微專題28 變力做功求解問題-2025版高中物理微專題

微專題28變力做功求解問題【核心考點提示】功的定義式W＝Fscosα僅適用于恒力F做功的計算，變力做功可以通過化“變”為“恒”或等效代換的思想求解，主要方法有：1．微元法：就是將變力做功的空間(位移)無限劃分為相等的小段，在每個小段里變力便可看作恒力，每個小段里的功可由公式W＝Fscosα計算，整個過程中變力的功就是各小段里“恒力”功的總和，即W總＝∑FΔscosα.2．圖象法：畫出變力F與位移s的圖象，則F－s圖線與s軸所圍的“面積”表示該過程中變力F做的功．3．力的平均值法：在力的方向不變，大小與位移呈線性關(guān)系的直線運動中，可先求該變力對位移的平均值eq\x\to(F)＝eq\f(F1＋F2,2)，再由W＝eq\x\to(F)s計算．4．動能定理或功能關(guān)系法：當(dāng)物體運動過程中始末兩個狀態(tài)的速度已知時，用動能定理∑W＝ΔEk或功能關(guān)系求變力做的功是非常方便的(當(dāng)然也可求恒力做的功)．5．轉(zhuǎn)換研究對象法：運動問題中，在一些特定條件下，可以找到與變力做的功相等的恒力做的功，這樣，就可將求變力做的功轉(zhuǎn)化為計算恒力做的功．6．特定情形：①用W＝Pt可求機車恒功率運行時，發(fā)動機做的功；②電場力做的功可用WAB＝qUAB求解．【微專題訓(xùn)練】【例題】(2018·衡水中學(xué)信息卷)(多選)如圖所示，傾角為θ、半徑為R的傾斜圓盤繞圓心處的轉(zhuǎn)軸O以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，一個質(zhì)量為m的小物塊放在圓盤的邊緣，小物塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)為μ.圖中A、B分別為小物塊轉(zhuǎn)動過程中所經(jīng)過的最高點和最低點，運動過程中經(jīng)過的C、D兩點連線與AB垂直，小物塊與圓盤間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且始終相對于圓盤靜止．重力加速度為g，下列說法正確的是()A．小物塊受到的摩擦力始終指向圓心B．動摩擦因數(shù)μ一定大于tanθC．小物塊從A點運動到B點的過程中，摩擦力對小物塊做功為－μmgπRcosθD．當(dāng)小物塊運動至C、D兩點時所受摩擦力大小相等，從C點運動到D點的過程中摩擦力對小物塊先做負功后做正功BD[小物塊所受重力沿圓盤的分力及靜摩擦力的合力提供向心力，始終指向圓心，A錯誤；小物塊在B點時由牛頓第二定律Ff－mgsinθ＝mRω2，F(xiàn)f>mgsinθ，又因Ff≤μmgcosθ，所以μmgcosθ>mgsinθ，則μ一定大于tanθ，B正確；小物塊從A點運動到B點的過程中由動能定理得mg·2Rsinθ＋WFf＝0，解得WFf＝－mg·2Rsinθ，C錯誤；小物塊運動至C、D兩點時受力具有對稱性的特點．所受靜摩擦力大小相等，方向關(guān)于AB對稱，從C點運動到D點的過程中，重力先做正功后做負功，小物塊動能始終不變，即合外力做功始終為0，所以摩擦力對小物塊先做負功后做正功，D正確．]【變式】(2016·湖南衡陽五校高三聯(lián)考)如圖所示，內(nèi)壁光滑半徑大小為R的圓軌道豎直固定在桌面上，一個質(zhì)量為m的小球靜止在軌道底部A點?，F(xiàn)用小錘沿水平方向快速擊打小球，擊打后迅速移開，使小球沿軌道在豎直面內(nèi)運動。當(dāng)小球回到A點時，再次用小錘沿運動方向擊打小球，通過兩次擊打，小球才能運動到圓軌道的最高點。已知小球在運動過程中始終未脫離軌道，在第一次擊打過程中小錘對小球做功W1，第二次擊打過程中小錘對小球做功W2。設(shè)先、后兩次擊打過程中小錘對小球做功全部用來增加小球的動能，則eq\f(W1,W2)的值可能是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,4) D．