高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊-學(xué)案3：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 公開課教學(xué)設(shè)計(jì)課件資料

7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程；

］數(shù)學(xué)運(yùn)算?

2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中的實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念；…

2.數(shù)學(xué)抽象

3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

:自主學(xué)習(xí)】

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1.復(fù)數(shù)的定義

形如a+6i(a,bdR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做,滿足i?=.

2.復(fù)數(shù)集

全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C=｛a+M|a,6GR｝叫做復(fù)數(shù)集.

3.復(fù)數(shù)的表示方法

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即,其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，6叫做復(fù)數(shù)z的虛部.

二.復(fù)數(shù)相等的充要條件

在復(fù)數(shù)集，=仿+歷M，6GR｝中任取兩個(gè)數(shù)a+瓦,c+di(a,b,c,d￡R),我們規(guī)定:

a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)且.

三.復(fù)數(shù)的分類

［實(shí)數(shù)(力=0),

1.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,(■純虛數(shù)a=0,

虛數(shù)(AWO)/外由物

I〔非純虛數(shù)aWOW.

【小試牛刀】

1.思維辨析(對的打“V”，錯(cuò)的打“義”)

(1)若a,8為實(shí)數(shù)，則2=@+歷為虛數(shù).()

(2)復(fù)數(shù)4=3i,Zz=2i,則Zi>Z2.()

⑶若，為實(shí)數(shù)，則z=8i.必為純虛數(shù).()

1

（4）實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集.（）

2.若復(fù)數(shù)（a+l）+（，-l）i（aWR）是實(shí)數(shù)，則a=（）

A.-1B.1C.±1D.不存在

【經(jīng)典例題】

題型一復(fù)數(shù)的概念

點(diǎn)撥：（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若2=。+歷，只有當(dāng)a,6GR時(shí)，a才是z的實(shí)數(shù)，6才是z的虛

部，且注意虛部不是bi,而是6.

（2）不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.

（3）舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可.

例1寫出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)：

4,2—3i,-1+：i,5+巾i,6i.

乙o

【跟蹤訓(xùn)練】1若a￡R,i為虛數(shù)單位，則“a=l”是“復(fù)數(shù)（a一1）（升2）+（4+3）1為純虛

數(shù)”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分又不必要條件

題型二復(fù)數(shù)的分類

點(diǎn)撥：解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟

（1）化標(biāo)準(zhǔn)式：解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+Ai（a,6WR）的形式，以確定實(shí)部和虛部.

⑵定條件：復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)

化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程（不等式）即可.

（3）下結(jié)論：設(shè)所給復(fù)數(shù)為z=a+bi（a,8ER）,

①z為實(shí)數(shù)=8=0；

②z為虛數(shù)

③z為純虛數(shù)Qa=0且8W0.

例2實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=/?+l+（加T）z.是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。

【跟蹤訓(xùn)練】2當(dāng)實(shí)數(shù)勿為何值時(shí),復(fù)數(shù)戶中+物一24i：

⑴為實(shí)數(shù)？（2）為虛數(shù)？（3）為純虛數(shù)?

2

題型三復(fù)數(shù)相等

點(diǎn)撥：復(fù)數(shù)相等的充要條件是“化虛為實(shí)”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù).解決復(fù)數(shù)相等問題

的步驟是：分別分離出兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，利用實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等列方程

（組）求解.

注意：在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a,b,c,deR,即當(dāng)a,b,c,

時(shí)，且+歷=。+力=0=。且6=tZ若忽略前提條件，則結(jié)論不能成立.

例3（1）若（x+y）+yi=（x+1）i,求實(shí)數(shù)x,y的值；

（2）已知a~+（加+2i）a+2+/〃i=0（加￡R）成立，求實(shí)數(shù)a的值。

【跟蹤訓(xùn)練】3若關(guān)于x的方程3*2—楙*—1=（10—x—2/）i有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.下列命題：

①若z=a+8i,則僅當(dāng)a=0且8W0時(shí)，z為純虛數(shù)；

②若z：+4=0,則Zi=Z2=0；

③若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集可建立---對應(yīng)關(guān)系.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

2.若復(fù)數(shù)2=（3不一歷（a,6GR）是純虛數(shù)，則一定有（）

A.b=0B.a=0且

C.a=0或6=0D.a8W0

3.若復(fù)數(shù)z=（勿+1）+（/—9）iV0,則實(shí)數(shù)m的值等于一

3

x—Y—6

4.已知F^=(*—2x—3)i(xGR),則、=

5.已知4={1,2,才一3a—1+(才一5a—6)i},6={—1,3},406={3},求實(shí)數(shù)a的值.

6.已知復(fù)數(shù)z=(/+5葉6)+(/—2zz?-15)i(z?WR).

(1)若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)加的值;

⑵若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍;

(3)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)力的值;

⑷若復(fù)數(shù)z是0,求實(shí)數(shù)加的值.

4

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

虛數(shù)單位一1z=a+6i(a,beR)a—cb=d

【小試牛刀】

1.⑴X(2)X(3)X(4)V

2.C解析：(a+l)+(，-l)i(aWR)為實(shí)數(shù)的充要條件是，-1=0,所以a=±l.

【經(jīng)典例題】

141

例

解析423562

-2-3一,-2-

14

虛數(shù)

--5?是

金，木,6.其中4是實(shí)數(shù)；2—3i,2+-3+-161其中6i是純虛數(shù).

【跟蹤訓(xùn)練】1C當(dāng)a=l時(shí)，復(fù)數(shù)(。-1)仁+2)+也+3)1=41為純虛數(shù)，當(dāng)復(fù)數(shù)(a—1)(。

+2)+(a+3)i為純虛數(shù)時(shí)，a=l或a=-2.

例2

解：(1)當(dāng)所一1=0,即祈=1時(shí)，復(fù)數(shù)Z是實(shí)數(shù)。

(2)當(dāng)也一1/0,即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)。

⑶當(dāng)，Hd=O,即加=-1時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)。

m—1^0

W—2/77=0,

【跟蹤訓(xùn)練】2解(1)當(dāng)八即勿=2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).

“W0,

⑵當(dāng)病一2加H0且腎0,即勿W0且加W2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

4W0,

(3)當(dāng)｛/"+：二6=o,即〃=—3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

-2加#0,

5

1

-

A——2

x+y=0,

例3解⑴由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得尸也解得1

-2-

(2)因?yàn)閍,/z?GR,所以由a2+azzz+2+(2a+zz?)i=0,

a+a"+2=0,a=-yf2,

可得，解得或'所以a=±y[2.

2a+m=0,W=-2/jn=2y[2,

【跟蹤訓(xùn)練】3解設(shè)方程的實(shí)根為x=0,則原方程可變?yōu)??—1/?—1=(10—//?—2z?)i,

,a

3加一那一1=0,

所以解得片11或一子

{1。一勿一2/=0,

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

LA解析：選A.在①中未對z=a+8i中a,8的取值加以限制，故①錯(cuò)誤；在②中將虛數(shù)的

平方與實(shí)數(shù)的平方等同，如若?=1,z2=i,則J+W=l—1=0,但Z|Wz2#0,故②錯(cuò)誤;

在③中忽視0?i=0,故③也是錯(cuò)誤的.

2.B解析：z=ai2—bi=—a—bi,由純虛數(shù)的定義可得a=0且bWO.

"一9=0,

3.一3解析：因?yàn)閦VO,所以一八解得力=一3.

rx—x—6

V_6x+]一°'

4.3解析：因?yàn)閤GR,所以.葉1WR,由復(fù)數(shù)相等的條件得J『_2丫一3=0,解得刀=3?