第11講 用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題11種常見(jiàn)考法歸類-【暑假自學(xué)課】2023年新高二數(shù)學(xué)暑假課（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）解析版

第11講用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題11種常見(jiàn)考法歸類

---------------------------------------------------------

學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V—-------

會(huì)用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值；會(huì)用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)

面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.

X函基礎(chǔ)知識(shí)

----------------llllllllllllllllllllillllllllllllllllllli---------------------

知識(shí)點(diǎn)1空間距離及向量求法

分

點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離

類

設(shè)已知平面a的法向量為n,Nda,P生a,向量是

設(shè)“為直線/的單位方向向量,NG/,Pe/,AP

文向量左在平面上的投影向量，

字=a,向量N在直線/上的投影向量為邁

方瑞|=帝

語(yǔ)

CAQ=(???)//.)，IM

1.

注：實(shí)質(zhì)上，"是直線/的方向向量，點(diǎn)尸到平面a

的距離就是辦在直線/上的投影向量小的長(zhǎng)度.

注意點(diǎn):

(1)兩條平行直線之間的距離：在其中一條直線上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線

之間的距離.

(2)如果一條直線/與一個(gè)平面a平行，可在直線/上任取一點(diǎn)P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面a的距離求解.

(3)如果兩個(gè)平面a,。互相平行，在其中一個(gè)平面a內(nèi)任取一點(diǎn)尸，可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到平

面”的距離求解.

知識(shí)點(diǎn)2空間角及向量求法

角的分向量求法范圍

類

(1)兩異面直線所成角的范圍

是卜3

設(shè)兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別為U,O,

異面直

則

線所成(2)兩異面直線所成的角與其

cosl9=|cos<u,v)1=-^-^-

的角方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的

關(guān)系.

E

⑴線面角的范圍為0-21

設(shè)直線/與平面a所成的角為仇/的方向向量為u,平面a的法

直線與

⑵直線與平面所成的角等于其方

向量為n,則

平面所

向向量與平面法向量所成銳角的

|=」“川

成的角sin0=|cos<u,n>

同Ml余角.

⑴兩個(gè)平面的夾角的范圍是

平面a與平面/相交，形成四個(gè)二面角，把不大于;的二面角稱

兩平面0,-

為這兩個(gè)平面的夾角.設(shè)平面4與平面夕的夾角為仇兩平面處L2_

的夾角

(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾

口的法向量分別為m,n2,則cosJ=|co§<ni,血〉|=也叫

1?1||?2|角或其補(bǔ)角.

思考：(1)兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？

平面a與平面/?的夾角：平面a與平面//相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角

0—

稱為平面a與平面//的夾角.二面角的平面角范圍是|0,rt|,而兩個(gè)平面的夾角的范圍是_'2_

(2)平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？

兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角.

也解題策略

-------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHI1IHIIIIIIIIII---------------------

1、用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟

(1)求直線的方向向量.

(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.

(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.

2、求點(diǎn)到平面的距離的四步驟

注：線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平

行.

3、基向量法求異面直線的夾角的一般步驟

(1)找基底.

(2)用同一組基底表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量夾角公式求出兩條直線的方向向量夾角的余弦值.

(4)結(jié)合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角.

4、用空間向量法求異面直線夾角的步驟

(1)確定兩條異面直線的方向向量.

(2)確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.

(3)得出兩條異面直線所成的角.

5、求直線與平面所成角的思路與步驟

思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某

一三角函數(shù)值).

思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面所成

角的基本步驟：

①建立空間直角坐標(biāo)系；

②求直線的方向向量7萬(wàn)；

③求平面的法向量”；

④計(jì)算：設(shè)線面角為仇則sin，=-

I"M4B|

6、向量法求兩平面的夾角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的三個(gè)步驟

求兩平面夾角的兩種方法

(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也

可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.

