勾股定理（含解析）-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)（人教版）

專題02勾股定理（含解析）

一.勾股定理（共6小題）

1.如圖，C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，/SACD,ACBE都是等邊三角形，M,N分別是CD,BE

的中點(diǎn)，若4?=4,則線段MN的最小值為（）

百打口

A.?—DR?3i。x.y八JLJ?-3--6-----

242

2.丁丁和當(dāng)當(dāng)用大小相同的圓形紙片分別剪成扇形（如圖）做圓錐形的帽子，請(qǐng)你判斷哪

個(gè)小朋友做成的帽子更高一些（）

A.TTB.當(dāng)當(dāng)C.一樣高D.不確定

3.一直角三角形的斜邊長比其中一直角邊長大3,另一直角邊長為9,則斜邊長為（）

A.15B.12C.10D.9

4.已知點(diǎn)尸（3皿,4-4⑼為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，若O為原點(diǎn)，則線段PO的最小值為（

）

A.2B.2.4C.2.5D.3

5.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以AB為一條邊向三角形外部作正方

6.如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個(gè)正方形，數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長為

半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

C.72D.6

勾股定理的證明（共6小題）

7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽

弦圖”（如圖1）.圖2是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角

形拼接而成，記圖中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNKT的面積

分別為5、$2、S3.若E+S2+S3=10,則S2的值是（）

圖1圖2

A.—B.—C.3D.-

333

8.如圖1,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我

國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.在此圖形中連接四條線

段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為5「空白部分的面積為邑，大正方形的邊長為加，

小正方形的邊長為"，若每一之，則"的值為一.

S22m

9.(1)教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公

式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊

長都為。，較小的直角邊長都為A,斜邊長都為C),大正方形的面積可以表示為CL也可以

表示為4x1必+(〃-力2,所以4xL"+(a-b)2=c2,即〃2+k=°2.由此推導(dǎo)出重要的勾

22

股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a,h,斜邊長為c,則/+從=02.圖②為美國

第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.

(2)試用勾股定理解決以下問題：

如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4,則斜邊上的高為—.

(3)試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋(。-2力2=/-4。6+4/,畫在上面的網(wǎng)格中，

10.如圖，將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，直角三角形A8C中，

ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,正方形/ECR中，IE=EC=CF=F1=x

(1)小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：

由題意可得3￡>=3E=a-x,AD=AF=b-x

因?yàn)?所以a—x+b—x=c,解得x=

2

(2)小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：

利用S&ec+SM/C+S<y?c可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成他的

求解過程：

(3)請(qǐng)結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗(yàn)證勾股定理.

11.閱讀理解：

【問題情境】

教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？

【探索新知】

從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：

大正方形的面積=小正方形的面積的個(gè)直角三角形的面積

從而得數(shù)學(xué)等式：一；(用含字母。、b、c的式子表示)

化簡證得勾股定理：a2+b2=c2

【初步運(yùn)用】

(1)如圖1,若b=2a,則小正方形面積：大正方形面積=—；

(2)現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2,若。=4,5=6此時(shí)空白部分的面

積為;

【遷移運(yùn)用】

如果用三張含60。的全等三角形紙片，能否拼成一個(gè)特殊圖形呢？帶著這個(gè)疑問，小麗拼出

圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60。的三角形三邊a、b、c之間

的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程.

知識(shí)補(bǔ)充：如圖4,含60。的直角三角形，對(duì)邊)，：斜邊x=定值上.

12.如圖，在中，AC_L8￡>于C,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接B￡、DE,￡)E的延長

線交A3于尸，已知?！?他，ZC4￡>=45°.

(1)求證：DFVAB-,

(2)利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在AABC中，ZACB=90。，

BC=a,AC=h,AB=c,求證：a2+b2=c2.

