高中數(shù)學第八章《立體幾何初步》提高訓練題 (七)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓練題（7）

一、單項選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.在三棱錐O-ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且481BC,M、N分別是棱8C、CD的中點，

則下面結論不正確的是（）

A.AC1BD

B.MN〃平面ABD

C.三棱錐4-CMN的體積的最大值為它

12

D.AD與BC一定不垂直

2.在矩形A8C。中，AB=4,BC=3,沿矩形對角線8。將△BCD折起形成四面體ABC。，在這

個過程中，現(xiàn)在下面四個結論：

①在四面體A8C。中，當D41BC時，BC1AC；

②四面體ABCD的體積的最大值為§；

③在四面體A8CO中，BC與平面A8。所成角可能為全

④四面體ABCD的外接球的體積為定值.

其中所有正確結論的編號為（）

A.①④B.①②C.①②④D.②③④

3.正方體ABCD中，過點A作平面&BD的垂線，垂足為點H.以下結論中，錯誤的是

（）

A.點”是的垂心B.AHJ■平面CB15

C.AH的延長線經(jīng)過點GD.直線A”和BBi所成的角為45。

4.已知長方體力BCD-48心。1，AB=AD=2,力a=4,M是的中點，點尸在長方體內(nèi)部

或表面上，且MP〃平面4當。1，則動點P的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.6B.4V2C.4V6D.9

5.下列命題正確的個數(shù)是（）

①兩兩相交的三條直線可確定一個平面

②兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行

③過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行

④和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線

A.4B.3C.2D.1

二、多項選擇題（本大題共16小題，共64.0分）

6..在正方體4BC0-4B1GD1中，AB=2,E、尸分別為BB1、

中點，P是棱BC1上的動點，則下列說法正確的有（）/

A.力iF14E

B.三棱錐P—ZED1的體積與點P位置有關系

C.平面AEDi截正方體4BC0-4181cl%的截面面積為g

D.點兒到平面4ED］的距離為魚B

7.在棱長為1的正方體4BCD-41B1C15中，AC^BD=0,E是線段&C（含端點）上的一動點,

則下述命題中正確的個數(shù)是（）

A.0E1BDr;B.0E〃面&GD;

C.三棱錐兒一BDE的體積為定值；D.0E與41cl所成的最大角為90。.

8.在直三棱柱ABC-AiBiG中，乙4BC=90。，48=8C=2,441=2,M是4

BC的中點，N是&Q的中點，點P在線段上，點Q在線段AM上，且

AQ=\AM,S是力G與&C的交點，若PS〃面/AM,則（）

A.PS//BiQ

B.P為BiN的中點

C.AC1PS

D.三棱錐P-aAM的體積為|

9.如下圖所示，正方體ZBCC-4B1GD1的棱長為a，線段昆?！可?/p>

有兩個動點E,F,且EF=~^a，以下結論正確的有（）

2

A.AC1BE

B.點A至必8EF所在平面的距離為定值

C.三棱錐A-BEF的體積是正方體力BCD-人道心劣體積的熱

D.異面直線AE與BF所成的角為定值

10.在正方體4BC0-AiBiGDi中，N為底面ABC。的中心，P為線段上

的動點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則（）

A.CM與PN是異面直線

B.存在尸點使得PN〃平面CGDiD

C.平面PAN1平面BDDiBi

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

11.如圖，正方體力BCD-AiBiGDi的棱長為2,E,F,G分別為BC,C6,的中點，貝1（）

A.直線與直線AF垂直

B.直線4G與平面AEF平行

C.平面AE尸截正方體所得的截面面積為?

D.點C與點G到平面AEF的距離相等

12.正方體ABCD-&B1GD],則下列四個命題正確的是（）

A.M是上的一個動點，滿足CM14Di的點M的軌跡為線段4D；

B.E為棱CG的中點，平面4D1E截正方體所得截面為等腰梯形;

C.在線段上存在點M,使異面直線Bi"與CQ所成的角是30°；

D.直線BC與平面4BGJ所成的角等于:.

4

13.在棱長為2的正方體4BCD-AiBiGDi中，點M,N,P分別是線段的5，線段GC,線段上

的動點，且MCi=NG40,則下列說法正確的有（）

A.三棱錐P-BBiM的體積為定值

B.異面直線MN與BG所成的角為60。

C.4P+PG的長的最小值為魚+逐

D.點名到平面BCD1的距離為竽.

14.如圖，在正方體4BC。一4當?shù)耐庵?，點P在線段BG上運動.下列

判斷正確的是（）

A.平面PBiD工平面ACDi；

B.&P〃平面4皿；

C.異面直線&P與也所成角的取值范圍是（0圖；

D.三棱錐Di-APC的體積不變.

