,(Zl+z2)+z3=Zl+(Z1+Z3).

④復數(shù)加法的幾何意義：兩個向量兩與兩的和就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應的向量，復數(shù)

的加法可以按照向量的加法來進行.

(2)復數(shù)的減法法則

①運算法則：復數(shù)的減法是加法的逆運算；設Zi=a+而，Z2=c+di是任意兩個復[z

數(shù)，則Ca+bi)~(c+力)=(a—c)+Cb-d)i,兩個復數(shù)的差是一個確定的/勺7*乙

復數(shù).,

②復數(shù)減法的幾何意義：如圖，復數(shù)Z1—Z2是從向量西的終點指向向量西的終'

點的向量存所對應的復數(shù).

2、復數(shù)的乘、除運算

(1)復數(shù)的乘法運算

①復數(shù)的乘法法則：設zi=a+/?i,z2=c+di(a,b,c,dGR),貝!Jzrz2=(a+M)(c+di)=

(ac-bd)+(ad+bc)i.

②復數(shù)乘法的運算律

對任意復數(shù)Z],Z2,Z3dC,有

交換律Z1?Z2=Z2?Z1

乘法對加法的分配律Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+z1Z3

結(jié)合律(Z1?Z2)?Z3=Z1-(Z2?Z3)

(2)復數(shù)的除法運算

設zi=o+Ai,,Z2=c+di(c+di#)))，則

Z]a+bi(a+bi)(c--di)ac+bdbe—ad

—,i_?

-di)c2+d21c2+d2

Z2c+di(c+di)(c-

復數(shù)的除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化.若分母為a+方型，則分子、分母同乘a—萬；若分母為a一歷型,

則分子、分母同乘a+Ai.

3、幾個重要的結(jié)論

①|(zhì)Z[+Z?『+IZ]-Z?『=2(1Z|『+IZ?『)②Z?Z=1ZF=|ZF③若Z為虛數(shù)，則IZZ?

4、運算律

①z"‘?z"=z'"+"②(z"')"=z"?'③(Z|?Z2)"=Z；?Z2"(%,〃eR)

5、關(guān)于虛數(shù)單位i的一些固定結(jié)論：

①『=_1②尸=T③*=J④i><+j，，+2+j"+3+j"+4=o

[7.3]復數(shù)的三角表示

1、復數(shù)的三角表示式

(1)復數(shù)的三角形式：一般地，任何一個復數(shù)2=&+4都可以表示成r(cose+isin。)的形式，其中，

r是復數(shù)z的模；，是以x軸的非負半軸為始邊，向量次所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復數(shù)z

=a+Z?i的輻角，r(cosO+isin。)叫做復數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式，為了與三角形式區(qū)

分開來，“十從叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

(2)輻角主值：規(guī)定在09<2兀范圍內(nèi)的輻角。的值為輻角的主值，通常記作argz.

2、復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義

(1)復數(shù)三角形式的乘法：兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角

的和.

r1{cos6\+i.vin^i)-r+Lvinfe)=rirT[COS(6\+02)+Lvin(0i+6i)\.

(2)復數(shù)三角形式的除法：兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻

角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.

nCcosd-,+tsindy)ry

-----------------八」,cT=-[cos(%一。2)幺兇山(61-02)]

r

r2(cosd2十ISin%>2

第八章立體幾何初步

[8.1]基本立體圖形

1、多面體

（1）空間幾何體（我們研究空間幾何體就是研究其形狀和大小）

空間幾何體：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果只考慮這些

物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體

多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的

面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點

旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,

封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸

（2）多面體

多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊情形

匚〃

棱柱有兩個面互相平行，其::①底面（底）：兩個互相平行直棱柱：側(cè)棱垂直

余各面都是四邊形，并的面于底面的棱柱

且相鄰兩個四邊形的公側(cè)面：其余各面斜棱柱：側(cè)棱不垂

共邊都互相平行，由這側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊直于底面的棱柱

些面所圍成的多面體叫記作：棱柱頂點：側(cè)面與底面的公共正棱柱：底面是正

做棱柱ABCDEF-頂點多邊形的直棱柱

ABCDEF

棱錐有一個面是多邊形，其底面（底）：多邊形面正棱錐：底面是正

余各面都是有一個公共側(cè)面：有公共頂點的各個多邊形，并且頂點

頂點的三角形，由這些三角形面與底面中心的連線

面所圍成的多面體叫做側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊垂直于底面的棱錐

AD

棱錐頂點：各側(cè)面的公共頂點

記作：棱錐s一

ABCD

棱臺用一個平行于棱錐底面上底面：原棱錐的截面

的平面去截棱錐，底面下底面：原棱錐的底面

和截面之間那部分多面?zhèn)让妫浩溆喔髅?/p>

體叫做棱臺側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

期頂點：側(cè)面與上（下）底面

記作:棱臺ABCD的公共頂點

一ABCD'