1【解析】第一次擊打，小球運動的最高高度為R，即W1≤mgR，第二次擊打，小球才能運動到圓軌道的最高點，而恰好過最高點的條件為mg＝meq\f(veq\o\al(2,高),R)，即v高＝eq\r(gR)，小球從靜止到達最高點的過程，由動能定理得W1＋W2－mg2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,高)－0，得W1＋W2＝eq\f(5,2)mgR，則eq\f(W1,W2)≤eq\f(2,3)，故選A、B。【答案】AB【例題】如圖所示，n個完全相同、邊長足夠小且互不粘連的小方塊依次排列，總長度為l，總質(zhì)量為M，它們一起以速度v在光滑水平面上滑動，某時刻開始滑上粗糙水平面。小方塊與粗糙水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ，若小方塊恰能完全進入粗糙水平面，則摩擦力對所有小方塊所做功的大小為()A．eq\f(1,2)Mv2 B．Mv2C．eq\f(1,2)μMgl D．μMgl[解析]總質(zhì)量為M的小方塊在進入粗糙水平面的過程中滑動摩擦力由0均勻增大，當(dāng)全部進入時摩擦力達最大值μMg，總位移為l，平均摩擦力為eq\x\to(F)f＝eq\f(1,2)μMg，由功的公式可得Wf＝－eq\x\to(F)f·l＝－eq\f(1,2)μMgl，功的大小為eq\f(1,2)μMgl，C正確，D錯誤；用動能定理計算，則為：Wf＝0－eq\f(1,2)Mv2＝－eq\f(1,2)Mv2，其大小為eq\f(1,2)Mv2，A正確，B錯誤。[答案]AC【變式】(2018·湖北省麻城一中高考沖刺模擬)水平長直軌道上緊靠放置n個質(zhì)量為m可看作質(zhì)點的物塊，物塊間用長為L的不可伸長的細線連接，開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，物塊與軌道間動摩擦因數(shù)為μ.用水平恒力F拉動物塊1開始運動，到連接第n個物塊的線剛好拉直時整體速度正好為零，則()A．拉力F所做功為nFLB．系統(tǒng)克服摩擦力做功為eq\f(nn－1μmgL,2)C．F＞eq\f(nμmg,2)D．(n－1)μmg＜F＜nμmgBC[物體1的位移為(n－1)L，則拉力F所做功為WF＝F·(n－1)L＝(n－1)FL.故A錯誤．系統(tǒng)克服摩擦力做功為Wf＝μmgL＋μmg·L＋…＋μmg·(n－2)L＋μmg·(n－L)L＝eq\f(nn－LμmgL,2).故B正確．據(jù)題，連接第n個物塊的線剛好拉直時整體速度正好為零，假設(shè)沒有動能損失，由動能定理有WF＝Wf，解得F＝eq\f(nμmg,2)現(xiàn)由于繩子繃緊瞬間系統(tǒng)有動能損失，所以根據(jù)功能關(guān)系可知F>eq\f(nμmg,2)，故C正確，D錯誤．故選B、C.]【鞏固習(xí)題】1.如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪，以大小恒定的拉力F拉繩，使滑塊從A點起由靜止開始上升。若從A點上升至B點和從B點上升至C點的過程中拉力F做的功分別為W1和W2，滑塊經(jīng)B、C兩點的動能分別為EkB和EkC，圖中AB＝BC，則()A．W1＞W(wǎng)2B．W1＜W2C．W1＝W2D．無法確定W1和W2的大小關(guān)系[解析]輕繩對滑塊做的功為變力做功，可以通過轉(zhuǎn)換研究對象，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功；因輕繩對滑塊做的功等于拉力F對輕繩做的功，而拉力F為恒力，W＝F·Δl，Δl為輕繩拉滑塊過程中力F的作用點移動的位移，大小等于定滑輪左側(cè)繩長的縮短量，由題圖可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W(wǎng)2，A正確。