重慶市主城區(qū)七校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市主城區(qū)七校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，解?故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.某校高一年級(jí)20個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）A.91 B.92 C.93 D.94〖答案〗D〖解析〗將比分從小到大排序可得：，，即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.故選：D.4.據(jù)統(tǒng)計(jì)某班三個(gè)同學(xué)投籃，每一位投進(jìn)的概率均為0.4，用數(shù)字表示投進(jìn)，數(shù)字表示投不進(jìn)，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計(jì)三位同學(xué)中恰有一位投進(jìn)的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗B〖解析〗由題意知，20組隨機(jī)數(shù)中表示三位同學(xué)中恰有一位投進(jìn)的數(shù)據(jù)為：925，683，257，394，537，908共6個(gè)，

由此估計(jì)三位同學(xué)中恰有一位投進(jìn)的概率為.

故選：B．5.已知平面、，直線，直線不在平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，若，，過(guò)直線作平面，使得，，因?yàn)?，，，則，因?yàn)?，，，則，，，，，，則或、異面，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，，則，因?yàn)?，則或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則或、相交（不一定垂直），D錯(cuò).故選：B.6.已知向量，且在上的投影為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以在上的投影為，可得，則.故選：B.7.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形水平放置時(shí)的斜二測(cè)直觀圖為矩形，如圖所示.若，則該直四棱柱的體積為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由直觀圖可得底面四邊形的平面圖形，如圖所示，因?yàn)?，可得，所以，所以四邊形的面積為，又由直四棱柱的高為，即，所以該直四棱柱的體積為.故選：C.8.如圖，某人匍匐在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線勻速移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小.若，，，則移動(dòng)瞄準(zhǔn)過(guò)程中的最大值為（）（仰角為直線與平面所成角）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，如圖，則由仰角的定義得，由題意，設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，在中，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，上式也成立，中，，當(dāng)時(shí)，取最大值，綜上，的最大值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.下列命題為真命題的是（）A.若為共扼復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B.若i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)滿足，則〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，若為共扼復(fù)數(shù)，則，故，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故C正確；對(duì)于D，不能得到，比如，但是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.在中，分別為角的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）A.B.若，則為等腰三角形C.若為銳角三角形，則D.若，則為鈍角三角形〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中，做中邊上的高，則，同理在直角三角形和鈍角三角形中也可證，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，即，因?yàn)?，可得或，即或，所以為等腰或直角三角形，所以B不正確；對(duì)于C中，由為銳角三角形，可得，則，因?yàn)?，可得，又函?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，由，可得中一定有一個(gè)小于0成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以D正確.故選：ACD.11.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲的點(diǎn)數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（）A.與互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立〖答案〗BCD〖解析〗先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)組如下表所示：第二次第一次123456123456共有種，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不同”，其中包括，即與不互斥，故A錯(cuò)誤；“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”的對(duì)立事件是“兩次擲的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，，故B正確；表示事件“第一次為奇數(shù)，第二次為偶數(shù)”共9種：，故C正確；事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”共18種；，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”共6種：，表示事件“兩次為相同的偶數(shù)”共3種：，即，與相互獨(dú)立，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿、將、翻折，使點(diǎn)、重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（）A.平面B.三棱錐的體積為C.直線與直線所成角的余弦值為D.三棱錐外接球的半徑為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，翻折前，有，，翻折后，在三棱錐中，則有，，因?yàn)?，、平面，因此，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，翻折前，，，則，同理可得，又因?yàn)?，故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，在三棱錐中，，，，取線段的中點(diǎn)，連接，則，且，所以，，又因?yàn)槠矫?，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取線段、的中點(diǎn)、，連接、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，同理可知，且，所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，則，由余弦定理可得，所以，異面直線與所成角的余弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長(zhǎng)為，則的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則為圓柱的外接球球心，且，本題中，，的外接圓的直徑為，因?yàn)槠矫?，可將三棱錐置于圓柱內(nèi)，使得的外接圓為圓，如下圖所示：所以，三棱錐的外接球半徑為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分.）13.用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級(jí)有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是________人.〖答案〗1800〖解析〗，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故〖答案〗為：1800.14.在中，，點(diǎn)為外接圓的圓心，則________.〖答案〗14〖解析〗因?yàn)樵谥校?，點(diǎn)為外接圓的圓心，所以點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，由平面向量的線性運(yùn)算得，，所以.故〖答案〗為：14.15.18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家辛卜森運(yùn)用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺(tái)等幾何體的統(tǒng)一體積公式）（其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積），我們也稱為“萬(wàn)能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運(yùn)用該公式求解下列問(wèn)題：如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個(gè)平行平面去截球，則夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體的體積為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)上下截面小圓的圓心分別為，上底面截面小圓上一點(diǎn)，連接，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，解得，所以，又因?yàn)榍遥越孛嫘A半徑，根據(jù)“萬(wàn)能求積公式”可得，所求幾何體的體積為：.故〖答案〗為：.16.銳角的內(nèi)角所對(duì)邊分別是且，若變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理，，，得，代入，得，所以，即，因?yàn)椋曰颍ㄉ崛ィ?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，因?yàn)?，且，即，利用輔助角公式可得，，其中，因?yàn)?，要使存在最大值，只需存在，使，，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以的取值范?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，17題10分，18-22題各12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.目前用外賣網(wǎng)點(diǎn)餐的人越來(lái)越多，現(xiàn)在對(duì)大眾等餐所需時(shí)間情況進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，.（1）求頻率分布直方圖中值.（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù).（每組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得.（2）樣本的平均數(shù)約為.18.已知的角的對(duì)邊分別為，且.（1）求A；（2）若的面積為，且，求.（請(qǐng)?jiān)冖?；②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)完成解答.）解：（1）由，可得，由，可得.（2）選擇①：，可得，即，因?yàn)?，所以，所以，即，此時(shí)，即為直角三角形，，，所以，，所以，解得，所以.選條件②：，由的面積為可得：，解得：，由余弦定理得：，解得：．19.如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）過(guò)三點(diǎn)的一個(gè)平面，截三棱柱得到一個(gè)截面，畫(huà)出截面圖，說(shuō)明理由，并求截面周長(zhǎng).解：（1）證明：連接，設(shè)，連接，如圖所示，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）作圖過(guò)程：取的中點(diǎn)，連接，則四邊形即為截面圖形，證明如下：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，所以四邊形即為截面圖形，此時(shí)四邊形為等腰梯形，直三棱柱中，，可得，所以四邊形的周長(zhǎng)為.20.如圖，在中，分別為中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.設(shè).（1）求的值；（2）若，求的值.姐：（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可設(shè)，又因?yàn)椋善矫嫦蛄炕径ɡ?，可得，解?（2）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以相似于，由（1）知，所以，所以，由，可得，所以，故，所以，因?yàn)椋?1.如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，為中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）已知.求直線和平面所成角的正弦值.解：（1）由題又為中點(diǎn)，，，又，四邊形為矩形，則又為正三角形，為中點(diǎn)，，又，平面則平面又，平面又平面平面平面.（2）由（1）知平面平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作，交于則平