2022-2023學(xué)年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022.2023學(xué)年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)(上)

期中數(shù)學(xué)試卷

1.一元二次方程4x2+5x=8化為一般式后的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為()

A.4,5,0B.4,5,8C.4x2,5x,-8D.4,5,-8

2.如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼(不計(jì)厚度)，已知其母線長(zhǎng)為12cm,圓錐口圓

面半徑為3cm,則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積等于cm2.()Q]

A.157r\/

B.367r\/

C.307r

D.187r

3.用配方法解方程/-2x=2時(shí)，配方后正確的是()

A.(x+I)2-3B.(x+I)2-6C.(x—I)2-3D.(x—l)2-6

4.平面內(nèi)，。。的半徑為3,若直線/與。。相離，圓心。到直線/的距離可能為()

A.1B.2C.3D.4

5.某種商品原來(lái)每件售價(jià)為150元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，該種商品每件售價(jià)為96元，設(shè)

平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意，所列方程正確的是()

A.150(1-x2)=96B.150(1-%)=96

C.150(1-x)2=96D.150(1-2%)=96

6.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。。，點(diǎn)尸為上一點(diǎn)，則D

4EFC的度數(shù)為()

D.72。

7.定義新運(yùn)算a*b：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,匕滿足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右邊是通

常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如3*2=(3+2)(3一2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k為實(shí)

數(shù))是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是()

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

8.如圖，已知乙4BC=60。，點(diǎn)。為BA邊上一點(diǎn)，8。=10,

作線段8。的垂直平分線，交B力于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心,

BODA

線段。8長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E,連接DE,則QE的長(zhǎng)是（）

A.5V5B.5V3C.5V2D.5

9.方程/=x的根是.

10.一個(gè)扇形的圓心角為120。，半徑為3,則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為.（結(jié)果保留〃）

11.關(guān)于x的一元二次方程%2+3%+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則〃，的取值范圍是.

12.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的

測(cè)量，測(cè)得4B=12cm,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為

13.已知的半徑長(zhǎng)7cm,P為線段。4的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在。。上，則OA的長(zhǎng)是cm.

14.若a是一元二次方程久2-2久一3=0的一個(gè)根，則4a-2a2的值是.

15.將一個(gè)容積為360cm3的包裝盒剪開(kāi)鋪平，紙樣如圖所示.利用容積列出圖中x（cm）滿足的

一元二次方程：（不必化簡(jiǎn)）.

16.如圖，和OC分別是0。的直徑和半徑，4BOC=60。，點(diǎn)產(chǎn)

是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線CP與O。相交于點(diǎn)Q,若APOQ是

等腰三角形，則NCPB=.

17.解方程：

(1)(%-2)2-3=0；

(2)x2-3%+1=0；

(3)x2—5x-6=0；

(4)(2x+3)2=(3x+2)2.

18.如圖，△力BC是OO的內(nèi)接三角形.N8AC=45。,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺按要求畫(huà)圖.

(1)如圖①，請(qǐng)?jiān)趫D①中畫(huà)出弦C￡>,使得CD=BC；

(2)如圖②，是0。的直徑，8M是。。的切線，點(diǎn)A,C,M在同一條直線上.在圖中畫(huà)

出aABM的邊8"上的中線力D.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程*2+(m+3)x+m+1=0.

(1)求證：無(wú)論機(jī)取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若已知方程的一個(gè)根為-2,求方程的另一個(gè)根以及m的值.

20.貴州六盤(pán)水群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上

有個(gè)“齊天大圣”守護(hù)洞口的傳說(shuō).真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬

來(lái)爬去，如圖是月亮洞的截面示意圖.

(1)科考隊(duì)測(cè)量出月亮洞的洞寬約是28機(jī)，洞高AB約是12加,通過(guò)計(jì)算截面所在圓的半

徑可以解釋月亮洞像半個(gè)月亮，求半徑OC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1m).

(2)若=162。，點(diǎn)M在弧CO上，則NCMO=°,

21.已知：如圖所示.在△ABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=7cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿

AB邊向點(diǎn)B以Icm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).如

果P，Q分別從A,B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，APBQ的面積等于4cm2?

22.如圖，已知四邊形4PBe中，乙4PB=60。，尸4、P8與過(guò)A、8、C三點(diǎn)的O。相切于點(diǎn)A、

B.

