高中數(shù)學必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓練

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓練(15)

27r

1.如圖所示在四棱錐P—4BCD中POLAO,底面48。是邊長為2的菱形，LADC一，點F

為棱PO的中點.

(1)若E是8c的中點，證明：CF〃平面PAE；

(2)若BFJ.AC,三棱錐P-BAF的體積為或，求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=AB=2BC=2,AP=AC,BP=3BC.

(1)求證：平面P40JL平面4BCD;

(2)若4PAD為銳角，且PA與平面A5CD所成角的正切值為2,求二面角4-PB-D的余弦值.

3.在四棱錐P—ABCD中，PAJ_平面ABCD,AD//BC,BC1CD,PAAD=2,CD=1,BC=3,

點M,N在線段BC上，BM=2MN=1,ANCMD=E,。為線段尸8上的一點。

(1)求證：MD，平面PAN;

(2)若平面MQA與平面PAN所成銳角的余弦值為右求直線MQ與平面ABCD所成角的正弦值。

4.如圖所示，AB為圓柱的底面直徑，BBi，CCi為圓柱的母線，點C,g,。分別為加，力湎,

441的中點，AA1=2AC.

(1)若CM±BD,垂足為證明：CM1BG：

(2)求二面角Q-BD-的大小.

5.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PBC1平面4BCD,/PBC=9(T,4D//BC,N4BC=90°,2AB

2AD=V2CD=BC=2.

(1)求證:CD1平面PBD;

(2)若直線PD與底面ABC。所成的角的正切值為2魚，求二面角B-PC-。的正切值.

6.如圖，AABC中，AB=BC=4,/.ABC=90°,E,尸分別為A8,4c邊的中點，以E尸為折痕

把44EF折起，使點A到達點P的位置，且PB=BE.

(1)證明：BC1平面PBE；

(2)求平面PBE與平面PC尸所成銳二面角的余弦值.

如圖,三棱柱中，出平面

7.414CG41，N&44=60°,AB=AAt=1,AC=2.

R

證明：

(1)AAr1BrC；

(2)求二面角4-BiC-8的余弦值.

8.如圖，在三棱錐P—ABC中，PAIAB,PA1BC,ABJ.BC,PA=AB=BC=2,。為線段

AC的中點，E為線段PC上一點.

(1)求證：PA1BD：

(2)求證：平面BDE_L平面PAC；

⑶當P4〃平面時，求三棱錐E-BCD的體積.

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，半徑為2.

(1)設圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；

(2)設P0=4,。4、02是底面半徑，且4408=90。，M為線段A3的中點,

如圖.求異面直線PM與08所成的角的余弦值.

10.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB1PA,AB//CD,且PB=BC=BD=%CD=2AB=2vL

/.PAD=120°.

(I)求證：平面P4DJL平面PCD-.

(n)求直線P。與平面P8C所成的角的正弦值.

11.如圖，四棱錐P-4BC0的底面為正方形,側棱P4底面ABCD,且=AD=2,E、F、H分

別是線段CO,PD,AB的中點，求證:

(1)PB〃平面EFH：

(2)PD，平面AHF.

12.圖1是由正方形ABCDRt△ABE,Rt△COF組成的一個等腰梯形，其中AB=2,將4ABE、4CDF

分別沿A8,CQ折起使得E與尸重合，如圖2.

A

B-C

BC圖2

圖1

(1)設平面A8EC平面CDE=，，證明：1//CD;

(2)若二面角A-BE-D的余弦值為?，求4E長.

13.圖1是由正方形ABC。，Rt4ABE,Rt△CDF組成的一個等腰梯形，其中AB=2,將△4BE、

△CCF分別沿48,C。折起使得E與尸重合，如圖2.

(1)設平面ABED平面COE=Z,證明：1//CD-,

(2)若二面角4—BE—。的余弦值為?，求AE長.

14.已知正方形ABED的邊長為近，。為兩條對角線的交點，如圖所示，將RtABED沿8。所在的

直線折起，使得點E移至點C,滿足4B=4C.

(1)求四面體A8CZ)的體積V；

(2)請計算:

①直線BC與AD所成角的大小：

②直線BC與平面ACD所成的角的大小.

c

15.如圖，在三棱柱A8C-4B1G中，AC=BC=AB=AAX=AXE,平面ABB141平面ABC,點

E,尸分別為AB,的中點.

