數(shù)的運(yùn)算-自然數(shù)的運(yùn)算（算術(shù)理論課件）

四則混合運(yùn)算主要學(xué)習(xí)內(nèi)容12運(yùn)算順序簡(jiǎn)便計(jì)算

一、運(yùn)算順序

加、減、乘、除四種運(yùn)算，統(tǒng)稱(chēng)為四則運(yùn)算。一個(gè)式題里，如果含有加、減、乘、除四種運(yùn)算中任意兩種或兩種以上的運(yùn)算，這個(gè)式題就稱(chēng)為四則混合運(yùn)算式題。

加、減、乘、除四則運(yùn)算分成兩級(jí)。加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算，乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。一、運(yùn)算順序

四則混合運(yùn)算的順序作如下規(guī)定：

1、在沒(méi)有括號(hào)的算式里，運(yùn)算順序分以下兩種情況。

（1）在一個(gè)算式里，如果只含有同一級(jí)運(yùn)算，即只有加、減法或者只有乘、除法，那么它的運(yùn)算順序，應(yīng)按從左到右的順序計(jì)算。

（2）在一個(gè)算式里，如果既含有第一級(jí)運(yùn)算，又含有第二級(jí)運(yùn)算，那么它們的運(yùn)算順序是先算第二級(jí)運(yùn)算，再算第一級(jí)運(yùn)算，即要先算乘法和除法，后算加法和減法。（通常說(shuō)成“先乘除，后加減”）一、運(yùn)算順序

2、在含有括號(hào)的算式里，運(yùn)算順序是先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。在計(jì)算含有括號(hào)的算式時(shí)，如果一個(gè)算式里含有幾種括號(hào)，應(yīng)該按照小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序逐層計(jì)算。每一層括號(hào)里的運(yùn)算也要按照第1條中所說(shuō)的順序進(jìn)行計(jì)算，再把所得的結(jié)果和這一層括號(hào)外的部分進(jìn)行計(jì)算。一、運(yùn)算順序

二、簡(jiǎn)便計(jì)算1、改變運(yùn)算順序應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)改變運(yùn)算的順序，可以使某些運(yùn)算簡(jiǎn)便。例如：

二、簡(jiǎn)便計(jì)算2、把已知數(shù)湊成整十、整百、整千......的數(shù)

應(yīng)用和、差、積、商的變化規(guī)律，把已知數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百、整千......的數(shù)，可以使某些運(yùn)算簡(jiǎn)便。例如：

二、簡(jiǎn)便計(jì)算3、應(yīng)用數(shù)的分解的方法有些題目，可以把已知數(shù)適當(dāng)進(jìn)行分解，使之便于口算，然后應(yīng)用基本口算和某些運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算簡(jiǎn)便。例如：

小學(xué)數(shù)學(xué)里

小學(xué)數(shù)學(xué)里自然數(shù)乘法乘法定義01乘法的運(yùn)算性質(zhì)02主要學(xué)習(xí)內(nèi)容乘法的運(yùn)算法則03一、乘法定義【例如】集合A={a，b，c}與集合B={x，y}構(gòu)成的笛卡爾集A×B={（a，x），（a，y），（b，x），（a，y），（c，x），（c，y）}。注意到集合A、B、A×B的基數(shù)分別為3、2、6，因此，定義3×2=6。一般的，自然數(shù)a乘自然數(shù)b的結(jié)果a×b是指基數(shù)為a的集合A和基數(shù)為b的集合B構(gòu)成的笛卡爾集A×B的基數(shù)。

一、乘法定義

小學(xué)數(shù)學(xué)里由乘法定義可知，乘法的本質(zhì)是相同加數(shù)的自身連加。因?yàn)樽匀粩?shù)范圍內(nèi)，加法是封閉的，結(jié)果是唯一的，所以在自然數(shù)范圍內(nèi)，乘法是封閉的，結(jié)果也是唯一的。二、乘法的運(yùn)算性質(zhì)1、乘法交換律：人教版四年級(jí)下冊(cè)《乘法運(yùn)算定律》二、乘法運(yùn)算性質(zhì)2、乘法結(jié)合律:二、乘法運(yùn)算性質(zhì)3、乘法對(duì)加法的分配律：另一形式：