(1)求乙4cB的度數(shù)；

(2)若。。的半徑長(zhǎng)為4cm,求圖中陰影部分的面積.

23.如圖，△ABC為。。的內(nèi)接三角形，45為。。的直徑，點(diǎn)。為。0上一點(diǎn)，且4ABD=

&BAC,過(guò)點(diǎn)。作OE〃BC交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：OE為。。的切線；

(2)若4E=8,DE=12,求。。的半徑.

24.直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元/件的小商品進(jìn)行

直播銷(xiāo)售，如果按每件60元銷(xiāo)售，那么每天可賣(mài)出20件.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品

售價(jià)每降低5元，日銷(xiāo)售量增加10件.

(1)若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷(xiāo)售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？

(2)小明的線下實(shí)體商店也銷(xiāo)售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元.為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線

下銷(xiāo)售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷(xiāo)售，使其銷(xiāo)售價(jià)格不超過(guò)(1)中所求的售價(jià)，則該商品

至少需打折銷(xiāo)售.

25.閱讀理解：如圖1,直線/與。。相離，P為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線PM,

切點(diǎn)為連接OM、0P,當(dāng)PM最小時(shí)，稱(chēng)線段PM為直線/與。。的“極短切線”.

【理解】

(1)如圖2,04的半徑為1,4(0,2),分別過(guò)x軸上2、0、C三點(diǎn)作OA的切線BM、0P、

CQ,切點(diǎn)分別是M、P、Q,則這三條切線中是x軸與的“極短切線”，該“極短

切線”的長(zhǎng)度為.

【應(yīng)用】

(2)如圖3,。力的半徑為1,4(0,2),直線/：y=kx-2與的“極短切線”的長(zhǎng)度

為百，求上的值.

(3)保持(2)中求得的直線/不動(dòng)，將04沿著y軸向下平移，若直線/與。4的“極短切線”

的長(zhǎng)度小于遍，求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y的取值范圍.

圖3備用圖

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4x2+5x=8,

4x2+5x—8=0,

所以一元二次方程4/+5x=8化為一般式后的二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為4,5,-8,

故選：D.

先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可.

本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，一元二

次方程的一般形式是a/+匕刀+c=0(a、b、c為常數(shù)，a#0).

2.【答案】B

【解析】解：???底面圓的半徑為3cm,

二底面圓的周長(zhǎng)為6兀(czn),即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為67rcm,

.?.這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面積=1x12x6?r=36?r(cm2)

故選：B.

根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐底面圓的周長(zhǎng)，得到圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式

計(jì)算，得到答案.

本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵.

3.【答案】C

【解析】解：x2-2x=2,

X2—2x+1=2+1,即(x—1)2=3.

故選：C.

方程左右兩邊都加上1,左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果.

本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】解：丫。。的半徑為3,若直線/與。。相離，

???圓心。到直線)的距離＞3,

故選：D.

根據(jù)直線/與O。相離得到直線/與圓心的距離大于半徑，于是得到結(jié)論.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握①當(dāng)直線與圓心的距離小于半徑，直線與圓相交：②當(dāng)

直線與圓心的距離大于半徑，直線與圓相離，③當(dāng)直線與圓心的距離等于半徑，直線與圓相切是

解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為150x(1-X),兩次連續(xù)降價(jià)后售價(jià)在第一次降價(jià)后的價(jià)格

的基礎(chǔ)上降低x,為150x(1-x)x(l-x),

則列出的方程是150(1-％)2=96.

故選：C.

可先表示出第一次降價(jià)后的價(jià)格，那么第一次降價(jià)后的價(jià)格x(l-降低的百分率)=96,把相應(yīng)

數(shù)值代入即可求解.

此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a,

變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(l±x)2=b.

6.【答案】D

【解析】解：?.?正五邊形ABCDE內(nèi)接于O0，

.“歐=經(jīng)窄皿=1。8。，

???四邊形CDEF是。0外接四邊形，

???乙EFC+乙CDE=180°,

乙EFC=180°-Z.CDE=180°-108°=72°,

故選D.

先由正多邊形內(nèi)角和定理求出NCDE,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出NEFC.

