高中數(shù)學(xué) 8.2余弦定理活頁訓(xùn)練 湘教版必修4

8.2余弦定理雙基達(dá)標(biāo)(限時(shí)20分鐘)1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂點(diǎn)的余弦值為()．A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)解析設(shè)等腰三角形的底邊長為a，頂角為θ，則腰長為2a.由余弦定理得θ＝eq\f(4a2＋4a2－a2,8a2)＝eq\f(7,8)，故選D.答案D2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，則c的值為 ()．A．4 B．8 C．4或8 D解析由3a＝eq\r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq\r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8答案C3．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則C的大小為 ()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).答案B4．在△ABC中，若sinA∶sinB：sinC＝3∶2∶4，則cosC＝________．解析根據(jù)正弦定理，知a∶b∶c＝3∶2∶4，設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝4k，k>0，則cosC＝eq\f(9k2＋4k2－16k2,2×3k×2k)＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)5．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，則A＝________．解析由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.答案120°6．證明：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).證明右邊＝eq\f(c－b·\f(b2＋c2－a2,2bc),b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\f(c－\f(b2＋c2－a2,2c),b－\f(b2＋c2－a2,2b))＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2c),\f(a2＋b2－c2,2b))＝eq\f(\f(a2＋c2－b2,2ac),\f(a2＋b2－c2,2ab))＝eq\f(cosB,cosC)＝左邊．綜合提高限時(shí)25分鐘7．已知三角形的三邊長分別是a，b，eq\r(a2＋b2＋ab)，則此三角形中的最大角是 ()．A．30° B．60° C．120° D．150°解析∵eq\r(a2＋b2＋ab)>a，eq\r(a2＋b2＋ab)>b，∴最大邊是eq\r(a2＋b2＋ab)，設(shè)其所對(duì)的角為θ，則cosθ＝eq\f(a2＋b2－（\r(a2＋b2＋ab)）2,2ab)＝－eq\f(1,2)，θ＝120°.答案C8．在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，則△ABC是 ()．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形解析由acosA＋bcosB＝ccosC，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c·eq\f(b2＋a2－c2,2ab).化簡，得a4－2a2b2＋b4＝c4，即(a2－b2)2＝c4，∴a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2.∴△ABC是直角三角形．答案B9．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________．解析直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，所以c＝2eq\r(3)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得sinA＝eq\f(1,2)，由于a<c，所以A<C＝60°，所以A＝30°.答案30°10．在△ABC中，若2a＝(eq\r(3)＋1)b＝(eq\r(6)＋eq\r(2))c，則△ABC中最大內(nèi)角的余弦值為________．解析由題意可知c＝eq\f(2,\r(6)＋\r(2))a＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，b＝eq\f(2a,\r(3)＋1)＝(eq\r(3)－1)a.所以a為最大邊，把b，c代入余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，得cosA＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).答案eq\f(\r(2)－\r(6),4)11．在△ABC中，C＝60°，a＋b＝16.(1)試寫出△ABC的面積S與邊長a的關(guān)系；(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，S有最大值？并求出最大值；(3)當(dāng)a等于多少時(shí)，周長l有最小值？并求出最小值．解(1)∵a＋b＝16，∴b＝16－a>0，∴0<a<16，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a(16－a)sin60°＝eq\f(\r(3),4)(16a－a2)＝－eq\f(\r(3),4)(a－8)2＋16eq\r(3)；(2)當(dāng)a＝8時(shí)，Smax＝16eq\r(3)；(3)l＝a＋b＋c＝a＋b＋eq\r(a2＋b2－2abcos60°)＝16＋eq\r(3（a－8）2＋64)當(dāng)a＝8時(shí)lmin＝24.12．(創(chuàng)新拓展)在△ABC中，若三邊的長為連續(xù)整數(shù)，且最大角是最小角的二倍，求三邊長．解設(shè)最小內(nèi)角為θ，三邊長為n－1，n，n＋1，(n>1，n∈N)，根據(jù)正弦定理得：eq\f(n－1,sinθ)＝eq\f(n＋1,sin2θ)，∴n－1＝eq\f(n＋1,2cosθ)，∴cosθ