二、乘法運(yùn)算性質(zhì)4、積不變的性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)相乘，其中一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大某個(gè)倍數(shù)，另一個(gè)乘數(shù)縮小至相同的幾分之一，積仍然不變。即三、乘法的運(yùn)算法則1、表內(nèi)乘法兩個(gè)一位數(shù)相乘，可根據(jù)乘法的定義用相同加數(shù)連加的方法求出它們的積，通常是把所有兩個(gè)一位數(shù)相乘和它們的結(jié)果編成乘法口訣或一個(gè)乘法表，計(jì)算時(shí)直接利用這些結(jié)果求出積。

三、乘法的運(yùn)算法則（3）多位數(shù)乘多位數(shù)先把其中一個(gè)乘數(shù)改寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式，然后根據(jù)乘法分配律的推廣與上述乘法法則（1）（2）來(lái)計(jì)算。自然數(shù)除法除法定義01除法的運(yùn)算性質(zhì)02主要學(xué)習(xí)內(nèi)容除法的運(yùn)算法則03一、除法定義1、定義：已知兩個(gè)數(shù)a、b，求一個(gè)數(shù)q，使得q與b的積等于a，這種運(yùn)算叫作除法，記作：讀作：a除以b等于q或b除a等于q，a叫作被除數(shù)，b叫作除數(shù)，q叫作a與b的商，符號(hào)“÷”叫作除號(hào)。一、除法定義除法的意義：小學(xué)中的除法常常分為“包含除”和“等分除”兩種類(lèi)型

包含除：用除法解決，已知每一份的數(shù)量，求將整體平均分成了幾份等分除：用除法解決，將整體平均分成幾份，求每一份的數(shù)量注：等分除與包含除都是運(yùn)用除法來(lái)解決的問(wèn)題，是除法的兩種不同的實(shí)際模型，而不是兩種不同的除法。一、除法定義2、除數(shù)不為零在除法算式a÷b中，如果b=0（1）當(dāng)被除數(shù)a=0時(shí)，因?yàn)槿魏螖?shù)與0的積都是0，所以此時(shí)商不確定.（2）當(dāng)被除數(shù)a≠0時(shí)，因?yàn)槿魏螖?shù)與0的積都是0，所以此時(shí)商不存在.為了保證除法運(yùn)算結(jié)果的存在時(shí)的唯一性，規(guī)定在除法算式a÷b中，除數(shù)不為零。一、除法定義3、商存在必唯一（1）除法運(yùn)算是不封閉的.（2）商存在必唯一

證明：性質(zhì)一

一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積里的每一個(gè)乘數(shù)。即性質(zhì)二

一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)先乘商里的除數(shù)，再除以商里的被除數(shù)，或者等于先除以商里的被除數(shù)，再乘商里的除數(shù)。即性質(zhì)三

若干個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，等于和里的每一個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)，再把所得的商加起來(lái)。即二、除法的運(yùn)算性質(zhì)二、除法的運(yùn)算性質(zhì)商不變的性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商仍然不變。即

三、除法的運(yùn)算法則1、表內(nèi)除法根據(jù)乘法表（乘法口訣）來(lái)計(jì)算的除法稱(chēng)為表內(nèi)除法。三、除法的運(yùn)算法則2、表外除法

利用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法把被除數(shù)寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)字之和的形式，將算式轉(zhuǎn)化為多個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，再根據(jù)性質(zhì)三進(jìn)行計(jì)算。如果某一位不能整除，則自動(dòng)向下一位轉(zhuǎn)移。

（1）多位數(shù)除以一位數(shù)：732÷4=（7百+3十+2）÷4

=（4百+33十+2）÷4

=（4百+32十+12）÷4

=4百÷4+32十÷4+12÷4=1百+8十+3=183

三、除法的運(yùn)算法則（2）多位數(shù)除以多位數(shù)：6528÷32=（65百+2十+8）÷32=（64百+128）÷32=64百÷32+128÷32=2百+4=204

從被除數(shù)的高位起，除數(shù)有幾位，就先看被除數(shù)的前幾位，如果前幾位數(shù)比除數(shù)小，就再往后邊多看一位；除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫(xiě)到那一位的上面；哪一位不夠商1，就在那一位上商0；每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小。在具體計(jì)算時(shí)為方便寫(xiě)成豎式形式。自然數(shù)加法123加法定義加法的運(yùn)算性質(zhì)加法的運(yùn)算法則主要學(xué)習(xí)內(nèi)容一、加法定義

