2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點全題型突破（新教材新高考）第04講 拓展一：平面向量中的最值、范圍問題（解析版）

第04講拓展一：平面向量中的最值、范圍問題目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：重點考查向量模的最值、范圍問題 1方法一：轉(zhuǎn)換為一元二次（一次）不等式 1方法二：利用基本不等式 7方法三：借助圖形（數(shù)形結(jié)合） 10方法四：借助三角函數(shù) 15題型二：重點考查向量數(shù)量積的最值、范圍問題 17方法一：幾何意義法 17方法二：自主建系法 21方法三：借助三角函數(shù) 30方法四：借助圖形 38方法五：極化恒等式 41題型一：重點考查向量模的最值、范圍問題方法一：轉(zhuǎn)換為一元二次（一次）不等式典型例題例題1．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，是不共線的兩個向量，，，若，，則的最小值為A．2 B．4 C． D．【答案】B【詳解】由可得，，即.因為，，所以，所以，.令，因為，，所以.又對，恒成立，所以，所以.故選：B.例題2．（2023春·吉林長春·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，均為單位向量，對任意的實數(shù)有恒成立，則的最小值為______．【答案】/0.5【詳解】設(shè)的夾角為，因為，兩邊平方可得：，即對任意的恒成立，故可得：，即，則，故，因為，對，當且僅當時取得最小值，故的最小值為，故答案為：.例題3．（2023春·上海普陀·高一曹楊二中?？计谥校┮阎菃挝幌蛄浚蛄繚M足.若不等式對任意實數(shù)都成立，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】不妨設(shè)，由，可設(shè)，則對任意實數(shù)，有，等價于,解得，所以，于是.故答案為：例題4．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知點在圓上運動，且，若點的坐標為，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因為，所以為圓直徑，設(shè)，則，所以,故，所以當時，，，故故答案為：.例題5．（2023春·河南鄭州·高一河南省實驗中學(xué)?？计谥校┮阎c是單位向量，．若向量滿足，則的取值范圍是_____．【答案】【詳解】，是單位向量，，，，又，，且

，又，即，所以，即，解得.故答案為；精練核心考點1．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┰O(shè)平面向量，，滿足：，，，，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】依題意，設(shè)，，.根據(jù)，即，即，整理得.顯然，否則，，與已知矛盾，故可得.由，即，故，解得.故.故答案為：2．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，為空間中4個單位向量，滿足，，，且．則的最小值為______．【答案】【詳解】設(shè)，且，因為，可得，又由，因為，可得，設(shè)，可得，代入上式，可得且，所以，所以，即的最小值為.故答案為：.3．（2023春·江西贛州·高一?？计谥校┢矫嫦蛄?，滿足，，，對于任意實數(shù)k，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【詳解】，，，則，得，又對于任意實數(shù)，不等式恒成立，即對于任意實數(shù)，不等式恒成立，即對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則，即，解得：或，則實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．4．（2023春·福建福州·高一福建省連江第一中學(xué)校考期中）在平面直角坐標系中，已知點，，．(1)如果點使得四邊形為平行四邊形，求頂點的坐標；(2)如果點滿足，設(shè)，求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的坐標為，因為四邊形是平行四邊形，所以，由于，，故，所以，所以的坐標為；（2），，，，，，，，所以當時，取得最小值，最小值為．5．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，（θ為與的夾角），則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】因為向量，滿足，，（θ為與的夾角），則，則，當且僅當時取等號，即的最小值為1，即的最小值為1.故選：C.6．（2023春·黑龍江·高一黑龍江實驗中學(xué)?？计谥校┮阎?，是單位向量，且，設(shè)向量，當時，______；當時，的最小值為______．【答案】//【詳解】當時，，，即，，因為，所以；當時，，則，當時，的最小值為，故答案為：，.方法二：利用基本不等式典型例題例題1．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考一模）如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，，解得.，，，當且僅當時，即當時，等號成立.所以，的最小值為.故選：A.例題2．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)?？家荒＃┤羝矫嫦蛄?，，滿足，，，，則的最小值為______．【答案】2【詳解】在平面直角坐標系內(nèi)，令，設(shè)，由，得，由，得，由，得，即，，則，當且僅當或時取等號，所以的最小值為2.故答案為：2例題3．（2023春·湖北黃岡·高一?？计谥校┮阎莾蓚€平面向量，且對任意，恒有，則的最大值是_________.【答案】【詳解】對任意，恒有，向量的終點到向量所在直線的距離最短..設(shè)，，則，，當且僅當時，等號成立.的最大值是.故答案為：.精練核心考點1．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足.向量，，，記在方向上的向量為，則當最大時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由，則，又，則，又，則，又，則，則，又，則，因為在上單調(diào)遞增，則，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當，即時，取得最大值，故選：A.2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？