(1)證明：平面BC/〃平面&CE.

(2)求AB1與平面&CE所成角的正弦值.

16.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是菱形乙4BC=60。,P4=AB=2,PC=PB=2夜，點E為PC

的中點.

(1)證明：BD1平面PAC.

(2)求二面角E-BD-P的余弦值.

17.如圖，圓。為Rtz\40C的外接圓，NADC為直角，B為圓上異于A,C,力點的動點，P41平面

ABCD,直線PO與平面ABC。所成角為45。，E為線段AO上一點.

(1)求證：平面PBC_L平面PAB；

(2)當40=0C=4,BC//AD,0E=3E4時，求二面角B-PC-E的余弦值.

18.如圖所示多面體的底面ABC。是菱形，LABC=120°,PAABCD,QC_L平面ABC。.

(I)求證：8Q〃平面PAD；

(II)若CQ=[CB==1,求三棱錐Q-40P的體積.

19.如圖，在長方體4BCD-A/iCiCi中，AB=2AAr,點E在棱力

上，且4/1=4&E,點F在棱A%上.

(1)求證：平面AEF1平面為BF；

(2)若BE與平面A41D1。所成的角為45。，求二面角F—4E-8的余弦值.

20.已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=1,三棱錐Q—ABC中△QAB,△QBC,△QCA為全等

的等邊三角形，QA=6

(I)證明：PQ1平面ABC；

(H)求直線QB與平面APQ所成角的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：（1）證明：取PA的中點Q,連結EQ、FQ,

由題意，F(xiàn)Q"AD旦FQ:AO,CE〃/W且C'E-

故CE〃FQ且C'EFQ,

所以四邊形CEQF為平行四邊形，

所以CF〃EQ,

又CTg平面P4E,EQU平面PAE,

所以CF〃平面PAE；

(2片?底面ABCD是邊長為2的菱形，所以,

-,DF±AC'BFCBD=B,BF,BDBDF,

故4cL平面BDF,

因為PDu平面BDF,則PDLAC,

又PD1AD,.4OnAC-.4,AD,ACu平面ABCD,

所以PD_L平面ABCQ,

取A8中點M,以。為坐標原點，以。M,DC,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

設FD=a>貝(JVP-UAF=VD-BAF=VF-UAD>即,

1vA

又SARAn—X2X2X——=\/3，即?=>

XD(0,0,0),RUOvli)，C(0,2,0),B(伍IQ),4(伍-1,0).

可得釬.-\石)，C^=(v/3,-l,0)，

設平面F8C的一個法向量為萬(J,.//.:).

<nJ-F(?=2y—>/6z=0

,nt-CZl=\/3x—y=0

取平面FBC的一個法向量為示=(1.四、用)；

設直線AF與平面BCF所成的角為。，可(v<j.1,-V6)，

.?,一百?同筋|2瓜瓜

貝Usin0=cos<77l,F4>=---=—；=-==.

同||耳<t|v^-\/IO5

即直線AF與平面BCF所成的角的正弦值為匹.

5

解析：本題考查了線面平行的判定，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力和運算能力，屬于

中檔題.

(1)取PA的中點Q,連結EQ、FQ,證明四邊形CEQF為平行四邊形，即得到CF〃EQ,然后結合線

面平行的判定證明即可；

(2)先證明AC_L平面BDF,得到PDLAC.再結合PC1AD,即可證明PD，平面ABCD,然后取AB

中點M,以。為坐標原點，以￡>M,DC,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，再根據

三棱錐P-ZL1F的體積為夜，求出P。，進而用空間向量求出直線AF與平面8C尸所成的角的正弦

值即可.

2.答案：（1）證明：在直角梯形ABC￡>中，???BC=1,AB=2,AB1BC,

?1?AC=V5.即4P=AC=遍，BP=3BC=3,

???BA2+AP2=BP2,：.BA1AP.

5LAD//BC,.-.BAA.AD,

又4PC\AD=A,BA_L平面PAD.

vBAu平面ABCD,

.??平面PAD1平面ABCD.

(2)解：如圖，過點？作P014D交AQ于點O,連接。C,

由(1)可知P。I5]2?ABCD,

貝此PA。為PA與平面ABCD所成的角，

:.tanz.PAO=2.

又4P=V5>>'-AO=1.PO=2.

