2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第01講 函數(shù)的概念及其表示（解析版）

第01講函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：題型篇 2題型一：重點(diǎn)考查函數(shù)的定義域（具體函數(shù)，抽象函數(shù)） 2題型二：重點(diǎn)考查函數(shù)定義域中的參數(shù)問題 5題型三：重點(diǎn)考查求函數(shù)的解析式 7題型四：重點(diǎn)考查分段函數(shù)求值及參數(shù)問題 9題型五：重點(diǎn)考查分段函數(shù)單調(diào)性問題 11題型六：重點(diǎn)考查分段函數(shù)不等式問題 14題型七：重點(diǎn)考查分段函數(shù)值域問題 18題型八：重點(diǎn)考查分段函數(shù)零點(diǎn)問題 20第二部分：方法篇 26函數(shù)值域問題方法一：判別式法 26函數(shù)值域問題方法二：分離常數(shù)法 28函數(shù)值域問題方法三：基本不等式法 30函數(shù)值域問題方法四：分類討論法 32第三部分：易錯(cuò)篇 35易錯(cuò)一：換元必?fù)Q范圍 35第一部分：題型篇題型一：重點(diǎn)考查函數(shù)的定義域（具體函數(shù)，抽象函數(shù)）典型例題例題1．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【詳解】由函數(shù)的定義域是，可得，從而，解得，所以函數(shù)的定義域是又，得，函數(shù)的定義域是且故選：A.例題2．（2023春·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)?？计谥校┣蠛瘮?shù)的定義域?yàn)開________．【答案】【詳解】函數(shù)有意義，則，即，解，得，解，得，于是，所以所求定義域?yàn)?故答案為：例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_______．【答案】【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，，，的定義域?yàn)?故答案為：.例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式，求函數(shù)的定義域．【答案】答案見解析【詳解】注意到當(dāng)時(shí)，或，得函數(shù)定義域是；當(dāng)時(shí)，，得函數(shù)定義域是；當(dāng)時(shí)，或，得函數(shù)定義域是．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域是．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?由0≤2x≤6，解得0≤x≤3．又x-3≠0，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：D．2．（2023·北京·校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)則，解得且所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?3．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【詳解】根據(jù)題意，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的定義域?yàn)開______.【答案】【詳解】由得，故且，,或解得：.故答案為：題型二：重點(diǎn)考查函數(shù)定義域中的參數(shù)問題典型例題例題1．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)時(shí)，，得，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以不等式在上恒成?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以不等式在上恒成立顯然不成立，當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】的定義域是R，則恒成立，時(shí)，恒成立，時(shí)，則，解得，綜上，．故答案為：．精練核心考點(diǎn)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若此函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】解：由題知，由題意知，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樗?，，解?所以，2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________．【答案】【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，∴在R上恒成立，①當(dāng)時(shí)，符合題意，②，由，則，解得：，∴綜上所述，故答案為：．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的解為R，即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，故成立；（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型三：重點(diǎn)考查求函數(shù)的解析式典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榱?，所以所以故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知可得，解得，其中，因此，.故選：C.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且為一次函數(shù)，求_________【答案】或.【詳解】因?yàn)闉橐淮魏瘮?shù)，所以設(shè)，所以，因?yàn)?，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案為：?例題4．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）令，則，故，所以；（2）由題設(shè)①，結(jié)合②，3×①②得：，故.精練核心考點(diǎn)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：已知，令，則，，，.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知求的解析式【答案】【詳解】令，則，代入，得，即3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，求___________【答案】/【詳解】∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】/【詳解】解：因?yàn)棰?，所以②，②①得，．故答案為：．題型四：重點(diǎn)考查分段函數(shù)求值及參數(shù)問題典型例題例題1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5【答案】A【詳解】若，則，∴（舍去），若，則，∴，綜上可得，或.故選：A．例題2．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則___________．【答案】/【詳解】因?yàn)?，且，則.故答案為：.例題3．（2023春·江西上饒·高一江西省余干中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則___．【答案】【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，則可得時(shí)，.即時(shí)，.則.又，則.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意．故選:B．2．（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則________．【答案】/【詳解】解：由題知，.故答案為：3．（2023春·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)則________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：題型五：重點(diǎn)考查分段函數(shù)單調(diào)性問題典型例題例題1．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)，若在上單調(diào)遞增,必有，解得，所以的取值范圍為.故選：C例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由解析式易知：在R上遞增，又，所以，則.故選：D例題3．