15.對于四面體A-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若4B=4C=40,則AB,AC,AO與底面所成的角相等

B.四面體4-BCO的四個面中最多有三個直角三角形

C.若ABd.CC,ACLBD,則點A在底面3CZ）內(nèi)的射影是△BCD的垂心

D.若四面體4-BCD的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為三

16.如圖，在四棱錐P-4BCO中，平面PAD1平面A8CD,側面尸40是邊長為2歷的正三角形，底

面A8CO為矩形，CD=2g，點Q是的中點，則下列結論正確的是（）

A.CQ_L平面PAD

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為等

C.三棱錐B-4CQ的體積為6魚

D.四棱錐Q-4BC0外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24次

17..在直三棱柱ABC-ABiG中，Z.ABC=90°,AB=BC=2,=2,

M是BC的中點，N是41cl的中點，點P在線段上，點。在線段AM

上，且AQ=|AM,S是4G與41c的交點，若PS〃面々AM,則

A.PSf/B^Q

B.P為BiN的中點

C.AC1PS

D.三棱錐P—的體積為|

18.如圖，矩形ABC。，M為BC的中點，將ZL4BM沿直線4M翻折成

B,

44B1M,連接BiD,N為Bi。的中點，則在翻折過程中，下列說法

中所有正確的是（）

A.存在某個位置，使得CNL4B1；

B.翻折過程中，CN的長是定值;

C.若AB=BM,貝ih4M1BrD；

D.若48=BM=1,當三棱錐&-AMD的體積最大時，三棱錐/一AMD的外接球的表面積是

47r.

19.如圖，點E為正方形ABC。邊CO上異于點C,。的動點，將EMOE沿

AE翻折成團S4E,在翻折過程中，下列說法正確的是（）

A.存在點E和某一翻折位置，使得SB1SE

B.存在點E和某一翻折位置，使得AE〃平面SBC

C.存在點E和某一翻折位置，使得直線SB與平面ABC所成的角為45。

D.存在點E和某一翻折位置,使得二面角S-AB-C的大小為60。

20..在直三棱柱ABC-AiBiG中，/.ABC=90°,AB=BC=2,=2,

M是BC的中點，N是41cl的中點，點P在線段BiN上，點。在線段AM

上，且AQ=|AM,S是4G與41c的交點，若PS〃面B14M,貝U

A.PS//ByQ

B.P為BiN的中點

C.AC1PS

D.三棱錐P-的體積為|

21.對于四面體4-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若AB=AC=AD,則AB,AC,A￡＞與底面所成的角相等

B.四面體A-BCD的四個面中最多有三個直角三角形

C.若AB1CD,AC1BD,則點A在底面內(nèi)的射影是△BCD的垂心

D.若四面體4-BCD的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為g

三、填空題(本大題共3小題，共15.0分)

22.已知正方體ABCD—4B1GD1棱長為2,如圖，M為CC】上的動點，AM1平面a.下面結論正確的

(1)己知N為。。1中點，當AM+MN的和最小時，M為CC］的中點

(2)直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為停當

(3)點M為CG的中點時，若平面a經(jīng)過點8,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

(4)點M與點G重合時，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

23.已知長方體ABCD中，側面的面積為2,給出下列四個結論：

①當E為BiG的中點時，4cl〃平面&BE；

②若三棱柱SBC-&B1G的體積為2,則點名到平面BCG/的距離為3；

③若BC=BBi，且在棱AD上當且僅當存在一點例，滿足M81MC,則四棱錐M-BCGB1的

外接球的體積為熱

④若在棱A。上存在一點使得AMBC為等邊三角形，則四棱錐M-BCCiBi的外接球表面積

的最小值為隨兀.

3

所有正確命題的編號為.

24.如圖，力BCD-ABiGCi為正方體，下面結論中正確的是.(把你認為正確的結論都填上

)

①A1G，平面BB1D1D;

@BD1平面AC/

③BO1與底面BCC$i所成角的正切值是近；

④過點兒與異面直線AD與CBi成60。角的直線有2條

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

25.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，。是AO的中點，BO=CO,過CD的平面CZ5EF

交平面PAB于EF,PD1EF.

(1)證明：4B1平面尸40.

(2)若4。=24B=4,P4=PD,點M在側棱PQ上，且PD=3MD,二面角P-BC-0的大小

為也求直線BP與平面M4C所成角的正弦值.

26.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；

(2)判斷平面8EG與平面ACH的位置關系.并證明你的結論；

(3)已知正方體棱長為2,P是E尸的中點，在正方體中，過點E作與面PBG平行的截面，求此

截面的面積.

27.如圖,棱長為2的正方體486-&8￡。1，加是四邊形。1。％1內(nèi)異于。,。的動點,平面4加。1

平面BMC.