三.勾股定理的逆定理(共8小題)

13.由下列條件不能判定AABC為直角三角形的是()

A.ZA+ZB=Z.CB.a:b:c=\A:2

C.(b+c)(b-c)=a2D.a=1,b=-j3,c=2

14.下列長度的三條線段能組成直角三角形的是()

A.>/2,A/3,X/5B.,-C.32,42,52D.4,5,6

345

15.下列條件中，不能判斷AA8C(a、b、c為三邊，24、ZB.NC為三內(nèi)角)為直角三

角形的是()

A.a2=1,6'=2,c2=3B.a:b:c—3:4:5

C.Z4+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

16.在AA8c中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別為a、b、c,下列條件不能判斷AA8C是直

角三角形的是()

A.ZB=ZC+ZAB.a2=(b+c)(b-c)

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.a:b:c=3:4:5

17.如圖，已知AABC中，AB=\O,AC=8,BC=6,AC的垂直平分線交43于點(diǎn)。,

垂足為E,連接8,則CD的長為()

C.4.8D.5

18.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，若AABC和AADE的頂點(diǎn)都在小正方形網(wǎng)格的格

點(diǎn)上，貝i]NABC+NA￡>E=°.

19.如圖，A48C中，8c的垂直平分線DE分別交A3、BC于點(diǎn)、D、E,?LBDr-D^=AC2.

(1)求證：Z4=90°;

(2)若A8=8,AD:BD=3:5,求AC的長.

20.如圖，AZ)是AABC的中線，小是AADC的高，D尸是AABZ)的中線，且CE=1,DE=2,

AE=4.

(1)乙4DC是直角嗎？請(qǐng)說明理由.

(2)求小的長.

21.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）

A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,9

22.下列數(shù)組是勾股數(shù)的是（）

A.2、3、4B.0.3、0.4、0.5C.6、8、10D.7,12、15

23.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）

A.1,1,2B.1.5,2,2.5C.7,24,25D.6,12,13

24.若8,“，17是一組勾股數(shù)，則°=

五.勾股定理的應(yīng)用（共8小題）

25.如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條

到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分。的長度x（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計(jì)）范圍是（）

A.12轟!k13B.12M15C.5麴上12D.5領(lǐng)k13

26.如圖，為了求出湖兩岸A、3兩點(diǎn)之間的距離，觀測者在湖邊找到一點(diǎn)C,并分別測

N84c=90。，ZABC=3O°,又量得3c=100相，則A、3兩點(diǎn)之間距離為.

27.如圖，某斜拉橋的主梁"）垂直于橋面于點(diǎn)。，主梁上兩根拉索AB、AC長分別

為13米、20米，主梁4）的高度為12米，則固定點(diǎn)3、C之間的距離為米.

28.“東方之門”座落于美麗的金雞湖畔，高度約為301.8米，是蘇州的地標(biāo)建筑，被評(píng)為“中

國最高的空中蘇式園林現(xiàn)以現(xiàn)代大道所在的直線為x軸，星海街所在的直線為y軸，建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(1個(gè)單位長度表示的實(shí)際距離為100米)，東方之門的坐標(biāo)為

A(6,T),小明所在位置的坐標(biāo)為8(-2,2),則小明與東方之門的實(shí)際距離為一米.

Ei

0

3(-2,2)

現(xiàn)代大道現(xiàn)代大道

E3

-4(6,-4)

29.如圖，一個(gè)直徑為12c%的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm,

當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)(筷子底端不動(dòng))，筷子頂端正好觸到杯口，求筷子長度.

30.一艘輪船從A港向南偏西48。方向航行100A〃到達(dá)B島，再從8島沿EW方向航行

125km到達(dá)C島,A港到航線BM的最短距離是60b〃.

(1)若輪船速度為25k”/小時(shí)，求輪船從C島沿C4返回A港所需的時(shí)間.

(2)C島在A港的什么方向？

北

什

31.如圖所示，一架梯子4?斜靠在墻面上，且45的長為2.5米.

（1）若梯子底端離墻角的距離08為1.5米，求這個(gè)梯子的頂端A距地面有多高？

（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端A下滑0.5米到點(diǎn)A,那么梯子的底端3在水平

方向滑動(dòng)的距離BB'為多少米？

32.如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千他在靜止位置時(shí)，下端》離地面0.6”?，蕩秋千

到的位置時(shí)，下端3距靜止位置的水平距離￡?等于24”，距地面1.46，求秋千的

長.