计谥校┮阎堑闹芯€，，，，則的最小值是______.【答案】【詳解】設(shè)的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，因為，，所以，所以，因為是的中線，所以，當且僅當時，等號成立.故的最小值是.故答案為：3．（2023春·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則__________，的最小值為___________.【答案】【詳解】因為平行四邊形的面積為，所以，得，如圖，連接，則,所以，因為三點共線，所以，得，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：，.方法三：借助圖形（數(shù)形結(jié)合）典型例題例題1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將向量的起點平移到原點，設(shè)向量，，的終點分別為，則，，由得，得，則點在以為直徑的圓上，因為均為單位向量，且夾角為，不妨設(shè)，，則，，所以以為直徑的圓的圓心，半徑為，又，所以，即的最大值為.故選：D例題2．（多選）（2023春·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）向量滿足，則的值可以是（

）A．3 B．2 C．6 D．3【答案】ABC【詳解】設(shè)，，，由向量滿足，，，所以，，所以.①如圖當時，，即，即四點共圓，由余弦定理可得：，設(shè)四邊形的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，又點在優(yōu)弧上（不含端點），則，則有，則；②如圖當時，，則在以為圓心的圓上運動，其中點在優(yōu)弧上（不含端點），則，綜合①②可得.故選：ABC.例題3．（2023春·陜西西安·高一長安一中?？计谥校┮阎c在直線上，點在直線外，若，且，，則的最小值為_____________.【答案】/【詳解】由，，∴，即，∴，在中，當時，最小，當時，由面積法得，解得，所以的最小值為.故答案為：.例題4．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，是單位向量，且．若向量滿足，則的最大值是______．【答案】/【詳解】由，得，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設(shè)，由，得，所以點C在以Q(1,2)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：精練核心考點1．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）在中，，，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【詳解】，，所以，則，又因為，所以，所以由可得，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，取的中點，則，所以，故選：A2．（2023春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谥校┰阡J角三角形ABC中，，，點O為△ABC的外心，則的取值范圍為__________.【答案】【詳解】，因為銳角三角形中，所以，，所以，，又，即，則且，則，即.故答案為：3．（2023春·河南鄭州·高一鄭州市第九中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)平面向量，，滿足，與的夾角為，則的最大值為______．【答案】/【詳解】由題知，，與的夾角為，以的起點為原點，的方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，則，設(shè)，因為，所以，化簡得，即，所以的終點落在以為圓心，半徑為的圓上，易知在圓內(nèi)，，所以的最大值為，故答案為：.方法四：借助三角函數(shù)典型例題例題1．（2023春·山東·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，．(1)當時，求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，得，又，所以．（2），因為，所以，則，所以，故．精練核心考點1．（2023春·四川成都·高一?？计谥校┤鐖D，是坐標原點，，是單位圓上的兩點，且分別在第一和第三象限；(1)證明：；（提示：設(shè)為的終邊，為的終邊，則，兩點的坐標可表示為和）(2)求的范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明:如圖，設(shè)為的終邊，為的終邊，則，兩點的坐標可表示為和則，設(shè)與的夾角為，則,,且，故成立.（2）令與的夾角為，因為，是單位圓上的兩點，且分別在第一和第三象限，所以.，，，所以，故的范圍為.題型二：重點考查向量數(shù)量積的最值、范圍問題方法一：幾何意義法典型例題例題1．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知點是邊長為1的正十二邊形邊上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2【答案】B【詳解】延長，交于，由題意，過分別作的垂線，垂足為，正十二邊形的每個內(nèi)角為，在中，，，在中，，，則，∵，為的夾角，∴數(shù)量積的幾何意義：等于長度與在的方向上的投影的乘積，由圖可知，當在線段上時，取得最小值，此時.故選：B.例題2．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┰谶呴L為2的正六邊形中，動圓的半徑為1、圓心在線段（含端點）上運動，點是圓上及其內(nèi)部的動點，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過M作于，設(shè)以C為圓心的圓與垂直的切線與圓切于點N與延長線交點為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，則的取值范圍是.故選：A精練核心考點1．（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，延長，過點做交的延長線于點.因為，，,所以.由圖可知當在點處時，在上的投影有最大值1，當在點處時，在上的投影有最小值，又因為，所以的取值范圍是.故選：D2．