(I)求”點的軌跡的長度;

(□)當平面M4B與平面MC力所成銳二面角的余弦值最大時，求M點到平面4B1C1D1的距離.

28.如圖，已知四棱錐P-4BC0,底面ABC。為菱形，PAABCD,^ABC=60°,E,尸分別

是BC,PC的中點.

(11)若24=48=2,求C到平面EAF的距離.

29.如圖，ABC。為矩形，點A、E、B、F共面，△力BE和△ABF均為等腰直角三角形，且4B4E=

/.AFB=90°,若平面ABC。_L平面AEBF.

(I)證明：平面BCF_L平面AOF；

(II)問在線段EC上是否存在一點G,使得BG〃平面CDF2若存在，求出此時三棱錐G-ABE與

三棱錐G—4DF的體積之比，若不存在，請說明理由.

30.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長為2的菱形，PDABCD.

(1)證明：ACLPB；

(2)若PD=2,直線PB與平面ABCD所成角為45。，求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查了線線垂直、線面平行的判斷，考查了三棱錐的體積，也考查了命題真假的判斷問題，是

中檔題.

根據(jù)題意畫出幾何體，結合圖形，利用空間中的平行與垂直關系，判斷選項中的命題是否正確即可.

解：設AC的中點為0,連接08、0D,如圖所示；

B

則4C1OB,AC10D,

又OBCl。0=。，OB、ODu平面0BD,

所以4c，平面OBD,BDu平面0B￡>,

所以AC1BD,故A正確；

M,N分別是棱BC,CQ的中點，［MN〃BD,

BDu平面ABD,MNU平面ABD,

所以MN〃平面4B。，故8正確；

當平面D4C與平面ABC垂直時，V三棱腳_ACM最大，

最大值為V一赭的r=UfCACM=-xiX—=—＞故C錯誤；

二段錐A1—CMN二校ffEN-ACM34448

若4。與BC垂直，又因為ZB1BC,ADQAB=A,AD,ABu平面

所以BC1平面AB。，BDu平面A8。，:BC_LBD,

又BO1AC,ACCtBC=C,AC.8Cu平面ABC,

所以BC?1平面ABC,OBu平面ABC,

所以8。1OB,

因為OB=OD,所以顯然8。與OB不可能垂直，故。正確.

故選C.

2.答案：C

解析：

本題考查空間幾何體的體積與球體的體積，線面垂直的判定和性質，線面夾角，面面垂直的性質,

難度適中.注意折疊過程中的不變量，逐項進行分析驗證得解.

當ZMJ.BC時，???BC1OC,OA、OC為平面D4C內(nèi)兩條相交直線，

BC1?DAC,ACu平面DAC,則BC1AC,故①正確.

當面BC。，面ABC,3c與AB。所成的角最大，此時所成的角為4CBD,sin/CBD=士＜歸BC與

52

平面A8O所成角一定小于全故③錯誤.

當面BCO1面AB。時，四面體A8CD的體積最大，最大值為：x打3x4x￡=3，故②正確.

在翻折的過程中，ZMBD,/BCD始終為直角三角形，斜邊都是BZ),外接球的球心永遠是8。的中點，

外接球的直徑為BO,所以四面體ABC。的外接球的體積不變，則④正確.

故選C.

3.答案：D

解析：

本題主要考查棱柱的結構特征，線面垂直的判定和性質，異面直線所成的角，屬于較難題.

由線面垂直的性質得到線線垂直，說明H是三角形&BD的垂心，判斷A的正誤；由4"_1面4/。,

平面4BD〃平面CB15,可得4H1平面由過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條，可得

A“與AC1重合，判斷C正確；通過解三角形求得直線A”與SB】所成的角，即可判斷。.

解：依題意，作出圖形，如圖所示，

G

因為AHJL平面8Du平面&BD,

所以BDLAH,

因為，平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以BDJ.441，

V.AHCyAA1=A,AH,441u平面力力

所以BD_L平面/14擔，又&Hu平面44",

所以1BD,

同理可證B”1ArD,

所以點”是△4BD的垂心，A正確；

正方體ABCD-&B1GD1中，

易知B\DJ/BD,當。1C平面&B。，8。u平面4/。，

所以當7〃平面&BD,

同理CDi〃平面48D,

又CD[nB[0]=0],CO]，Bi%u平面CB]。],

所以平面48?！ㄆ矫?。當。1，

所以AH1平面CBWi，8正確；

在正方體ABCD—4&品名中，可知8DJLAC,BD1CQ,

又ZCnCG=C,AC、CQu平面4"出，

所以B。_L平面4CC]&,又4C[u平面4CGa,

所以AC11BD,

同理可得，AC114D,

又BDn4i￡>=0,BD、&?！?平面418。，

所以4cl，平面&BD,

因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，

所以AG和AH重合，故C正確；

因為AAJ/BBi，

所以441AH為直線AH和BBi所成的角或其補角，

設正方體4BCD—4/iGDi的棱長為1,則=1,

△&BD是邊長為魚的等邊三角形，點，為△A/D的垂心，即為重心，

則=彳,sinZj41AH==手，

所以4A1AH豐45°,所以直線A"和所成的角不是45。，

故。錯誤.