(2)法向量法:

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求出兩個(gè)半平面的法向量“1,?2；

③設(shè)兩平面的夾角為仇則COS，=|COS〈"I,"2〉

【當(dāng)〈n\,"2〉W2時(shí)］或兀一〈〃1,“2》（當(dāng)〈"1,"2〉egn時(shí)］

［注意］若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解.

7、立體幾何中的探索性問(wèn)題

立體幾何中的探索性問(wèn)題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度.

這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在"''是否存在”等語(yǔ)句表述.解答這類問(wèn)題，一

般要先對(duì)結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)

論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性.

jC考點(diǎn)剖.

Itlllllllllllllllllllllllllllllllllllllll-------------------

考點(diǎn)一：求點(diǎn)到直線的距離

|'例1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）己知空間三點(diǎn)力（2,1,0）,8（2,1,-1）,C（l,0,1）,則點(diǎn)C到直

線AB的距離為.

【答案】a

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】易知太=（-1,-1,1）,萬(wàn)=（0,0,-1）,

則H二國(guó)H帚|邛，sin回畫(huà)/，

故點(diǎn)C到直線AB的距離為國(guó).sin（AC,硝=百x4=a.

故答案為：V2.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）矩形/BCQ中，ZBCA=30°,AC=20,PZ1平面ZBCZ）,且PN=5,

則P到BC的距離為.

【答案】5指

【分析】利用點(diǎn)到直線距離的定義進(jìn)行求解，注意做題的規(guī)范性：作、證、指、求，或者是建立坐標(biāo)系用空

間向量方法去求.

【詳解】方法一：如圖，因?yàn)镻4_L平面平面所以R4_L8C,

又因?yàn)镹8C￡>是矩形，所以BC_LN8,

因?yàn)?80尸/=力,所以?平面產(chǎn)48.

因?yàn)镻8u平面PAB，所以8C_L尸8、所以P8為P到BC的距離.

在矩形月88中，因?yàn)镹8C4=30。，AC=20,所以/8=10,

在直角三角形PAB中，由勾股定理得PB=>JPA2+AB2=V25+100=545,

所以P到8c的距離為5班.

故答案為：5^5.

方法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，在矩形4BGD中，Z5C4=30°,AC=20,

所以48=10,4。=10百，所以尸(0,0,5),5(10,0,0),C(10,105/3,0)

麗=(10,0,-5),而=(0,10后0),所以麗.而=o,

所以總為P到8c的距離.

|而卜V100+0+25=5忑'，所以p到8c的距離為5君.

故答案為：5亞

變式2.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平行六面體力88-4與中，以頂點(diǎn)N為端點(diǎn)的三條

棱長(zhǎng)都是a,S.AB1AD,44B=N4/D=60°,E為Cq的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為()

A.旦B.gC.JiaD.旦

10543

【答案】A

【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】???在平行六面體中，不妨設(shè)公=Z,AD=b.AAt=c.

否=萬(wàn)+而+麴=2+刃+3,甲=-1,

|j|=|/?|=|c|=a,db=0,d'C=h'C=axax2,

222

所以|布卜口+5+W=>ld+b+c+2d.b+2d-2+2cb=?,|年卜g"，

故選：A

變式3.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考三模）四面體OABC滿足ZAOB=ZBOC=ZCOA=90。,04=1,08=2,OC=3,

點(diǎn)。在棱OC上，且。C=3OD,點(diǎn)G為“I8C的重心，則點(diǎn)G到直線/￡）的距離為（）

A.—B.}C.3D.1

2233

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.

【詳解】四面體O48C滿足NAOB=Z.BOC=ACOA=90。，即OA,OB,OC兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以射線。4。8,。（7的正方向分別為》,，*軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

12

因?yàn)镺4=1,O8=2,OC=3,OC=3OD,則,

于是4G=(—；,：/),/￡>=(-1,0,1),%G卜J(_g)2+(92+F=^^,/G-AD=―x(—1)+1=-^,

所以點(diǎn)G到直線AD的距離d=i\AG\2

N西

故選：A

變式4.(2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖1,在等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=AD=\,CD=2,DE=EC,

沿4E將V4DE折成V/PE,如圖2所示，連接尸8,PC,得到四棱錐P-48CE.