0.6

專題02勾股定理（含解析）

參考答案與試題解析

--勾股定理（共6小題）

1.如圖，C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，MCD,ACBE都是等邊三角形，M,N分別是CD,BE

的中點(diǎn)，若A3=4,則線段MN的最小值為（）

A石R636

A?D?---------C?VJU.-------

242

【分析】連接C7V.首先證明NMCN=90。，設(shè)AC=o,則8C=4-a,構(gòu)建二次函數(shù)，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：連接。V,

???AACD和\BCE為等邊三角形，

:.AC=CD,BC=CE,ZACD=ZBCE=ZB=6O°f

ZZ7CE=6O°,

?.?N是的的中點(diǎn)，

:.CNLBE,ZEOV=30°,

:.ZDCN=90。,

設(shè)AC=a，

???AB=4,

ic

:.CM=-aCN=—(4-a),

229

...MN=《CM?+CN?=J；/+34-a)2=J(〃-3.+3,

.?.當(dāng)a=3時(shí)，MN的值最小為

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題.

2.丁丁和當(dāng)當(dāng)用大小相同的圓形紙片分別剪成扇形（如圖）做圓錐形的帽子，請(qǐng)你判斷哪

個(gè)小朋友做成的帽子更高一些（）

A.TTB.當(dāng)當(dāng)C.一樣高D.不確定

【分析】可得丁丁剪成扇形做圓錐形的帽子的底面半徑大于當(dāng)當(dāng)剪成扇形做圓錐形的帽子的

底面半徑，由于母線長相等，根據(jù)勾股定理可得當(dāng)當(dāng)做成的帽子更高一些.

【解答】解：由圖形可知，丁丁剪成扇形做圓錐形的帽子的底面半徑大于當(dāng)當(dāng)剪成扇形做圓

錐形的帽子的底面半徑，

?.?扇形的半徑相等，即母線長相等，

,■由勾股定理可得當(dāng)當(dāng)做成的圓錐形的帽子更高一些.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，圓錐的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵是得到丁丁剪成扇形做圓錐形的帽子的底

面半徑大于當(dāng)當(dāng)剪成扇形做圓錐形的帽子的底面半徑.

3.一直角三角形的斜邊長比其中一直角邊長大3,另一直角邊長為9,則斜邊長為（）

A.15B.12C.10D.9

【分析】設(shè)斜邊長為x,則一直角邊長為x-3,再根據(jù)勾股定理求出x的值即可.

【解答】解：設(shè)斜邊長為x,則一直角邊長為x-3,

根據(jù)勾股定理得92+（x-3）2=V,

解得x=15.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和

一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

4.已知點(diǎn)尸（3,%4-4M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，若O為原點(diǎn)，則線段PO的最小值為（

)

A.2B.2.4C.2.5D.3

【分析】利用勾股定理求得PO的長度，然后利用配方法求其最小值.

【解答】解：根據(jù)題意知：PO=J(3，")2+(4-4%)2=小25(%—微了+含?

當(dāng)機(jī)《時(shí)，尸明=借號(hào)=2.4.

所以線段尸。的最小值為2.4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，注意配方法在解題過程中的應(yīng)用.

5.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以他為一條邊向三角形外部作正方

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?NC=90。，AC=4,BC=2,

AB=VAC2+BC2=\l42+22=2亞,

正方形的面積==(26)2=20,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的面積，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個(gè)正方形，數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長為

半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A表示的數(shù)是()

?I，，)?>

-101.42

A.1B.1.4C.41D.6

【分析】根據(jù)勾股定理求出03,進(jìn)而得到。4的長，根據(jù)數(shù)軸的概念解答即可.

【解答】解：由勾股定理得，。8=正+產(chǎn)=&,

則。4=03=,

.?.點(diǎn)A表示的數(shù)是應(yīng),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是”,

b,斜邊長為c,那么/+從=02.

二.勾股定理的證明（共6小題）

7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽

弦圖”（如圖1）.圖2是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角

形拼接而成，記圖中正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNKT的面積

分別為5、S2>S3.若E+S2+S3WO,則S2的值是（）

【分析】根據(jù)圖形的特征得出四邊形的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三

角形面積一個(gè)設(shè)為y,從而用x,y表示出5，S2,S3,得出答案即可.

