數(shù)的運算-自然數(shù)的運算（算術理論課件）

四則混合運算主要學習內容12運算順序簡便計算

一、運算順序

加、減、乘、除四種運算，統(tǒng)稱為四則運算。一個式題里，如果含有加、減、乘、除四種運算中任意兩種或兩種以上的運算，這個式題就稱為四則混合運算式題。

加、減、乘、除四則運算分成兩級。加法和減法叫做第一級運算，乘法和除法叫做第二級運算。一、運算順序

四則混合運算的順序作如下規(guī)定：

1、在沒有括號的算式里，運算順序分以下兩種情況。

（1）在一個算式里，如果只含有同一級運算，即只有加、減法或者只有乘、除法，那么它的運算順序，應按從左到右的順序計算。

（2）在一個算式里，如果既含有第一級運算，又含有第二級運算，那么它們的運算順序是先算第二級運算，再算第一級運算，即要先算乘法和除法，后算加法和減法。（通常說成“先乘除，后加減”）一、運算順序

2、在含有括號的算式里，運算順序是先算括號里面的，再算括號外面的。在計算含有括號的算式時，如果一個算式里含有幾種括號，應該按照小括號、中括號、大括號的順序逐層計算。每一層括號里的運算也要按照第1條中所說的順序進行計算，再把所得的結果和這一層括號外的部分進行計算。一、運算順序

二、簡便計算1、改變運算順序應用運算性質改變運算的順序，可以使某些運算簡便。例如：

二、簡便計算2、把已知數(shù)湊成整十、整百、整千......的數(shù)

應用和、差、積、商的變化規(guī)律，把已知數(shù)轉化成整十、整百、整千......的數(shù)，可以使某些運算簡便。例如：

二、簡便計算3、應用數(shù)的分解的方法有些題目，可以把已知數(shù)適當進行分解，使之便于口算，然后應用基本口算和某些運算性質，使運算簡便。例如：

小學數(shù)學里

小學數(shù)學里自然數(shù)乘法乘法定義01乘法的運算性質02主要學習內容乘法的運算法則03一、乘法定義【例如】集合A={a，b，c}與集合B={x，y}構成的笛卡爾集A×B={（a，x），（a，y），（b，x），（a，y），（c，x），（c，y）}。注意到集合A、B、A×B的基數(shù)分別為3、2、6，因此，定義3×2=6。一般的，自然數(shù)a乘自然數(shù)b的結果a×b是指基數(shù)為a的集合A和基數(shù)為b的集合B構成的笛卡爾集A×B的基數(shù)。

一、乘法定義

小學數(shù)學里由乘法定義可知，乘法的本質是相同加數(shù)的自身連加。因為自然數(shù)范圍內，加法是封閉的，結果是唯一的，所以在自然數(shù)范圍內，乘法是封閉的，結果也是唯一的。二、乘法的運算性質1、乘法交換律：人教版四年級下冊《乘法運算定律》二、乘法運算性質2、乘法結合律:二、乘法運算性質3、乘法對加法的分配律：另一形式：

二、乘法運算性質4、積不變的性質：兩個數(shù)相乘，其中一個乘數(shù)擴大某個倍數(shù)，另一個乘數(shù)縮小至相同的幾分之一，積仍然不變。即三、乘法的運算法則1、表內乘法兩個一位數(shù)相乘，可根據乘法的定義用相同加數(shù)連加的方法求出它們的積，通常是把所有兩個一位數(shù)相乘和它們的結果編成乘法口訣或一個乘法表，計算時直接利用這些結果求出積。

三、乘法的運算法則（3）多位數(shù)乘多位數(shù)先把其中一個乘數(shù)改寫成不同計數(shù)單位的數(shù)之和的形式，然后根據乘法分配律的推廣與上述乘法法則（1）（2）來計算。自然數(shù)除法除法定義01除法的運算性質02主要學習內容除法的運算法則03一、除法定義1、定義：已知兩個數(shù)a、b，求一個數(shù)q，使得q與b的積等于a，這種運算叫作除法，記作：讀作：a除以b等于q或b除a等于q，a叫作被除數(shù)，b叫作除數(shù)，q叫作a與b的商，符號“÷”叫作除號。一、除法定義除法的意義：小學中的除法常常分為“包含除”和“等分除”兩種類型

包含除：用除法解決，已知每一份的數(shù)量，求將整體平均分成了幾份等分除：用除法解決，將整體平均分成幾份，求每一份的數(shù)量注：等分除與包含除都是運用除法來解決的問題，是除法的兩種不同的實際模型，而不是兩種不同的除法。一、除法定義2、除數(shù)不為零在除法算式a÷b中，如果b=0（1）當被除數(shù)a=0時，因為任何數(shù)與0的積都是0，所以此時商不確定.（2）當被除數(shù)a≠0時，因為任何數(shù)與0的積都是0，所以此時商不存在.為了保證除法運算結果的存在時的唯一性，規(guī)定在除法算式a÷b中，除數(shù)不為零。一、除法定義3、商存在必唯一（1）除法運算是不封閉的.（2）商存在必唯一

