決戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)過關(guān)梳理練習(xí)：《圓的綜合》（五）

決戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)過關(guān)梳理練習(xí):

《圓的綜合》(五)

1.(1)如圖①，是。。的直徑，點(diǎn)C、。在。0上，且BC=BD,CD=AD.求證：2ADC

=2NBDC.

(2)如圖②，四是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上.若點(diǎn)。是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足朋=

CD,/ADX24BDC.

①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法).

②若48=4,8C長度為〃(0<//7<4),點(diǎn)。的個(gè)數(shù)隨著〃的值變化而變化，直接寫出點(diǎn)

。的個(gè)數(shù)及對應(yīng)的〃的取值范圍.

圖①圖②備用圖

2.三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角

形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,是△48C中N4的遙望角，若N4=a,則N￡=.(請用含a

的代數(shù)式表示)

(2)如圖2,四邊形4墳3內(nèi)接于。0,俞=統(tǒng)，四邊形為8切的外角平分線爐交。。于

點(diǎn)尸，連結(jié)妹并延長交3的延長線于點(diǎn)￡.求證：N8&7是中N縱C的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)AF,若4c是。。的直徑.求N/⑦的度數(shù).

圖1圖2圖3

3.正方形為8切的四個(gè)頂點(diǎn)都在。。上，￡是。。上的一點(diǎn).

(1)如圖①，若點(diǎn)￡在窟上，尸是如上的一點(diǎn)，DF=BE.求證：XADF@l\ABE、

(2)在(1)的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、然之間滿足等量關(guān)系：DE-8￡=揚(yáng)￡請

說明理由；

(3)如圖②，若點(diǎn)￡在京t,連接〃￡CE,已知8X5,BE=1,求底及龍的長.

圖①圖②

4.如圖，為。。的弦，點(diǎn)戶在。。上，PA<PB,%為。。的直徑，過點(diǎn)尸作戶aL48,垂

足為點(diǎn)0.

(1)說明陽；

(2)若。。的半徑為7,點(diǎn)尸在。。上，點(diǎn)。在。。內(nèi)，且尸0=4,過點(diǎn)。作尸。的垂線交

。。于點(diǎn)AB.設(shè)PB=y,

①求V與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.

②若PA和用的值恰好是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，求線段4C的長.

5.如圖，。。為等邊的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧上運(yùn)動(不與點(diǎn)48重合)，

連接以I,DB,DC.

(1)求證：%是N/Im的平分線；

(2)設(shè)四邊形加8c的面積為S,線段外的長為x,試用含x的代數(shù)式表示5；

(3)若點(diǎn)K/V分別在線段)，第上運(yùn)動(不含端點(diǎn))，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動到每

一個(gè)確定的位置，A/W的周長有最小值t,隨著點(diǎn)。的運(yùn)動，力的值會發(fā)生變化，求所

有￡值中的最大值.

6.研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形的對角線互相垂直時(shí)，該四邊形的面積等于對角線乘積的一半，如

圖，已知四邊形切內(nèi)接于。0,對角線劭，且4dm

(1)求證：AB—CD.

(2)若。。的半徑為8,弧做的度數(shù)為120。，求四邊形48”?的面積.

7.如圖，為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與絲垂直，且交熊的延長線與

點(diǎn)。，連接他

(1)求證：CE=CB；

(2)若AC=2后,CE=?求/的長.

8.已知如圖，。。的直徑8a4料，.藍(lán)=俞=而，點(diǎn)。是射線放上的一個(gè)動點(diǎn).

(1)如圖1,求做的長；

(2)如圖1,若戶8=8,連接外,求證必為。。的切線;

9.如圖，△48C內(nèi)接于。0,4)，仇7于點(diǎn)。，AD^BD,力￡為。。直徑，。。的半徑為2,連

接在

(1)求4?的長；

(2)求證：BE=?pC.

10.如圖，48為。。的直徑，CB,勿分別切。。于點(diǎn)民D,必交班的延長線于點(diǎn)￡CO

的延長線交。。于點(diǎn)G,EFLOG千點(diǎn)、F.若尻=6,DE=4.

(1)求證：/FEB=NECF：

(2)求。。的半徑長.

(3)求線段爐的長.

