幾何體的截面10種歸類(lèi)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題6幾何體的截面10種歸類(lèi)

目錄

【題型一】棱柱截面形狀.........................................................................1

【題型二】棱錐截面..............................................................................3

【題型三】棱臺(tái)截面..............................................................................5

【題型四】球截面................................................................................6

【題型五】球截面計(jì)算基本型......................................................................7

【題型六】球內(nèi)兩平行面..........................................................................9

【題型七】棱錐截面周長(zhǎng)與面積計(jì)算..............................................................10

【題型八】柱體截面周長(zhǎng)計(jì)算（難點(diǎn)）.............................................................13

【題型九】柱體截面面積計(jì)算（難點(diǎn)）.............................................................15

【題型十】幾何體表面截球面型（難點(diǎn)）...........................................................17

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練.......................................................................20

培優(yōu)第二階一一能力提升練.......................................................................24

培優(yōu)第三階一一培優(yōu)拔尖練.......................................................................28

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】棱柱截面形狀

【典例分析】

用平面截正方體，截面不可能是（）

A.菱形B.等腰梯形

C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】舉例即可說(shuō)明A、B、D正確；假設(shè)截面是正五邊形，經(jīng)分析得出必有兩條截線平行，這與正五邊

形的性質(zhì)相矛盾，即可判斷C項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)截面與正方體表面平行，且與正方體相交時(shí)，截面為正方形，即截面可能是菱形，

故A項(xiàng)正確；

圖1

對(duì)于B項(xiàng)，如圖1,當(dāng)=時(shí)，有EFHBD,且5。力EF,此時(shí)截面為等腰梯形，故B

項(xiàng)正確：

對(duì)于C項(xiàng)，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩

平行的三對(duì)，故必然有一對(duì)平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，

但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

時(shí)于D項(xiàng)，如圖2,E,F,G,”,./,K分別為各邊的中心，易證E,￡G,",J,K共面，且EFG”/K為正六邊形,

故D項(xiàng)正確.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1有一對(duì)互相平行的面，且這兩個(gè)面是兩個(gè)全等的三角形或平面多邊形；同時(shí).，不在這兩個(gè)面上的棱

都互相平行，把這樣的多面體叫做棱柱；那一對(duì)互相平行的面稱(chēng)為棱柱的底面一，其余的面則稱(chēng)為棱

柱的側(cè)面，不在底面上的棱稱(chēng)為棱柱的側(cè)，而棱柱的兩個(gè)底面之間的距離稱(chēng)為棱柱的高.

【變式訓(xùn)練】

1..用一平面去截一長(zhǎng)方體，則截面的形狀不可能是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

【答案】D

【分析】用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形.

如圖，用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形，

因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形,

不可能為七邊形，

故選:D.

2.若正方體的一個(gè)截面恰好截這個(gè)正方體為等體積的兩部分，則該截面（）

A.一定通過(guò)正方體的中心B.一定通過(guò)正方體一個(gè)表面的中心

C.一定通過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)D.一定構(gòu)成正多邊形

【答案】A

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，所有過(guò)中心的截面都把正方體分成體積相等的兩部分，從而可得正確答案.

【詳解】根據(jù)題意，恰好截正方體為等體積的兩部分的截面，可能為中截面、對(duì)角面、也可能是傾斜的平

面，不管哪種截面都過(guò)正方體的中心.

故選：A3.

3.在正方體ABCO-AMGR中，點(diǎn)。是棱?？谏系膭?dòng)點(diǎn)，則過(guò)4,Q,瓦三點(diǎn)的截面圖形是（）

A.等邊三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】由點(diǎn)。是棱。鼻上的動(dòng)點(diǎn)，可考慮。分別在DR的端點(diǎn)以及中點(diǎn)，故可得過(guò)A、。、與三方的截

面圖形的形狀.

【詳解】所以當(dāng)點(diǎn)。與A重合時(shí)，過(guò)A、Q、坊三點(diǎn)的截面是等邊三角形4片。；

當(dāng)點(diǎn)。與。用合H寸，過(guò)A、Q、坊三點(diǎn)的截面是矩形A8C。；

當(dāng)點(diǎn)。與。烏的中點(diǎn)重合時(shí)，取GR的中點(diǎn)M,由于QM//OG,陰//OG,所以QM//明,乂AQ=MB］，故

過(guò)A、Q、用三點(diǎn)的截面是等腰梯形A4MQ,如圖所示：

所以過(guò)A,Q,q二點(diǎn)的截面圖形是可能是等邊;角形、矩形或等腰梯形.