[答案]A2.(2018·漳州檢測)質(zhì)量為2kg的物體做直線運動，沿此直線作用于物體的外力與位移的關(guān)系如圖所示，若物體的初速度為3m/s，則其末速度為()A．5m/sB．eq\r(23)m/sC．eq\r(5)m/sD．eq\r(35)m/s[解析]F-x圖像與x軸圍成的面積表示外力所做的功，由題圖可知：W＝(2×2＋4×4－3×2)J＝14J，根據(jù)動能定理得：W＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，解得：v＝eq\r(23)m/s，故B正確。[答案]B3.如圖所示，質(zhì)量為m的物塊與轉(zhuǎn)臺之間的最大靜摩擦力為物塊重力的k倍，物塊與轉(zhuǎn)軸OO′相距R，物塊隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速緩慢增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定值時，物塊即將在轉(zhuǎn)臺上滑動，在物塊由靜止到滑動前的這一過程中，轉(zhuǎn)臺的摩擦力對物塊做的功最接近()A．0B．2πkmgRC．2kmgRD.eq\f(1,2)kmgR【解析】在轉(zhuǎn)速增加的過程中，轉(zhuǎn)臺對物塊的摩擦力是不斷變化的，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定值時，物塊在轉(zhuǎn)臺上即將滑動，說明此時靜摩擦力Ff達到最大，其指向圓心的分量F1提供向心力，即F1＝meq\f(v2,R)①由于轉(zhuǎn)臺緩慢加速，使物塊加速的分力F2很小，因此可近似認為F1＝Ff＝kmg②在這一過程中對物塊由動能定理，有Wf＝eq\f(1,2)mv2③由①②③知，轉(zhuǎn)臺對物塊所做的功Wf＝eq\f(1,2)kmgR.【答案】D4.(2016·杭州模擬)人用手托著質(zhì)量為m的物體，從靜止開始沿水平方向運動，前進距離l后，速度為v(物體與手始終相對靜止)，物體與手掌之間的動摩擦因數(shù)為μ，則人對物體做的功為()A．mgl B．0 C．μmgl D.eq\f(1,2)mv2【解析】因人用手托著物體沿水平方向運動，故只有人對物體做功，由動能定理可得W人＝eq\f(1,2)mv2，故A、B錯誤，D正確；因物體與手掌間存在靜摩擦力，其大小不一定為μmg，故C錯誤?！敬鸢浮緿5.(2016·山東濟寧高三月考)子彈的速度為v，打穿一塊固定的木塊后速度剛好變?yōu)榱恪Ｈ裟緣K對子彈的阻力為恒力，那么當(dāng)子彈射入木塊的深度為其厚度的三分之一時，子彈的速度是()A.eq\f(1,3)v B.eq\f(\r(3),3)v C.eq\f(2,3)v D.eq\f(\r(6),3)v【解析】設(shè)木塊的厚度為d，木塊對子彈的作用力為F，打穿木塊時，由動能定理得，－Fd＝0－eq\f(1,2)mv2；打穿其厚度的三分之一時，由動能定理得：－F·eq\f(d,3)＝eq\f(1,2)mv′2－eq\f(1,2)mv2，聯(lián)立解得v′＝eq\f(\r(6),3)v，故選項D正確。6.(2016·湖北孝感高三聯(lián)考)張飛同學(xué)參加學(xué)校運動會立定跳遠項目比賽，起跳直至著地過程如圖，測量得到比賽成績是2.5m，目測空中腳離地最大高度約0.8m，忽略空氣阻力，則起跳過程該同學(xué)所做功最接近()A．65J B．750J C．1025J D．