圖1圖2

(1)若平面P/Ef]平面P8C=/,求證：IHBC；

(2)若點(diǎn)T是PC的中點(diǎn)，求點(diǎn)T到直線EB的距離的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意得到四邊形48CE是平行四邊形，證得/E〃3C,進(jìn)而證得8C〃平面R4￡,結(jié)合

線面平行的性質(zhì)定理，即可證得〃/8C.

(2)取4E中點(diǎn)O,以。為原點(diǎn)，過(guò)O作平面N8CE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-》戶，設(shè)

ZPOB=0(0<6?<^),求得后=()，￥(cos?+1),4in?和向量麗=，當(dāng),。，得到

麗?麗=](cos?+l),且同=1,結(jié)合點(diǎn)7到直線EB的距離

d=后2一面.研=。J-3cos20+2COS6E,即可求解.

【詳解】(1)證明：在梯形R8CO中，因?yàn)樵?//CE且/B=CE,

所以四邊形是平行四邊形，所以/E//BC,

又因?yàn)?Eu平面R4E，且5C<Z平面P4E,所以8C〃平面R4E,

因?yàn)?Cu平面P8C,且平面P/Efl平面P8C=/,所以l“BC.

(2)解：取ZE中點(diǎn)O,連接。民。P,因?yàn)槭堑冗吶切?，可得O8_LOE

以。為原點(diǎn)，。瓦08所在直線為x軸，y軸，過(guò)O作平面Z8CE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-中z,

如圖所示，

設(shè)/。05=。(0<。<乃)，

則尸［?！弧啊猻inAcfl,,T；，日(cos6+1),1sin8

-,o,Ego,o}B0,

2

\/\

所以￡T=0,-^-(cos^+1),-^sin^j,EB=——,-y-,0,ET-EB=-^^--^-(COS^+1)=-^(COS^+1),且

同=1,

則點(diǎn)T到直線EB的距離"=卮_面.函2

2

^-(COS0+1)1(cos6+l)

+」——力s.m”小-

4

=字J；(cos?+1)2+sin?3=*J-3cos2?+2cos8+5

因?yàn)橐?<COS6<1,所以當(dāng)cos6=；時(shí)，4nax二；；

當(dāng)cosOf-1時(shí)，4-0,所以點(diǎn)7到直線EB的距離的取值范圍是

變式5.(2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模)在梯形Z8CD中，AB//CD,D￡>=90°,力8=2直，AD=DC=C，

如圖1.現(xiàn)將△/DC沿對(duì)角線ZC折成直二面角P-/C-8,如圖2,點(diǎn)M在線段8尸上.

(1)求證：APLCM；

(2)若點(diǎn)〃到直線/C的距離為乎，求需的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

4

⑵3

【分析】(1)計(jì)算確定/C1C8,證明C8J■平面R4C,得到CBl/尸，再證明/P1平面PC8,得到答

案.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)器=2得到"(2-1,2-22,㈤，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公

Dr

式計(jì)算得到答案.

【詳解】(I)/C=Vm=2，NCAB=ZACD=45°,

5C2=4+8-2X2X2A/2X—=4,故8C=2,則4c8=90。，BPAC1CB,

2

乂平面P/C_L平面/CB,平面p/cn平面NC8=/C,

CBVAC,C8u平面NC8,故C8J_平面RIC,

4尸u平面刊C,則C8_L/?，

又P/_LPC,PCcCB=C,PC,C8u平面尸CB,所以ZP/平面尸C8,

乂CMu平面PC8,則/PLCM.