本題主要考查了正多邊形和圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：(%+fc)(x-fc)-l=2x,

整理得：x2—2%—1—fc2=0,

4=4-4(-1-k2)=4/c2+8>0,

???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算出根的判別式的值，判斷即可.

此題考查了根的判別式，方程的定義，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：由題意得，為圓的直徑，

則NBED=90。，

???Z.ABC=60°,

乙BDE=30°,

BE=^BD=5,

DE=y/BD2-BE2=5V3,

故選：B.

根據(jù)圓周角定理求出NBE。=90。，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)圓周角定理求出NBED=90。是解題的關(guān)

鍵.

9.【答案】%]=0,x2=1

【解析】解：%2-%=0,

x(x—1)=0,

???x=0或％-1=0,

%]=0,%2=1?

故答案為與=0,x2—1.

先把方程化為一般式，再把方程左邊因式分解得x(x-1)=0,方程就可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程

%=0或工一1=0,然后解一元一次方程即可.

本題考查了利用因式分解法解一元二次方程aM+bx+c=0的方法：先把方程化為一般式，再把

方程左邊因式分解，然后把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，最后解一元一次方程即可.

10.【答案】27r

【解析】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式，=黑,

loU

得到：1=又常=2兀,

1OU

故答案是：27r.

根據(jù)弧長(zhǎng)的公式，=黑進(jìn)行計(jì)算即可.

loU

本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】2.25

【解析】解；根據(jù)題意得：21=9-4m<0,

解得：m>2.25,

故答案為：2.25.

先計(jì)算的值.再根的判別式求解.

本題考查了根的判別式，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】ycm

【解析】解：連接AC,

圖1

v/.ABC=90°,且乙4BC是圓周角，

???4C是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V122+52=13(cm),

所以圓形鏡面的半徑為學(xué)cm,

故答案為：-^-cm.

連接AC,根據(jù)=90。得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可.

本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得

出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵.

13.【答案】14

【解析】解：根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，得OP=7cm,

再根據(jù)線段的中點(diǎn)的概念，得。4=2OP=14cm.

故答案為：14.

根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和中點(diǎn)定義進(jìn)行解答即可.

本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)定義，熟知點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.

14.【答案】-6

【解析】解：???a是一元二次方程M—2x-3=0的一個(gè)根，

**.a?-2Q—3=0,

即小—2a=3,

A4a—2a2

=-2（小—2d）

=-2x3

=—6.

故答案為：—6.

根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案.

本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題

型.

15.【答案】15x(10-乃=360

【解析】解：由題意可得：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為：15,寬為：(20-2x)-2=10-x,

則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15x(10-%)=360.

故答案為：15x(10-x)=360.

根據(jù)題意表示出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而表示出長(zhǎng)方體的體積即可.

此題主要考查了有實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，正確表示出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

16.【答案】100°或40°或80°

【解析】解：當(dāng)OP=QP時(shí)，點(diǎn)尸在。3上時(shí)，

乙Q=（POQ,

設(shè)NQ=乙POQ=a,

OC=OQ,

：?Z-C=Z-Q=a,

???zC+乙COQ+4Q=180°,

???a+a+60°+a=180°,

解得a=40。,

???Z,Q=Z.POQ=40°,

???乙CPB=Z-OPQ=100°；

當(dāng)OP=QP時(shí)，點(diǎn)P在。4上時(shí),

AB

叭/

**.jQ=乙POQ,

設(shè)“=(POQ=a,

???OC=OQ,

v乙BOC=60°,

???Z.COP=120°,

???Z-C=4=Q,

???NC+“OQ+“=180°,

Aa+a+120°4-a=180°,

解得a=20。，

???4=(POQ=20°,

???乙CPB=40°；

當(dāng)OQ=QP時(shí)，

???Z.POQ=ZOPQ,

???OC=OQ,

，設(shè)“=Z-Q—a,

???Z.POQ=4OPQ=￡=a+60°,

vzC4-Z.COQ+Z-Q=180°,

???a+a+60°+a+60°=180°,

解得y=20°,

即NC=20°,

???乙CPB=Z.C+Z.COP=20°+60°=80°；

當(dāng)OP=OQ,

???點(diǎn)尸是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)OP=OQ時(shí)，點(diǎn)P,。重合，

???此情況不存在.

綜上所述，若^POQ是等腰三角形，則NCPB=100。或40?；?0。.