故選：D

【題型二】棱錐截面

【典例分析】

一個(gè)透明封閉的正四面體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正四面體，則水面在容器

中的形狀可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)已知，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正四面體，則水面在容器中的形狀即為作-截面將正四面體截成體積相

等的兩部分，根據(jù)截面性質(zhì)作圖即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)己知，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正四面體，則水面在容器中的形狀即為作一截面將正四面體截成體

積相等的兩部分，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和截面性質(zhì)作圖如下：

觀察可知截面不可能出現(xiàn)直角三角形.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，本題是一道以截面的概念、性質(zhì)和截面圖形的作法等基礎(chǔ)

知識(shí)為依托，反映現(xiàn)實(shí)生活的一道綜合能力題.解答本題須具備較強(qiáng)的空間想圖、識(shí)圖、作圖能力.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

有一個(gè)面是三角形或平面多邊形，且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的多面體叫做棱錐，其

中，這個(gè)三角形或平面多邊形稱(chēng)為棱錐的底面，其余的面稱(chēng)為棱錐的側(cè)面」不在底面上的棱稱(chēng)為棱

錐的側(cè)冷一，所有側(cè)棱的公共點(diǎn)稱(chēng)為棱錐的定點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高一

【變式訓(xùn)練】

1.已知正三棱錐P-ABC底面面積S，BC=6,點(diǎn)。在高P。上且2PQ=QO,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且平行于底面的截面

面積為.

【答案】I

【分析】由平行關(guān)系確定相似關(guān)系，根據(jù)相似比定出面積比，從而得解.

【詳解】由題意知，所求截面是等邊三角形，且與點(diǎn)尸構(gòu)成一個(gè)小的正三棱錐，

因?yàn)?PQ=QO.即尸0=

所以該小的正三棱錐與正三棱錐P-ABC的相似比為(，

I，所以所求截面的面積S=^S4BC=|

故答案為：42

2.棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比為1:2,則此棱錐的高被分成的上、下兩段之

比為

A.1:2B.1:4

C.1:(>/2-1)D.1:(3-20)

【答案】C

【分析】分析被平面截取后小棱錐與大棱錐的相似比再求解即可.

【詳解】因?yàn)榻孛婷娣e與底面面積之比為1:2,且面積是平方的關(guān)系，故平面截取后小棱錐與大棱錐的相似比

為1:&.

故小棱錐與大棱錐的高比值也為1:血,故此棱錐的高被分成的上、下兩段之比為1：(V2-1).

故選：C

3.過(guò)棱錐的高的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別作與底面平行的兩個(gè)平行截面，則自上向下的兩個(gè)截面與底面的面積之

比是().

A.1:2:3B.1：&：6C.1:4:9D.1:3:5

［答案］C

【4析】考慮三棱錐的情況，根據(jù)相似得到相似比為1:2:3,面積比為1:4:9,再考慮〃棱錐的情況得到答

案.

【詳解】如圖所示：當(dāng)棱錐為-:棱錐時(shí)，易知APDLAPE7△PFC,相似比為1:2:3,

貝|JPL:P/:PC=1:2:3,

易知/\PKL/\PHI/XPBC,KL;Hr.BC=1：2;3,

同理〃：G/:AC=1:2:3,JK:GH:AB=\:2:3,故△/△△G”/AABC,

相似比為1:2:3,故面積比為24:9,

當(dāng)棱錐為加棱錐，〃24時(shí)，可以看成是多個(gè)三棱錐的組合體，面積比不改變.

綜上所述：兩個(gè)截面與底面的面積之比是1:4:9.

故選：C.

【題型三】棱臺(tái)截面

【典例分析】

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺(tái)上、下底面積之比為1:4,已知截去的棱錐的頂點(diǎn)到其

底面的距離為3,則棱臺(tái)的上、下底面的距離為（）

A.12B.9C.6D.3

［答案］D

【2■析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)，用平行于棱錐底面的平面截該棱錐，截面與底面為相似多邊形，面積比為相似

比的平方，以此可得棱錐的高，進(jìn)而得到棱臺(tái)的高.

【詳解】：截去小棱錐的高為3,設(shè)大棱錐的高為/?,

根據(jù)截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，

則3?：獷=1：4,A=6.

.??棱臺(tái)的高是6-3=3,即棱臺(tái)的上、下底面的距離為3.

故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

如果棱錐被一個(gè)平行于底面的平面所截，那么截去一個(gè)小棱錐后剩下的多面體稱(chēng)為棱臺(tái)，其中，由正

棱錐截得的棱臺(tái)稱(chēng)為正棱臺(tái)

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，三棱臺(tái)A8C-ABG中，沿面A8C截去三棱錐A|-A8C,則剩余部分是

A.三棱錐B.四棱錐C.三棱臺(tái)D.四棱臺(tái)

【答案】B

【分析】根據(jù)棱錐的定義和空間結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解，得到答案.