故選D

4.答案：D

解析：

本題考查空間中線線，線面，面面的位置關系，考查空間想象能力，屬于中檔題.

由題意得到動點P的軌跡是六邊形MEFG//N及其內(nèi)部，進而求出六邊形MEFGMV面積即可.

解：如圖所示，E,F,G,H,N分別為當口，G5，DD],DA,AB的中點，

則EFUB\Di“NH,MN//B^A//FG,

由于NH<t平面4&D1，RRu平面4B】Di，

可得NH〃平面

同理可證：MN〃平面4%劣，

又NHCMN=N,

所以平面MEFGHN〃平面4&Di，

所以動點P的軌跡是六邊形MEFG/7N及其內(nèi)部.

因為48=AD=2,AAr=4,

所以EF=HN=>/2,

EM=MN=FG=GH=遮，GM=2近，

E到GM的距離為止_(3)2=斗，

所以S=2S赭形EFGM=2X空x^=9?

故選￡).

2

5.答案：D

解析：

本題考查了空間中的直線與平面的位置關系以及平面的基本性質應用問題，是基礎題.

根據(jù)空間中的直線與平面的位置關系以及平面的基本性質，對選項中的命題判斷正誤即可.

解：對于①，兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面，故①錯誤；

對于②，兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面平行或相交，故②錯誤；

對于③，過平面外一點的直線一定在平面外，且直線與這個平面相交或平行，故③正確；

對于④，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或相交直線，故④錯誤.

.,.正確的命題只有一個.

故選D

6.答案：AC

解析：

本題考查了正方體的結構特征，三棱錐的體積，平面的基本性質及應用，線面平行的判定，面面平

行的性質，線面垂直的判定，線面垂直的性質和空間中的距離，屬于較難題.

取AB的中點〃，連接HRA.H,利用正方體的結構特征得平面再利用線面垂直的

性質得HFJLHE,再利用線面平行的判定得HE1平面再利用線面垂直的性質對A進行判斷;

利用正方體結構特征，結合題目條件得SMEDI是定值，連接BQ,得BCV/AD],利用線面平行的判

定得BC]〃平面4￡5，再利用點面距和線面距得P到平面AE歷的距離為定值，再利用錐體的體積公

式對8進行判斷；設平面4E5C平面BBiGC于過E的直線/,利用面面平行的性質得〃必久，再利

用平行公理得〃"G，取BiG的中點G,連接EG,則EG〃BG，從而得/與EG重合，利用平面的

基本性質得梯形4D1GE是平面AEDi截正方體力BCD的截面，再計算梯形45GE的面積對

C進行判斷；連接&E,設點&到平面AED]的距離為兒利用以「HE/=1ml計算出兒對。進

行判斷，從而得結論.

解：對于4、如圖：

取AB的中點〃，連接HF、ArH.

因為尸是CD的中點，

所以在正方體4BCD-4遇1(71。1中，HF_L平面

而4Eu平面因止匕HF14E.

又因為在正方形44遇聲中，E是BBi的中點，所以4擔，力E.

而“F、4//U平面力iFH,AMCHF=H,

因此4E1平面&FH,而&Fu平面

所以因此A正確；

對于以在正方體力BCD-4避傳1。1中，

因為E是BBi的中點，所以SMEDI是定值.

連接BG，則BCi〃4D「

因為u平面4ED1，BJ仁平面4E0「所以BC"/平面4E0],

而「是BC1上的動點，所以P到平面4E0]的距離為定值，

因此三棱錐P-4ED1的體積為定值，因此B不正確；

對于C、在正方體力BCD-&B1GD1中，

因為平面4&么?！ㄆ矫鍮BiQC,

而平面AE￡)iC平面=AD1,平面AED】C平面BBiG。于過E的直線I,

所以〃/ADi，因此〃/BC「

如圖：

取BiG的中點G,連接EG,則EG〃BG，即/與EG重合，

連接DiG,則梯形ADiGE是平面AEDi截正方體力BCD-&B1C1D1的截面.

因為4B=2,所以4必=2EG=2vLAE=DrG=V5)

因此梯形gGE的面積為X&+2?xq=*所以C正確；

對于。、如圖：

連接&E.

