2025版新教材高中數(shù)學(xué)第二章三角恒等變換2.1兩角和與差的三角函數(shù)2.1.3兩角和與差的正切公式導(dǎo)學(xué)案湘教版必修第二冊

2.1.3兩角和與差的正切公式教材要點要點兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號運用條件兩角和的正切tan(α＋β)＝__________________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z兩角差的正切tan(α－β)＝__________________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z狀元隨筆公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律(1)公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號改變規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”．基礎(chǔ)自測1.思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)對隨意的α，β角，都有tan(α±β)＝tanα(2)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(3)tanπ2+π3能依據(jù)公式tan(2．tan75°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋33．已知tanα＝4，tanβ＝3，則tan(α＋β)＝()A．711B．－C．713D．－4．若tanα+π4題型1給角求值例1(1)1-A．13B．33(2)求值：tan72°＋tan48°－3tan72°tan48°＝________．方法歸納(1)留意兩角和與差的正切公式的特點，逆用公式求值．(2)第(1)小題用到了“1”的變換，即將常數(shù)1轉(zhuǎn)化為tan45°，這種技巧在解三角函數(shù)問題中常常用到．跟蹤訓(xùn)練1(1)1-A．33B．3C．tan6°D．(2)tan10題型2給值求值角度1干脆法求值例2已知cosα＝－55，α∈π2，A．13B．3C．－3D．－方法歸納由三角函數(shù)定義與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求已知角的正切值，再運用兩角和與差的正切公式求解．角度2拆角變換求值例3已知sinα＝12，α∈π2，π，且tan(α＋β)＝－跟蹤訓(xùn)練2(1)以角θ的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角θ終邊過點P(2，4)，則tanθ-A．－3B．－13C．1(2)假如tan(α＋β)＝25，tanβ-π4＝A．1318B．1322C．3題型3已知三角函數(shù)值求角例4已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－方法歸納選取函數(shù)的原則(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．(2)已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是0，π2跟蹤訓(xùn)練3設(shè)α，β∈0，π2且tanα＝43，tanβ＝17易錯辨析忽視條件中隱含的角的范圍出錯例5已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．解析：由題意知tan∴tanα＜0，tanβ＜0(*)又α，β∈(0，π)，∴α∈π2，π，∴α＋β∈(π，2π)，∴tan(α＋β)＝tanα+tan∴α＋β＝54易錯警示易錯緣由糾錯心得忽視(*)這一隱含條件．一些隱含的制約條件不易被發(fā)覺，簡單導(dǎo)致角的范圍擴(kuò)大．解答此類問題時肯定要細(xì)致挖掘題目中的隱含條件才能有效地避開失誤．課堂非常鐘1．tan525°＝()A．－2＋3B．－2－3C．2－3D．2＋32．若α，β∈0，π2且tanα＝12，tanβ＝13A．－17C．17D．3．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，則C等于()A．π3B．C．π6D．4．計算(1＋tan10°)(1＋tan35°)＝________．5．已知tan(α＋β)＝25，tanβ-π5＝2.1.3兩角和與差的正切公式新知初探·課前預(yù)習(xí)要點tan[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)√(3)×2．解析：tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°+tan45°1答案：D3．解析：tan(α＋β)＝tanα+tanβ1答案：B4．解析：tanα+π4＝tanα+1答案：3題型探究·課堂解透例1解析：(1)1-tan15°1+(2)由tan120°＝tan(72°＋48°)＝tan72°+整理得tan72°＋tan48°＝－3+所以tan72°＋tan48°－3tan72°tan48°＝－3.答案：(1)B(2)－3跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)tan27°+tan33°1-tan(2)因為tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.所以原式＝tan＝－3.答案：(1)A(2)－3例2解析：∵cosα＝－55，α∈π2，π∴tanα＝－2，tanπ4+α＝1+tanα答案：D例3解析：∵α∈π2，π，sin∴cosα＝－1-sin∴tanα＝－3∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan＝-3+3跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)由題意知：tanθ＝2，而tanθ-π4＝tanθ-(2)∵tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝∴tanα+π4＝tanα+β-β答案：(1)C(2)C例4解析：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan＝12-1又因為α∈(0，π)，而tanα>0，所以α∈0，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα+tan因為tanβ＝－17，β∈(0，π)，所以β∈π所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝12>0，得α－β∈-π，-所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π跟蹤訓(xùn)練3解析：∵α，β∈0，π2，∴α－又tanα＝43，tanβ＝1∴tan(α－β)＝tan＝43∵α－β∈-π所以α－β＝π4答案：π[課堂非常鐘]1．解析：tan525°＝tan(360°＋165°)＝tan165°＝tan(180°－15°)＝－tan15°＝－tan(45°－30°)＝－tan45°-tan30答案：A2．解析：tan(α－β)＝tanα-tanβ1+答案：C3．解析：因為tan(A＋B)＝tanA故tan(A＋B)＋3＝tan＝tanA依據(jù)題意可知，tanA＋tanB＋3-3tanAtan故tan(A＋B)＋3＝0，因為C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝3，因為在三角形中0<C<π，故C＝π3答案：A4．解析：∵tan45°＝tan(10