:,AO[BC,四邊形A8CO為矩形，

AOC1AD.

H

以。為坐標原點，OC,OD,0P所在直線分別為無軸，)'軸，無軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

則4(0,-1,0),P(0,0,2),0(0,1,0),5(2,-1,0)

AB=(2,0,0),AP=(0,1)2),

設平面APB的法向量為記=(x,y,z),

n-AB=0,(2x=0

n-AP=0?y+2z=0

取記=(0,2,-1),

同理可得平面尸8。的一個法向量為沆=(2,2,1),cos(記，/==g

由圖可知二面角4-PB-。的平面角為銳角，

二二面角4-PB-D的余弦值為

解析：

(1)利用平面與平面垂直的判定定理求證即可；

(2)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量法求二面角即可.

3.答案：解：(1)證明：因為J■平面A8CZ),MDu平面A8CD,所以PA1MD,

因為BC=3,BM=2MN=1,所以MN=g,MC=2,

所以4O〃BC,BCLCD,AD=MC=2,所以四邊形AMCQ為矩形，

在RtA/IMN和Rt/MC。中，因為也="=之所以/4MN與/MC。相似，

MCCD2

所以/MAN=Z.DMC,/-MAN+4ANM=4NMD+Z.ANM=p

所以AN1MD,

因為ANnPA=4,AN、P4u平面PAN,

所以MD1平面PAN；

(2)由(1)知：AMLAD,以A為坐標原點，以AM為x軸，以AO為)，軸，以AP為z軸，建立空間

直角坐標系，如圖所示.

所以P(0,0,2),4(0,0,0),M(l,0,0),0(0,2,0),B(l,-l,0),AM=(1,0,0),

設Q(x,y,z),PQ=APB(0<i<1)，

則(x,y,z-2)=A(l,-1,-2),

所以Q(2,—A,2—22),AQ=(2,—A,2—2A),

設平面MQA的法向量為元=(a"c),

(AQ-n=0fAG-Ab+(2—2A)c=0

(奇.元=0G=0'

令b=1得記=(0/，4),

Z-ZA

因為MDJ?平面PAN,所以平面PAN的法向量為而=(-1,2,0),

因為平面MQA與平面PAN所成銳二面角。的余弦值為土

A底而|24

…k可F

5,

解得;1=9,即QG，-”)，所以麗=(一2一/1),

因為平面ABCD的法向量為存=(0,0,2),

設直線MQ與平面ABCD所成角為a,

所以直線MQ與平面ABCD所成角的正弦值為

sina=cos<MQ，而>=橙篇

_2_四

6點+%13'

解析：本題考查了線面垂直的判定和利用空間向量求線面、面面的夾角，考查了空間想象能力與計

算能力，中檔題.

(1)因為PAJ"平面ABCD,所以P41MD,易得2MMN與4MCD相似，所以NM4N=乙DMC,乙MAN+

^ANM=^NMD+AANM=p所以力N_LMO,所以MO_L平面PAN得證;

(2)建立空間直角坐標系，設Q(%y,z),PQ=APB(0<A<1)，得Q(/l,-尢2-2/1),得出平面MQ4

的法向量元，由85。=糯^=點得出；I的值，得出旗和平面A8CD的法向量為赤，由空間向量求

解即可.

4.答案：解：(1)由題意，得4C=BC=4iG=BiG，4C_L8C,

又A41BC,AA1f}AC=A,AA1,ACu平面的⑺，

所以BCJL平面GCD,

又CiDu平面CiCD,

所以BC1￡D,

又Aa=2AC,AAr1AC,點。為棱A4的中點，

所以ZADG=45°,Z/1DC=45°,則G。1DC,

又BCnCD=C,BC,CDu平面BCD,

所以_L平面BCD,

又CMu平面BCD,

所以G。1CM,

又因為CM1BD&DCBD=D,C]D,BDu平面BDC「

所以CM，平面BDC],

又BCiu平面BDCi，

所以CM1Bg;

(2)設4c=1,

因為C4CB,CCi兩兩垂直，

以C為坐標原點，刀，下，鬲的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz,

如圖所示：

則B(0,1,0),D(1,0,1),當(0,1,2),G(0,0,2),

所以西=(0,-l,2),FD=

設平面8。。1的一個法向量為沅=(xi.yi.Zi),

貝膽匹=。,所以1”2%=y

令Zi=1,得記=(1,2,1),

設平面的一個法向量為記=(%2，y2，Z2)，

則E需:所喏一箕”：

(71?B1D=0一一Z2-U

令%2=1，得記=(l,L0)，

設二面角G-8D-4的平面角為仇

則即例=黯=蒜=今

由圖可知，二面角G-BD-Bi為銳角，

所以二面角6-8。-B］的大小為30。.