【詳解】由題意知，三棱臺(tái)ABC-A瓦G中，沿面A5C截去三棱錐A-ABC,

則剩余部分是四棱錐A-8B|GC,故選B.

2..如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S,S',中截面的面積是So,那么

A.2-JSo—y［s+B.So—\lS'S

C.2So=S+S,D.So=2SS

【答案】A

【分析】棱臺(tái)不妨看做三棱臺(tái)，利用相似的性質(zhì)，面積之比是相似比的平方，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】不妨設(shè)棱臺(tái)為三棱臺(tái)，設(shè)棱臺(tái)的高為2r,上部三棱錐的高為a,

根據(jù)相似比的性質(zhì)可得:消去r,可得2庖=+故選A.

3.棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4和9,則這個(gè)棱臺(tái)的高和截得棱臺(tái)的原棱錐的高的比是（）

【答案】B

【彳析】設(shè)出棱臺(tái)的高與截得它的棱錐的高，利用面積之比等于相似比的平方，化簡(jiǎn)求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)棱臺(tái)的高為力與截得它的棱錐的高”，作出草圖，如下圖所示：

由相似關(guān)系可得，需%,所以需=^=含，則/7-/??_4

（7CD下H)~9

即h一上？［=￡可得4=1_］=上故選：B.

［H9H33

【題型四】球截面

【典例分析】

一個(gè)正方形內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一截面，則截面的圖形不可能是（）

［答案］C

【3?析】判斷出可能的截面，由此確定不可能的截面.

【詳解】畫(huà)出正方體如下圖所示，設(shè)正方體外接球的球心為。.

E,F,G,H是棱8c,86,4〃,4。的中點(diǎn)，過(guò)E,產(chǎn),G,"的截面圖像為B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的圖像.

過(guò)8。。內(nèi)的截面圖像為D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的圖像.

設(shè)是棱網(wǎng),CG'DR'M靠近B,C,q，A的三等分點(diǎn)，過(guò)的截面圖像為A選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的圖像.

故C選項(xiàng)的圖像不可能.

故選c.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

如圖，將圓心為。的半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做球，記作球0.

半圓的圓弧繞直徑旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面叫做球面一

9

點(diǎn)。到球面上任意一點(diǎn)的距離都相等，點(diǎn)。叫做球心，原半圓的半徑和直徑分別叫做球的半徑和直徑.

【變式訓(xùn)練】

1.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是（）

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

［答案］C

【4■析】由球體截面的性質(zhì)，即可確定正確選項(xiàng).

【詳解】各個(gè)截面都是圓，幾何體中只有球體的任意截面都是圓，

這個(gè)幾何體一定是球體，

故選：C.

2.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，這個(gè)幾何體可能是（）

A.圓錐、圓柱B.圓柱、球體C.圓錐、球體D.圓柱、圓錐、球體

［答案］D

【4析】由圓錐，圓柱，球體的幾何特征判斷即可.

【詳解】解：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，則這個(gè)幾何體可能是圓錐，也可能是

圓柱，也可能是球體，

故選：D.

【題型五】球截面計(jì)算基本型

【典例分析】

一平面截一球得到半徑為近的圓面，球心到這個(gè)平面的距離為3,則該球的體積為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)球半徑，球心距與底面圓半徑構(gòu)成直角三角形求解.

【詳解】畫(huà)圖為：

從圖像得半徑00=近。又因?yàn)榍蛐牡竭@個(gè)平面的距離為3,即oq=3。所以球半徑。4=也吐西不=4

所以該球的體積沏等小等故迄A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.球心與截面圓圓心的連線垂宜于截面

2.截面圓的半徑，球心到截面圓的距離滿足勾股定理

【變式訓(xùn)練】

1.過(guò)半徑為2的球。表面上一點(diǎn)A作球0的截面，若0A與該截面所成的角是60。，則該截面的面積是

A.乃B.2萬(wàn)C.3萬(wàn)D.2島

【答案】A

【分析】利用球的半徑OA、球心與截面圓心的連線、OA在截面圓上的射影構(gòu)成的直角三角形解決即可.