【解答】解：將四邊形M77W的面積設(shè)為x,將其余八個(gè)全等的三角形面積一

個(gè)設(shè)為y,

?.?正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3,

5,+S2+S3=10,

二得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,

S,+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,

“10

x+4y=—,

所以$2=x+4_y=,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形面積關(guān)系，根據(jù)已知得出用x,y表示出S2,

S3,再利用5+52+83=10求出是解決問題的關(guān)鍵.

8.如圖1,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我

國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖在此圖形中連接四條線

段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S「空白部分的面積為邑，大正方形的邊長為加，

小正方形的邊長為〃，若當(dāng)=3,則K的值為為

S,2m~5

【分析】由*=|,可得S2為大正方形面積的|.設(shè)A5為x,表示出空白部分的面積邑，

即_1/乂4=2病，則x=Yl%,再在RtAABC中使用勾股定理得到關(guān)于機(jī)，"的方程，可

255

求得上的值.

m

【解答】解：?.■工=3,大正方形面積為加，

s22

2，

C=m

/.S2~~,

設(shè)圖2中=依題意則有:

AQ_22

4,5MDC=不相，

BP4x—xx2=-m2，

25

解得：N（負(fù)值舍去）,

在RtAABC中，

AB2+CB2=AC2,

+"）2=M

m3m

解得:(負(fù)值舍去).

m

2=逅」=在

mm垂)5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為。、b,斜邊為c,那么

a2+b2=c2,使用可建立方程求解相應(yīng)線段長.

9.(1)教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公

式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊

長都為。，較小的直角邊長都為人，斜邊長都為c),大正方形的面積可以表示為也可以

表示為4xgH+(a-Z?)2,所以4xg"+(a-A)2=c2,BRa2+b2=c2.由此推導(dǎo)出重要的勾

股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a,〃，斜邊長為c,則/+層=/.圖②為美國

第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.

(2)試用勾股定理解決以下問題：

如果直角三角形A3C的兩直角邊長為3和4,則斜邊上的高為

(3)試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋(〃-2力2=/-4必+4/,畫在上面的網(wǎng)格中,

并標(biāo)出字母a,6所表示的線段.

【分析】(1)梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩

次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證;

(2)由兩直角邊，利用勾股定理求出斜邊長，再利用面積法即可求出斜邊上的高;

(3)己知圖形面積的表達(dá)式，即可根據(jù)表達(dá)式得出圖形的邊長的表達(dá)式，即可畫出圖形.

【解答】解：(1)梯形ABC。的面積為’(〃+33+3=1。2+必+,從,

222

也利用表示為1必+\2+1他，

222

1,1,,1,11,

/.—cr2+ah+—b~=—ah+—c2+—ab,

22222

即a2+&2=c2；

(2)?.?直角三角形的兩直角邊分別為3,4,

廠?斜邊為5,

,?,設(shè)斜邊上的高為力，直角三角形的面積為LX3X4=LX5X/Z,

22

,12

h——,

5

故答案為U;

5

(3)??,圖形面積為：(a-2b)2=a2-4ab+4b2,

邊長為a-2b,

由此可畫出的圖形為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項(xiàng)式的乘法的運(yùn)用以及由多項(xiàng)式畫圖形

的創(chuàng)新題型，此類證明要轉(zhuǎn)化成同一個(gè)物體的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)

果.

10.如圖，將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，直角三角形A8C中，

ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,正方形/ECF中，IE=EC=CF=Fl=x

（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：

由題意可得=AD=AF=b-x

AB=BD+AD>所以a-x+6-x=c，解得x="+'_-

2

（2）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：

利用S.BC=SMlB++Sw可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成他的

求解過程：

（3）請(qǐng)結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗(yàn)證勾股定理.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即得結(jié)論；

（2）根據(jù)大三角形的面積等于三個(gè)小三角形的面積和即可求解;

（3）綜合（1）和（2）的結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)即可得結(jié)論.