1650J【解析】運動員做拋體運動，從起跳到達到最大高度的過程中，豎直方向做加速度為g的勻減速直線運動，則t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×0.8,10))s＝0.4s，豎直方向初速度vy＝gt＝4m/s水平方向做勻速直線運動，則v0＝eq\f(2.5,2×0.4)m/s＝3.125m/s，則起跳時的速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(16＋9.8)m/s＝5.08m/s設(shè)中學(xué)生的質(zhì)量為50kg，根據(jù)動能定理得：W＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)×50×25.8J＝645J；最接近750J，B項正確?！敬鸢浮緽7.如圖所示，在傾角為30°的斜面上，一條輕繩的一端固定在斜面上，繩子跨過連在滑塊上的定滑輪，繩子另一端受到一個方向總是豎直向上、大小恒為100N的拉力F，使物塊沿斜面向上滑行1m(滑輪右邊的繩子始終與斜面平行)的過程中，拉力F做的功是()A．100J B．150JC．200J D．50J【解析】如圖所示，力F的作用點在整個過程中從A到B，由AC＝BC＝1m，可得AB＝m，W＝Flcos30°＝150J.【答案】B8.(2014·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)如圖所示，一個質(zhì)量為m＝1kg的帶孔小球穿在固定的粗糙水平長橫桿上，小球與橫桿間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.6.某時刻小球獲得一個水平向右的瞬時速度v0＝15m/s，同時小球受到一個豎直向上的作用力F，F(xiàn)與速度的平方成正比，比例常數(shù)為k＝0.4，重力加速度為g＝10m/s2，則小球運動的整個過程中()A．作用力F對小球做功為0B．作用力F對小球做功為－112.5JC．摩擦力對小球做功為－112.5JD．摩擦力對小球做功為－100J【解析】對小球受力分析可知，初始狀態(tài)F＝kv2＝0.4v2，當(dāng)v0＝15m/s，F(xiàn)0＝90N＞mg＝10N，則小球受力如圖所示．因為小球所受的作用力F與位移方向垂直，所以作用力F對小球做功為零，故A選項正確，B選項錯誤；“小球運動的整個過程中”指從初態(tài)至穩(wěn)定狀態(tài)的過程．由于小球受到桿的向下的彈力，小球受到與運動方向相反的沿桿的摩擦力f，但由于F＝kv2，隨著小球的減速運動，導(dǎo)致F減?。捎谪Q直方向上合力為零，則桿給小球的彈力NG減小，當(dāng)F＝mg時，小球達到勻速狀態(tài)．有kveq\o\al(2,2)＝mg，解得v2＝5m/s，在這個過程中彈力在變化，因此摩擦力是變力．在v0＝15m/s到v2＝5m/s過程中，小球受到重力mg，向上的拉力F、向下的彈力NG，只有摩擦力做功，對小球用動能定理，有Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝－100J，D選項正確，C選項錯誤．【答案】AD9.(2015·海南單科)如圖，一半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高，質(zhì)量為m的質(zhì)點自軌道端點P由靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg，重力加速度大小為g。質(zhì)點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為()A.eq\f(1,4)mgR B.eq\f(1,3)mgRC.eq\f(1,2)mgR D.eq\f(π,4)mgR【解析】在Q點質(zhì)點受到豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩力的合力充當(dāng)向心力，所以有FN－mg＝meq\f(v2,R)，F(xiàn)N＝2mg，聯(lián)立解得v＝eq\r(gR)，下滑過程中，根據(jù)動能定理可得mgR－Wf＝eq\f(1,2)mv2，解得Wf＝eq\f(1,2)mgR，所以克服摩擦力做功eq\f(1,2)mgR，C正確。