專題06 整式中規(guī)律探索的三種考法（解析版）-2024年常考壓軸題攻略（7年級上冊人教版）

專題06整式中規(guī)律探索的三種考法類型一、單項式規(guī)律性問題例．有一列式子，按一定規(guī)律排列成，，，，，…，第n個式子為（n為正整數(shù)）．【答案】【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)：每項前面的系數(shù)是前一項的系數(shù)乘以，每一項的次數(shù)是．【詳解】解：每項前面的系數(shù)是前一項的系數(shù)乘以，∴第n項的系數(shù)是，每一項的次數(shù)是，∴第n個式子為．故答案是：．【點睛】本題考查找規(guī)律，解題的關(guān)鍵是能夠找出這列式子的規(guī)律．【變式訓(xùn)練1】觀察下列單項式：按此規(guī)律，可以得到第2020個單項式是．【答案】【分析】根據(jù)已知單項式歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】第1個單項式為，第2個單項式為，第3個單項式為，第4個單項式為，第5個單項式為，歸納類推得：第n的單項式為，其中n為正整數(shù)，則第2020個單項式為，故答案為：．【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，觀察已知單項式，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】有一組單項式依次為根據(jù)它們的規(guī)律，第個單項式為．【答案】或【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)第n個單項式的分母為，分子為．【詳解】解：通過觀察可發(fā)現(xiàn)第n個單項式的分母為，分子為，故第n個單項式為，還可以寫成．故答案為：或．【點睛】本題考查的知識點是探尋單項式的排列規(guī)律，根據(jù)所給數(shù)據(jù)總結(jié)歸納出數(shù)據(jù)的排列規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．類型二、數(shù)字類規(guī)律探索例．如圖，一只青蛙在圓周上標(biāo)有數(shù)字的五個點上跳，若它停在奇數(shù)點上，則下一次沿順時針方向跳兩個點；若停在偶數(shù)點上，則下一次沿逆時針方向跳一個點．若青蛙從數(shù)1這點開始跳，第1次跳到數(shù)3那個點，如此，則經(jīng)2015次跳后它停的點所對應(yīng)的數(shù)為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】先根據(jù)題意，求出前幾次跳到的點的位置，發(fā)現(xiàn)這是一個循環(huán)，按照3、5、2、1成一個循環(huán)，再用解循環(huán)問題的方法求解．【詳解】解：按照題意，第一次在1這個點，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶數(shù)了，就逆時針跳一個點，又回到了1這個點，發(fā)現(xiàn)這是一個循環(huán)，3、5、2、1是一個循環(huán)，，∴最后到2這個點．故選：C．【點睛】本題考查找規(guī)律，解題的關(guān)鍵是通過前幾個數(shù)發(fā)現(xiàn)這是一個循環(huán)問題，利用解循環(huán)問題的方法求解．【變式訓(xùn)練1】按上面數(shù)表的規(guī)律．得下面的三角形數(shù)表：（1）上表中，第九行有個算式，第九行最中間的算式是．（2）把下表中的數(shù)從小到大排成一列數(shù)：3，5，6，9，10，12，…則第15個數(shù)是，【答案】，【分析】（1）根據(jù)規(guī)律第9行有9個數(shù)，每一個算式的第二個加數(shù)都是，第個數(shù)即為中間的數(shù)，第一個加數(shù)按照1，2，，，，寫出即可求解．（2）根據(jù)規(guī)律寫出第行的數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)每一行的數(shù)的個數(shù)與行數(shù)相同，求出第個數(shù)是第行的最后一個數(shù)，然后把代入進(jìn)行計算即可得解；【詳解】（1）觀察可得，第9行有9個數(shù)，每一個算式的第二個加數(shù)都是，第個數(shù)即為中間的數(shù)，第一個加數(shù)按照1，2，，，，∴第九行有個算式，第九行最中間的算式是故答案為：，；（2）根據(jù)規(guī)律，第n行的數(shù)為：∵第1行有1個數(shù)，第2行有2個數(shù)，第3行有3個數(shù)，…，第行有個數(shù)，∵∴第15個數(shù)是第5行第5個數(shù)，即故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律探究，根據(jù)指數(shù)的變化特點寫出第行排列的各數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，有序數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)．如有序數(shù)對表示8，則有序數(shù)對表示的數(shù)為．【答案】123【分析】有序數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)．則前n排的數(shù)字共有個數(shù)，將n=16代入，可得出第16行有16個數(shù)，第1個數(shù)是136，從大到小排列，據(jù)此解答即可．【詳解】解：由圖可知，第一排1個數(shù)，第二排2個數(shù)，數(shù)字從大到小排列，第三排3個數(shù)，數(shù)字從小到大排列，第四排4個數(shù)，數(shù)字從大到小排列，…，則前n排的數(shù)字共有個數(shù)，∵當(dāng)n=16時，，∴第16行有16個數(shù)，第1個數(shù)是136，從大到小排列，∴第16行第14個數(shù)是123，故選：C．故答案為：123．【點睛】此題考查對數(shù)字變化類知識點的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形、數(shù)值、數(shù)列等已知條件，認(rèn)真分析，找出規(guī)律，解決問題．