【解答】解：（2）因?yàn)?明隧=44如+，眥+5皿。

—ab=-ex-ax+—bx

2222

所以x=ab.

a+b+c

答：x與a、b>c?的關(guān)系為x=————?

a+b+c

(3)根據(jù)(1)和(2)得：

V--a-+--b---c-a-h-----

2a+b+c

即lab-(a+b+c)(a+b-c)

化簡得/+從=02.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明、全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的面積,

解決本題的關(guān)鍵是綜合利用相關(guān)知識(shí).

11.閱讀理解：

【問題情境】

教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？

【探索新知】

從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：

大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積

從而得數(shù)學(xué)等式：_3+力2=c2+4x〈H_;(用含字母”、b、C的式子表示)

化簡證得勾股定理：/+從=。2

【初步運(yùn)用】

(1)如圖1,若b=2a,則小正方形面積：大正方形面積=—；

(2)現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2,若a=4,b=6此時(shí)空白部分的面

積為一:

【遷移運(yùn)用】

如果用三張含60。的全等三角形紙片，能否拼成一個(gè)特殊圖形呢？帶著這個(gè)疑問，小麗拼出

圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60。的三角形三邊a、b.c之間

的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過程.

知識(shí)補(bǔ)充：如圖4,含60。的直角三角形，對(duì)邊y：斜邊x=定值k.

ba

圖1

【分析】【探索新知】根據(jù)大正方形的面積=小正方形的面積M個(gè)直角三角形的面積，構(gòu)建

關(guān)系式即可解決問題.

【初步運(yùn)用】(1)如圖1,求出小正方形的面積，大正方形的面積即可.

(2)根據(jù)空白部分的面積=小正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積計(jì)算即可.

【遷移運(yùn)用】根據(jù)大正三角形面積=三個(gè)全等三角形面積+小正三角形面積，構(gòu)建關(guān)系式即

可.

【解答】解：［探索新知］由題意：大正方形的面積=(a+b)2=c2+4xg必，

22

cr+2ah+b=c+2ahf

/./+廿=/

【初步運(yùn)用】(1)由題意：b=2a,c=\/5a,

.?.小正方形面積：大正方形面積=5/：92=5:9,

故故答案為5:9.

(2)空白部分的面積為=52-2/x4x6=28.

2

故答案為28.

［遷移運(yùn)用］結(jié)論：a2+h2-ah=c2.

理由：由題意：大正三角形面積=三個(gè)全等三角形面積+小正三角形面積

可得：—(6/+Z?)xk(a+h)=3x-xhxka-i--xcxck,

222

3+b)2=3ab+c2

a2+b2-ab=c2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明以及運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問

題，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，在中，于C,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE、DE,QE的延長

線交A8于F,已知ZCAD=45°.

(1)求證：DF±AB；

(2)利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在AABC中，ZACB-90°,

BC=a,AC=h,AB=c,求證：a2+b2=c2.

【分析】(1)利用“8字型”證明ZAFK=NE8=90。即可.

⑵利用5皿+SWD=5^-S；即可得出結(jié)論?

【解答】解：(1)-.-ACYBD,ZCAD=45°,

AC=DC,ZACB=ZDCE=90°,

在RtAABC與RtADEC中，

[AC=DC

[AB=DE'

RtAABC=RtADEC(HL),

,-.ZBAC=ZEDC,

ZEDC+NCED=90°,NCED=ZAEF,

:.ZAEF+ZBAC=90°,

:.ZAFE=90°,

：.DFLAB.

(2)SfJiCE+S/sACD=S3D—SMBE'

-a2+-/?2=-c-DF--cEF=-c(DF-EF)=--c-DE=-c2,

2222222

a2+b2=c2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的證明等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用面積法證明勾股定理，屬于中考常考題型.

三.勾股定理的逆定理(共8小題)

13.由下列條件不能判定AABC為直角三角形的是()

A.ZA+Zfi=ZCB.a:b:c=lA:2

C.(b+c)(b—c)=a2D.a=1,b=-\/3>c=2

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和已知條件求出NC度數(shù)，再判斷選項(xiàng)A即可；根據(jù)三角

形的三邊關(guān)系定理判定選項(xiàng)B即可；根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項(xiàng)C和選項(xiàng)D即可.

