9.8用樣本估計總體

9.8用樣本估計總體課標(biāo)要求精細(xì)考點素養(yǎng)達(dá)成1.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差;能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征,并作出合理解釋樣本數(shù)字特征的計算及應(yīng)用通過學(xué)習(xí)樣本數(shù)字特征的計算和頻率分布直方圖估計總體,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)用頻率分布直方圖估計總體分布2.會用樣本的頻率分布估計總體分布,用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分層抽樣的均值與方差通過學(xué)習(xí)分層抽樣的均值與方差,提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列說法正確的是().A.如果一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個,那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論B.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)C.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D.一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動越大2.(對接教材)若數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)x=5,方差s2=2,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均數(shù)和方差分別為,.

3.(對接教材)一個容量為20的樣本,其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為,第86百分位數(shù)為.

4.(易錯自糾)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從使用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了100個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到如圖所示的用戶滿意度評分的頻率分布直方圖.若用戶滿意度評分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為a,b,c,則().A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a5.(真題演練)(2023·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則().A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差樣本數(shù)字特征的計算及應(yīng)用典例1(2023·全國乙卷數(shù)學(xué))某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10).試驗結(jié)果如下表:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xiyi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2s2(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義:①平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明的描述;②平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢,方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小.(2)在計算平均數(shù)、方差時可利用平均數(shù)、方差的有關(guān)結(jié)論.訓(xùn)練1(1)已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是().A.這100個數(shù)據(jù)中最多有75個數(shù)小于或等于9.3B.將這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個數(shù)據(jù)C.將這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個數(shù)和第76個數(shù)的平均數(shù)D.將這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個數(shù)和第74個數(shù)的平均數(shù)用頻率分布直方圖估計總體分布典例2為提倡節(jié)約用水,我市為了制定合理的節(jié)水方案,對家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了2021年100個家庭的月均用水量(單位:t),將數(shù)據(jù)按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求全市家庭月均用水量不低于6t的頻率;(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替,求全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計值;(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)的估計值(精確到0.01).頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)是中位數(shù).訓(xùn)練2(2023·山東菏澤統(tǒng)考一模)(多選)為了解學(xué)生的身體狀況,某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重,經(jīng)統(tǒng)計,這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)(單位:kg)全部介于45至70之間,將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則().A.頻率分布直方圖中a的值為0.04B.這100名學(xué)生中體重不低于60kg的人數(shù)為20C.這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5D.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25分層抽樣的均值與方差典例3甲、乙兩支田徑隊體檢結(jié)果為:甲隊的體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4,則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少?訓(xùn)練3(2023·湖南湘潭統(tǒng)考二模)(多選)為了解某班學(xué)生每周課外活動的時間,甲同學(xué)調(diào)查了10名男生,其平均數(shù)為9,方差為11;乙同學(xué)調(diào)查了10名女生,其平均數(shù)為7,方差為8.若將甲、乙兩名同學(xué)調(diào)查的學(xué)生合在一起組成一個容量為20的樣本,則該樣本數(shù)據(jù)的().A.平均數(shù)為8.5 B.平均數(shù)為8C.方差為10.5D.方差為10用頻率分布直方圖估計均值方差的計算技巧典例近期某市組織高一年級全體學(xué)生參加了某項技能操作比賽,等級分為1至10分,隨機(jī)調(diào)閱了A,B兩校60名學(xué)生的成績,得到樣本數(shù)據(jù)如下:成績/分12345678910人數(shù)/個000912219630B校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖(1)計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較;(2)從A校樣本數(shù)據(jù)成績分別為7分、8分和9分的學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人,從抽取的6人中任選2人參加更高一級的比賽,求這2人成績之和不小于15分的概率.1.解決統(tǒng)計與概率問題的幾點注意:(1)用樣本頻率可以估計整體的概率;(2)用樣本頻率分布直方圖的面積估計概率;(3)用樣本頻率分布直方圖來估計整體平均值.2.解決與統(tǒng)計圖表相結(jié)合問題的解題步驟:(1)審題,確定實際問題是哪一種圖表,找出圖中信息,用頻率估計概率;(2)利用平均數(shù)、方差、期望等公式計算數(shù)據(jù);(3)對照實際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.訓(xùn)練積分商城是激勵用戶和引導(dǎo)用戶的一種渠道,是吸引用戶再次購買的一種方法,是增強(qiáng)消費者與商城粘性的一種有效工具,從而達(dá)到提升用戶體驗感和對品牌依賴性的效果.某電商采用會員積分系統(tǒng),通過線上購買商品可以成為會員,并得到積分(每滿100元積1分),會員可以通過積分購買積分商城上的商品,如果會員對商城內(nèi)的商品不滿意,還可以申請積分轉(zhuǎn)化成現(xiàn)金兌換.現(xiàn)從會員中隨機(jī)抽取100人,按照當(dāng)前積分進(jìn)行分組,得到如下頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這100名會員的積分的中位數(shù)(精確到1)﹔(2)從積分分別在區(qū)間[300,400),[400,500),[500,600]的會員中采用分層抽樣的方式選出8名會員進(jìn)行有關(guān)積分商城、會員權(quán)益方面的網(wǎng)絡(luò)回訪,按照積分在區(qū)間[300,400)的會員每人贈送10張積分商城優(yōu)惠券,積分在區(qū)間[400,500)的會員每人贈送20張積分商城優(yōu)惠券,積分在區(qū)間[500,600]的會員每人贈送30張積分商城優(yōu)惠券,現(xiàn)從這8名會員中隨機(jī)選取2人,求這2人共有優(yōu)惠券張數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.一、單選題1.某校高三年級共有600名學(xué)生選修地理,某次考試地理成績均在60~90分之間,分?jǐn)?shù)統(tǒng)計后繪成頻率分布直方圖如圖所示,則成績在[70,85)分的學(xué)生人數(shù)為().A.380 B.420 C.450 D.4802.在某校的“迎新年”歌詠比賽中,6位評委給某位參賽選手打分,6個分?jǐn)?shù)的平均分為8.5分,方差為0.5,若去掉一個最高分9.5分和一個最低分7.5分,則剩下的4個分?jǐn)?shù)滿足().A.平均分為8.8分,方差為0.25 B.平均分為8.8分,方差為0.4C.平均分為8.5分,方差為0.25 D.平均分為8.5分,方差為0.43.(2023·山東臨沂統(tǒng)考一模)某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是().件數(shù)7891011人數(shù)37541 B.9 D.104.機(jī)器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機(jī)器.它可以輔助甚至替代人類完成某些工作,提高工作效率,服務(wù)人類生活,擴(kuò)大或延伸人的活動及能力范疇.某公司為了研究某機(jī)器人的銷售情況,統(tǒng)計了今年2月至7月M,N兩店每月該機(jī)器人的營業(yè)額(單位:萬元),得到如圖所示的折線圖,則下列說法不正確的是().A.N店營業(yè)額的平均值是29B.M店營業(yè)額的平均值在[34,35]內(nèi)C.N店營業(yè)額總體呈上升趨勢D.M店營業(yè)額的極差比N店營業(yè)額的極差大二、多選題5.下列說法正確的是().A.若用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本,則個體m被抽到的概率是0.1B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23D.若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x11,2x21,…,2x101的標(biāo)準(zhǔn)差為166.(2023·江蘇南通二模)已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位:t/hm2)數(shù)據(jù)為9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位:t/hm2)數(shù)據(jù)為9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則().A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D.甲種的樣本第60百分位數(shù)小于乙種的樣本第60百分位數(shù)三、填空題7.(2023·福建統(tǒng)考一模)以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù):甲組:14,30,37,a,41,52,53,55,58,80;乙組:17,22,32,43,45,49,b,56.若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等,則4ab=.