【變式訓(xùn)練3】斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…實際生活中及現(xiàn)代物理與化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，若斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)記為，則與斐波那契數(shù)列中的第個數(shù)相同．【答案】2022【分析】由于斐波那契數(shù)列中的前兩個數(shù)均為1，故數(shù)列中的1可記作a2，這樣，，…，依次化簡，結(jié)論可得．【詳解】解：∵斐波那契數(shù)列中，∴1=，∴……故答案為：2022.【點睛】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，數(shù)學(xué)常識，準(zhǔn)確找出數(shù)字變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個數(shù)記為，且滿足．則，．【答案】【分析】由題意推導(dǎo)可得an=，即可求解．【詳解】解：由題意可得：a1=2=，a2=，a3=，∵，∴2+=7，∴a4=，∵，∴a5=，同理可求a6=，∴an=，∴a2022=，故答案為：，．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．類型三、圖形類規(guī)律探索例.根小棒，搭2020個這樣的小正方形需要小棒（

）根．A．8080 B．6066 C．6061 D．6060【答案】C【分析】通過歸納與總結(jié)得出規(guī)律：每增加1個正方形，火柴棒的數(shù)量增加3根，由此求出第n個圖形時需要火柴的根數(shù)的代數(shù)式，然后代入求值即可．【詳解】解：搭2個正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3個正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n個這樣的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020個這樣的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故選C．【點睛】本題考查了圖形規(guī)律型：圖形的變化．解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)各個圖形的聯(lián)系，找出其中的規(guī)律，有一定難度，要細(xì)心觀察總結(jié)．【變式訓(xùn)練1】下列每一個圖形都是由一些同樣大小的三角形按一定的規(guī)律排列組成的，其中第①個圖形中有5個小三角形，第②個圖形中有10個小三角形，第③個圖形中有16個小三角形，按此規(guī)律，則第⑨個圖中小三角形的個數(shù)是（

）A．69 B．73 C．77 D．83【答案】B【分析】根據(jù)已知圖形得出第⑨個圖形中三角形的個數(shù)的特點，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵第①個圖形中三角形的個數(shù)5=1+2×（1-1），第②個圖形中三角形的個數(shù)10=5+2×1+3，第③個圖形中三角形的個數(shù)16=5+2×2+3+4，第④個圖形中三角形的個數(shù)23=5+2×3+3+4+5，第⑤個圖形中三角形的個數(shù)31=5+2×4+3+4+5+6，……第⑨個圖形中三角形的個數(shù)為5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73第n個圖形中三角形的個數(shù)為5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1）故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得出每次變換增加個數(shù)規(guī)律,列出代數(shù)式．【變式訓(xùn)練2】如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展”而來，邊數(shù)記為，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數(shù)記為，……，依此類推，由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)記為，當(dāng)?shù)慕Y(jié)果是時，n的值為．【答案】673【分析】結(jié)合圖形觀察數(shù)字，發(fā)現(xiàn)：，，，進(jìn)一步得到，代入進(jìn)行裂項，即可求解．【詳解】解：結(jié)合圖形觀察數(shù)字，發(fā)現(xiàn)：，，，進(jìn)一步得到，∴，解得，故答案為：673．【點睛】此題考查了圖形的變化規(guī)律題，注意從特殊推廣到一般是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】觀察下列圖形，第一個圖形中有一個三角形；第二個圖形中有5個三角形；第三個圖形中有9個三角形；…，則第15個圖形中有個三角形．【答案】57【分析】根據(jù)每個圖形增加三角形的個數(shù)，找到規(guī)律即可．【詳解】解：第1個圖形中一共有1個三角形，第2個圖形中一共有1+4=5個三角形，第3個圖形中一共有1+4+4=9個三角形，…，第n個圖形中三角形的個數(shù)是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）個，當(dāng)n=15時，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案為：57．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是通過圖形數(shù)量的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．課后訓(xùn)練1．我們把稱為有理數(shù)的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，-2的差倒數(shù)是．如果，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，那么的值是（