若APOQ是等腰三角形，分。P=QP,0Q=QP,OP=0Q三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論解答即可.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì).有兩條邊相等的三角

形叫做等腰三角形.等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等.

17.【答案】解:(1)Q—2/一3=0,

(x—2y=3,

x—2=+V3,

解得/=2+y/3,x2=2-V3；

(2)x2—3x+1=0,

"a=1,b=—3,c=1>

???b2-4ac=(-3)2-4xlxl=5>0,

_-b±Jb2-4ac_3±V5

"*==F'

解得/=￥，小=竽；

(3)x2—5x-6=0,

(%-6)(%+1)=0,

x—6=0或％+1=0,

解得%i—6,x2——1;

(4)(2%+3)2=(3x+2)2,

(2久+3)2-(3%+2)2=0,

[(2x+3)+(3x+2)][(2x4-3)-(3x+2)]=0,

(5x+5)(—%+1)=0,

—5(%+1)(%—1)=0,

x+1=。或%—1=0,

解得％i=—1?x2—1.

【解析】(1)方程利用直接開(kāi)平方法求解即可；

(2)方程利用公式法求解即可；

(3)方程利用因式分解法求解即可；

(4)方程利用因式分解法求解即可.

本題考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解以及求根公式是解答本題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)如圖①所示，

DC即為所求；

(2)如圖②：AD即為所求.

【解析】(1)利用連接8。并延長(zhǎng)交

圓于點(diǎn)D,連接CD,則CD=BC.CD圖②

即為所求作的圖形；

(2)連接0M交BC于點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)交8M于點(diǎn)Q,則A。就是邊8M上的中線.即為

所求作的圖形.

本題考查了復(fù)雜作圖、線段的垂直平分線，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，再

逐步操作.

19.【答案】(1)證明：???/=(m+3)2-4xlx(ni+l)

=m2+6m+9—4m—4

=zn2+2m+1+4

=(m+1)2+4>0,

???無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：設(shè)方程的另外一根為a,

根據(jù)題意，得：『；2=一：一3,

解得：”°1，

=-1

所以方程的另一根為0,，"的值為-1.

【解析】(1)由4=(機(jī)+3)2-4x1x(m+1)=(m+1)2+4>0可得答案；

(2)設(shè)方程的另外一根為“，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出｛:3,解之即可得出答案.

題主要考查根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程a-+bx+c=0(aK0)

的根與4=/-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)4>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)4=0時(shí)，方

程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)4<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.與，冷是方程/+px+q=0的兩根時(shí),

XX

%14-X2=-p，12=q，反過(guò)來(lái)可得p=-(%14-%2)，q=%62?

20.【答案】99

【解析】解：(1)設(shè)04=0C=Rm,

v0ALCD.

1

/.CB=BD=^CD=14m,

在RtZkCOB中，0C2=OB2+CB2,

???R2=142+(R-12)2,

85

?**Rn=

o

85

???0C=-g-x14.2m.

(2)補(bǔ)全。0,在CO的下方取一點(diǎn)N,連接CN,DN,

CM,DM,

1

???Z.N="C0D=81°,

???乙CMD+乙N=180°,

:.乙CMD=99°.

故答案為：99.

(1)設(shè)。4=。。=Rm,利用勾股定理求出R即可；

(2)補(bǔ)全O。，在CD的下方取一點(diǎn)N,連接CMDN,CM,DM,利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)求解即可.

本題考查垂徑定理的應(yīng)用，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

21.【答案】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后，aPB。面積為4cm2,

由題意得，。點(diǎn)從8到C所用時(shí)間為7+2=3.5,

0<%<3,5,

此時(shí)/P=xcm,BP=(5-x)cm,BQ=2xcm,

由”P(pán).BQ=4得其5-工)X2x,

整理得：X2-5X+4=0,

解得：x=1或％=4(舍)；

答：1秒后APBQ的面積等于4cm2.

【解析】經(jīng)過(guò)x秒鐘，APSQ的面積等于4cm2,根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)8以lcm/s的

速度移動(dòng)，點(diǎn)。從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2on/s的速度移動(dòng)，表示出3P和8Q的長(zhǎng)可列方程

求解.