解析：本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質、利用空間向量求二面角，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的判定，證出CM1平面BOCi，即可證出結果；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面BDC］的一個法向量為沅和平面/BO的一個法向量為五，代入公式

|cos0|=-^,即可求出結果.

5.答案:解:

(1)證明：在四邊形ABC。中，AD//BC,￡.ABC=9O°,2/1B=2AD=y/2CD=BC，

所以團480,12BC。都為等腰直角三角形，即CO_LDB,

又因為平面PBC平面力BCC/PBC=90°,平面PBCC平面4BCZ)=BC,

所以直線PB，平面ABCD,又CDu平面ABCD

所以PB1CD,又PBCBD=B,所以CDJ■平面PBD.

(2)以B為原點，BC,BP,B4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

D,

/B

BC=2,則,AB=1,CD=BD=V2,

因為直線PD與底面ABCD所成的角的正切值為2&，所以在RtAPZJD中,

PBPB

tanZ.PDB=所以PB=4,

而二0

設平面PBC和平面PDC法向量分為?n,n,易知可取m=(0,0,1),

因為定=(2,-4,0),CD=(-1.0,1)

所以1里?三=°解得記=(2,1,2)

(DC?元=0

設所求二面角為仇

所以8$。=晶=|,所以tan8=在

17nli川32

解析：本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、空間想象能力等核心素養(yǎng)，是中檔題.

(1)推導出CD1DB,從而直線PB1平面A8CD,由此能證明PB1CD,即可求解；

(2)以3為原點，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面PDC法

向量犯n,即可求得二面角B-PC-。的正切值.

6.答案：(1)證明："E,尸分別為AB,AC邊的中點，

EF//BC,

■：/.ABC=90°,

EF1.BE,EF1PE,

又；BEQPE=E,BE、PEu平面PBE,

EF，平面PBE,

???EF//BC,

BC1平面PBE；

(2)解：取BE的中點O,連接尸。，

由(1)知BC_L平面PBE,8Cu平面BCFE,

平面PBE，平面BCFE,

,:PB=BE=PE,

：.P01BE,

又?:POu平面PBE,平面PBEC平面BCFE=BE,

P0，平面BCFE,

過。作OM〃BC交C尸于M,分別以OB,OM,0P所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則P(0,0,V3)，C(l,4,0),F(-l,2,0).

PC=(1,4,-V3),~PF=(-1,2,-V3).

設平面PCF的法向量為沆=(x,y,z),

rn-PC=x+4y—V3z=0

由,取y—1,得沅—(-1,1.V3).

,m-PF=—x+2y—V3z=0

結合圖可知元=(0/，0)為平面PBE的一個法向量,

‘一一、m'n

???cos<m,n>=|一“一I

_-lx0+lxi+\Qx0_V5

J(-l)Z+12+(6)25，

平面P8E與平面PC尸所成銳二面角的余弦值

解析：本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解

二面角的余弦值，是中檔題.

(1)由E,尸分別為4B,AC邊的中點，可得E/7/BC,由已知結合線面垂直的判定可得EF，平面PBE,

從而得到BC，平面PBE；

(2)取8E的中點0,連接PO,由已知證明P。J_平面BCFE,過。作。M〃BC交C尸于M,分別以

OB,OM,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面PCF與平面P8E的一個

法向量，即可求解.

22

7.答案：(1)證明：連接4傳，在△24C中，AiCf=AA^4-4C-2AA1-AC-IDSZ.A\AC,

2222

BP/11C=I+2-2x1x2xcos60°=3,+AAj=AC,AAr

乂?1面力CCi^i，u面力CC]Ai，1AA1,

而&BiC&C=4,&Cu平面Aac,

AAr_L面&BiC,而B]Cu面&BiC,

??.AA11BC

(2)解：如圖，以公為原點，羽，A^C，冗瓦的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系4-xyz.

