1.4-函數(shù)的連續(xù)性

1.4函數(shù)連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)與間斷；二、初等函數(shù)的連續(xù)性；三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．一、函數(shù)的連續(xù)與間斷；01、點(diǎn)連續(xù)則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．設(shè)函數(shù)在的附近有定義，并且滿足證明：顯然，在點(diǎn)處及其鄰域內(nèi)有定義，2、左右連續(xù)則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)．(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義且滿足則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)．(2)設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義且滿足(3)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)既是左連續(xù)，又是右連續(xù)．3、區(qū)間連續(xù)(1)若函數(shù)

在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)

在(a,b)內(nèi)連續(xù)。(2)若函數(shù)

在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)，則稱函數(shù)

在[a,b]內(nèi)連續(xù)。4、函數(shù)間斷點(diǎn)如果在點(diǎn)不能滿足以上任何一個(gè)條件，則點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)。4、函數(shù)間斷點(diǎn)[分類(lèi)]：則稱為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；則稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．4、函數(shù)間斷點(diǎn)[分類(lèi)]：則稱為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；特別地，如果(2)除第一類(lèi)間斷點(diǎn)外的間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類(lèi)間斷點(diǎn)．則稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．4、函數(shù)間斷點(diǎn)[分類(lèi)]：則稱為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；特別地，如果如果則稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．則稱為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)．解顯然，在處及其附近有定義，所以在處不連續(xù)，是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)．解顯然，在處及其附近有定義，可見(jiàn)，左右極限雖都存在但不相等，即不存在，所以在處不連續(xù)，且為跳躍間斷點(diǎn).二、初等函數(shù)的連續(xù)性定理1：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．換言之：求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求它的定義區(qū)間．例4求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型．解：其連續(xù)區(qū)間即定義區(qū)間為：定理2

設(shè)復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的附近（可以去掉）有定義，若函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在,且，而函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，且例5求下列極限三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.（開(kāi)區(qū)間）（閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)）定理2(介值定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得ACMBN幾何解釋:幾何解釋:證:由零點(diǎn)定理,四、小結(jié)（本節(jié)要點(diǎn)）函數(shù)的連續(xù)性的概念和判斷；間斷點(diǎn)的分類(lèi)；復(fù)合函數(shù)極限的求法；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)