）A．? B．?3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“差倒數(shù)”的定義，寫出前幾個數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，然后即可求得所求式子的值．【詳解】解：由題意可得，，，，，…，則這列數(shù)每三個數(shù)一個循環(huán)．∵2020÷6=336……4，∴．故選：D．【點睛】本題考查數(shù)字類的變化規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值．2．如圖是由邊長為1的木條組成的幾何圖案，觀察圖形規(guī)律，第一個圖案由1個正方形組成，共用的木條根數(shù)S1＝4，第二個圖案由4個正方形組成，共用的木條根數(shù)S2＝12，第三個圖案由9個正方形組成，共用的木條根數(shù)S3＝24，以此類推…那么第100個圖案共用的木條根數(shù)S100為（）A．19600 B．20400 C．20200 D．20000【答案】C【分析】本題要通過第1、2、3和4個圖案找出普遍規(guī)律，進(jìn)而得出第n個圖案的規(guī)律為Sn＝4n＋2n×（n?1），得出結(jié)論即可．【詳解】解：觀察圖形可知：第1個圖案由1和小正方形組成，共用的木條根數(shù)S1＝4×1，即S1＝4×1＋2×1×（1?1）；第2個圖案由4個小正方形組成，共用的木條根數(shù)S2＝4×2＋2×2；即S1＝4×2＋2×2×（2?1）；第3個圖案由9個小正方形組成，共用的木條根數(shù)S3＝4×3＋2×3；即S1＝4×3＋2×3×（3?1）；第4個圖案由16個小正方形組成，共用的木條根數(shù)S4＝4×4＋2×4；即S1＝4×4＋2×4×（4?1）；…由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：第n個圖案由n2個小正方形組成，共用的木條根數(shù)Sn＝4n＋2n×（n?1），當(dāng)n＝100時，S100＝4×100＋200×（100?1）＝20200，故選：C．【點睛】本題考查圖形變換找規(guī)律的問題，熟練找出前四個圖形的規(guī)律是解題個關(guān)鍵．3．按如圖所示的規(guī)律搭正方形：搭一個小正方形需要4根小棒，搭兩個小正方形需要17．觀察下列一串單項式的特點：，，，，，…（1）寫出第10個和第2020個單項式．（2）寫出第n個單項式．【答案】（1）﹣19x10y，﹣4039x2020y；（2）(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．【分析】（1）通過觀察題意可得：10為偶數(shù)，單項式的系數(shù)為負(fù)數(shù)，是﹣19，x的指數(shù)為10，y的指數(shù)不變，還是1，由此可得出第10個單項式，同理第2020個單項式也可由此得出；（2）通過觀察題意可得：n為奇數(shù)時，單項式的系數(shù)為正數(shù)，n為偶數(shù)時，單項式的系數(shù)為負(fù)數(shù)．系數(shù)的數(shù)字部分是連續(xù)的奇數(shù)，可用2n﹣1來表示，第n個單項式的x的指數(shù)為n，y的指數(shù)不變，還是1，由此可解出本題．【詳解】解：（1）∵當(dāng)n＝1時，xy，當(dāng)n＝2時，﹣3x2y，當(dāng)n＝3時，5x3y，當(dāng)n＝4時，﹣7x4y，當(dāng)n＝5時，9x5y，∴第10個單項式是﹣(2×10﹣1)x10y，即﹣19x10y．第2020個單項式是﹣(2×2020﹣1)x2020y，即﹣4039x2020y．故答案為：﹣19x10y，﹣4039x2020y．（2）∵n為奇數(shù)時，單項式的系數(shù)為正數(shù)，n為偶數(shù)時，單項式的系數(shù)為負(fù)數(shù)．∴符合可用(﹣1)n+1表示，∵系數(shù)的數(shù)字部分是連續(xù)的奇數(shù)，∴可用2n﹣1來表示，又∵第n個單項式的x的指數(shù)為n，y的指數(shù)不變，還是1，∴第n個單項式可表示為(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．故答案為：(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．【點睛】本題考查的是單項式，根據(jù)題意找出各式子的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．4．由于（﹣1）n＝，所以我們通常把（﹣1）n稱為符號系數(shù)．（1）觀察下列單項式：﹣，…按此規(guī)律，第5個單項式是，第n個單項式是．（2）的值為；（3）你根據(jù)（2）寫出一個當(dāng)n為偶數(shù)時值為2，當(dāng)n為奇數(shù)時值為0的式子．【答案】（1），；（2）b或a；（3）1+（﹣1）n．【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，系數(shù)的分子與項數(shù)相同，系數(shù)的分母的規(guī)律是4n2﹣1，字母x的指數(shù)與項數(shù)相同，據(jù)此可解；（2）分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況來計算即可；（3）取指數(shù)為n的項的底數(shù)與不含n的項互為相反數(shù)，則不難得出答案．【詳解】（1）觀察下列單項式：，…按此規(guī)律，第5個單項式是，第n個單項式是故答案為：，．（2）n為奇數(shù)時，，n為偶數(shù)時，.故答案為：b或a．（3）可以這樣寫一個當(dāng)n為偶數(shù)時值為2，當(dāng)n為奇數(shù)時值為0的式子：1+（﹣1）n．故答案為：1+（﹣1）n．【點睛】此題考查單項式規(guī)律的探究，觀察并發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.5．圖1由若干個小圓圈組成的一個形如正三角形的圖案，第1層有1個圓圈，每一層都比上一層多1個圓圈，一共堆了n層．（1）如圖1所示，第100層有個小圓圈，從第1層到第n層共有個小圓圈；（2）我們自上往下按圖2的方式排列一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，則第20