（2023春·廣西玉林·高一博白縣中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若的外接圓半徑為，且，則的取值范圍是_________．【答案】【詳解】的外接圓圓心為，過作，如下圖所示，，的幾何意義為在方向上的投影，當與重合時，取得最大值；當與重合時，取得最小值；，為等邊三角形，，又，，又，，則，，解得：，；同理可得：，，，.故答案為：.方法二：自主建系法典型例題例題1．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考期中）在邊長為2的等邊三角形中，為邊上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，則，可得，則，當時，則的最小值是.故選：D.例題2．（多選）（2023春·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）平行四邊形中，，，，點在邊上，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】作，垂足為，以點為原點，正方向為軸可建立如圖所示平面直角坐標系，，，在中，，，則，，則，，設(shè)，，，，開口向上，對稱軸為，且，當時，取最小值；當時，取最大值；的取值范圍為，可能的取值為和.故選：BC.例題3．（2023春·天津武清·高一天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為，設(shè)，分別為線段，上的動點，且，，則的取值范圍是______________.【答案】【詳解】∵，∴，以為原點，直線，分別為軸，軸建立平面直角坐標系，∵向量在向量上的投影向量為，∴，∴，由已知，設(shè)，，（，），則，，，∵，∴，即，∴，∴，，∴，又∵，分別為線段，上的動點，且，，∴，解得，且，，∴，，∴，，∴，當且僅當，即時，等號成立，設(shè)，，則由以上基本不等式所求最小值可知，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，，，∴的最小值為，最大值為∴的取值范圍是.故答案為：.例題4．（2023春·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）在平面四邊形中（如圖所示），，若點為邊上的動點，則的最小值為_____________；

【答案】/【詳解】因，則以點A為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖，過點C作于G，作于F，因為，所以，即，于是有，，則，而，則有，設(shè)，所以，所以，當時，，所以的最小值為.故答案為：.例題5．（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是等腰直角三角形，，是外接圓上一點，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】如圖，以的中點O為坐標原點，為x軸，的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，由于，則,，，外接圓的方程為，設(shè),則，則，∴，由于，故，∴取值范圍為，故答案為：例題6．（2023春·山東青島·高一?？计谥校┮阎校?，，點是的中點.若為的中點，則為__________，若為上的動點，則的最小值為__________.【答案】8-1【詳解】以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，，，則，得，為的中點時，有，，，；為上的動點時，設(shè)，，，，由，∴當時，取得最小值-1.故答案為：8；-1精練核心考點1．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L為2，為正方形所在平面上的動點，且，則的最大值是（

）A．0 B．4 C． D．8【答案】D【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標系：則，設(shè)，則，因為，所以，所以點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，因為，令，圓心到直線的距離為，則，所以的最大值是8，故選：D2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點，．當點在劣弧上運動時，的最小值為_________．【答案】/【詳解】如圖，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，則，設(shè)，則，則，由，得，所以當，即時，取得最小值.故答案為：.3．（2023春·天津武清·高一天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，點為邊上的動點，則的最小值為_________.【答案】【詳解】過作，垂足為，以為原點，直線，分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖，在中，，，∴，，，由題意，設(shè)，，則，，∴，∴當時，的最小值為.故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，．設(shè)，且（），則當取最小值時，______．【答案】7【詳解】由已知得點D是AC的中點．設(shè)，則由知．以為原點，分別以CB，CA所在直線為軸、軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，，，所以直線BD的方程為．易知點在直線BD上運動．設(shè)，則，，，所以，所以．故當時，取得最小值．此時，則，．由，得．故答案為：75．（2023春·北京西城·高一北師大實驗中學(xué)?？计谥校┨菪沃?，，，，，點在線段上運動.（1）當點與點重合時，__________.（2）的最小值是__________.【答案】0/【詳解】（1）如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，當點與點重合時，，，，，，，；（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，設(shè)，，，，當時，的最小值是.故答案為：；.6．（2023春·天津·高一統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，，則______；若為線段上的動點，則的最小值為______．