設元=(Xi，%,Zi)為平面AB]。的法向量，m=(>2，y2，Z2)為平面BB]C的法向量,

則4式0,0,0),4(1,0,0),C(0,V3,0).Bi(0,0,1),B(l,0,1),

麗=(-4,0,1)，AC=(-1,73,0).西=(-1,0,0),B^C=(0,V3,-l).

<：&>UH"

令/=V3,則%=1,zr=V3?n=(V3,1,V3),

｛募0…

令力=1，則Z2=V3,m=(0,1,回

nm_4_2\[7

，cos(n,m)=

|n||m|-V7X2-

???二面角4-B.C-B的平面角的余弦值為好.

解析：本題考查線面垂直的判定與性質，二面角，利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，考查

邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

(1)通過利用余弦定理計算可得441?1?4(?,再由線垂直的性質可得&&從而判斷?MlJL面

AyB^C,而BiCu面力i&C,可得；

(2)以公為原點，惡了，碇，五瓦的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標系4-xyz,利用空間向量求的結論.

8.答案：(1)證明：由H4_L4B,PA1BC,

ABu平面ABC,BCu平面ABC,S.ABCtBC=B,

可得PA_L平面ABC,

由8。u平面ABC,可得241BD；

(2)證明：由4B=BC,。為線段AC的中點，

可得BD1AC,

由PA_L平面ABC,PAu平面PAC,

可得平面P4C_L平面ABC,

又平面PACn平面力BC=AC,

BDu平面ABC,且8D1AC,

即有BD1平面PAC.又BOu平面BDE,

可得平面BOE1平面PAC.

(3)解：PA〃平面BOE,PAu平面PAC,

且平面PACn平面8DE=DE,

可得PA〃DE,

又。為AC的中點，

可得￡為PC的中點，且DE=^P4=1,

由24，平面ABC,可得DE，平面ABC,

可得SABDC=2SAABC=2X2X2X^=1，

則三棱錐E-BCD的體積為^DE-SABDC=[x1x1=[.

解析：本題考查空間的線線、線面和面面的位置關系，三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力和

推理能力，屬于中檔題.

(1)運用線面垂直的判定定理可得PA_L平面4BC,再由性質定理即可得證；

(2)要證平面BDE，平面PAC,可證8D1平面PAC,由(1)運用面面垂直的判定定理可得平面P4C1平

面ABC,再由等腰三角形的性質可得BD1AC,運用面面垂直的性質定理和判定定理，即可得證；

(3)由線面平行的性質定理可得運用中位線定理，可得。E的長，以及。E_L平面ABC,求

得三角形BCD的面積，運用三棱錐的體積公式計算即可得到所求值.

9.答案：解：(I)、?圓錐的頂點為P,底面圓心為0,半徑為2,圓錐的母線長為4,

二圓錐的體積V=^xirxr2xh.

1______

=-x7Tx22xV42-22

8V37T

3：

(2)???P0=4,OA,0B是底面半徑，且N40B=90。，

M為線段AB的中點，

???以。為原點，04為x軸，。8為)，軸，0P為z軸，

建立空間直角坐標系，

P(0,0,4),4(2,0,0),B(0,2,0),

0),0(0,0,0),

~PM=(1J，-4),OB=(0,2,0),

設異面直線PM與03所成的角為仇

|麗函_2_y/2

則cos。

\PM\\OB\-V18-2-6

.?屏面直線PM與。8所成的角的余弦值筆.

解析：本題考查圓錐體積的求法，考查異面直線所成角的求法，考查空間向量的數(shù)量積，是中檔題.

(1)由圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2,圓錐的母線長為4,能求出圓錐的體積；

(2)以。為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異

面直線PM與OB所成的角.

10.答案：證明：(/)取CD的中點E,連接BE.

BC=BD,E為C。中點，BE_LCD,

又AB=^CD=DE,

z，\

二四邊形ABE。是矩形,

AB1AD,

又ZBJ.P4PAu平面PAO,ADciF?PAD,PAf}AD=A,

ABJ■平面PAD.

AB11CD,

X

CD_L平面PAD,又CDu平面PCD,

平面PAC工平面PCD.

(〃)以A為原點，AB為x軸，AO為)，軸，以平面ABC。過點A的垂線為z軸建立空間直角坐標角系

A-xyz,如圖所示：

?:PB=BD=&,AB=V2,AB1PA,AB1AD,

???PA=AD=2.