【詳解】因?yàn)镺A與該截面所成的角是60。，

所以截面圓的半徑廠=；。4=1,

故截面的面積S=兀r=n.故選A

2.過(guò)半徑為2的球。表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若04與該截面所成的角是30,則截面的面積是（）

A.乃B.2萬(wàn)C.3萬(wàn)D.2&

【答案】C

【分析】根據(jù)械面半徑與球半徑，球心到截面的距離，構(gòu)成的直角三角形，解出械面半徑，即可求出答案.

【詳解】如圖所示：AB為截面半徑，|。4|=2,ZOAB=30°，則=截面積=乃（石尸=3萬(wàn)

故選c

3.已知平面a截一球面得圓M,球中過(guò)小圓心M的直徑為A8,過(guò)點(diǎn)M且與A8成30。角的平面尸截該球面

得圓N,若該球的半徑為4,圓M的面積為4萬(wàn)，則圓N的面積為（）

A.7萬(wàn)B.9兀C.1\7iD.137

［答案］D

【分析】先求出圓M的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出0M的長(zhǎng)，找出線面角，從而求出ON的長(zhǎng)，最后利

用垂徑定理即可求出圓N的半徑，從而求出面積.

【詳解】：圓M的面積為4萬(wàn)，.?.圓M的半徑為2,根據(jù)勾股定理可知。仞=9二？=26，

:過(guò)點(diǎn)M且與A3成30。角的平面￡截該球面得圓N,30。，

在直角三角形中，QV=2j5*g=百，二圓N的半徑為西二=而，

...圓N面積為：13九故選D

R

【題型六】球內(nèi)兩平行面

【典例分析】

兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9萬(wàn)和16萬(wàn)，則這兩個(gè)平面間的距離是（）

A.IB.3C.4D.1或7

【答案】D

【分析】對(duì)兩個(gè)平行平面在球心的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況討論，計(jì)算出球心到兩截面的距離，進(jìn)而可求得兩

平面間的距離.

【詳解】如圖（1）所示，若兩個(gè)平行平面在球心同側(cè)，

則CD=OC-O￡>=A/F下■一后二^=4-3=1；如圖（2）所示，若兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè),

則8=。。+。。=>/52-32+J52-42=4+3=7?故選:D.

【變式訓(xùn)練】

1.兩平行平面截半徑為13的球，若截面面積分別為257和144萬(wàn)，則這兩個(gè)平面間的距離是（）

A.7B.17

C.5或12D.7或17

【答案】D

【分析】根據(jù)球的半徑和兩個(gè)截面圓的面積求出對(duì)應(yīng)圓的半徑，再分析出兩個(gè)截面所存在的位置分別求出

兩個(gè)平行平面間的距離.

【詳解】解：球的半徑為R=13,設(shè)兩個(gè)截面圓的半徑別為彳，4,球心到截面的距離分別為4，d2.

球的半徑為R,由孫2=25〃，得斗=5：由；r1=144;r,得￡=12；

如圖①所示，當(dāng)球的球心在兩個(gè)平行平面的外側(cè)時(shí)，

這兩個(gè)平面間的距離為球心與兩個(gè)截面圓的距離之差;

22222222

即d2-dt=^-/；-7-R-^=A/13-5-V13-12=12-5=7;

如圖②所示，當(dāng)球的球心在兩個(gè)平行平面的之間時(shí)，

這兩個(gè)平面間的距離為球心與兩個(gè)截面圓的距離之和.

即4+4=《N-r；+=V132-52+7132-122=12+5=17;

所以這兩個(gè)平面間的距離為7或17.故選：D

2.已知球的半徑為4,球面被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到的兩個(gè)圓的公共弦長(zhǎng)為2夜.若球心到這兩個(gè)

平面的距離相等，則這兩個(gè)圓的半徑之和為（）

D.10

【答案】B

【分析】設(shè)兩圓的圓心分別為O/、02,球心為O,公共弦為AB,其中點(diǎn)為E,則OO/EO2為正方形，可以

從三個(gè)圓心上找關(guān)系，構(gòu)建矩形利用對(duì)角線相等即可求解出答案.

【詳解】解：如下圖所示，

設(shè)兩圓的圓心為O/、02,球心為。，公共弦為AB,中點(diǎn)為E,因?yàn)閳A心到這兩個(gè)平面的距離相等,

則。。為正方形，兩圓半徑相等，設(shè)兩圓半徑為廣，|0?|=’16_.,|OE|=j32-2/,

又|OE|2+|A￡|2=QA|2,gp32-2^+2=16,則八=9,r=3,所以，這兩個(gè)圓的半徑之和為6,

故選8.