(2)設(shè)〉C中點(diǎn)為O,48中點(diǎn)為。,以04。。,OP為x,N,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

有/(1,0,0),C(-l,0,0),尸(0,0,1),5(-1,2,0),

設(shè)/'="W!lBM=ABP>設(shè)M(x,y,z),則(x+l,y-2,z)=2(l,-2,l),

貝0=(2,0,0),CA7=(A,2-2A,2),

點(diǎn)”到直線4C的距離為學(xué)4(CA-CMX

貝ljCM2=

4

即公+(2-24)2+笳即25%2-4(U+16=0,解得2=1,

所以嚅=4

BP5

考點(diǎn)二：求點(diǎn)到平面的距離

、［例2.(2023春?浙江溫州?高二校聯(lián)考期末)如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體-44GA中E為

線段。。的中點(diǎn).

(1)求證：平面48。，平面4CG4；

(2)求4到平面的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵：

【分析】(1)先證線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證結(jié)論；

(2)建立坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式可求答案.

【詳解】(I)因?yàn)?BCD—44G。是正方體，所以“4,平面Z8CD,所以44,80.

又BDLAC,AA^AC=A,所以8。工平面ZCG4，

8。u平面48。，所以平面483,平面NCG4.

(2)在正方體/8C￡>-44G4中，以用為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則4(1,0,1),4(1,0,0),

4(0,0,0),41,1,；),即=(1,0,1),m葩=(-1,0,0),設(shè)平面第E的一個(gè)法向量為

n=(x,y,z),.

n-BA=x+z=0

由〈—}.1，令2=2,則x=-2,?=1,即〃=(一2,1,2).

n-BlE=x+y+-z=0

29

設(shè)4到平面否的距離為d,則d==彳，即點(diǎn)4到平面力8f的距離為：

77J3

變式1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-/8C。中，PD1底面4BCD,底面

是矩形，/8=2/。=4,尸￡>=生叵芭是力的中點(diǎn)，麗=2而，則點(diǎn)C到平面。后尸的距離為（）

3而

B.孚

55

【答案】B

【分析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，刀，反，麗的方向分別為x,y,z軸的止方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量求解即可;

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，萬(wàn)N,反，而的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則力(0,0,0),C(0,4,0),Z(2,0,嘰耳2,4,9，/0，

因?yàn)镋是Q4的中點(diǎn)，麗=2萬(wàn)，

248^|

3*39~15~)

—?24

，皮=（0,4,0）.

設(shè)n=（xj,z）是平面DEF的法向量,

故點(diǎn)C到平面DEF的距離為隼了=孚.

H5

故選：B

變式2.（2023春?福建龍巖?高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐S。中，/8是底面圓O的直徑，SO=N8=4,

AC=BC,力為SO的中點(diǎn)，N為/。的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面S8C的距離為（）

45

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、。4、OS所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法可求得點(diǎn)N到平面58c的距離.

【詳解】因?yàn)?C=8C,。為的中點(diǎn)，則OCL/B,

由圓錐的幾何性質(zhì)可知SO_L平面/8C,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC、OA.OS所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

z

s,

-?

y

則S（0,0,4）、8（0,-2,0）、C（2,0,0）、｛（0,2,0）、￡＞（0,0,2）、N（0』,l）,

設(shè)平面SBC的法向量為I=（x,y,z）,前=（2,2,0）,麗=（0,2,4）,

n-BC=2x+2y=0-/、

則_?,取尸-2,可得〃=2,-2,1,

n-BS=2y+4z=0

一.1-6+115

又因?yàn)?N=（0,3,l）,所以，點(diǎn)N到平面S5C的距離為

故選：B.