設點2到平面AE。1的距離為h.

由(C)知：S“EDi="2/*苧=3,

而E到平面44D1D的距離為2,

因此由匕1-4ED1=得gx3/i=§x2x2,

解得八=￡所以。不正確.

故選AC.

7.答案：ABCD

解析：

本題考查正方體的結構特征，考查異面直線成角、線面平行、垂直的判定與性質的應用，及棱錐的

體積求法，考查分析與計算能力，綜合性較強，屬于較難題.

利用正方體的結構特征，線面位置關系的判定和性質，異面直線成角及棱錐體積的計算對4個命題

逐個判斷，即可得出結論.

解：A、由正方體可得：

AC1BD,DD1ABCD,

.?ACC平面ABC。，

???AC1DDi，

?.BDnDD]=D,BD'DD\C平面

???AC1平面BO/,BD\U平面B。0，

???AC1BDi，

同理：B[C1BD],

ACnB1C=C,AC'.B[CC平面.436,

BD11平面4BC

?.?OEU平面ABC,

OE1BDr,正確；

B,?：AC//A1C1,平面ABiC,?。?①平面4出「，

.?.&g〃平面ABC，

同理得：./￡>//平面ABC,

■「AI。r41cl=,A］。、41Gu面AiC］。,

???平面481c〃面4GD,

,OEC平面ABC,

OE〃面4G。，正確；

C、易知B、CHA、D,BiC《平面ABO,AiZ）U平面AB。,

.-.0C〃平面AB。，

E到平面A/D的距離為定值，

???三棱錐&jBDE的體積等于三棱錐E-&BD的體積，

底面△&BD的面積為定值，E到平面&BD的距離為定值，

三棱錐&-8DE的體積為定值，正確；

。、當E在當處時，OE與aCi所成的角最大，

此時，由勾股定理易得：

。。2=｝。&2=|,8道2=2,

0C2+0B］2=B。,即NB1OC=90°,

???AC〃力［C1，

OE與&G所成的最大角為90。，正確.

故選ABCD.

8.答案：ACD

解析:

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和

體積，平面的基本性質及應用，線面平行的性質，線面垂直的性質和空間中的距離，屬于較難題.

利用直三棱柱ABC-&B1C1的結構特征構建一個邊長為2的正方體力BCD-43傳1。1，連接劣劣，

連接&Di，利用正方體的結構特征，結合平面幾何知識得點P在線段B】Di上，連接8D,交AC于0,

利用平面幾何知識得點。在8。上且BQ=：8。，連接BO1，利用平面幾何知識得點S在HD】上，且

是BO】的中點，利用平面的基本性質得PSu平面DDiBiB,再利用線面平行的性質對A進行判斷，在

平面中，利用平面幾何知識對8進行判斷，利用正方體的結構特征得4S_L平面。再

利用線面垂直的性質對C進行判斷，利用點到面的距離和線到面的距離得點尸到平面&AM的距離

等于點S到平面的距離，再利用三棱錐的體積公式得匕=再結合題目條件得

=

匕-/AM2^!-BiAM'即KP-BIAM=￡憶-/AM，再利用二棱錐體積等量得分'「Bi4M=^A-BxCtM'再

利用三棱錐的體積公式計算匕.B|QM對。進行判斷，從而得結論.

解：因為在直三棱柱4BC-4/停1中，^ABC=90°,AB=BC=2,AA1=2,

所以構建一個邊長為2的正方體4BCD-A1&C1O1如下圖：

由於M----------

連接當為，因為N是&G的中點,

所以N是與41cl的交點，且N是當。1的中點,

而點P在線段&N上，因此點P在線段當。1上.

又因為M是8c的中點，點。在線段AM上，且

所以點。是△ABC的重心.

連接BD，交AC于O,則。是AC的中點，也是BO的中點.

由。是4c的中點知：8。是AaBC在AC邊上的中線,

因此點。在80上，即點Q在上，且BQ=|B。.

又因為S是AC】與&C的交點，連接

所以點S在上，且是B￡)i的中點.

對于A、因為點P在線段B/i上，點S在BO】上，所以PSu平面。。避避.

又因為點。在8。上，所以&Qu平面DDiBiB,

而平面DDiBiBn平面為AM=BiQ,PS〃面々AM,

因此PS〃/Q,所以A正確；

對于8、如圖：

0Q

在平面。。1當8中，設BiQn￡)iB=H.