【解答】解：A.-.■ZA+ZB=ZC,ZA+Zfi+NC=180。，

/.ZC=90°,

.?.AA8C是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.a.b:c=\-.\:2,

;.a+b=c,不符合三角形三邊關(guān)系定理，

不能組成三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

C.'：(b+c)(h-c)=a2,

b2-c1=a2,

a2+c2=b2,

:.ZB=90°,

??.AABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D■,>?a=1,b-A/3,c=2,

a2+b2-c2,

ZC=90°,

是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理等知

識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵.

14.下列長度的三條線段能組成直角三角形的是()

A.夜,6,6B.,-C.32,42,52D.4,5,6

345

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條邊的長度能否構(gòu)成直角三角形.

【解答】解：(&)2+(g『=(石尸，故選項(xiàng)A符合題意；

(1)2+(1)^(1)2,故選項(xiàng)5不符合題意；

(3?)2+&2)2X(5?)2,故選項(xiàng)C不符合題意；

42+52^62,故選項(xiàng)。不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理

解答.

15.下列條件中，不能判斷AA8C(a、b、c,為三邊，、NB、NC為三內(nèi)角)為直角三

角形的是()

A.a2=1,b2=2>c2=3B.a:b:c=3:4:5

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的條件是否可以構(gòu)成

直角三角形，從而可以解答本題.

【解答］解：當(dāng)/=1,從=2,4=3時(shí),

則a2+b2=c2,

即A4BC是直角三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；

當(dāng)a:6:c=3:4:5時(shí)，設(shè)“=3x,6=4x,c=5x>

則a2+b2=(3x)2+(4?2=(5x>=,

即A4BC是直角三角形，故選項(xiàng)3不符合題意；

當(dāng)NA+N8=NC時(shí)，則NC=90。，

即A4BC是直角三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；

當(dāng)NA:/B:NC=3:4:5時(shí)，則最大的NC=18()0x---=75°,

3+4+5

即AABC不是直角三角形，故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾

股定理的逆定理解答.

16.在AABC中，NA、ZB.NC的對(duì)邊分別為。、b、c,下列條件不能判斷AABC是直

角三角形的是()

A.ZB=ZC+ZAB.a2=(h+c)(b-c)

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.a:h:c=3:4:5

【分析】利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：A、vZB=ZC+ZA,且ZA+ZB+NC=180。，..ZB=90%故AABC是直

角三角形；

-.,a2=(b+c)(b-c),:.dL+ci=bi,故AABC是直角三角形；

C、?.?ZA:ZB:NC=3:4:5,且ZA+ZB+NC=180。，；.最大角NC=75。w90。，故AABC

不是直角三角形；

D-由條件可設(shè)〃=3&,貝ljA=4Z,c=5k,那么〃2+從=。2,故AABC是直角三角形；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長”，b,C滿足合+序=02,

那么這個(gè)三角形就是直角三角形.也考查了三角形內(nèi)角和定理.

17.如圖，已知A4BC中，AB=10,AC=8,BC=6,AC的垂直平分線交回于點(diǎn)。，

垂足為E,連接CD,則CD的長為()

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出AA8C是直角三角形，進(jìn)而得出線段￡)E是A48C

的中位線，再利用勾股定理得出4),再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出叱的長.

【解答】解：?.?AB=10,AC=8,BC=6,

BC2+AC2=AB2,

.?.AA8C是直角三角形，

DE是AC的垂直平分線，

:.AE=EC=4,DEIIBC,且線段QE是AABC的中位線，

/.DE=3，

:.AD=DC^JAE2+DE2=V32+42=5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位線的性質(zhì)，正確得出4)的長

是解題關(guān)鍵.

18.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，若AABC和A4Z)E的頂點(diǎn)都在小正方形網(wǎng)格的格

點(diǎn)上，則+45。.

【分析】取格點(diǎn)F、G,連接￡6、FC、GF、GC,證明AADEMAFCG,得出

ZADE-ZFCG.根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZABC=NGCB.再證明A5CF是等腰直角三角形,

那么ZFCB=45°,進(jìn)而求出ZABC+ZADE=NGCB+NFCG=45°.