變式3.（2023秋?重慶長(zhǎng)壽?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知P4_L平面/8C。，底面Z8CO為矩形，PA=AD=2,

AB=4,M、N分別為48、PC的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面P/D；

（2）求點(diǎn)D到平面PMC的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵竽

【分析】（1）取線段尸。的中點(diǎn)E,連接ZE、NE,證明出四邊形為平行四邊形，可得出〃/E,

再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD.4P所在自我分別為X、歹、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法可求得點(diǎn)D到平面PMC的距離.

【詳解】(1)證明：取中點(diǎn)E,連接NE、NE,

因?yàn)镹、E分別為PC、尸。的中點(diǎn)，則NE//CDB.NE=LCD,

2

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，則ABHCD且48=8,

因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，所以，4加//。。且/"=，。。，

2

所以，AMMNEHAM=NE,故四邊形/腦VE為平行四邊形，故MNHAE,

因?yàn)镸V2平面P/。，XEu平面4。，因此，MN〃平面PAD.

(2)解：因?yàn)槭?_L平面/8CD,底面/8CZ)為矩形，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD./P所在直線分別為X、歹、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則￡)(0,2,0)、P(0,0,2)、。(4,2,0)、“(2,0,0),

設(shè)平面PMC的法向量為7=(x,%z),麗=(-2,0,2),流=(2,2,0),

n?MP=-2x+2z=0,.一

則——,令x=l,可得〃=（1,一1,1）,

萬(wàn)MC=2x+2y=0'）

DCn

因?yàn)橛X(jué)=(4,0,0),故點(diǎn)D到平面PMC的距離為d=*44石

H

變式4.(2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中)如圖所示，四棱錐P-N8C。的底面是正方形，PO_L底面Z8C。,

E為尸C的中點(diǎn)，PD=DC=2.

p

（1）證明：P4"平面BDE；

⑵求點(diǎn)E到平面尸的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵冬

2

【分析】（1）利用空間向量方與平面以）E的法向量垂直可證結(jié)論正確；

（2）根據(jù)點(diǎn)面距的向量公式可求出結(jié)果.

【詳解】（1）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以次，DC，方的方向?yàn)閤軸，夕軸，z軸的正方向，并均以1為

單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),4(2,0,0),尸(0,0,2),￡(0,1,1),5(2,2,0),

所以⑸=（2,0,-2）,瓦=（0,1,1）,麗=（2,2,0）.

設(shè)4=（x,y,z）是平面以小的一個(gè)法向量,

ii.?DE=y+z=0

則＜__,令x=l,得y=-lZ=l,所以*=(1,-1,1).

4?DB=2x+2y=0

因?yàn)樘K司=2-2=0,所以方_L*,又因?yàn)镻/<Z平面

所以尸///平面8。瓦

（2）因?yàn)檐?（0,2,0）,5￡=（-2,-1,1）,

設(shè)乙是平面P/8的一個(gè)法向量,

n.-PA=2x-2z=0一/、

則1｛二—.ft0,令%=1，得%=O，Zo=l,所以〃2=(1,0,1).

n2?AB=2yo=0

1-2+11J?

所以點(diǎn)E到平面PAB的距離d=―jrzq—=--f=—=--.

同722

變式5.(2023?江蘇?高二專題練習(xí))如圖，四棱錐P-N8Q)的底面是矩形，PD1底面ZBCQ,PD=DC=l,

M為8c的中點(diǎn)，且

⑴求8C：

（2）求點(diǎn)B到平面PAM的距離.

【答案】（1）起

喈

【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)2c=2a,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用麗.新=0列出方程，求出°=也，

2

從而得到3c的長(zhǎng)；

（2）求出平面知用的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解.

