2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試卷01北師大版

2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考測(cè)試卷01一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．一元二次方程的解是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：，∴故選：C．2．隨機(jī)擲一枚勻稱的硬幣兩次，兩次正面都朝上的概率是()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．1【答案】A【解答】隨機(jī)擲一枚勻稱的硬幣兩次，出現(xiàn)的可能事務(wù)有：（正反），（正正），（反正），（反反），兩次正面都朝上的概率是eq\f(1,4)。故選：A．3．下列命題中正確的是（）A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形 C．對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形 D．一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】B【解答】解：A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．正確；C．對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．兩組對(duì)邊平行的四邊形才是平行四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．4．已知，則的值是A． B． C． D．【答案】D【解答】解：令，分別等于13和5，，，故選：D5．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相像的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵小正方形的邊長(zhǎng)均為1∴△ABC三邊分別為2，，同理：A中各邊的長(zhǎng)分別為：，3，；B中各邊長(zhǎng)分別為：，1，；C中各邊長(zhǎng)分別為：1、2，；D中各邊長(zhǎng)分別為：2，，；∵只有B項(xiàng)中的三邊與已知三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，且相像比為故選：B．6．假如關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)解是0，那么的值是A．3 B． C． D．0或【答案】B【解答】解：把代入方程中，得，解得或3，當(dāng)時(shí)，原方程二次項(xiàng)系數(shù)，舍去，故選：．7．某工廠今年3月份的產(chǎn)值為50萬(wàn)元，4月份和5月份的總產(chǎn)值為132萬(wàn)元．若設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，則列出的方程為：（）A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）×2＝72 C．50（1+x）2＝72 D．50（1+x）+50（1+x）2＝132【答案】D【解答】解：4月份的產(chǎn)值為50×（1+x），5月份的產(chǎn)值在4月份產(chǎn)值的基礎(chǔ)上增加x，為50×（1+x）×（1+x），則列出的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝132，故選D．8．如圖，AF∥BE∥CD，且AB＝1，BC＝2.5，ED＝3，則FE的長(zhǎng)度為（）A．2 B．1 C．1.2 D．1.5【答案】C【解答】解：∵AF∥BE∥CD，∴＝，∴＝，∴EF＝1.2，故選：C．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，則線段AF的長(zhǎng)是（）A．6 B．5 C．4.8 D．4【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵S△ABD＝×AB×AD＝×BD×AF，∴6×8＝10AF，∴AF＝4.8故選：C．10．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2024個(gè)正方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)相像三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到的正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而表示正方形的面積，然后視察得到的正方形的面積即可得到規(guī)律，從而得到結(jié)論．【解答】解：∵正方形ABCD的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD＝，＝，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴＝∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴第1個(gè)正方形的面積為：S1＝A1C2＝（+）2＝；同理可得，A2C2＝（+）2第2個(gè)正方形的面積為：S2＝…∴第2024個(gè)正方形的面積為：S2024＝．故選：B．二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分)11.方程x(x+2)=8化成一般形式是________________.【答案】見(jiàn)解答【解答】12．邊長(zhǎng)為5cm的菱形，一條對(duì)角線長(zhǎng)是6cm，則菱形的面積是cm2.【答案】24【解答】有勾股定理可知另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度：，菱形的面積=6×8×=24cm213．含有4種花色的36張撲克牌的牌面都朝下，每次抽出一張登記花色后再原樣放回，洗勻牌后再抽．不斷重復(fù)上述過(guò)程，記錄抽到紅心的頻率為25%，那么其中撲克牌花色是紅心的大約有張．【答案】9【解答】36×25%=9張14．已知a：b：c＝1：2：3，則．【答案】【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴設(shè)a＝x，b＝2x，c＝3x，∴．15．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），支配支配21場(chǎng)競(jìng)賽，應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參與競(jìng)賽．【答案】7【解答】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都要賽（x﹣1）場(chǎng)，但兩隊(duì)之間只有一場(chǎng)競(jìng)賽，x（x﹣1）÷2＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故應(yīng)邀請(qǐng)7個(gè)球隊(duì)參與競(jìng)賽．16．如圖，A，B兩地之間有一池塘，要測(cè)量A，B兩地之間的距離，選擇一點(diǎn)O連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使OC＝AO．連接BO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使OD＝BO，測(cè)得C、D間距離為30米，則A，B兩地之間的距離為．【答案】60m【解答】解：∵△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO，且∠AOB＝∠COD，∴△ABD∽△CDO，∴＝，又∵CD＝30m，∴AB＝60m．17．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值．【答案】10【解答】解：如圖：連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE最小，∵四邊形ABCD為正方形，BE＝2，AB＝8，∠DAB＝90°，∴AD＝AB＝8，AE＝AB＝BE＝6，在Rt△ADE中，依據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值為10．三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)18.解方程：（1）；（2）【解答】解：（1），或，所以，；（2）所以，.19．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且CE＝AF.求證：∠ABF＝∠CBE.【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵在△ABF和△CBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AF＝CE,∠A＝∠C,AB＝CB))，∴△ABF≌△CBE(SAS)，∴∠ABF＝∠CBE.20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)且∠ACD＝∠B．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AB＝6，AD＝2，求AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝6×2＝12，∴AC＝2；四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題8分，共24分)21．