【解答】解：如圖，取格點(diǎn)F、G,連接用、FC、GF、GC.

在AADE與AFCG中，

AE=FG

<ZAED=NFGC,

DE=CG

:.MDE=AFCG(SAS),

.-.ZADE=ZFCG.

.CG//AB,

:.ZABC=ZGCB.

BF=B+f=,CF=y/22+i2=逐，BC=V32+12=M,

BF2+CF2=BC2,且3尸=FC,

???ABCF是等腰直角三角形，

;.NFCB=45°,

ZABC+ZADE=ZGCB+ZFCG=45°.

故答案為：45.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線,證明ABFC是等腰直角三角形.

19.如圖，AABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)、O、E,且8。？-D4?=AC2.

（1）求證：Z4=90°;

（2）若AB=8,ADtBD=3:5,求AC的長.

【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得C￡>=8/）,然后利用勾股定理逆定理可得結(jié)

論；

（2）首先確定處的長，進(jìn)而可得的長，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：連接CD,

?.?8C的垂直平分線DE分別交A3、BC于點(diǎn)D、E,

:.CD=DB,

BD2-DA2=AC2,

.-.CD2-DA2=AC2,

：.CD2=AD2+AC2,

.?.AAC￡）是直角三角形，且Z4=90。；

⑵解：?.?AB=8,AD:BD=3:5,

:.AD=3,BD=5,

DC=5，

AC=yiCD2-AD-=,25-9=4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理將

數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的和等于最

大邊的平方才能做出判斷.

20.如圖，4）是AABC的中線，AE是AADC的高，?！甘堑闹芯€，且CE=1,DE=2,

他=4.

（1）NA8是直角嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）求Z）尸的長.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，證明MX7是直角三角形，即可得出是直角;

（2）根據(jù)三角形的中線的定義以及直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：（1）Z4DC是直角.

理由是：

?.?■DE是AADC的高，

:.ZAED=NCED=90。,

在RtAADE中，ZAED=90°,

/.AD2=AE2+DE2=42+2?=20,

同理：CD2=5,

AD2+CD2=25,

?,?AC=AE+CE=4+\=5,

AC2=25,

AD2+CD2=AC2,

是直角三角形,

.?.44PC是直角；

（2）?.?4）是AA8c的中線，NADC=90。，

.?.AD垂直平分3C,

/.AB=AC=5，

在RtAADB中，ZADB=90°,

;點(diǎn)F是邊AB的中點(diǎn)，

:.DF=-AB=-.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)與判定，熟記勾股定理與逆定理是解答本題的關(guān)

鍵.

四.勾股數(shù)（共4小題）

21.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）

A.1,2,3B.4,5,6C.3,4,5D.7,8,9

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別對(duì)各組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【解答】解：A、錯(cuò)誤，?.?F+22=5/32=9,.?.不是勾股數(shù)；

B、錯(cuò)誤,42+52=41￥62=36,.?.不是勾股數(shù);

c、正確，?.?32+42=25=52=25,.?.是勾股數(shù)；

D、錯(cuò)誤，-.?72+82=113^92=81,不是勾股數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡單，只要對(duì)各組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，看各組數(shù)據(jù)是否符合勾股定理的逆定理

即可.

22.下列數(shù)組是勾股數(shù)的是（）

A.2、3、4B.0.3、0.4、0.5C.6、8、10D.7、12、15

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足6+從=。2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)逐一判斷即可.

【解答】解：A.22+32=13*42,此數(shù)組不是勾股數(shù)；

B.0.3、0.4、0.5不是整數(shù)，此數(shù)組不是勾股數(shù)：

C.62+82=100=102,此數(shù)組是勾股數(shù)；

D.7?+12?=193x15）,此數(shù)組不是勾股數(shù)；

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股數(shù)：滿足/+/?=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

說明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足1+從=。2,但是它們不是正整數(shù)，

所以它們不是勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

23.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）

A.1,1,2B.1.5,2,2.5C.7,24,25D.6,12,13

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別對(duì)各組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【解答】解：A、?.?12+12工22,.?.不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3、1.5和2.5不是整數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c、:72+242=252,.?.是勾股數(shù)，此選項(xiàng)正確；

?.?62+122^132,.?.不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股數(shù)，說明：

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足/+6=02,但是它們不是正整數(shù)，所以

它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

24.若8,。，17是一組勾股數(shù)，則"15.