【題型七】棱錐截面周長(zhǎng)與面積計(jì)算

【典例分析】

已知四棱錐S-ABC。中，SAL平面ABC。，四邊形ABC。為正方形，SA=AB=6,平面a過(guò)SB,CD,SD

的中點(diǎn)，則平面a截四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）

2776

C.9展D.1276

【答案】A

【分析】順次連接E，F(xiàn),G,H,I,則平面EFG"/即為過(guò)E,F,，的平面a截四棱錐P-A8CO所得截面,

求其面積，可得答案.

【詳解】分別取SB,BC,CD,S￡>的中點(diǎn)E,F,G,H,線段SA上靠近S的四等分點(diǎn)/,

連接EI,EF,FG,GH,HI,

因?yàn)镋F//SC,EF=LSC,HG//SC,HG=-SC,

22

所以EF//HG,EF="G,四邊形EFGH是平行四邊形，即E,F,G,H四點(diǎn)共面，

位SA中懸為N,易得HFIIBN,EHIBN,故HF/IE1,所以E,F,G,H,/五點(diǎn)共面，

則平面EFGH1即為平面a,如圖，

在RtS4C中，SA=6,AC=60,可得sc=JAC?+%2=后+2x6?=66

所以EF=HG=3>/5,FG=3A/2./E=//7=l^y.^+AB2=^32+62=^-?

在等腰三角形中，EH=FG=36,/￡=///=—.所以高為隨，

22

故所求截面面積為矩形面積與三角形面積之和，S=30x3g+gx3&x|6=?".

故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

棱錐截面如果平行底面，則滿足以下關(guān)系：

高為一維的量，面積為二維的量，體積為三維的量，故若立體圖形的相似比為1：。，則高的比為

各面積的比為1：〃，體積比為I：,

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，棱錐P—A38的高PO=3,截面AEC'D平行于底面ABC￡>,P。與截面交于點(diǎn)O',且00=2.

若四邊形A8CD的面積為36,則四邊形AB'C'D的面積為（）

A.12B.16C.4D.8

【答案】C

【解析】根據(jù)高的比可得四邊形ABCD與四邊形A'5'S相似比，結(jié)合與面積比的關(guān)系即可得解.

【詳解】由題意可知，四邊形ABCO與四邊形A'B'C'D'相似，

則四邊形ABCD與四邊形AB'C'iy的相似比為3:1

根據(jù)相似比與面積比關(guān)系可得四邊形A'8'C'D的面積為36x(gj=4.

故選:C

2.如圖，已知三棱錐V-ABC,點(diǎn)尸是您的中點(diǎn)，iLAC=2,VB=4,過(guò)點(diǎn)P作一個(gè)截面，使截面平行于

和AC,則截面的周長(zhǎng)為.

【答案】6

【解析】設(shè)48、BC、VC的中點(diǎn)分別為。、E、F,連接￡>E、EF、PF、PD,則可證明截面EFPC就是所求

平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】設(shè)A8、BC、VC的中點(diǎn)分別為。、E、F,連接OE、EF,PF、PD,如圖所示

因?yàn)?。、E分別為48、8c的中點(diǎn)，所以。EAC,同理尸、。分別為南、AB

的中點(diǎn)，所以VB,DE,DPu平面EFPD,VB,4。a平面￡'尸2￡>,所以Y8P平面EFPC,ACy平面

EFPD,

所以截面EFPO就是所求平面，因?yàn)锳C=2,VB=4,所以DE=^F=1.PD=FE=2,

所以截面EF尸。的周長(zhǎng)為2+2+1+1=6,故答案為：6

2.已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，則過(guò)各側(cè)棱中點(diǎn)的截面的面積為.

【答案】§/##

1616

【分析】根據(jù)面積比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】因?yàn)槿忮F的底面是邊長(zhǎng)為，的等邊三角形，所以三棱錐底面積為光,

S=5.所以5=立層故答案為：$2

設(shè)過(guò)各側(cè)棱中點(diǎn)的截面的面積為S,則的一

1616

3..如圖，正四棱錐S-AB8的所有棱長(zhǎng)都等于。，過(guò)不相鄰的兩條棱SA,SC作截面SAC,則截面的面積為

3,

A.-a2B.a2

2

【答案】C

【分析】由題意首先求得截面三角形的邊長(zhǎng)，然后求解其面積即可.

【詳解】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，底面48co是正方形，，4C=夜”.在等腰三角形SAC中，SA=SC="，又

AC=y/2a,

：.ZASC=90°,即SzSAC=.本題選擇c選項(xiàng).