【答案】【詳解】如圖，以A為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則，∴，∵E是對角線上一點，且，可得，∴，，∴；因為點F為線段（含端點）上的動點，則設(shè),故，所以，，故，由于，所以時，取到最小值，即的最小值為，故答案為：；方法三：借助三角函數(shù)典型例題例題1．（2023春·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知平面向量，，則的最大值為______.【答案】【詳解】解：因為平面向量，，所以，當，即，的最大值為，故答案為：例題2．（2023·上海浦東新·上海市建平中學(xué)?？既＃┮阎橇闫矫嫦蛄?，，滿足：，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】如圖：以點為起點作向量，，，則，，，由，的夾角為，與的夾角為可知：四點共圓，由，得，，在中：，即所以，所以，由同弧所對的圓周角相等，可得，設(shè)，則，在中：，所以，，，，，，，則的取值范圍是故答案為：例題3．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？计谥校┑聡鴻C械學(xué)家萊洛設(shè)計的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．如圖，分別以等邊三角形的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形．若該等邊三角形的邊長為，為弧上的一個動點，則的最小值為______．【答案】【詳解】由已知，弧是以為圓心，為半徑的圓的一部分，以為原點，所在直線為軸，過與直線垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系，則由已知，，，由任意角的三角函數(shù)的定義，設(shè)，，則，，，∴，∴令，，則，當時，，，，∴存在，使，即，∴當時，的最小值為.故答案為：.例題4．（2023春·北京·高一101中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，P為所在平面內(nèi)的一個動點，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以.（2）以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示．B點坐標為，C點坐標為，設(shè)P點坐標為．所以，，所以，所以的取值范圍是．例題5．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┰谥?，，.(1)求的值；(2)如圖，動點在以為圓心，為半徑的劣弧上運動，求的最小值.【答案】(1)24(2)【詳解】（1）因為，所以（2）建立如圖所示的直角坐標系，則，因為，根據(jù)三角函數(shù)定義，，而點在以為圓心，為半徑的劣弧上運動，可設(shè)，其中.所以，因為，所以，，當時，取得最小值，所以的最小值為.精練核心考點1．（2023春·北京·高一北京四中?？计谥校┮阎c，點，O為原點，則的最小值為_______．【答案】2【詳解】由題，，.則.則當，即時，有最小值2.故答案為：22．（2023春·福建·高一校聯(lián)考期中）如圖放置的邊長為1的正方形的頂點A，分別在軸的正半軸、軸的非負半軸上滑動，則的取值范圍為_____．【答案】【詳解】設(shè)，則，則，則又，則，則，則，則的取值范圍為故答案為：3．（2023春·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點P是正方形外接圓圓O上的動點，正方形的邊長為2，則的取值范圍是________．【答案】【詳解】由題意知，圓O的半徑為，建立如圖平面直角坐標系，，得，設(shè)，，則，所以，其中，又，所以，則，即的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？计谥校┰谥苯侵?，，，，為邊上一點，且.(1)若上一點滿足，且，求的值.(2)若為內(nèi)一點，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，則，即，因為，則，又因為，則，，故.（2）解：在中，，，，則，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，設(shè)點，則，可得，設(shè)，若點在上且使得，且為的中點，此時，因為點在內(nèi)，所以，，則，，，，，所以，，所以，，因為，則，故當時，取最小值.5．（2023春·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）如圖，為半圓的直徑，，為上一點（不含端點）.(1)用向量的方法證明；(2)若是上更靠近點的三等分點，為上的任意一點（不含端點），求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標系.（方法一）由題意可知，設(shè)，則，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由題意可知，，，設(shè)，則，得，得，，所以，故，即.（2）由題意得，則，設(shè)，則，，由（1）得，，所以，由，得，當，即時，.故的最大值為.方法四：借助圖形典型例題例題1．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知單位向量和向量、滿足，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】設(shè)，，由可得，化簡可得，即.設(shè)，則由可得，故的軌跡為以為焦點，的橢圓，其方程為.設(shè)夾角為，則，由圓與橢圓的性質(zhì)可得，，，，故當同向，均往負半軸時，取得最大值.故選：B例題2．（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，而，即，解得，，而，即，解得在直角坐標平面內(nèi)，作，令，則，，于是點在以為圓心，2為半徑的圓上，點在以為圓心，3為半徑的圓上，如圖，觀察圖形知，，當且僅當點都在直線上，且方向相反，即點B與D重合，點C與E重合時取等號，即，解得，當且僅當點都在直線上，且方向相同，若點B與A重合，點C與E重合時，，若點B與D重合，點C與F重合時，，因此，所以的取值范圍是.故選：A精練核心考點1．（2023·天津·校聯(lián)考二模）在平面四邊形中，，，.若E、F為邊BD上的動點，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)交于.不妨設(shè)點到點的距離大于點到點的距離.由可知且，所以平面四邊形是平行四邊形.設(shè)，因為，所以，所以，所以平面四邊形是菱形.又因為，即,所以，因為，所以，所以.，因為