P(0,-l,V3).D(0,2,0),B(我,0,0),C(2V2,2,0),

二麗=(0,3,-V3),BP=(-A-1,V3)-BC=(V2,2,0).

設平面P8C的法向量元=(x,y,z),

則伊.匣=0,

說?BP=0

Az=o,取"=五'得元=(也T，爭，

前五n-P?前D__4_=_yV/10

COS<71)|n||PD|Iio5?

直線PO與平面P8C所成的角的正弦值為T.

解析：本題考查了面面垂直的性質，空間向量的應用與空間角的計算，屬于中檔題.

(/)取CQ的中點E,連接BE.可證四邊形ABEQ是矩形，故而結合4B1PD得出ABJ■平面

PAD,又得出C。_L平面PA。，于是平面PAOJ_平面PCD；

(〃)以A為原點建立坐標系，求出而和平面PBC的法向量元，則直線尸。與平面P8C所成的角的正

弦值為|cos<元，RD>|.

11.答案：證明：H分別是線段PA,AB的中點，

EH//PB.卜

又EHu平面EFH,PB任平面EFH,/1

APB〃平面EFH./I\

(2)丁F為「。的中點，且/>4=4。，/!\\

??.PDJ.AF,優(yōu)\\/

又???P4J■底面ABC。，BAu底面ABC。，/V/

AB1PA.

又???四邊形ABC。為正方形，

???ABLAD.

51."PACyAD=A,

AB1平面PAD.

又PDu平面PAD,

..AB1PD.

又???ABnAF=A,

PD，平面AHF.

解析：(1)要證PB〃平面EF”，須證PB平行平面EF”內的一條直線即可.

(2)要證P0，平面AHF,須證垂直面內兩條相交直線即可.

本題考查空間直線與平面之間的位置關系，平面與平面之間的位置關系，是中檔題.

12.答案：(1)證明：因為C。〃/IB,4Bu平面A8E,C'。笈平面ABE,

所以CD〃平面43E,

又CDu平面ECD,平面ABEn平面EC。=I,所以〃/CO,

(2)解：因為4B〃CD,CD1DE,所以AB_LDE,

5LABLAE,AEQDE=E,4Eu平面A￡＞E,OEu平面AQE,

所以48_1平面ADE,

因為ABu平面ABCD,所以平面ABC。1平面AED,

過E作EO14。于點O,則。是AO的中點，

因為平面4BCDn平面4ED=AD,EOu平面ADE,

所以E01平面ABCQ,

以。為原點，與A8平行的直線為x軸，。。所在直線為y軸，OE所在直線為z軸

建立空間直角坐標系。-xyz,

設EO=/i,則4(0,—1,0),0(0,1,0),5(2,-1,0),E(0,0,h),

AB=(2,0,0),荏=(0,1,h),

設平面48E的法向量為方={x,y,z),

則器即際M'取*=dy=h，則z=-l

所以平面ABE的一個法向量4=(0,/z,-1)

同理可求得平面8QE的一個法向量為芯=(M，1),

所以18s＜河，石＞1=鼎=而繇布=g解得仁2或爭

檢驗發(fā)現(xiàn)h=立時二面角A-BE-。的平面角為鈍角，

3

所以h=2,此時4E=V5.

解析：本題考查線面平行的判定定理與性質定理，考查利用空間向量解決二面角問題，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的判定定理得出CD〃平面ABE,再由線面平行的性質定理得出證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，由二面角4-BE-D的余弦值為?求出AE的長即可.

13.答案：(1)證明：因為CD〃4B,ABABE,C'。笈平面ME,

所以CD〃平面ABE,

又CDu平面ECO,平面ABEC平面EC。=1,所以〃/CD,

(2)解：因為2B〃CD,CD1DE,所以ABIDE,

又4B_L4E,AEQDE=E,4Eu平面AQE,DEc5f?ADE,

所以力BI5??ADE,

因為ABu平面ABCD,所以平面ABC。，平面AED,

過E作EO_LAD于點0,則。是AD的中點，

因為平面4BCDn平面4ED=AD,E。u平面AOE,

所以E。1平面A8CD,

以。為原點，與AB平行的直線為x軸，。。所在直線為y軸，OE所在直線為z軸

建立空間直角坐標系。-xyz,

設E0=九，則4(0,—1,0),0(0,1,0),5(2,-1,0),E(0,0,h),

AB=(2,0，0),荏=(0,1,h),

設平面ABE的法向量為近=(x,y,z),

即｛jliL0，取％=O.y=h，則z--1

所以平面ABE的一個法向量苕=(0,人，-1)

同理可求得平面8QE的一個法向量為芯=(M，1),

所以|cos＜瓦，石＞|=NT解得h=2或冬

|nj|-|nj|—Vh2+l-V2/i2+l

檢驗發(fā)現(xiàn)h=立時二面角A-BE-D的平面角為鈍角，

3

所以八=2,此時AE=V5.