參考答案

1.證明：(1)連接4C,

圖①

■：BD^BC,

?1?BC=BD>

又F8是直徑，

48垂直平分CD,

.'.AC=AD^

'：CD=AD,

???△4?。是等邊三角形，

，工加仁60°=^DAC,

；48垂直平分CD,

N外UN仍。=30°=/BDC,

：.乙ADC=2Z.BDC；

(2)①如圖②，以8為圓心，8c長為半徑作。6,。8與4C的垂直平分線的交點(diǎn)為。,

D'-,

A

OS,;

D':\/

:--........J

圖②

②當(dāng)。8與4c的垂直平分線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為1,

：.AC=2BC,

,:AE=AG+BC、

.',16=5m,

5，

V0</77<4,

.?.當(dāng)寸，點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)。=等時(shí)，點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為1;

當(dāng)士返VZ4時(shí)，點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為2.

5

2.解：(1)是中N/I的遙望角，

NEBC^汆BAC,NECD=±NACD,

：.ZE=AECD-ZEBD=LQ/LACD-ZABC}=

2

N-a,

2

故答案為：-^-a；

(2)如圖2,延長8c到點(diǎn)T,

,?,四邊形FBCD內(nèi)接于。億

「?N/7?gN儂?=180°,

?:NFDH/FDC=\8C,

:?NFDE=4FBC,

'：DF平分/ADE、

，ADF=/FDE、

NADF=AABF,

???/ABF=/FBC,

?,?宏是N/8C的平分線，

AD=BD>

???4ACD=NBFD,

NBF步4BCD=M,NDCT+NBCD=180°,

J4DCT=NBFD,

:./ACD=/DCT,

?.?宏是△力宓的外角平分線，

??.ZBEC是4ABe中N847的遙望角；

（3）如圖3,連接防

.?.NBEC是XABC中N外。的遙望角,

:?NBAC=2/BEC、

NBFC=NBAC,

：2BFC=2/BEC、

4BFC=/BE儕/FCE,

:?/BEC=4FCE,

???/FCE=Z.FAD,

???4BEC=4FAD,

Y/FDE=/FDA、FD=FD,

在△久出和△曲中，

'/FDE二NFDA

,ZFED=ZFAD,

、DF=DF

「.△a?之△的（加s）,

:?DE=DA,

NAED=NDAE,

??YC是。。的直徑,

：.NADC=9Q°,

:.NAELh~NDAE=9Q°,

；./AEg/DAE=45°.

圖3

圖2

3.解：(1)由圓周角定理得，/ADF=LABE,

,?,四邊形4民》是正方形，

：.AD^AB,NBAD=90°,

在△/1〃尸和△?1國中，

，AD=AB

<ZADF=ZABE,

DF=BE

：.^ADF^/\ABE(.SAS')；

(2)?△加&跖

：.AE=AF,2EAB=2FAD,

‘：/BAD=M,

:.ZEAF=qy,

.?.△4年為等腰直角三角形,

.9=揚(yáng)￡

：.DE-BE=y[2AE-,

(3)如圖，過點(diǎn)8作在于點(diǎn)

???四邊形48必為正方形，故N8345°,ZDEC^45°,

在△比■，中，BE=1,BC=5,NBEC=45°,

Vo

則8/USAinNfi9g?sin45。="=出

在RtABCH中,^VBC2-BH2=

EC=EthC44顯,

在△OC中，NDEC=45°,Cf=4&,CD=BC=5,

連接劭,則劭=5&,

VZ5CZ7=90°,

r.故是。。的直徑，

:.』BED=qy,

■：BE=\,

?1?DE=VBD2-BE2=J(W^)2-J=7.

4.解：(1)-：PO±AB,則NQ08=9O°,

??/C是圓的直徑，則N2k?=90°=2PQB、

?：/PBg/PCA、

；.△?!怨八△。"8；

(2)?：/\APC^^OPB,

地工里即至工里

則

PQPBBQ4yBQ

貝|]y=—(4<X<2A/14)；

X

(3)??其上至，即出U1,

PQPBBQ4PB

則48陽=56,

若以和用的值恰好是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，則21=7,PB=8,

22=22==4

在Rt△戶8。中，BQ=VPB-PQV8-4V3>

..PAPCAC刖7_AC

'PQ'PBW即廠歷，

解得AX1代

5.解：(1).「△48C是等邊三角形，

AAABC=ZBAC=ZACB=60°,

?：NADC=NABC=6G0,/BDC=2BAC=60。,

NADC=NBDC,

?"C是N4?8的平分線；

(2)四邊形4?8c的面積S是線段Z?C的長x的函數(shù)，

理由如下：

如圖1,將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到

出圖1

/.CD=CH,乙DAG=/財(cái)