例如：自然數(shù)3代表集合A={a，b，c}的基數(shù)，自然數(shù)2代表集合B={d，e}的基數(shù)，3+2代表A∪B={a，b，c，d，e}的基數(shù)，所以3+2=5。

二、加法的運(yùn)算性質(zhì)

二、加法的運(yùn)算性質(zhì)

二、加法的運(yùn)算性質(zhì)

三、加法的運(yùn)算法則1、20以內(nèi)的加法（表內(nèi)加法）一位數(shù)與一位數(shù)相加用數(shù)數(shù)的方法直接求和，在小學(xué)課本中出現(xiàn)記大數(shù)數(shù)小數(shù)、湊十法等，結(jié)果編成表稱(chēng)表內(nèi)加法。三、加法的運(yùn)算法則2、多位數(shù)的運(yùn)算法則的算理

兩個(gè)多位數(shù)相加（含一個(gè)多位數(shù)加一個(gè)一位數(shù)），先把它們分別寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的和的形式，再應(yīng)用若干個(gè)數(shù)和加上若干個(gè)數(shù)和的性質(zhì)及表內(nèi)加法，分別把相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加。例如：326+257=（3百+2十+6）+（2百+5十+7）

=（3百+2百）+（2十+5十）+（6+7）

=（3百+2百）+（2十+5十）+（1十+3）

=（3百+2百）+（2十+5十+1十）+3

=5百+8十+3=583

多位數(shù)相加時(shí)，分別把相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加，哪個(gè)計(jì)數(shù)單位上的數(shù)滿十，就向高一級(jí)的計(jì)數(shù)單位進(jìn)一。數(shù)位對(duì)齊，個(gè)位加起，滿十進(jìn)一。在具體計(jì)算時(shí)為方便寫(xiě)成豎式形式。自然數(shù)減法123減法的定義減法運(yùn)算性質(zhì)減法的運(yùn)算法則一、減法的定義

需要說(shuō)明的是，在自然數(shù)范圍內(nèi)，減法不一定總可以進(jìn)行，也就是差不一定存在。如果差存在，那么一定唯一。

也就是如果

a-b=x，且a-b=y

，那么x=y。

一、減法的定義

推論一:某數(shù)減去一個(gè)數(shù)，再加上同一個(gè)數(shù),仍得原數(shù)。即(a-b)+b=a證明:設(shè)a-b=c,那么b+c=a。

于是(a-b)+b=c+b=b+c=a推論二:某數(shù)加上一個(gè)數(shù)，再減去同一個(gè)數(shù),仍得原數(shù)。即(a+b)-b=a證明:設(shè)a+b=c，那么c-b=a。于是(a+b)-b=c-b=a一、減法的定義

二、減法的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)一：性質(zhì)二：性質(zhì)三：差不變的性質(zhì)：三、減法的運(yùn)算法則

1、表內(nèi)減法

計(jì)算減法最初級(jí)的方法是“倒著數(shù)數(shù)”。比如，要計(jì)算8－3，就向8前面數(shù)3個(gè)數(shù)，依次為7、6、5，結(jié)果就是5，因此8－3＝5。

但在數(shù)學(xué)上，我們是根據(jù)加法表來(lái)計(jì)算表內(nèi)減法的，所以這類(lèi)減法又稱(chēng)為表內(nèi)減法。比如，要計(jì)算8－5，可以根據(jù)加法口訣表中的口訣“5＋3＝8”，得出8－5＝3。三、減法的運(yùn)算法則

2、表外減法

多位數(shù)減法，可以先把被減數(shù)和減數(shù)分解成不同計(jì)數(shù)單位數(shù)之和的形式，然后根據(jù)若干個(gè)數(shù)的和減去若干個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)用（1）表內(nèi)減法來(lái)計(jì)算。例如：

374-158=(3百+7十+4）-（1百+5十+8）

=(3百+6十+14）-（1百+5十+8）

=(3百-1百）+（6十-5十）+（14-8）（若干個(gè)數(shù)的和減若干個(gè)數(shù)的和的性質(zhì)）