【詳解】（1）：PZ）_L平面/BCD,四邊形/BCD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、。尸所在

直線分別為X、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一中Z,

設(shè)8c=2a,則。(0,0,0)、尸(0,0,1)、5(2°,1,0)、"(a,1,0)、J(2a,0,0),

則而=(2a,l,—1),AM=(-a,

???PBLAM,則麗.萬(wàn)7=-2/+l=0，解得.=正

2

故BC=2a=g：

(2)設(shè)平面均〃的法向量為三=(%%,%),貝IJ萬(wàn)7=(-*,1,0),AP=(-V2,0,l),

"?"AM=----x.+yI=0/——>//~\

由_2171，取士=應(yīng)，可得〃?=(啦,1,2卜

ffi-AP=-y/2x1-^z]=0

”=(0,1,0),

48.加1

1

???點(diǎn)B到平面PAM的距離d==77=T

變式6.（2023春?云南楚雄?高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱N5C-/4G中，E是線段8Q上靠近點(diǎn)8的

一個(gè)三等分點(diǎn)，。是NG的中點(diǎn).

（1）證明：4。〃平面2坊￡：

（2）若=/8=6,求點(diǎn)4到平面ABtE的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（I）取線段GE的中點(diǎn)G,連接4G,OG,，記48cABt=F,連接EF,證明DG//AE,EFUAfi,

從而可證得平面4〃G〃平面無(wú)，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證；

（2）取棱BC的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn)，分別以麗，刀的方向?yàn)閤,V軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

利用向量法求解即可.

【詳解】（1）取線段CE的中點(diǎn)G,連接&G,DG，48,記48cz用=尸，連接EF,

因?yàn)?。，G分別是"G，EC1的中點(diǎn)，所以O(shè)G///E,

因?yàn)?Eu平面44￡,。6色平面4片￡,所以。G〃平面月片￡,

III題意可知四邊形ABB4是矩形，則尸是43的中點(diǎn)，

因?yàn)镋是5G的中點(diǎn)，所以EF//A}G,

因?yàn)镋Fu平面AB}E,4G<￡平面AB}E,所以4G//平面AB、E,

因?yàn)椤，4Gu平面4DG，且Z>Gc4G=G,所以平面ZQG//平面,

因?yàn)锳}Du平面NQG,所以4。//平面AB}E；

(2)取棱8C的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，分別以而，亞的方向?yàn)閤,V軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?41=/8=6,所以4(0,—3>/^,6),A(0,—3y/3,0),用⑶0,6),￡(1,0,2),

則章=(0,0,-6),福=(3,36,6),“=(一2,0,7),

設(shè)平面/8也的法向量為;;=(x,%Z),

nAB.=3x+3y/3y+6z=0

則<___,令x=2則y=0,Z=-l,所以)=(2,0,-1),

n-BxE=-2x-4z=0

66>/5

故點(diǎn)4到平面48也的距離d=印T

開(kāi)飛F

考點(diǎn)三：求兩平行平面的距離

(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知正方體/8CD-44CQ的棱長(zhǎng)為4,設(shè)加、N、E、廠分別是

碼，4綜D?，與G，的中點(diǎn)，求平面與平面EF5。的距離.

Q

【答案】I

【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出平面EF5。的法向量，并證明平面〃平面￡尸3。于是兩平面

的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.利用向量距離公式求出即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸，夕軸，z軸.

則E(0,2,4),萬(wàn)(2,4,4),5(4,4,0),4(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),

.?.麗=(2,2,0),方=(0,2,4)同=@,-4,0).

設(shè)Z=(1,W,N)是平面￡7小。的個(gè)法向量,

〃7=一］

a-EF=02+2片0

則＜解得1所以

，瓦=02〃？+4〃=0〃=-

2

又因?yàn)槿f(wàn)7=(-2,2,0),初=(0,2,4)，

所以［初=0,7而=0,從而￡_L而,々J.麗，所以Z_L平面4WV,

所以平面⑷MN//平面EFBD,所以兩平面的距離即是點(diǎn)A到平面BDEF的距離.

從而兩平面間距離為理之=?.