【分析】分。為最長邊，17為最長邊兩種情況討論，根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證

兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方.

【解答】解：①。為最長邊，?=782+172=7353,不是正整數(shù)，不符合題意；

②17為最長邊，?=7172-82=15,三邊是整數(shù)，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意.

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股數(shù)的定義，解答此題要用到勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理：已知

A4BC的三邊滿足病+序=。2,則A4BC是直角三角形.

五.勾股定理的應(yīng)用（共8小題）

25.如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條

到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分“的長度X（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計(jì)）范圍是（）

A.12效（k13B.12^15C.5麴k12D.5初k13

【分析】如圖，當(dāng)吸管底部在O點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分x最短，此時(shí)x就是圓柱形的高；當(dāng)吸

管底部在A點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分x最長，此時(shí)x可以利用勾股定理在RtAABO中即可求出.

【解答】解：如圖，

當(dāng)吸管底部在O點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分x最短，

此時(shí)x就是圓柱形的高，

BPx=12；

當(dāng)吸管底部在A點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分x最長，

即線段4?的長，

在RtAABO中，AB=y/AO2+BO2,

=13>

此時(shí)x=13,

所以12麴k13.

故選：A.

/?12

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知圖形，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，為了求出湖兩岸4、3兩點(diǎn)之間的距離，觀測者在湖邊找到一點(diǎn)C,并分別測

ZBAC=90°,ZABC=30°,又量得8c=100〃?，則A、5兩點(diǎn)之間距離為_50指

【分析】先根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)求出AC,再在RtAABC中，利用勾股定理求出43

即可得出答案.

【解答】解：-.■ZBAC=90°,ZABC=30°,BC=100m,

AC=-BC=-xl00=50（/n）,

22

在RtAABC中，

AB=slBC2-AC2=V1002-5O2=50^（m）.

答：A、3兩點(diǎn)之間距離為50G〃.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和含30。直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌

握勾股定理的應(yīng)用和含30。直角三角形的性質(zhì).

27.如圖，某斜拉橋的主梁仞垂直于橋面MN于點(diǎn)。，主梁上兩根拉索AB、AC長分別

為13米、20米，主梁4）的高度為12米，則固定點(diǎn)3、C之間的距離為21米.

【解答】解：?.?ADJ_3C,

ZADB=ZADC=90°,

?.AB、AC長分別為13米、20米，AD的高度為12米，

BD=^AB--AD'=>/132-122=5（米），DC=>JAC2-AD2=>/202-122=16（米）

:.BC=BD+DC=5+\6=2l（米），

故答案為：21.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

28.“東方之門”座落于美麗的金雞湖畔，高度約為301.8米，是蘇州的地標(biāo)建筑，被評(píng)為“中

國最高的空中蘇式園林”.現(xiàn)以現(xiàn)代大道所在的直線為X軸，星海街所在的直線為y軸，建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(1個(gè)單位長度表示的實(shí)際距離為100米)，東方之門的坐標(biāo)為

46,7),小明所在位置的坐標(biāo)為8(-2,2),則小明與東方之門的實(shí)際距離為1000米.

斗

E1

5(-2.2)h

?0一

現(xiàn)代大道-------o------現(xiàn)代大道__?

.4(6：

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離和勾股定理解答即可.

【解答】解：小明與東方之門的實(shí)際距離=J(6+2)2+(2+4)2=1(),10x100=1000(米),

故答案為：1000.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離和勾股定理解答.

29.如圖，一個(gè)直徑為12c,”的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cv〃，

當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)(筷子底端不動(dòng))，筷子頂端正好觸到杯口，求筷子長度.

【分析】設(shè)杯子的高度是xcTM,那么筷子的高度是(x+2)ca