因為8Q=|B。，。是80的中點，

所以BQ=

因此H8=1DI",即=

所以匿=1=修，即8止=2=1=鵑亦,

u-^nsu-yDJ3J

因此8不正確；

對于C、在正方體力BCD-&B1GD1中，

因為AC1平面。。祖8,PSu平面CD1B1B,

所以4C_LPS,因此C正確；

對于。、因為PS〃平面8遇”，

所以點P到平面的距離等于點S到平面814M的距離,

因此Up-Bi4M=Vs-BiAM-

又因為S是T1C］的中點，所以%-B14M=2,

EPVp-B1?lM=”Ci-8i4M-

又因為Pq-Bi4M=匕-/GM=g48,S^/CiM

=-x2x-x2x2=-,

323

所以Vp_Bm財=:Vci-Bi4M=|，因此。正確.

故選ACD.

9.答案:AB

解析：

本題考查異面直線所成的角及線面垂直的判定與性質，同時考查棱錐的體積及空間距離，解此題的

關鍵是對正方體的性質要熟練，為較難題.

結合正方體的性質及已知，逐一分析求解即可，解此題的關鍵是對正方體的性質要熟練.

解：對于A,

連接BZ),交AC于。，在正方體中，有AC180,

又在正方體中，J■平面ABC。，ACu平面ABCC,

則DDiLAC,

又BDn叫=D,BD、DD]u平面3也08,

AC_L平面8也。8,

又BEu平面

ACA.BE,所以4正確；

對于B,A至必BEF所在平面的距離等于A到平面的距離，

又4c1平面見0108,

在正方體中，A到平面8道1。8的距離為A。，為定值日a,所以8正確;

對于C,由已知SABEF=3xax孝a=

所以三棱錐A-BEF的體積為U=?ABEFx4。=^a3,

而正方體力BCD—ZiBiGDi的體積為a3,

所以三棱錐A-8EF的體積是正方體4BCD-4道遙也體積的2，

所以C錯誤；

對于。，設異面直線AE,BF所成的角為a,

當E與。1重合時，尸為當5中點，連接A5和BCi，

在正方體中易知四邊形ABGDi為平行四邊形，則4D//BG，

???z.a=乙FBG，

易知QF1平面所以C/_LBF,

所以5譏0!=茅=3a=30°；

DCjZ

當尸與Bi重合時，E為當劣中點，

在正方體中有441//B&,

則z_a=￡.EAA,tana——=—,a#30°,

X4412

???異面直線AE、8尸所成的角不是定值，

所以。錯誤.

故選AB.

10.答案：BCD

解析：

本題考查面面垂直的判定，線面平行的判定，正方體的截面等問題，屬于較難題.

由CMJN均在平面PAC內(nèi)，可判斷4,利用線面平行的判定定理可判斷B正確，證明4N與平面

BOD1B］垂直后可得面面垂直，可判斷C,作出過P,A,C三點的截面后可判斷D

解：連接尸C,由正方體性質可得C,N,4共線，

而PA,4c在APAC所在的平面內(nèi)，

又?.?點M在直線PA上，點N在直線AC上，

CM,PN均在平面尸AC內(nèi)，故A錯誤；

當點P為&%的中點，K為56的中點時，連結PN,PK,KC,易證「/(7/4傳1〃4。/長=：&6=

：4C=NC,.?.四邊形PKCN為平行四邊形，???PN〃KC,

PNC面CGDiD,KCcSCCjDtD,APN//^CC^D,故B正確；

由于正方體中，BBi1平面ABCD,ANu平面ABCD,BBr1AN,

又,：AN人BD,BB^CBD=B,8當、80u平面88也。內(nèi)

.-.ANJ_平面幽。山，

又???ANu平面PAN,.?.平面PAN?1平面BDD$i，故C正確；

取口以上一點。，使得PQ〃&G，連接QC,&Ci，

又正方體中，A^CJ/AC,.-.PQ//AC,PQMC共面，四邊形PQC4就是過P,A,C三點的正方體的

截面，易知AP=CQ,PQ豐AC,故四邊形PQCA是等腰梯形.。正確.

故選：BCD.

11.答案：BC

解析：

【試題解析】

本題考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關系及截面積有關的計算問題，屬于中檔題.

人利用線面垂直的性質進行分析；8.作出輔助線利用面面平行判斷；C.作出截面然后根據(jù)線段長度計

算出截面的面積；D.通過等體積法進行判斷.