1?13

變式1.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))兩平行平面見(jiàn)尸分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)力(1,2,3),且兩平面的一個(gè)法

向量斤=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()

A.72B.專C.73D.3&

【答案】A

【分析】由空間向量求解

【詳解】?.?兩平行平面a,尸分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)4(1,2,3),方=(1,2,3)，

且兩平面的一個(gè)法向量萬(wàn)=(-1,0,1),

...兩平面間的距離d=也半=多=72.

|?|近

故選：A

變式2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐。-48CZ＞中，底面N88是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA1

底面/BCD,OA=2,M、N、R分別是。4、BC、的中點(diǎn).求：

(1)直線MN與平面OCD的距離；

(2)平面MNR與平面OCD的距離.

【答案】(1)也

2

2

【分析】(1)證明出平面MVR〃平面。8,可得出〃平面OCD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AO

所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面OCQ的距離；

(2)利用空間向量法可求得平面MNR與平面。8的距離.

【詳解】(1)解：因?yàn)槠矫鎆8C。，四邊形/8C。為正方形，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、X。所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C（2,2,0）、￡＞（0,2,0）,0（0,0,2）,M（0,0,1）,N（2,l,0）、7?（0,l,0）,

因?yàn)镸、R分別為尸4、AD的中點(diǎn)，則MR//OD.

?.?MRU平面OCD,QDu平面OC。，.?."/?//平面OS,

因?yàn)锳。//8c且4）=8C,R、N分別為4。、8c的中點(diǎn)，則CN//RD且CN=RD,

所以，四邊形CDRN為平行四邊形，：.RN//CD,

AN仁平面OCZ）,CDu平面OCD,AN〃平面OCZ）,

MRCRN=R,MR、RNu平面MNR,；.平面平面OCD,

?.?MVu平面MNR,.?.〃乂〃平面。8,

設(shè)平面OCD的法向量為I=（x,y,z）,DC=（2,0,0）,DO=（0,-2,2）,

則匕黑2：=。取產(chǎn)i,可得；=（0,1,1）,NC=（0,l,0）,

-DO=—2y+2z=0

pVC-nliJ2

所以，直線AW與平面OC￡＞的距離為&=匚/=;方=5-.

甌臼16

（2）解：因?yàn)槠矫婺XV火〃平面。8,則平面與平面08的距離為4=」^|」=正=5-.

變式3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）直四棱柱/8CO-4BCQ|中，底面43。為正方形,邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱//=3,

M、N分別為4瓦、40的中點(diǎn)，E、尸分別是GQ，AG的中點(diǎn).

⑴求證：平面/MV〃平面EFBD；

（2）求平面AMN與平面EFBD的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵處

19

【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz,通

過(guò)證明麗=MNJM=而，再由面面平行的判定定理即可證明.

（2）法一：平面與平面EF8O的距離=5到平面的距離再由等體積法即可求出答案.法二:求

出平面ZAW的法向量,^=（0,2,0）,平面4MV與平面EF8O的距離等于3到平面4AW的距離〃，由點(diǎn)到

平面的距離公式即可求出答案.

【詳解】（1）法一:證明：連接用A，NF,〈M、N分別為耳及、4A的中點(diǎn)，

E、尸分別是GA，AG的中點(diǎn),

MNHEFHBP、,?：MNU平面EFBD,EFu平面EFBD,

MTV〃平面EF8。，?.?NF平行且等于,

ABFN是平行四邊形，,ANHBF,

?;4Na平面EFBD,BFu平面EFBD,ANHEFBD,

ANcMN=N,.；平面AMNH平面EFBD；

法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z,

則2(2,0,0),M(1,0,3),B(2,2,0),￡(0,1,3),

F(l,2,3),N(2,L3),.?.訪=(1,1,0),麗=(l,L0),

而=(T,0,3)旃=(-103),

~EF=MN,AM=而,■■EFUMN,AMUBF,

:MN0平面EFBD,EFu平面EFBD,:.MN〃平面EFBD,

?;4N<Z平面EFBD,BFu平面EFBD,/.ANHT?EFBD.