【題型八】柱體截面周長(zhǎng)計(jì)算（難點(diǎn)）

【典例分析】

在正方體ABC。-AB'C'D中，AB=4,E為棱BC的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)8）,尸為棱A77的四等分點(diǎn)（靠

近點(diǎn)H）,過(guò)點(diǎn)C,E,尸作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是（）

K902508025?8&40「4a40

42323333

［答案］C

【4析】根據(jù)正方體的特征，作出過(guò)點(diǎn)C',E,尸的該正方體的截面，計(jì)算相關(guān)線段的長(zhǎng)，即可求得答案.

【詳解】設(shè)G為AB的三等分點(diǎn)，靠近8點(diǎn)，連接GE,并延長(zhǎng)交D4延長(zhǎng)線于P,

設(shè)”為AA的三等分點(diǎn)，靠近4點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交ZM延長(zhǎng)線于Q,

48

由于8E=1,GB=I，AG=3,故4尸=2,

同理求得AQ=2,故P,Q兩點(diǎn)重合，則PG=2GE=2jl2+($2=?，故PE=PG+GE=￥+g=5,

而

尸C==5，故PE=FC',同理可得PF=EC',即四邊形PECF為平行四邊形，

連接用，則五邊形G”FC'E即為過(guò)點(diǎn)C,E,尸所作的正方體的截面，由題意可知

C'F=C'E=5,GE=FH=-,HG=J（-）2+（-）2=—故該截面的周長(zhǎng)是5+5+工+3+述=竺+辿，故

3V33333333

選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

棱柱截面多邊形周長(zhǎng)的計(jì)算，在畫(huà)幾何體的截面，關(guān)鍵是畫(huà)截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩

個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置.

【變式訓(xùn)練】

1.已知正四棱柱ABCD-A&CQ中，2AAi=348=12,點(diǎn)M是線段8月的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段上靠近￡>

的三等分點(diǎn)，若正四棱柱4BCC-A4GR被過(guò)點(diǎn)A，M,N的平面所截，則所得截面的周長(zhǎng)為（）

A.1（）+8夜B.10+7及C.9+8夜D.9+70

【答案】B

【分析】先證明截面四邊形AMQN為平行四邊形，再求出截面的邊長(zhǎng)相加即得解.

【詳解】解：作出圖形如圖所示.

延長(zhǎng)GC至Q,使得CO=1,連接MQ,NQ,則截面四邊形為平行四邊形;

記MQ與BC交于點(diǎn)R,可。與。。交于點(diǎn)尸，則4%=4&，AM=5,MR=招+3?=3夜,

種千+宵*，哈卜+（滬\,故所得截面的周長(zhǎng)為

4加+〃/?+秋+取+4汽=5+3陵+^+岑+4應(yīng)=10+70.故選：B.

2.在正方體川?。-4362,中，M,N分別為正方形外。。和AAGR的中心，AB=3,則平面CMN截

正方體所得截面的周長(zhǎng)是（）

c.VToD.4710

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)CM,qA交于點(diǎn)尸，連接PN并延長(zhǎng)，分別交AA，B￡于E,F,連接CP,連接并

延長(zhǎng)，交4。于點(diǎn)G,連接CG,得到四邊形CGEF為所求截面，進(jìn)而求得截面的周長(zhǎng)，得到答案.

【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)CM,BA交于點(diǎn)P,連接PN并延長(zhǎng)，分別交A"，B?于E,F,連接CF,

連接00并延長(zhǎng)，交AO丁點(diǎn)G,連接CG,則四邊形CGEF為所求截面，因?yàn)镸是正方形例。。的中心，

所以ME=LEG,

2

由題意易證四邊形CGEF為菱形，所以￡G〃C尸，EG=CF,所以ME//CF,ME=gb,則E為尸尸的中

點(diǎn)，則4建=￡尸=1,從而=故所求截面的周長(zhǎng)為4M.故選：D.

3.已知正方體A3CQ-A與CQ的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)瓦戶分別為4。1，明的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)G，E，尸的截面的周長(zhǎng)為

（）

A.逐+］夜B.V5+V2C.75+—+1D.員逐+3

222

［答案］A

【3析】利用線面平行的判定和性質(zhì)作兩面交線，由此能求出結(jié)果.

【詳解】由￡F〃B。，知過(guò)點(diǎn)G，E,尸的截面為等腰梯形8FEG?.?正方體的棱長(zhǎng)為1,.?.截面周長(zhǎng)為：

【題型九】柱體截面面積計(jì)算（難點(diǎn)）

【典例分析】

如圖，已知正方體4BCD-ABGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是線段C片的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)AP，G，則正方體

ABCO-ABCQI被平面。截得的截面面積為（）

【分析】根據(jù)題意作出截面圖，結(jié)合幾何關(guān)系即可求得其面積.

