2022年陜西省西北大學附中高三數(shù)學第一學期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．2．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則5．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．6．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．（）A． B． C． D．9．若,,,則下列結論正確的是()A． B． C． D．10．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．拋物線的準線與軸的交點為點，過點作直線與拋物線交于、兩點，使得是的中點，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．12．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是第二象限角，且，，則____.14．已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7，最小值為1，則___________．15．我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點D是邊AB上一點，，，，，則的面積為________．16．已知是等比數(shù)列，且，，則__________，的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）網(wǎng)絡看病就是國內(nèi)或者國外的單個人、多個人或者單位通過國際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機器故障進行查找詢問、診斷治療、檢查修復的一種新興的看病方式.因此，實地看病與網(wǎng)絡看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式，最近某信息機構調(diào)研了患者對網(wǎng)絡看病，實地看病的滿意程度，在每種看病方式的患者中各隨機抽取15名，將他們分成兩組，每組15人，分別對網(wǎng)絡看病，實地看病兩種方式進行滿意度測評，根據(jù)患者的評分（滿分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷患者對于網(wǎng)絡看病、實地看病那種方式的滿意度更高？并說明理由；（2）若將大于等于80分視為“滿意”，根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表：滿意不滿意總計網(wǎng)絡看病實地看病總計并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關？（3）從網(wǎng)絡看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人，求這2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如圖所示的幾何體中，，四邊形為正方形，四邊形為梯形，，，，為中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，，，M是橢圓E上的一個動點，且的面積的最大值為.（1）求橢圓E的標準方程，（2）若，，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.20．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱與所成的角的大小；（2）在棱上確定一點，使二面角的平面角的余弦值為.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若時，解不等式；（2）若關于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域為，，是偶函數(shù)，關于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點，排除A.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結合組合體的結構特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關鍵，側重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3、D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設有，故，故橢圓，因為點為上的任意一點，故.又，因為，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓的左、右焦點分別是，點為上的任意一點，則有，我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關的問題，本題屬于基礎題.4、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.【詳解】對于，當為內(nèi)與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內(nèi)與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設，則當為內(nèi)與平行的直線時，，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎題.5、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.6、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.7、D【解析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.8、D【解析】

利用，根據(jù)誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.9、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

可設的內(nèi)切圓的圓心為，設，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值．【詳解】可設的內(nèi)切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設，，則，且有，解得，，設，，設圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬于中檔題．11、B【解析】

設點、，設直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點，設點、，設直線的方程為，由于點是的中點，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達定理設而不求法的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.12、B【解析】

根據(jù)題意可得平面，，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，，易得，所以，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由是第二象限角，且，可得，由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解：由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案為：.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系及兩角和的正切公式，相對不難，注意運算的準確性.14、-2【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可．【詳解】由題意得：目標函數(shù)在點B取得最大值為7，在點A處取得最小值為1，∴，，∴直線AB的方程是：，∴則，故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎題．15、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據(jù)“三斜求積術”可得，所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.16、5【解析】，即的最大值為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）實地看病的滿意度更高，理由見解析；（2）列聯(lián)表見解析，有；（3）.【解析】

（1）對實地看病滿意度更高，可以從莖葉圖四個方面選一個回答即可；（2）先完成列聯(lián)表，再由獨立性檢驗得有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關；（3）利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】（1）對實地看病滿意度更高，理由如下：（i）由莖葉圖可知：在網(wǎng)絡看病中，有的患者滿意度評分低于80分；在實地看病中，有的患者評分高于80分，因此患者對實地看病滿意度更高.（ii）由莖葉圖可知：網(wǎng)絡看病滿意度評分的中位數(shù)為73分，實地看病評分的中位數(shù)為87分，因此患者對實地看病滿意度更高.（iii）由莖葉圖可知：網(wǎng)絡看病的滿意度評分平均分低于80分；實地看病的滿意度的評分平均分高于80分，因此患者對實地看病滿意度更高.（iV）由莖葉圖可知：網(wǎng)絡看病的滿意度評分在莖6上的最多，關于莖7大致呈對稱分布；實地看病的評分分布在莖8，上的最多，關于莖8大致呈對稱分布，又兩種看病方式打分的分布區(qū)間相同，故可以認為實地看病評分比網(wǎng)絡看病打分更高，因此實地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.（2）參加網(wǎng)絡看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有5名對網(wǎng)絡看病滿意，10名對網(wǎng)絡看病不滿意；參加實地看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有10名對實地看病滿意，5名對實地看病不滿意.故完成列聯(lián)表如下：滿意不滿意總計網(wǎng)絡看病51015實地看病10515總計151530于是，所以有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關.（3）網(wǎng)絡看病的評價的分數(shù)依次為82，85，85，88，92，由小到大分別記為，從網(wǎng)絡看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人，所有可能情況有：；；；共10種，其中，這2人評分都低于90分的情況有：；；共6種，故由古典概型公式得這2人評分都低于90分的概率.【點睛】本題主要考查莖葉圖的應用和獨立性檢驗，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）見解析；（2）【解析】

(1)取的中點，結合三角形中位線和長度關系，為平行四邊形，進而得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結論；(2)以，，為，，軸建立空間直角坐標系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點，連結，因為為中點，，，所以，，∴為平行四邊形，所以，又因為，所以；（2）由題及（1）易知，，兩兩垂直，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標系,則，，，，，，易知面的法向量為設面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【點睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關鍵，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，求出，即可得答案；（2）根據(jù)題意可知，，因為，所以可設直線CD的方程為，將直線代入曲線的方程，利用韋達定理得到的關系，再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.所以，所以，，故橢圓E的標準方程為.（2）根據(jù)題意可知，，因為，所以可設直線CD的方程為.由，消去y可得，所以，即.直線AD的斜率，直線BC的斜率，所以，故為定值.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解、橢圓中的定值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的運用.20、（1）的長為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，根據(jù)向量垂直關系計算得到答案.（2）計算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，所以.，因為，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因為，所以，又，故.設為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據(jù)圖可知，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21、（1）（2）【解析】試題分析：（1）因