解析：本題考查線面平行的判定定理與性質定理，考查利用空間向量解決二面角問題，屬于中檔題.

⑴利用線面垂直的判定定理得出CD〃平面ABE,再由面面平行的性質定理得出證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，由二面角4-BE-D的余弦值為?求出AE的長即可.

14.答案：解：(1)由已知可得,AO=CO=1，AB=AC=＞/2,1Z

所以4。2+(；。2=4。2,故C。_L4。，

又C01BZ),BDC}AO=0,AB,力。u平面ABD,//\

所以CO1平面ABD,--1-V~—^rC

故C。是三棱錐C一ABD的高，/

所以三棱錐C一4BD的體積V=1?ShABD.CO=1X|Xv

(煙2xl=i；

(2)分別以OA,OB,OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則4(1,0,0),0),C(0,0,1),0(0,-1,0),

故睨=(0,-1,1),AD=(-l,-l,0),^C=(-1,0,1)-

①際而＞|=尉=康/

所以線BC與A。所成角的大小為60。；

②設平面ACD的法向量為元=(x,y,z),

則有了亞=0,即尸，

(記?4C=0J+z=0

令％=1,則y=-l,z=1,故元=(1,

所以際＜元元＞1=繇=嬴=爭

故直線BC與平面ACD所成的角的大小為arcsin漁.

3

解析：(1)利用勾股定理證明C。結合C。證明CO_L平面A8D,從而CO是三棱錐C-力BD

的高，由錐體的體積公式求解即可；

(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標.

①利用異面直線所成角的計算公式求解即可；

②利用待定系數(shù)法求出平面4CZ)的法向量，然后由線面角的計算公式求解即可.

本題考查了錐體體積的求解以及線線角與線面角的求解，在求解有關空間角問題的時候，一般會建

立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

15.答案：(1)證明：連接EF,易證所以四邊形EFC】C是平行四邊形，

所以C/〃CE,C[FC平面&CE,CEu平面&CE,從而C/〃平面&CE.

同理可證4E〃BF,BFC平面&CE,&Eu平面&CE,從而BF〃平面&CE.

又BFnGF=F,BF,GFu平面BGF

故平面BQF〃平面&CE.

(2)解：取4/的中點。，連接DE,

因為441=E&,又A&FE是平行四邊形，所以DEL力B,

又平面1平面ABC,所以DE_L平面ABC.

如圖，分別以赤，EB，前的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系E-xyz.

不妨設AB=2,則4(0,-1,0),Bi(O,|,苧)，E(0,0,0),C(-V3,0,0),4(0,一3誓).

設記=(%,%2)是平面41磯7的法向量，

EC=(-73,0,0).西t=⑼一土苧)，

沆?前=0,得x=0,

由

m?EAX=0,一戶+冒=6

令、=反，得記=(0,V15,1).

設力當與平面&EC所成角為氏

因為福=(0,|,苧)，

55/15,715l

所以sind=|cos(AB^,m)\=?二——?

1'1714xV108

解析：本題考查了面面平行的判定和利用空間向量求線面的夾角，是中檔題.

(1)分別得出GF//平面41CE和8/〃平面&CE,由面面平行的判斷即可得證；

(2)建立空間直角坐標系，得出平面&EC的法向量和福，由空間向量求解即可.

16.答案：(1)證明：因為底面ABCD是菱形，所以BO14C，又=60°,所以4c=48.

因為PA=AB=AC=2,PC=PB=2VL^^,PA2+AB2=PB2,PA2+AC2=PC2,

所以PA1AC,又4Bu平面ABC。，4Cu平面ABCQ,ABCtAC=A,

所以PA_L平面ABC。,PA1BD,

5LBD1AC,ACPAC,PAu平面PAC,PAnAC=A,

所以BD_L平面PAC.