證明：性質一

一個數(shù)除以兩個數(shù)的積，等于這個數(shù)依次除以積里的每一個乘數(shù)。即性質二

一個數(shù)除以兩個數(shù)的商，等于這個數(shù)先乘商里的除數(shù)，再除以商里的被除數(shù)，或者等于先除以商里的被除數(shù)，再乘商里的除數(shù)。即性質三

若干個數(shù)的和除以一個數(shù)，等于和里的每一個數(shù)除以這個數(shù)，再把所得的商加起來。即二、除法的運算性質二、除法的運算性質商不變的性質：兩個數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商仍然不變。即

三、除法的運算法則1、表內除法根據乘法表（乘法口訣）來計算的除法稱為表內除法。三、除法的運算法則2、表外除法

利用十進制計數(shù)法把被除數(shù)寫成不同計數(shù)單位的數(shù)字之和的形式，將算式轉化為多個數(shù)的和除以一個數(shù)，再根據性質三進行計算。如果某一位不能整除，則自動向下一位轉移。

（1）多位數(shù)除以一位數(shù)：732÷4=（7百+3十+2）÷4

=（4百+33十+2）÷4

=（4百+32十+12）÷4

=4百÷4+32十÷4+12÷4=1百+8十+3=183

三、除法的運算法則（2）多位數(shù)除以多位數(shù)：6528÷32=（65百+2十+8）÷32=（64百+128）÷32=64百÷32+128÷32=2百+4=204

從被除數(shù)的高位起，除數(shù)有幾位，就先看被除數(shù)的前幾位，如果前幾位數(shù)比除數(shù)小，就再往后邊多看一位；除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫到那一位的上面；哪一位不夠商1，就在那一位上商0；每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小。在具體計算時為方便寫成豎式形式。自然數(shù)加法123加法定義加法的運算性質加法的運算法則主要學習內容一、加法定義

例如：自然數(shù)3代表集合A={a，b，c}的基數(shù)，自然數(shù)2代表集合B={d，e}的基數(shù)，3+2代表A∪B={a，b，c，d，e}的基數(shù)，所以3+2=5。

二、加法的運算性質

二、加法的運算性質

二、加法的運算性質

三、加法的運算法則1、20以內的加法（表內加法）一位數(shù)與一位數(shù)相加用數(shù)數(shù)的方法直接求和，在小學課本中出現(xiàn)記大數(shù)數(shù)小數(shù)、湊十法等，結果編成表稱表內加法。三、加法的運算法則2、多位數(shù)的運算法則的算理

兩個多位數(shù)相加（含一個多位數(shù)加一個一位數(shù)），先把它們分別寫成不同計數(shù)單位的數(shù)的和的形式，再應用若干個數(shù)和加上若干個數(shù)和的性質及表內加法，分別把相同計數(shù)單位的數(shù)相加。例如：326+257=（3百+2十+6）+（2百+5十+7）

=（3百+2百）+（2十+5十）+（6+7）

=（3百+2百）+（2十+5十）+（1十+3）

=（3百+2百）+（2十+5十+1十）+3

=5百+8十+3=583

多位數(shù)相加時，分別把相同計數(shù)單位的數(shù)相加，哪個計數(shù)單位上的數(shù)滿十，就向高一級的計數(shù)單位進一。數(shù)位對齊，個位加起，滿十進一。在具體計算時為方便寫成豎式形式。自然數(shù)減法123減法的定義減法運算性質減法的運算法則一、減法的定義

需要說明的是，在自然數(shù)范圍內，減法不一定總可以進行，也就是差不一定存在。如果差存在，那么一定唯一。

也就是如果

a-b=x，且a-b=y

，那么x=y。

一、減法的定義

推論一:某數(shù)減去一個數(shù)，再加上同一個數(shù),仍得原數(shù)。即(a-b)+b=a證明:設a-b=c,那么b+c=a。

于是(a-b)+b=c+b=b+c=a推論二:某數(shù)加上一個數(shù)，再減去同一個數(shù),仍得原數(shù)。即(a+b)-b=a證明:設a+b=c，那么c-b=a。于是(a+b)-b=c-b=a一、減法的定義

二、減法的運算性質性質一：性質二：性質三：差不變的性質：三、減法的運算法則

1、表內減法

計算減法最初級的方法是“倒著數(shù)數(shù)”。比如，要計算8－3，就向8前面數(shù)3個數(shù)，依次為7、6、5，結果就是5，因此8－3＝5。

但在數(shù)學上，我們是根據加法表來計算表內減法的，所以這類減法又稱為表內減法。比如，要計算8－5，可以根據加法口訣表中的口訣“5＋3＝8”，得出8－5＝3。三、減法的運算法則

2、表外減法

多位數(shù)減法，可以先把被減數(shù)和減數(shù)分解成不同計數(shù)單位數(shù)之和的形式，然后根據若干個數(shù)的和減去若干個數(shù)的和的運算性質，應用（1）表內減法來計算。例如：

374-158=(3百+7十+4）-（1百+5十+8）

=(3百+6十+14）-（1百+5十+8）

=(3百-1百）+（6十-5十）+（14-8）（若干個數(shù)的和減若干個數(shù)的和的性質）