解：4若D|OJ_AF,又因為DiOLAE,ELAEdAF=A,AE.AFc^FffiAEF,

所以。。1_L平面AEF,又EFu平面AEF,

所以所以CVi^EF,顯然不成立，故A錯誤;

B.如圖所示，取BiG的中點。，連接&Q,GQ,

由條件可知：GQ〃EF,A^/fAE,&QC平面4EF,AEu平面AEF,GQC平面AEF,EFu平面

AEF,

所以4Q〃平面AEF,GQ〃平面AEF,

且GQn&Q=Q,GQ、&Qu平面4GQ,

所以平面4GQ〃平面AEF,

又因為41Gu平面&GQ,

所以4G〃平面4EF,故8正確;

C.如圖所示，連接DiEDM，

因為E,F為BC,GC的中點，所以EF〃BCi〃4D],

所以4E,F，5四點共面，

所以截面即為梯形AEFDi，

延長DiFME交于點S,

22

由勾股定理得DiS=AS=V4+2=2V51ArD=2四,

所以SA應s="2eXJ(2K)2_(憐2=6,

Qq

所以Sd￡r。i=6x[f，故。正確；

。.記點C與點G到平面AE尸的距離分別為九],九2，

111x11

因為Vf-AEF=3'^AEF'h1=^A-CEF=3X-X=~>

乂因為匕；-AEF=3'^AEF-八2=唳-GEF=3XX2=~>

所以比#九2,故。錯誤.

故選：BC.

12.答案：ABD

解析：

本題考查線面垂直的性質和判定，正方體的截面問題，直線和平面的夾角，異面直線的夾角，屬于

較難題.

對于A,利用線面垂直的判定證明4久，平面CD&即可判定；

對于B,連接Z\E并延長，與QC的延長線相交于F,連接AF交8c于G,連接EG,從而可得其截

面圖形，再根據(jù)相關數(shù)據(jù)計算即可判定；

對于C,得出其異面直線81M與CD所成的角，結合其正切值的范圍即可判定；

對于D，利用線面垂直的判定，得出NCBG為直線BC與平面4BG5所成的角即可.

解：作出示意圖，如圖所示:

對于A選項，連接&D,4C,ADr,由正方體的性質可知CO_L平面40。送1，

又u平面4。。送1，所以CD_L4Di，由正方形性質可知為。_L4/，

乂&D,CDu平面C/Mi，A^DdCD=D,所以A]_L平面CDa,

所以點M的軌跡為平面4。。送1n平面CD&=&D,故A選項正確；

對于B選項，連接Z\E并延長，與OC的延長線相交于F,連接AF交BC于G,連接EG,

因為E為棱CCi的中點，所以CF^ACi，即CF」4B，所以G為BC的中點，

所以EG^gBCi，即EGd^aDi，易知4G=￡>iE,

所以平面ADiE截正方體所得截面AGED]為等腰梯形，故8選項正確；

對于C選項，設正方體力BCD-4/1C也的棱長為1,則6償,1],

因為CD〃Bi4,所以NMB/I為異面直線與CD所成的角

可知8涕1J?平面ADZMi，u平面4DD14，所以81AlJ.4M,

所以tan/MB/i=籌=4以6停,斗由于乎>多可得tan/MB遇]>tan30°,即4MBi4>300,

故C錯誤；

對于D選項，根據(jù)4選項的分析可知CDJ_A。I，A/J-HDi，

結合正方體的性質可得以C1ADi，BiC1GDi，又AD】nG。1=AD.y.C^u平面ABGDi，所以

/Cl平面ABGDi，所以NCBG為直線BC與平面ZBGDi所成的角，大小為:，故。正確；

4

故選ABD.

13.答案：BC

解析：

本題考查了簡單多面體(棱柱、棱錐、棱臺)及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和

體積，線面垂直的性質，異面直線所成角和空間中的距離，屬于較難題.

利用正方體的結構特征得點M到平面PBBi的距離為2,再利用錐體的體積公式,計算對A進行判斷，

利用正方體的結構特征，結合異面直線所成角得異面直線與BG所成的角就是直線與BG所

成的角，對B進行判斷，利用正方體的結構特征得4P=PB],或和BiGl平面4B814,

再利用線面垂直的性質當前IP%,從而得PG=JAP+4,對C進行判斷，利用正方體的結構特

征，結合點面距對。進行判斷，從而得結論.

解：對于4、因為正方體ABCD是棱長為2的正方體，

連接PM、PBi、MB1和MB,而點M是線段G4上的動點，

所以點〃到平面PBB]的距離為2,

因此/-BB[M==]X2sApBB、一

又因為點尸是線段為B上的動點，在平面PBB]內(nèi)，

點當?shù)街本€PB的距離為企，

所以S&P8B1=^PB，因此S&PBB1不是定值，

所以Vp-8BiM=&SAPBBI不是定值，因此A不正確；

對于8、連接5。，因為點M、N分別是線段G5、線段QC的動點，且MG=NGW0,

所以MN〃5C,而0停〃4中,因此MN〃48,

因此異面直線MN與SC1所成的角就是直線與BC1所成的角，

而直線4道與BG所成的角為60。，

所以異面直線MN與BQ所成的角為60。，因此B正確；

對于C、因為正方體4BC0-&BiCi0i是棱長為2的正方體，點P是線段上的動點，

所以4P=PB0且方&AP<2.