.?.四邊形4c8。是圓內(nèi)接四邊形,

「?/加6N〃8G=180°,

，DBC+/HBC=\8G,

?,?點(diǎn)。點(diǎn)8,點(diǎn)〃三點(diǎn)共線，

,:DC=CH,NCDH=60°,

/\DCH是等邊三角形，

??.四邊形4J8C的面積$=5"^5"加=54枷=返切,

5=返/（2次WxW4）；

（3）如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于直線4C的對稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線&;的對稱點(diǎn)尸,

/------

F

圖2

.??點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線4c對稱，

.\EM=DM,

同理，仁傷

???△沏的周長=DMD!^MN=F^EM^MN,

???當(dāng)點(diǎn)￡點(diǎn)叫點(diǎn)小點(diǎn)尸四點(diǎn)共線時(shí)，△刖的周長有最小值，

則連接防交力C于叫交BC于N,連接名CF,DE,DF、悴CP1EF千P,

???Z^MV的周長最小值為EF=t,

丁點(diǎn)，，點(diǎn)E關(guān)于直線47對稱，

:,CE=CD,/ACE=ZACD,

丁點(diǎn)。點(diǎn)廠關(guān)于直線外對稱，

:?CF=CD、NDCB=4FCB,

:?CD=CE=CF、/ECF=/AC&/AC訃4DC濟(jì)/FCB=2/ACB='2b0,

?:CPLEF,CE=CF、N￡CF=120°,

:.EP=PF、ZCEP=3Q°,

：.PC=^-EC,PE=0PC='與EC、

...EF=2PE=舟G=我3t,

...當(dāng)3有最大值時(shí)，）有最大值，即大有最大值，

為。。的弦，

.?.勿為直徑時(shí)，緲有最大值4,

t的最大值為4日.

6.(1)證明：,.?4?=做，

■,-AC=BD>

則定=CD>

AB=CD\

(2)解：連接08、0D,蚱OH'BD于H、則身/=ZW,

???弧劭的度數(shù)為120°,

：.2BOD=\20°,

「.N80仁60°,

ZOBH=3Q°,

貝I]BH=^~0B=4M，

AC=BD=8^^3,

則四邊形力8c的面積=/x4cx8Z?=~^X88J^=96.

圖1

7.(1)證明：連接oc,

是。。的切線，

???OCA.CD.

ADLCD,

：.OC//AD,

AZ1=Z3.

又?.?"=0。

/.N2=N3,

??.N1=N2,

：,CE=CB：

(2)解：??Y8為。。的直徑,

：?4ACB=90°,

,:AC=2yJ"^、CB=CE=

?■?AB=〃C2KB2=4(2/)2+(粕)2=5,

?：NADC=NACB=9Q°,N1=N2,

：./\ADC^/\ACB,

.ADACDC

"AC"AB"CB"

日口AD2炳DC

即2粕二5訴

：.AD=^,DC=2,

在Rt△〃b中，DE=A/EC2-DC2=7(V5)2-22=1，

：.AE=AD-如=4-1=3.

8.解：（1）;bC是直徑，定=俞=而，則定'而、而均為60°的弧,

B

圖1

則NZ?&=30°,連接力交放于點(diǎn)〃，

貝l]80=C0=2西

在RtZ\8O/中，BH=BOcosNDBC=2?X亨=3,

貝I]BD=2BH=6：

(2)在RtZi8C。中，6a4我,NA仇?=30°,則CD-21./3>

PD=PB-劭=8-6=2,

在RtZkQW中，PG=C6+PG=4+(2?)2=16,

在△8C夕中，B?=(4我)2=48,8尸=64,

則。仔=密+",

故△8%為直角三角形，故PC1CB,

故外為。。的切線；

(3)過點(diǎn)/作AHI.8c交劭于點(diǎn)P,

圖2

在RtZ\"仍中，ZDBC=3Q°,KI]PH=~PB,

即A*PB=AGPH=AH為最小,

:總'形勻?yàn)?0°的弧，則N4比=60°，

而A0=80,

故為邊長為2?的等邊三角形,

耍3

則4448sin60°=2百X

即仍?士小的最小值為3.

2

9.解：(1)如圖，連接&?,

；40A.BC于點(diǎn)、0,AD=BD,

J.N48〃=NHI〃=45°,

:.ZAEC=NABD=45°,

,.YE是。。的直徑，

，ACE=9G,

??浜=4,

.,./4^7=/4￡*sin