【詳解】根據(jù)題意，作出正方體被平面a所截得到的截面為四邊形ARGB,如下所示:

根據(jù)正方體的幾何特點(diǎn)，顯然四邊形4RG8為矩形,且RG=2,4"=20,故其

面積S=RG*AR=4及.故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

作截面的常用三種方法：

（1）直接法：截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；

（2）平行線法；截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行;

（3）延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

【變式訓(xùn)練】

1.已知正方體A8CO-ABCA,棱長(zhǎng)為2,E為棱8片的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)A，D,E三點(diǎn)的正方體的截面面積

為（）

A.1B.3&C.亭D.y

【答案】A

【分析】先作出經(jīng)過(guò)A，D,E三點(diǎn)的正方體的截面，再利用梯形面積公式即可求得該截面面枳.

【詳解】正方體ABCO-ABCQ中，〃平面C6BG，則平面ADE與平面CBBC的唯一交線與平

行.

取BC中點(diǎn)F,連接M、DF、AE、AtD,則四邊形4QFE即為經(jīng)過(guò)4,D,E:：點(diǎn)的正方體的截面

A

2.如圖，已知正方體ABC。-4耳6。的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是線段CB,的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,P,C,,則正

方體ABC。-A4GR被平面。截得的截面面積為（）

A.272B.4&C.4D.V2

【答案】B

【分析】先判斷出平面AQGB即為正方體ABC。-480#被平面a截得的截面，再求面積即可.

連接AD|,BC「山點(diǎn)尸是線段CB,的中點(diǎn)，可得BG經(jīng)過(guò)點(diǎn)p,又AB、RG，AB=DG，則四邊形ADgB為

平行四邊形，乂點(diǎn)A,P，Gu面世QB,則平面ARGB即為正方體ABC。-A4G。被平面a截得的截面，

又5G=20,AB，BG，則截面面積為20x2=4近.故選：B.

3.在正方體A8CD-4耳RA中，AB=2,E為棱8局的中點(diǎn)，則平面AEQ截正方體ABCO-A4GR的截面

面積為（）

579

A.—B.-C.4D?—

222

【答案】D

【分析】先作出平面AER截正方體AB8-AMGA的截面，再求出截面的高，山梯形面積公式得出截面面

積.

【詳解】取BC的中點(diǎn)為例，連接E/W,MD,,則EM〃2G，且EM=3B￡,則EM〃.又正方體中，

AB=2,所以MD、=AE=序幣=下,BG=AD、=26,因此EA/=JBG=>/L所以平面AER截正方

體ABCO-A4GA所的截面為等腰梯形EM.A,因此該等腰梯形的高為

h==呼，所以該截面的面積為S=；（AR+EM）?力=：故選：

【題型十】幾何體表面截球面型（難點(diǎn)）

【典例分析】

已知球。內(nèi)切于正方體4BCD-A8CR,p,Q,M,N分別是4G，G2，s,8c的中點(diǎn)，則該正方體及其

內(nèi)切球被平面MNPQ所截得的截面面積之比為（）

A.4夜：兀B.2立：兀C.30:兀D.4:兀

［答案］A

【4?析】根據(jù)題意易知正方體的內(nèi)切球球心為正方體的體對(duì)角線中點(diǎn)，直徑為正方體的棱長(zhǎng)，球心到平面

MNPQ的距離為底面對(duì)角線長(zhǎng)的四分之一，從而可得內(nèi)切球被平面MNPQ所截得的截面小圓的半徑，從而

可得所求比值.

【詳解】解：如圖，易知正方體ABCO-AAGA的內(nèi)切球的球心。為。產(chǎn)的中點(diǎn)，

設(shè)球0切上下底面中心于點(diǎn)E,F,則球O的半徑R=f，

又易知球心0到平面MN尸Q的距離等于E到平面例NPQ的距離,

設(shè)EG交QP于點(diǎn)G,則易證EG,平面MNPQ,

球心O到平面MNPQ的距離d=EG=-EQ,

設(shè)正方體ABC。-ABCQ的棱長(zhǎng)為2&，

則R=，EF=&,d=EG=-EC.=1,

22

二球O被平面MN尸。所截的小圓半徑r=叱才=^^二i=l，

...球。被平面MN?。所截的小圓面積為兀產(chǎn)=兀，

又易知MW=2,PN=2應(yīng)，

：.該正方體被平面MNPQ所截得的截面面積為2x0=4夜，

/.該正方體及其內(nèi)切球被平面MNP。所截得的截面面積之比為4立:兀,

故選：A

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知球。是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-MCQ的內(nèi)切球，則平面4CR截球。的截面面積為（）

警B/C屋D.與

AB

【答案】C

【分析】畫(huà)出平面AC。截球。的截面的平面圖，由正方體棱長(zhǎng)和銳角三角函數(shù)，可求出內(nèi)切圓的半徑，

進(jìn)而可求得截面面積.

