第二章 實(shí)數(shù)壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（解析版）-2024年?？?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

第二章實(shí)數(shù)壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練評(píng)卷人得分一、單選題1．在實(shí)數(shù)，，0，，2.10010001，中，是無理數(shù)的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義解答即可．【詳解】，0，2.10010001是有理數(shù)；，，是無理數(shù)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的識(shí)別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①π類，如2π，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），0.2121121112…（兩個(gè)2之間依次增加1個(gè)1）2．若二次根式有意義，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)大于等于0，列不等式求解．【詳解】解：二次根式有意義，，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式中，被開方數(shù)大于等于0．3．估算值（

）A．在1到2之間 B．在2到3之間C．在3到4之間 D．在4到5之間【答案】A【分析】先估計(jì)的整數(shù)部分，然后即可判斷的近似值．【詳解】解：，故選A【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，掌握無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．4．一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則它后面一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是()．A．x＋1 B．x2＋1 C． D．【答案】D【詳解】一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則這個(gè)自然數(shù)是則它后面一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是.故選D.5．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)正確，故選D.6．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則、合并同類二次根式、二次根式的除法運(yùn)算法則逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則得，該項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)合并同類二次根式運(yùn)算法則，知不能合并，該項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則得，該項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)合并同類二次根式運(yùn)算法則，知，該項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的相關(guān)運(yùn)算，涉及到二次根式的乘法運(yùn)算法則、合并同類二次根式、二次根式的除法運(yùn)算法則，熟練掌握二次根式相關(guān)公式是解決問題的關(guān)鍵．7．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下：（a+b＞0），如，那么3*（6*3）＝（）A．1 B．﹣3 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)定義，先求出6*3的值，然后求出3*（6*3）的值即可．【詳解】解：∵（a+b＞0），∴3*（6*3）＝3*＝3*1＝＝1故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．8．一個(gè)正數(shù)a的平方根是2x﹣3與5﹣x，則這個(gè)正數(shù)a的值是（）A．25 B．49 C．64 D．81【答案】B【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定義即可解答．【詳解】解：由正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得：（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，解得x＝﹣2，所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，所以a＝72＝49．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的性質(zhì),理解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵．9．如圖是一個(gè)無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當(dāng)輸出值y為時(shí)，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為；③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯(cuò)誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯(cuò)誤；②輸入值x為16時(shí)，，故②說法正確；③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯(cuò)誤；④當(dāng)x=1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)，故④原說法正確．其中錯(cuò)誤的是①③．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．10．化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】故選D【點(diǎn)睛】本題考查多重二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.評(píng)卷人得分二、填空題11．設(shè)面積為5的正方形的邊長(zhǎng)為x，那么x=【答案】【詳解】解：根據(jù)題意得x2=5，∴x=．故答案為．12．化簡(jiǎn)：＝；＝．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：==．故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．的算術(shù)平方根是．【答案】3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答．【詳解】＝|?9|＝9，則的算術(shù)平方根是＝3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．14．計(jì)算（﹣1）2005﹣|﹣2|+（﹣）﹣1﹣2sin60°的值為．【答案】﹣6【詳解】試題分析：分別根據(jù)數(shù)的開方法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．原式=﹣1﹣（2﹣）﹣3﹣2×=﹣1﹣2+﹣3﹣=﹣6．考點(diǎn)：(1)、實(shí)數(shù)的運(yùn)算；(2)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；(3)、特殊角的三角函數(shù)值．15．對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：“”，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)已知將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵“”，∴，，……，∴=====．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．16．將1、、、按右側(cè)方式排列.若規(guī)定(m，n)表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù)，則(5，4)與(9，4)表示的兩數(shù)之積是.【答案】【詳解】試題解析：（5，4）表示第5排從左向右第4個(gè)數(shù)是：，（9，4）表示第9排從左向右第4個(gè)數(shù)，可以看出奇數(shù)排最中間的一個(gè)數(shù)都是1，第9排是奇數(shù)排，最中間的也就是這排的第5個(gè)數(shù)是1，那么第4個(gè)就是：，∴(5，4)與(9，4)表示的兩數(shù)之積是：×=2．故答案為2．17．已知，則的值為．【答案】【分析】先對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，再依次代入所求的式子進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是逐步把代入所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．18．一個(gè)四位數(shù)，若千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和與十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和的積等于60，則稱這個(gè)四位數(shù)為“六秩數(shù)”，例如，對(duì)于四位數(shù)1537，∵，∴1537為“六秩數(shù)”．若，，記，則；若N是一個(gè)“六秩數(shù)”，且是一個(gè)完全平方數(shù)，記，則的最大值與最小值的差為．【答案】6，8，4，3，【分析】根據(jù)題意用表示這個(gè)四位數(shù)，根據(jù)定義推出可能的值，計(jì)算比較出最大值和最小值，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)∵即整理得故根據(jù)題意N是一個(gè)“六秩數(shù)”，且是一個(gè)完全平方數(shù)則滿足，且是一個(gè)完全平方數(shù)∵是一個(gè)完全平方數(shù)故或當(dāng)時(shí)，，根據(jù)進(jìn)行推算：①，，此時(shí)，故若，，則若，，則若，，則若，，則的最大值與最小值的差為②，，此時(shí)，故若，，則若，，舍去若，，則若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，則若，，舍去若，，則的最大值與最小值的差為③，，此時(shí)，故，舍去④，，此時(shí)，故若，，則若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，則的最大值與最小值的差為⑤，，此時(shí)，故若，，則若，，則若，，則若，，則的最大值與最小值的差為⑥，，此時(shí)，故，舍去⑦，，此時(shí)，故，舍去當(dāng)時(shí)，，根據(jù)進(jìn)行推算：①，，此時(shí)，故若，，舍去若，，則若，，舍去若，，則若，，舍去的最大值與最小值的差為綜上，的最大值與最小值的差為6，8，4，3，故答案為：；6，8，4，3，【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是通過且是一個(gè)完全平方數(shù)，結(jié)合進(jìn)行推算，得到可能性的數(shù)值，計(jì)算．評(píng)卷人得分三、解答題19．計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘方性質(zhì)可得,一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根意義可得，立方根的定義可得,根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值可得:,然后再根據(jù)實(shí)數(shù)加減計(jì)算法則即可求解.【詳解】解：原式==.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì),算術(shù)平方根,立方根的定義,絕對(duì)值的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次根式的性質(zhì),算術(shù)平方根,立方根的定義,絕對(duì)值的性質(zhì).20．閱讀材料：像（+）（）＝3，?＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），……，這種兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式例如：與，+1與﹣1，2+3與2﹣3等都是互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．例如：；；解答下列問題：（1）3﹣與互為有理化因式，將分母有理化得．（2）計(jì)算：2﹣；（3）觀察下面的變形規(guī)律并解決問題．①＝﹣1，＝，＝，…，若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想：＝．②計(jì)算：（+++…+）×（+1）．【答案】（1）3+，；（2）2﹣；（3）①﹣；②2019．【分析】（1）根據(jù)互為有理化因式的式子特征即可寫出3﹣的有理化因式，將分子、分母同時(shí)乘即可；（2）將該式分母有理化，然后化簡(jiǎn)即可；（3）①根據(jù)規(guī)律即可求出；②根據(jù)以上規(guī)律化簡(jiǎn)并求值即可.【詳解】解：（1）3﹣與3+互為有理化因式，將分母有理化得；（2）原式＝2﹣﹣2＝2﹣；（3）①＝﹣；②原式＝（﹣1++…+）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2020﹣1＝2019．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握分母有理化因式的定義和將分母有理化是解決此題的關(guān)鍵.21．計(jì)算（1）