10.(2015·山西省四校高三聯(lián)考)如圖所示，傾角為θ的斜面上只有AB段粗糙，其余部分都光滑，AB段長為3L。有若干個相同的小方塊(每個小方塊均可視為質(zhì)點)沿斜面靠在一起，但不粘接，總長為L。將它們由靜止釋放，釋放時它們下端距A點的距離為2L。當(dāng)小方塊下端運動到A點下面距A點eq\f(L,2)處時，小方塊運動的速度達到最大。設(shè)小方塊與粗糙斜面的動摩擦因數(shù)為μ，小方塊停止時下端與A點的距離為x，則下列說法正確的是()A．μ＝tanθ B．μ＝2tanθC．x＝2L D．x＝3L【解析】小方塊速度最大時，所受合力為0，此時有一半的小方塊受到滑動摩擦力，有mgsinθ＝μ·eq\f(1,2)mgcosθ，所以μ＝2tanθ，B正確，A錯誤；小方塊停止時，假設(shè)x≤3L，由動能定理有mgsinθ(2L＋x)－μmgcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(L,2)))＝0，解得x＝3L，假設(shè)成立，D正確，C錯誤?！敬鸢浮緽D11.(2014·江西南昌)如圖所示，光滑水平平臺上有一個質(zhì)量為m的物塊，站在地面上的人用跨過定滑輪的繩子向右拉動物塊，不計繩和滑輪的質(zhì)量及滑輪的摩擦，且平臺邊緣離人手作用點豎直高度始終為h，當(dāng)人以速度v從平臺的邊緣處向右勻速前進位移x時．則()A．在該過程中，物塊的運動可能是勻速的B．在該過程中，人對物塊做的功為eq\f(mv2x2,2h2＋x2)C．在該過程中，人對物塊做的功為eq\f(1,2)mv2D．人前進x時，物塊的運動速率為eq\f(vh,\r(h2＋x2))【解析】開始人處在如圖所示的A點，人有水平方向的速度v，沿繩子方向沒有分速度，物塊初始速度v1＝0，經(jīng)位移x至B時，設(shè)繩子與水平方向的夾角為α，則物塊運動的速度v2＝vcosα＝veq\f(x,\r(h2＋x2))，由此判斷在該過程中，物塊的運動不可能是勻速的，A、D選項錯誤；人對物塊做功為繩子對物塊做功，物塊的合外力為繩子的拉力，對應(yīng)物塊的動能變化，W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(mv2x2,2h2＋x2)，B選項正確，C選項錯誤．【答案】B12.(多選)如圖所示，汽車通過輕質(zhì)光滑的定滑輪，將一個質(zhì)量為m的物體從井中拉出，繩與汽車連接點A距滑輪頂點高為h，開始時物體靜止，滑輪兩側(cè)的繩都豎直繃緊，汽車以速度v向右勻速運動，運動到跟汽車連接的細繩與水平方向的夾角為30°，則()A．從開始到繩與水平方向的夾角為30°時，繩上拉力做的功為mghB．從開始到繩與水平方向的夾角為30°時，繩上拉力做的功為mgh＋eq\f(3,8)mv2C．在繩與水平方向的夾角為30°時，繩上拉力的功率為mgvD．在繩與水平方向的夾角為30°時，繩上拉力的功率大于eq\f(\r(3),2)mgv【解析】從開始到繩與水平方向的夾角為30°時，物體上升的高度H＝eq\f(h,sin30°)－h(huán)＝h，此時物體的速度v′＝vcos30°，由動能定理得拉力做的功W＝mgh＋eq\f(1,2)mv′2＝mgh＋eq\f(3,8)mv2，A錯、B對；在繩與水平方向的夾角為30°時，拉力的功率為Fv′＝eq\f(\r(3),2)Fv，由于物體加速上升，拉力F>mg，所以C錯、D對．【答案】BD13.如圖所示，傾角為θ的斜面上只有AB段粗糙，其余部分都光滑，AB段長為3L.有若干個相同的小方塊沿斜面靠在一起，但不粘接，總長為L.將它們由靜止釋放，釋放時下端距A為2L.當(dāng)下端運動到A下面距A為L/2時物塊運動的速度達到最大．(1)求物塊與粗糙斜面的動摩擦因數(shù)；(2)求物塊停止時的位置；(3)要使所有物塊都能通過B點，由靜止釋放時物塊下端距A點至少要多遠？【解析】(1)當(dāng)整