（詳解】平面ACR截球。的截面為△ACD,的內(nèi)切圓,

AC=CZ)[=AD]=拒..?.內(nèi)切圓半徑r=tan30??.截面面積為：S=nr1~^'~=~'

1132666

故選：C.

2.在正四棱錐P-ABC。中，AB=4,PA=2#,則平面截四棱錐P-ABCD外接球的截面面積是（）

A6也?？?6萬(wàn)C”

A.-------B.-----C.127rD.36萬(wàn)

55

［答案］B

【1析】先作出輔助線，求出外接球半徑，求出球心到截面的距離，從而得到截面圓的半徑，求出截面的

面積.

【詳解】如圖，作尸。，平面ABCD，垂足為。'，則。'是正方形ABCD外接圓的圓心，從而正四棱錐

P-他8外接球的球心0在PO'上，

取棱AB的中點(diǎn)E,連接OROE,ORPE,作O〃J_PE,垂足為由題中數(shù)據(jù)可得

O'D=2V2,0'E=2,PE=2A/5,0'P=4,設(shè)四棱錐P-ABC。外接球的半徑為R,則

R2=O'D2+O'O2=OP2=（O/-O'。）?,

,故*竽

即&=8+O'O2=（4-Ob），

故所求截面圓的面積是無(wú)

3.已知點(diǎn)P、A、B、C是球。的球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB、PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為26，M是AP的中點(diǎn)，

記過(guò)點(diǎn)M與平面ABC平行的平面a,則球。被平面a截得的截面面積等于（）

95

A.5兀B.4兀C.一兀D.-71

44

【答案】A

【分析】根據(jù)以、PB、PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為2&可求球0的半徑.連接0尸，交平面ABC于點(diǎn)E,交平

面a于點(diǎn)F,根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可求0E、PE、PF,從而可求。尸，于是可求截面圓的半徑和面積.

【詳解】???以、/>8、PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為26，...球。為棱長(zhǎng)是26的正方體的外接球，設(shè)球的半徑

為R,則R=gxKx2G=3.連接。P,交平面A8C于點(diǎn)E,交平面a于點(diǎn)F,則。尸為正方體體對(duì)角線的

一半，則易證平面ABC,則。尸，平面a,OP=3,易知△4BC為等邊三角形，E為AABC的中心，CE=

—x—x2瓜=2^2?

32

OE=doc2-CE，=舊-（20）2=］,PE=OP-OE=3-1=2,是AP的中點(diǎn)，平面ABC〃平面a,二

PF=；PE=1,OF=2,即球心O到平面a的距離為2,.?.截面圓的半徑r=萬(wàn)4=?,

二截面面積為5兀.故選:

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。一02,過(guò)直線002的平面截該圓柱所得的截面是面積為12的正

方形，則該圓柱的體積為（）

A.12#B.12兀C.6島D.

【答案】C

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意知該圓柱的高和底面直徑是26，

所以該圓柱的體積為V=Sh=Tt（73）2-2+=6石7i.

故選：C.

2.已知正四面體的棱長(zhǎng)為。，E為CD上一點(diǎn)、,且CE:EO=2:1,則截面/WE的面積是（)

A.a--2aRB.—夜a2「C.-折--a2Dc.-M--a2

421212

【答案】D

【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.

所以在正三角形ACD中，由余弦定理可知：AE2=AC2+CE2-2AC-CE-cosZACD

=a2+（y）2-2a-y-l=因?yàn)椤鰾CD和“AC￡）都是正三角形，

所以乙4￡吠=48￡>￡,4￡>=8￡>,。E=?！?所以ADE^BDE,所以的=AE,

所以..ABE是等腰三角形，取AB中點(diǎn)尸，則

22

所以=12/,,s=-ABEF=-a-J—a=—a

9UJ36f22V3612

3.如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何

體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（）

A.(2)(5)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(5)

［答案］D

【2■析】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.

【詳解】當(dāng)截面ABC。如下圖為軸截面時(shí)，截面圖形如(I)所示；

當(dāng)截面A3。如下圖不為軸截面時(shí)，截面圖形如(5)所示，下側(cè)為拋物線的形狀;

故選：D

4.如圖，過(guò)球。的一條半徑。尸的中點(diǎn)。一作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的半徑為G