（3）圓柱、圓錐、圓臺、球

旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示

圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋圓柱用表示它的軸的

轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)字母表示，如圖中的

底面《：j-MiM

軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓圓柱記作圓柱0'0

面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的

.B

曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，

平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線

圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)圓錐也用表示它的軸

軸

軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)的字母表示，如圖中

體叫做圓錐的圓錐記作圓錐SO

底面IB

圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截八圓臺也用表示它的軸

面之間的部分叫做圓臺的字母表示，如圖中

的圓臺記作圓臺0Q

底而八

球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周手球常用表示球心的字

形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫母來表示，左圖可表

做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連示為球0

接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半

徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做t

球的直徑

（4）棱，柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體，麥臺和圓臺統(tǒng)稱為臺彳7

（5）簡單組合體（“接”和“截”簡單幾何體就可得到組合體）

①定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

②簡單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部

分而成的.

[8.2]空間幾何體的直觀圖

1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

2、斜二測畫法的步驟：①平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；②平行于y軸的線長度變半，平行

于x,z軸的線長度不變

3、原圖與直觀圖的關(guān)系：Sa=——SSin=2V2Sa

4

[8.3]簡單幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

（1）棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

(2)圓柱的表面積S=2"/+2m二(3)圓錐的表面積S=4/+勿’

(4)圓臺的表面積S=M+/+成/+成2(5)球的表面積S=4成2

2、空間幾何體的體積

(1)柱體的體積V=S底X。(2)錐體的體積V=gs底x〃

(3)臺體的體積V=L(S上+JS上S下+SF)X/Z(4)球體的體積丫=4小3

3、球的組合體

(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的外接球的直徑是正方

體的體對角線長(石a).

(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為ga,外接球的半徑為歹a.

124

[8.4]空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、平面

(1)含義：平面是無限延展的

(2)平面的畫法及表示

①平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,/----7c

且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)//

②平面通常用希臘字母a、夕、>等表示，如平面a、平面夕等，也可以用表4--------

示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如

平面AC、平面ABC。等。

2、點、直線、平面之間的基本位置的符號表示

文字語言符號語言

點A在直線/上Ae/

點A在直線/外Ail

點A在平面a內(nèi)A^a

點A在平面a外ACa

直線1在平面a內(nèi)lua

直線/在平面a外Wa

平面a,尸相交于/an叩

3、三個基本事實：

(1)基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,使AWa、BGa、C^a?

基本事實1作用：確定一個平面的依據(jù)。

(2)基本事實2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

符號表示為：AG/,BGI,Ada,BGa=>lua

基本事實2作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(3)基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：PGaC/3=>an￡=I,且PW/

基本事實3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

4、基本事實1和基本事實2的三個推論

(1)經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面

符號表示為：A￡/=＞存在唯一的a,使ACa,lua

(2)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面

符號表示為：/Cl"2=A=＞存在唯一的a,使lua,

(3)經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

符號表示為：/〃"?=＞存在唯一的a,使/ua,mua

5、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線

(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點

I平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

6、空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點

(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aCa來表示

7、空間中平面與平面之間的位置關(guān)系

平面與平面有三種位置關(guān)系：

(1)兩個平面平行—沒有公共點

(2)兩個平面相交——無數(shù)個公共點(在同一直線上)

a//paC\B=a

[8.5]空間直線、平面的平行

1、直線與直線平行

(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：a//b,c//b=＞a//c

強調(diào)：基本事實4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

基本事實4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

（2）空間四邊形：順次連接不共面的四點A、B、C、。所構(gòu)成的圖形。

（3）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補

符號表示為：OA/Za'A）,。8〃。夕且同向=>/4。8=/，06'

等角定理作用：判定與證明兩個角相等。

2、直線與平面平行

（1）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面

平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：aMbuB，a//b=>a//a

（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的

交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a//a,auB，a^=b=>a//b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

3、平面與平面平行

（1）兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

簡記為：線面平行則面面平行。符號表示：au§,bu§,aC\b=P,a//a,b//a=>[i//a

證明方法：反證法

（2）兩個平面平行的判定定理的推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的

兩條直線，那么這兩個平面平行。

符號表示：aup,bup,aC\b=P,a'ua,b'ua,a'nb'=P',a//a,b//a=>p//a

（3）平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

簡記為：面面平行則線線平行。符號表示：a〃夕，aC\y=a,/^C\y=b=>a//b

（4）兩平面平行的相關(guān)性質(zhì)