8.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得到1,0,4,x,7,14,中位數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.

四、解答題9.(2023·河北滄州校考模擬預(yù)測)隨著人民生活水平的提高,人們對環(huán)境的保護(hù)意識日益增強(qiáng),質(zhì)檢檢測部門也會不時地對一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進(jìn)行排查,并作出相應(yīng)的處理,本次排查了30家企業(yè),共查出510個污染點,其中造成污染點前10名的企業(yè)分別造成的污染點數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求這30家企業(yè)造成污染點的第80百分位數(shù);(2)已知造成污染點前10名的企業(yè)的方差為92.4,其他20個企業(yè)造成污染點的方差為44.7,求這30個企業(yè)造成污染點的總體方差.10.(2023·浙江杭州?？计谥?某校為了解高一學(xué)生在五一假期中參加社會實踐活動的情況,抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生,統(tǒng)計他們參加社會實踐活動的時間(單位:小時),并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這100名學(xué)生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù);(2)估計這100名學(xué)生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的75百分位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).11.為了加強(qiáng)學(xué)生對保護(hù)環(huán)境的重視,某大學(xué)開展了形式靈活的學(xué)習(xí)活動.隨后組織該校大一學(xué)生參加環(huán)境保護(hù)測試(滿分:100分),隨機(jī)抽取200名學(xué)生的測試成績,這200名學(xué)生的成績都在區(qū)間[60,100]內(nèi),將其分成5組:[60,68),[68,76),[76,84),[84,92),[92,100],得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖,視頻率為概率,同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表,則().A.該校學(xué)生測試成績不低于76分的學(xué)生比例估計為76%B.該校