（2023秋·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)，由，因此該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，于是有，故選：B例題4．（2023春·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）已知且，函數(shù)，滿足時(shí)，恒有成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足時(shí)，恒有成立，即函數(shù)滿足時(shí)，恒有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：D.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的開口向下，對(duì)稱軸是直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意可知，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？奸_學(xué)考試）已知是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：.3．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)任意，都有成立，即時(shí)，恒成立，∴是增函數(shù)，∴，解得,故選：B．4．（2023秋·湖南湘潭·高一校聯(lián)考期末）已知是上的減函數(shù)，那么的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】依題意，在上遞減，所以，解得.所以AC選項(xiàng)符合，BD選項(xiàng)不符合.故選：AC題型六：重點(diǎn)考查分段函數(shù)不等式問題典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】令，則即為，當(dāng)時(shí)，，故無解，當(dāng)時(shí)，即為，在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出和的大致圖像如圖，由圖可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的解為，又，所以，當(dāng)時(shí)，，故，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，故，解得：，所以，綜上所述，不等式的解集是.故選：D.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，，且在上遞增，當(dāng)時(shí)，，，且在上遞增，所以在上有，且函數(shù)是上的增函數(shù)，于是原不等式可化為，，，得解得，故選：B例題3．（2023·云南昆明·安寧市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則___________；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：由，得，所以，因?yàn)槎际菧p函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，則，即為，解得.故答案為：；.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，由得：，解得，則，當(dāng)時(shí)，由得：，即0<x-1≤2，解得，則，所以不等式的解集為.故選：A3．（2023秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，時(shí)，則的解集為；當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)恒成立；綜上，的解集為.故答案為：．題型七：重點(diǎn)考查分段函數(shù)值域問題典型例題例題1．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意知當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)的值域?yàn)?，故時(shí)，的取值范圍應(yīng)包含，故此時(shí)，且，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D例題2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，由于為上的增函數(shù)，其值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，為頂點(diǎn)在開口向上的拋物線，對(duì)稱軸.i.若，則二次函數(shù)的最小值為.要使的值域?yàn)镽，只需：，解得：.所以；ii.若，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以最小值為.要使的值域?yàn)镽，只需：，解得：.所以；綜上所述：實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故答案為：例題3．（2023春·全國·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；記，的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，；?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：，；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，解得：或，或；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若是的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，于題意不符；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且滿足，所以有是的最小值.故選：A.2．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)樵瘮?shù)的值域?yàn)?，即，則，解得.故答案為：.3．（2023秋·山東聊城·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的值域是R，則實(shí)數(shù)的最大值是______．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，．因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，則當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，，即，解得，即的最大值為．故答案為：．題型八：重點(diǎn)考查分段函數(shù)零點(diǎn)問題典型例題例題1．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，，并且有，函數(shù)得大致圖象如圖：由圖可知：只有1個(gè)零點(diǎn)，則必須：或；故選：D.例題2．（多選）（2023秋·山東德州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若（互不相等），則的值可以是（

）A．-2 B． C． D．-1【答案】BC【詳解】圖象如圖所示，令，則有，則有.又，∴，故.故選：BC例題3．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】令，得或，畫出的大致圖象．設(shè)，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)根．則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于或或或解得或．故答案為：例題4．（2023·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的最小值是__________，若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【詳解】函數(shù)，由可知，時(shí)，函數(shù)有最小值；函數(shù)，由，得，則，此時(shí)函數(shù)最小值為.所以函數(shù)的最小值是.方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像，由a為整數(shù)，如圖所示，只有函數(shù)和的圖像與函數(shù)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以整數(shù)a的取值范圍是.故答案為：；精練核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.若有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的圖象與關(guān)于軸對(duì)稱，所以作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由上圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.