（2）（3）

（4）（運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1【分析】（1）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，冪的乘方與積的乘方計(jì)算，再合并同類項(xiàng)；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)；（3）分別計(jì)算各數(shù)，再作加減法；（4）先變形為，再利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）===；（2）==；（3）==；（4）===1【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．22．已知a，b為正實(shí)數(shù)，試比較+與+的大小.【答案】+≥+【分析】化簡(jiǎn)（ab+ba）-（a+b）為(a+b)(a?b)2ab，再由a、b為正實(shí)數(shù)可得(a+b)(a?b)2ab≥0，從而得出結(jié)論．【詳解】解：作差，得：（+）﹣（+）=（﹣）+（﹣）=+==∵a、b為正實(shí)數(shù)∴≥0∴+≥+【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式比大小，解題關(guān)鍵是利用作差法求解.23．（1）比較大?。孩賍_____；②______；③______．（填“＞”、“＜”或“=”）（2）觀察上面的式子，請(qǐng)猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．（其中，）【答案】（1）①；②；③；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則、算術(shù)平方根解決此題．（2）根據(jù)完全平方公式、算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性解決此題．【詳解】解：（1）①，，．故答案為：．②，，．故答案為：．③，，．故答案為：．（2），理由如下：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法、算術(shù)平方根、完全平方公式、偶次方的非負(fù)性，熟練掌握二次根式的乘法法則、算術(shù)平方根、完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．24．在數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，嘉琪遇到一道題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣解答的：∵，∴．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)嘉琪的解題過程，解決如下問題：（1）試化簡(jiǎn)和；（2）化簡(jiǎn)；（3）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1），；（2）；（3）5【分析】（1）利用分母有理化計(jì)算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先將a的值化簡(jiǎn)為，進(jìn)而可得到，兩邊平方得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：（1）故答案為：，；（2）原式；（3），，，即．．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．25．閱讀材料：求值：，解答：設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘2得：，將得：，即．請(qǐng)你類比此方法計(jì)算：．其中n為正整數(shù)【答案】（1）；（2）．【分析】設(shè)，兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；同理即可得到所求式子的值．【詳解】解：設(shè)，將等式兩邊同時(shí)乘2得：，將下式減去上式得：，即，則；設(shè)，兩邊同時(shí)乘3得：，得：，即，則．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，運(yùn)用題目中的解題方法，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想解答問題．26．材料一：對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)為“和好數(shù)”．若和好數(shù)（，，，且a、b、c、d均為整數(shù)），規(guī)定將p的十位數(shù)字與百位數(shù)字之差的3倍記為，即．材料二：若一個(gè)數(shù)N等于另一個(gè)整數(shù)Z的平方，則稱這個(gè)數(shù)N為完全平方數(shù)．(1)請(qǐng)判斷3264，5342是否是“和好數(shù)”，并說明理由；如果是，請(qǐng)計(jì)算的值；(2)若正整數(shù)s，t都是“和好數(shù)”，其中，，（，，，，且m、n、x、y都是整數(shù)），當(dāng)?shù)闹凳且粋€(gè)完全平方數(shù)時(shí)，求滿足條件的所有正整數(shù)s的值．【答案】(1)5342是“和好數(shù)”，理由見詳解；3(2)4567【分析】（1）依據(jù)“和好數(shù)”的定義和G(p)的定義即可判斷求解；（2）首先確定s、t的千位數(shù)、被位數(shù)、十位數(shù)和