又因為々Ci1平面PBiu平面4」8遇1，所以B1G1P/,

因此PG=[PB"Bi鬃=VW+%

因此當AP最小時，PG也最小，而迎44P42,

所以4P+PG的長的最小值為近+J(V2)2+4=V2+V6'因此C正確；

對于D、因為點名到平面BCOi的距離就是點名到平面的距離，

而點Bi到平面BCD14的距離為近，

所以點名到平面BCD1的距離為魚，因此。不正確.

故選BC.

14.答案：ABD

解析：

本題主要考查三棱錐體積、線面平行的判定、面面垂直的判定以及異面直線所成角，要注意使用轉

化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解.

連結DB,容易證明OB】_L平面力CD1，從而可以證明面面垂直；連接aG容易證明平面B&C"/

平面從而由面面平行的性質可得；分析出41P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假

>-VD1-APC=yp-AD1c>P到平面ADiC的距離不變，且三角形4D1C的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對于A,連結08,

因為正方體中，BBil平面ABCD,4。<=平面48。。，所以3/1女,

又因為CB1AC,DB,BBi為平面DBBi內(nèi)兩條相交直線，所以4C_L平面

因為u平面08%所以OBJAC,

同理可得。Bi14。1，

因為ZDi、AC為平面力CD1內(nèi)兩條相交直線，

可得，平面4CD1，

。當u平面從而平面PB]O_L平面4C￡)i，A正確；

對于8，連接4遇，AQ,

A\C\"AC,4G<t平面AC%,力Cu平面AC。1，所以41cl〃平面4CD1,

同理BG〃平面

又占6、BG為平面B&C1內(nèi)兩條相交直線，

所以平面B&C"/平面力

因為&Pu平面B&G，所以4P〃平面AC。1，故B正確；

對于C,因為4D4/BC1，所以&P與AD1所成角即為41P與BG的所成角，

ArB=BCr=A1C-^,△B&Ci為等邊三角形，

當戶與線段BQ的兩端點重合時，4尸與所成角取最小值會

當P與線段BC1的中點重合時，41P與力5所成角取最大值;，

故41P與45所成角的范圍是槨,外，故C不正確；

對于。，由選項8得BG〃平面ZAC,故BCi上任意一點到平面ADiC的距離均相等,

所以以尸為頂點，平面45C為底面，則三棱錐P-4D1C的體積不變，

又zL“PC=LPYAC，所以三棱錐Di-4PC的體積不變，故。正確.

故選ABD.

15.答案：AC

解析：

本題考查了空間幾何體的結構特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關系，屬于中檔題.

對于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；對于B在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角

三角形的個數(shù)；對于C,根據(jù)線面垂直的判定和性質可知，。是△BCD的垂心；對于。作出正四面

體的圖形，找到球的球心位置，說明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表

面積.

對于A選項，因為ZB=AC=4D,設點A在平面BCD內(nèi)的射影是0,

因為。=—,。=—,sin^ADO=—,

sin/ABABsin/ACACAD

所以sin/4B。=sinZ-ACO=sinZ.ADO,

則A8,AC,AO與底面所成的角相等，故A正確；

如圖：直角三角形的直角頂點已經(jīng)標出，直角三角形的個數(shù)是4.故B不正確；

對于C選項，設點A在平面BCD內(nèi)的射影是0,

則A。_L平面BCD,CDu平面BCD,

故AOJ.CO,又48ICO,

AOC\AB=A,AO,ABu平面ABO,

故CDL平面ABO,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BD_LOC,所以。是△BCD的垂心，故C正確；

如圖，。為正四面體ABC。的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為1；

所以4E=11--=

N33

因為8。2-國=BE2,所以(孚-OE)2-OE2=(y)2,

所以。E=匹，所以球的表面積為47r-。后2=￡故。不正確.

126

故選：AC.

16.答案：BD

解析：

本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，空間中的距離，棱錐體積的計算，圓錐外接球性質

的運用，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬較難題.

選項4根據(jù)兩平面垂直，得到底面是矩形，進而得到C。L平面尸AZ),根據(jù)過一點向平面作垂線只

能做一條垂線，即可判斷，

選項B：取A。的中點E,連接PE,AQ,AC,EC,先證明PE1平面ABC。，進而得到PEJLEC,

再根據(jù)CD1平面PA。進而得到CO_LPD,通過邊長關系證明CQ2+AQ2=ac2,即Q41QC,再利

用三角形面積公式計算出面積，設點P到平面AQC的距離為d,根據(jù)兩體積相等列等式求解d,進

而求出正弦值，即可得出余弦值，即可判斷，

選項C：根