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及直角三角形面積的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)“△PBQ的面

積等于4cm2”得出等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：(1)如圖，連接04,OB,0P,

vPA.尸8與過(guò)A、B、C三點(diǎn)的。。相切于點(diǎn)A、B.

???Z,0AP=乙0BP=90°,

???Z-APB=60°,

??,乙A0B=360°-40BP-Z.0AP-Z.APB=120°,

vZ-AOB=2Z,ACB=120°,

???乙ACB=60°；

(2)???Z_04P=40BP=90°,OA=OB,OP=OP,

^,RtOAP^WRtOBP^P,

(OP=OP

lOA=OB'

???RtAOAP三RtAOBP(HL),

???Z,AOP=乙BOP=^/.AOB=60°,

:.AP=OA?tan60°=4>/3(cm),

???陰影部分的面積=2△0Ap的面積一扇形AOB的面積

11207rx42

=2x-xAO?AP-------c----

L360

1廠16

=2x—x4x4v3—71

=16A/3—

???陰影部分的面積為16百-竽7E

【解析】(1)連接OA,OB,OP,利用切線的性質(zhì)可得41OB=120。，然后根據(jù)圓周角定理即可解

決問(wèn)題；

(2)利用⑴的結(jié)論可證Rt△OAP三Rt△OBP,從而利用全等三角形的性質(zhì)可得〃0P=lBOP=

^AOB=60%然后在RMCMP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AP的長(zhǎng)，最后根據(jù)陰影部分

的面積=2△0Ap的面積-扇形AOB的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題

目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)證明：連接0。，如圖.D

E

???48為。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，

???乙ACB=90°,

???DE//BC,

??.Z,E=180°-乙ACB=90°.

11

-Z.ABD=^AODfZ.ABD=^Z.BAC,

??Z.AOD=Z.BACf

:.OD//CE,

???4ODE+4E=180°,

???乙E=90°,

:.(ODE=90°,

即。。1DE,

。。是。。的半徑，

OE為。。的切線；

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作AF_L。。于點(diǎn)F,如圖，

vZ.AFD=乙FDE=Z.E=90°,

四邊形AEQF為矩形，

???DF=AE=8,AF=DE=12.

設(shè)。。的半徑為R，則04=R,OF=R-8.

在RtAOA尸中，OF2+AF2=OA2,

即(R-8)2+122=R2,

解得R=13,

即。。的半徑為13.

【解析】(1)連接OD,如圖.根據(jù)圓周角定理得到N4CB=90。,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NE=1800-

乙4cB=90。.根據(jù)平行線的判定定理得到OD〃CE,得到。“JLDE,根據(jù)切線的判定定理即可得到

結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AF_L。。于點(diǎn)F,如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CF=AE=8,4F=DE=12.設(shè)。。的

半徑為R,貝i」OA=R,OF=/?-8.根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線

垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理.

24.【答案】八

【解析】解：(1)設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(％-40)元，每天可售出20+10X

雪=(140-2x)件，

依題意得：(x-40)(140-2x)=(60-40)X20,

整理得：x2-110x+3000=0,

解得：xx=50,x2=60,

又???商家想盡快銷(xiāo)售完該款商品，

x—50.

答：每件售價(jià)應(yīng)定為50元.

(2)設(shè)該商品打y折銷(xiāo)售，

依題意得：62.5x看W50,

解得：y<8,

該商品至少需打八折銷(xiāo)售.

故答案為：八.

(1)設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(X-40)元，每天可售出(140-2x)件，利用總

利潤(rùn)=每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)x每天的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值

即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該商品打)，折銷(xiāo)售，利用售價(jià)=原價(jià)x折扣率，結(jié)合售價(jià)不超過(guò)50元，即可得出關(guān)于y的一

元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出一元二次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

25.【答案】OP娼

【解析】解：(1)如圖1,「PM是。。的切線，

???4PM。=90°,

???。。的半徑OM是定值，PM=7OP2—OM2,

???OP最小時(shí)，PM最小,此時(shí)0P1，，

在圖2中，???4。_Lx軸，

???0P是x軸與的“極短切線”，

OP=>JOA2—AP2=>/22—I2=V3>

故答案為：OP,V3；

(2)當(dāng)k<0時(shí)，設(shè)直線/交x、y軸于，、G,FE是直線/與。4的“極短切線”，如圖：

???G（0