“賞中華詩(shī)詞，尋文化基因，品生活之美”，某校舉辦了首屆“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”，經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參與決賽，這50名學(xué)生同時(shí)默寫50首古詩(shī)詞，若每正確默寫出一首古詩(shī)詞得2分，依據(jù)測(cè)試成果繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖表：請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題：（1）①表中a的值為，中位數(shù)在第組；②頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（2）若測(cè)試成果不低于80分為優(yōu)秀，則本次測(cè)試的優(yōu)秀率是多少？（3）第5組10名同學(xué)中，有4名男同學(xué)，現(xiàn)將這10名同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行對(duì)抗練習(xí)，且4名男同學(xué)每組分兩人，求小明與小強(qiáng)兩名男同學(xué)能分在同一組的概率．組別成果x分頻數(shù)（人數(shù)）第1組50≤x＜606第2組60≤x＜708第3組70≤x＜8014第4組80≤x＜90a第5組90≤x＜10010【分析】（1）①依據(jù)題意和表中的數(shù)據(jù)可以求得a的值；②由表格中的數(shù)據(jù)可以將頻數(shù)分布表補(bǔ)充完整；（2）依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和測(cè)試成果不低于80分為優(yōu)秀，可以求得優(yōu)秀率；（3）依據(jù)題意可以求得全部的可能性，從而可以得到小明與小強(qiáng)兩名男同學(xué)能分在同一組的概率．【解答】解：（1）①a＝50﹣（6+8+14+10）＝12，中位數(shù)為第25、26個(gè)數(shù)的平均數(shù)，而第25、26個(gè)數(shù)均落在第3組內(nèi)，所以中位數(shù)落在第3組，故答案為：12，3；②（2）×100%＝44%，答：本次測(cè)試的優(yōu)秀率是44%；（3）設(shè)小明和小強(qiáng)分別為A、B，另外兩名學(xué)生為：C、D，則全部的可能性為：（AB﹣CD）、（AC﹣BD）、（AD﹣BC）所以小明和小強(qiáng)分在一起的概率為：．22．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，連接OE．過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交線段OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．求證：（1）△ODE≌△FCE；（2）四邊形ODFC是菱形．【分析】（1）依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ODE＝∠FCE，依據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE＝DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；（2）依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OD＝FC，再依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形推斷出四邊形ODFC是平行四邊形，依據(jù)矩形的對(duì)角線相互平分且相等可得OC＝OD，然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【解答】證明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中點(diǎn)，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四邊形ODFC是平行四邊形，在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四邊形ODFC是菱形．23．如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)度不超過(guò)45m），用80m長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)矩形場(chǎng)地．（1）怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750m2？（2）能否使所圍矩形場(chǎng)地的面積為810m2，為什么？【分析】（1）設(shè)所圍矩形的長(zhǎng)AB為x米，則寬AD為（80﹣x）米，依據(jù)矩形面積的計(jì)算方法列出方程求解．（2）假使矩形面積為810m2，則x無(wú)實(shí)數(shù)根，所以不能圍成矩形場(chǎng)地．【解答】解：（1）設(shè)所圍矩形ABCD的長(zhǎng)AB為x米，則寬AD為（80﹣x）米．依題意，得x?（80﹣x）＝750，即x2﹣80x+1500＝0，解得x1＝30，x2＝50．∵墻的長(zhǎng)度不超過(guò)45m，∴x2＝50不合題意，應(yīng)舍去．當(dāng)x＝30時(shí)，（80﹣x）＝（80﹣30）＝25，所以，當(dāng)所圍矩形的長(zhǎng)為30m、寬為25m時(shí)，能使矩形的面積為750m2．（2）不能．因?yàn)橛蓌?（80﹣x）＝810得x2﹣80x+1620＝0．又∵b2﹣4ac＝（﹣80）2﹣4×1×1620＝﹣80＜0，∴上述方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．因此，不能使所圍矩形場(chǎng)地的面積為810m2．五、解答題(三)(本大題共2小題，每小題10分，共20分)23.如圖，已知矩形，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，、、分別是、、的中點(diǎn).（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形，說(shuō)明理由.（3）四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，求出的長(zhǎng)；若不行能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】證明（1）、、分別是、、的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，，四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由如下：在和中，，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，，，，四邊形是菱形；（3）四邊形可能是矩形.若四邊形是矩形，則，設(shè)，，，，，，，或.故當(dāng)或時(shí)，四邊形是矩形.25．如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝6cm，BC＝8cm，對(duì)角線AC＝10cm.圖1圖2圖3（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）如圖2，若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C動(dòng)身，在CA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身，在BC邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t＜2)，連接BQ，AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如圖3，若點(diǎn)Q在對(duì)角線AC上，CQ＝4cm，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)動(dòng)身，以每秒1cm的速度沿BC運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，請(qǐng)你探究：從運(yùn)動(dòng)起先，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，以點(diǎn)Q，P，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？懇求出全部可能的結(jié)果．【解答】(1)證明：∵AB∥CD，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC于M點(diǎn)，AP與BQ交于點(diǎn)N，則CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t.∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴eq\f(AB,BM)＝eq\f(BP,MQ)，即eq\f(6,8－4t)＝eq\f(4t,3t)，解得t＝eq\f(7,8).(3)解：分為三種狀況：eq\a\vs4\al(①如圖1，當(dāng)CQ＝CP＝4cm時(shí)，BP＝8－4＝4cm，,∴t＝4秒；,②如圖2，當(dāng)PQ＝CQ＝4cm時(shí)，過(guò)Q作QM⊥BC于點(diǎn)M，則,AB∥QM，∴\f(CQ,AC)＝\f(CM,BC)，