(2)解：設與AC交于點0,因為0,E分別為AC,PC的中點，所以。E〃P4,

所以0E，平面ABC。,于是分別以而，前，癥的方向為陽y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐

標系。一xyz,

則8(0,一遮,0),(7(1,0,0)/(-1,0,2),赤=(0,-V3,0),OP=(-1,0,2)

設元=(x,y,z)是平面PB。的法向量，由更,竺=°,令x=2,得記=(2,0,1),

(元?OP=0

因為AC1BD,OE1平面ABC。,所以AC1OE,

從而4C1平面BDE,則元=(1,0,0)為平面BDE的一個法向量.

設二面角E—BO-P的平面角為8,易知它是銳角，

解析：本題考查線面垂直的判定和性質，以及利用空間向量求解二面角的余弦值，考查運算能力及

邏輯推理能力，屬于中檔題.

(1)先證P4AB,PA_LAC,可得P>LL3D，進一步可證BD1平面P4c.

(2)建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用二面角公式求解.

17.答案：(1)證明：P4J■平面ABC。，所以PA1BC,f

因為4c為圓。直徑，所以BC14B,

又因為4BCAP=4所以BC_L平面PAB,//

又因為BCu平面PBC,所以平面PBC1平面PAB.

(2)解：PA1平面ABCD,所以PA1AD,APDA=45。，

又因為A0=0C=4,BC//AD,

所以四邊形ABCD為邊長為4的正方形，

所以AB、AD,AP兩兩垂直，

所以建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意得各點坐標如下：

4(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),￡)(0,4,0),E(0,l,0),P(0,0,4),

CP=(-4,-4,4).CB=(0,-4,0)?CE=(-4,-3,0).

設平面PBC與平面PCE法向量分別為沆=(x,y,z),n=(u,v,w),

(CP-m-4x-4y+4z=0.___八八

,z—1,TH—(1,0,1)，

(CB-m-4y=0

(GP-n=-4u-4v+4w=0t令口=3,H=(3>_4)_1,)(

(CE-n=-4u—3v=0

設二面角8-PC-E的大小為仇

所以皿。=器=冊=魯.

故二面角B-PC-E的余弦值為叵.

13

解析：(1)根據平面與平面垂直的判定定理證明；(2)用向量數(shù)量積求二面角余弦值.

本題考查了直線與平面的位置關系，考查了二面角的計算問題，屬于中檔題.

18.答案：(I)證明：因為PA1平面ABC。，QCABCD,

所以PA//QC.

又PAu平面ADP,QC仁平面ADP,

所以QC〃平面AOP.

又四邊形ABCO為菱形，

所以BC〃4D.

又AOu平面ADP,BCC平面ADP,

所以BC〃平面ADP.

又BCCQC=C,BCu平面BCQ,CQu平面8C。，

所以平面BCQ//平面ADP.

因為BQu平面BCQ,

所以BQ〃平面PAD.

（II）解：由（I）可知，BQ〃平面AOP,

所以點Q到平面ADP的距離等于點B到平面AOP的距離.

因為四邊形A8CD是邊長為2的菱形，NBA。=60。，

所以△力BD是邊長為2的等邊三角形，

所以8E14D,且BE=71

PA1平面ABCD,BEu平面ABCD,

PA1BE,

又PAn4D=4,PAADP,ADu平面AOP,

所以BE1平面4OP.

所以點。到平面AQP的距離即為BE的長，

所以%-4DP=,XS—DPXBE

=ix-x2x3xV3=V3.

32

解析：本題考查空間線面的位置關系、空間幾何體的表面積與體枳，為中檔題.

（I）先證平面BCQ〃平面ADP,由此可得BQ〃平面PAD.

（口）取4。的中點￡連接BE,BD,可證BE_L平面AOP,^Q-ADP=]XSA40PxBE,由此可解.

19.答案：（1）證明：設直線AE與交于點P,

因為48=2441，A1B1=AB=4&E,

所以慢="1=工，

故4AAXB,

所以4AiBA=NEA4i，

又NE/UI+4PAB=90°,所以乙4/4+Z.PAB=90°,

所以N4P8=90。，即AIB_L4E,

又在長方體中，&F_L平面4BB遇1，且4Eu平面488遇1，

所以4F1AE,

又4iFn