①若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個平面平行（尸〃a,aua=>a〃儻

②夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等

③平行平面具有傳遞性及平行于同一平面的兩個平面平行（尸〃a,尸〃尸>a〃y）

④兩條直線被三個平行平面所截截得的對應線段成比例

4、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

[8.6]空間直線、平面垂直

1、異面直線所成的角

①兩條異面直線所成的角薛（0,“；

②當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作

③兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

④計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2、直線與平面垂直/「7

（1）定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與//

平面a互相垂直，記作直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂a

面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。

符號表示：任意aua,都有/.La=>Z_La

（2）判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

符號表示：aua,bua,aC\b=P,l工b=>B〃a

3、直線與平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。當直線與平面垂直時，規(guī)定這條直線

與該平面成直角。當直線與平面平行或在平面內(nèi)時，規(guī)定這條直線與該平面成0。角。

(2)范圍：斜線與平面所成的角。的范圍是叱也90。

(3)求法：作出斜線在平面上的射影；

(4)斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。

4、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理1：垂直于平面的直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直。

簡記為：線面垂直則線線垂直。符號表示：da,buaS

(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

簡記為：線面垂直則線線平行。作用：作平行線。符號表示：a±a,bLa=>a//b

5、點面距、線面距、面面距

(1)點面距：過一點做垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段叫做這個點到該平面的垂線

段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離

點面距AO范圍：AO>0

(2)線面距：一條直線與一個平面平行直線條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到

這個平面的距離

當直線/與平面a相交或/ca時，直線/到平面a的距離為O

(3)面面距：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等我們

把它叫做這兩個平行平面間的距離

當平面夕與平面a相交時，平面尸到平面a的距離為O

6、平面與平面垂直弋廣飛

(1)二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

二面角的記法：二面角a—/一4或a—AB一4或產(chǎn)一/一?；騊—AB—Q.

(2)平面與平面垂直：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂

直。符號表示：o■工B

(3)兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

簡記為：線面垂直則面面垂直。符號表示：AB邛,A8ua=>a，夕

(4)平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交

線，則這條直線與另一個平面垂直。

簡記為：面面垂直則線面垂直。作用：作平面的垂線。符號表示：a邛,an0=l,aua,a_L/=>a_L/?

第九章統(tǒng)計

[9.1]隨機抽樣

1、在統(tǒng)計學里，我們把所要考察對象的全體叫做總體，把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量.總體中

的每一個考察對象叫做個體，從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本.其中個體的個數(shù)稱

為樣本容量.

2、簡單隨機抽樣：也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取

調(diào)查單位。

3、簡單隨機抽樣常用的方法：

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

（1）抽簽法的一般步驟：將總體的個體編號；連續(xù)抽簽獲取樣本號碼.

適用于：總體中個體數(shù)相對較少

特點：每個樣本單位被抽中的可能性相同（等可能性）；總體中個體數(shù)有限（有限性）；從主體

中逐個抽取（逐一性）

（2）隨機數(shù)表法的步驟：將總體的個體編號；在隨機數(shù)表中選擇開始數(shù)字；讀數(shù)獲取樣本號碼.

適用于：總體中個體數(shù)相對較多

4、總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

（1）總體平均數(shù)（總體均值）：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為丫2,…，YN,

則稱y=+刈=]邸消

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果總體的N個變量值中，不同的值共有攵（仁N）個，不妨記為力，…，Yk,

其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)力（i=l,2,%）,則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式3f*

（3）樣本平均數(shù)（樣本均值）：如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本，他們的變量值分別為V，

”，???，》,則稱9=2產(chǎn)=；??=]%

5、分層抽樣

（1）分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成

若干類型或?qū)哟?，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，

最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。抽樣比=瞿黑

總樣本量

（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣

本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：①調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量②保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)

性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量③有明顯分層區(qū)分的變量

（3）分層的比例問題：①按比例分層抽樣②不按比例分層抽樣

（4）在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N,抽取的

樣本量分別為m和〃.我們用X”X2,…，XM表示第1層各個個體的變量值，用Xi,XI,…，X,”表

示第1層樣本的各個個體的變量值；用H，丫2,…，YN表示第2層各個個體的變量值，用yi,丁2,…,

八表示第2層樣本的各個個體的變量值，則：

第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為又=邑”^=然區(qū)/寫土包=

M勖項

第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為乎=如寫*=；￡匕匕歹=＞】+?+???+-=

NN,人n

2%

津1%+城1匕第1%+器1九

總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為W=-----------3------------

M+Nm+n

在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)方估計總體平均數(shù)W,即囚=為元+外9=

M+NM+N

m_,n—_

------XH----V=3

m+nm+n

6、獲取數(shù)據(jù)的基本途徑

獲取數(shù)據(jù)的基本途徑適用類型注意問題

通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)對于有限總體問題，一般通過抽樣調(diào)查要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)

或普查的方法獲取數(shù)據(jù)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