又MVcZM=",.,.平面AMN//平面EFBD,

（2）法一:平面4MN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離h.

中，AM=AN=M，MN=6,SAAMN=yV2-

由等體積可得LY叵人，.?./)=M9.

323219

法二:

設(shè)平面4MV的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

近?MN=x+y=0/、

則一，則可取萬(wàn)=(3,-3,1),

n-AM=-x+3z=0

vZe=(o,2,o),

\n-6

???平面AMN與平面EFBD的距離為d=/°=匕2

|n|J9+9+119

變式4.【多選】（2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期中）己知正方體。的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)反。分

別是力4、4G的中點(diǎn)，尸滿足40=：/8+5力。+§44,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)A到直線5E的距離是半

B.點(diǎn)。到平面/8和〃的距離為正

4

C.平面48。與平面5cA間的距離為氈

3

D.點(diǎn)P到直線43的距離為二25

【答案】AB

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積

求得各個(gè)選項(xiàng)的距離，得出結(jié)論.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則2(0,0,0),8(1,0,0),

0(0,1,0),4(0,0,1),G(1,1,1他0,1,160,1

uuruur(i、

所以反1=(-1,0,0),"=卜5,0,1J.

設(shè)N48E=O,則cos(9=

sin6=A/1-COS20=~

故A到直線BE的距離&=|溫卜出。=以乎=乎，故A對(duì).

易知而=；不;=（一；,-；,0）,

平面/BG2的一個(gè)法向量西=（0，-|/），

防汛!721

則點(diǎn)。到平面4BCn的距離4=故B對(duì).

一^=正=4

UUUUUULUUUU

力出二(1,0,—1),4。=(0,1,—1),4。=(0,1,0).

設(shè)平面4BD的法向量為〃=（x,y,z）,

萬(wàn).48=()x-z=0

,所以

萬(wàn)麗=0y-z=0

令z=l,得y=l,x=l,

所以”=(1,1,1).

所以點(diǎn)A到平面ABD的距離4=圖必1_下)

1?1

因?yàn)槠矫?8。〃平面耳C。,

所以平面4BD與平面3cA間的距離等于點(diǎn)M到平面4BD的距離,

所以平面4即與平面5。0間的距離為且，故C錯(cuò).

3

—*3—?1—?2—

因?yàn)?P=—43+—Z0+—,

所以萬(wàn)=（瀉）

—./、APAB3

又"=（1,0,0）,則干或=1

所以點(diǎn)P到48的距離W=j"錯(cuò)C=借_[=*,故D錯(cuò).

故選：AB.

考點(diǎn)四：求兩條異面直線的距離

【多選】（2023?遼寧朝陽(yáng)?校聯(lián)考一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，M為BG

的中點(diǎn)，E為4G與的交點(diǎn)，尸為8W與C片的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.4G與。8垂直

B.E尸是異面直線4cl與8c的公垂線段,

c.異面直線4G與qc所成的角為5

D.異面直線4G與AC間的距離為也

3

【答案】ABD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量逐項(xiàng)分析.

【詳解】以。為原點(diǎn)，D4為x軸，OC為y軸，DDt為z軸，建立如下圖所示坐標(biāo)系:

則：。(0,0,0),/(1,0,0),8(1,1,0)((01,0),4(1,0,1),四(1,1,1),G(o』』),"[,1,1

￡>(0,0,l),^M=f1,l,0|，4C；

1=(1,0,0),

7

設(shè)E(Xo，K，z()),/(X|,%,Z|)，4E=44G'D|E』D\M,

，4￡=44G=4(z)C-Q/J,

則有：=^D]M=^\D]C+-

又Q|E=24+4瓦?.?〃()（前+；磯=福+4甌一殉,

1

2.22?

解得4=4=5，.?.4E=(Xo-l/o，z()-l)=§(-l,l,O),<盟=]，后,同理可得尸