即實(shí)數(shù)的最小值為1.故選：D2．（2023春·湖南邵陽·高二邵陽市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，即函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，則只需，解得；當(dāng)時(shí)在上的最小值為，則只需要，解得；綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：3．（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)①函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．②若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】1【詳解】第一空：當(dāng)時(shí)，可知有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可知有一個(gè)零點(diǎn)；綜上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).第二空：如圖所示，當(dāng)時(shí)，若要滿足題意需，得；當(dāng)時(shí)，不符題意；如圖所示，當(dāng)時(shí)，若要滿足題意需，得；綜上m的取值范圍是：故答案為：1；4．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知，函數(shù)，若方程恰有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】解：函數(shù)，函數(shù)圖象如下圖所示：方程，若，即；若，得，；結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，；當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，；當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，；綜上，若方程恰有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是.故答案為：.第二部分：方法篇函數(shù)值域問題方法一：判別式法典型例題例題1．（2022·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．以上答案都不對(duì)【答案】C【詳解】設(shè)題中函數(shù)為，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，視其為關(guān)于x的二次方程，判別式，綜上，故值域?yàn)椋蔬x：C.例題2．（2023高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【詳解】由得：，的定義域?yàn)?，由得：，即…①?dāng)時(shí)，①式不成立，，解得：，值域?yàn)?故答案為：.例題3．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域．【答案】【詳解】由題意得：函數(shù)的定義域?yàn)閯t，即：當(dāng)時(shí)，不成立

，解得：函數(shù)值域?yàn)椋壕毢诵目键c(diǎn)1．（2023·浙江衢州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是______．【答案】【詳解】由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，將整理得，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以，，即函數(shù)的值域是故答案為：2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a、x為實(shí)數(shù)且、）可取任意實(shí)數(shù)（即函數(shù)的值域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)），求參數(shù)a的取值范圍.【答案】.【詳解】解：把去分母，整理可得.①當(dāng)時(shí)，上式為.且，且.②當(dāng)時(shí)，是實(shí)數(shù)，由方程①得，即，③不等式③對(duì)任意實(shí)數(shù)y都成立，，解之，得.④于是由②、④可知α的取值范圍是.函數(shù)值域問題方法二：分離常數(shù)法典型例題例題1．（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橛?，所以，所以所以，則的值域．故選：C．例題2．（2023·天津?yàn)I海新·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的值域；【答案】(1)(2)【詳解】（1）對(duì)于，有，，，即；精練核心考點(diǎn)1．（2023·浙江·高一浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，所以函數(shù)的值域是.故選：D.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是______，值域是______．【答案】【詳解】由可得,函數(shù)的定義域?yàn)?又,，所以函數(shù)的值域?yàn)椋还蚀鸢笧椋海?函數(shù)值域問題方法三：基本不等式法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當(dāng)取最小值時(shí)，（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【詳解】在上有最大值，且當(dāng)時(shí)，的最大值為，即且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值2，故選：A．例題2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為__________.【答案】2025【詳解】，因?yàn)?，所以，，，故，由基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，即的最小值為2025.故答案為：2025.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·吉林·高二四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___________．【答案】﹣2【詳解】函數(shù)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，所以x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)的最大值為2．所以函數(shù)，x∈[﹣2，2]的最小值為：﹣2．故答案為：﹣2．2．（2023春·上海虹口·高三統(tǒng)考期中）對(duì)于定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【詳解】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.函數(shù)值域問題方法四：分類討論法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，求的最大值（為常數(shù)，結(jié)果可用來表示）．【答案】【詳解】為開口向上的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，綜上可知：設(shè)的最大值為，則.例題2．（2023·上海閔行·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)嚴(yán)格單調(diào)，且的最大值為8，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【詳解】，對(duì)稱軸為，開口向上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，，解得：，滿足，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，由，解得：，與矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，由，解得：，與矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，，解得：，與矛盾，舍去；綜上：.例題3．（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值與最小值；(2)若在上的最大值為4，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)最小值為0，最大值為9(2)或﹣1【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，