第11講 用空間向量研究距離、夾角問題11種常見考法歸類-【暑假自學課】2023年新高二數(shù)學暑假課（人教A版2019選擇性必修第一冊）解析版

第11講用空間向量研究距離、夾角問題11種常見考法歸類

---------------------------------------------------------

學習目標

------V—-------

會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關的角的三角函數(shù)值；會用向量法求點點、點線、點

面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關的面積與體積.

X函基礎知識

----------------llllllllllllllllllllillllllllllllllllllli---------------------

知識點1空間距離及向量求法

分

點到直線的距離點到平面的距離

類

設已知平面a的法向量為n,Nda,P生a,向量是

設“為直線/的單位方向向量,NG/,Pe/,AP

文向量左在平面上的投影向量，

字=a,向量N在直線/上的投影向量為邁

方瑞|=帝

語

CAQ=(???)//.)，IM

1.

注：實質上，"是直線/的方向向量，點尸到平面a

的距離就是辦在直線/上的投影向量小的長度.

注意點:

(1)兩條平行直線之間的距離：在其中一條直線上取定一點，則該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線

之間的距離.

(2)如果一條直線/與一個平面a平行，可在直線/上任取一點P,將線面距離轉化為點P到平面a的距離求解.

(3)如果兩個平面a,?；ハ嗥叫校谄渲幸粋€平面a內任取一點尸，可將兩個平行平面的距離轉化為點尸到平

面”的距離求解.

知識點2空間角及向量求法

角的分向量求法范圍

類

(1)兩異面直線所成角的范圍

是卜3

設兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別為U,O,

異面直

則

線所成(2)兩異面直線所成的角與其

cosl9=|cos<u,v)1=-^-^-

的角方向向量的夾角是相等或互補的

關系.

E

⑴線面角的范圍為0-21

設直線/與平面a所成的角為仇/的方向向量為u,平面a的法

直線與

⑵直線與平面所成的角等于其方

向量為n,則

平面所

向向量與平面法向量所成銳角的

|=」“川

成的角sin0=|cos<u,n>

同Ml余角.

⑴兩個平面的夾角的范圍是

平面a與平面/相交，形成四個二面角，把不大于;的二面角稱

兩平面0,-

為這兩個平面的夾角.設平面4與平面夕的夾角為仇兩平面處L2_

的夾角

(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾

口的法向量分別為m,n2,則cosJ=|co§<ni,血〉|=也叫

1?1||?2|角或其補角.

思考：(1)兩個平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？

平面a與平面/?的夾角：平面a與平面//相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角

0—

稱為平面a與平面//的夾角.二面角的平面角范圍是|0,rt|,而兩個平面的夾角的范圍是_'2_

(2)平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關系？

兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補角.

也解題策略

-------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHI1IHIIIIIIIIII---------------------

1、用向量法求點到直線的距離的一般步驟

(1)求直線的方向向量.

(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.

(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.

2、求點到平面的距離的四步驟

注：線面距、面面距實質上都是求點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平

行.

3、基向量法求異面直線的夾角的一般步驟

(1)找基底.

(2)用同一組基底表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量夾角公式求出兩條直線的方向向量夾角的余弦值.

(4)結合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角.

4、用空間向量法求異面直線夾角的步驟

(1)確定兩條異面直線的方向向量.

(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值.

(3)得出兩條異面直線所成的角.

5、求直線與平面所成角的思路與步驟

思路一：找直線在平面內的射影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某

一三角函數(shù)值).

思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面所成

角的基本步驟：

①建立空間直角坐標系；

②求直線的方向向量7萬；

③求平面的法向量”；

④計算：設線面角為仇則sin，=-

I"M4B|

6、向量法求兩平面的夾角(或其某個三角函數(shù)值)的三個步驟

求兩平面夾角的兩種方法

(1)定義法：在兩個平面內分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也

可轉化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.

(2)法向量法:

①建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鱿鄳c的坐標；

②求出兩個半平面的法向量“1,?2；

③設兩平面的夾角為仇則COS，=|COS〈"I,"2〉

【當〈n\,"2〉W2時］或兀一〈〃1,“2》（當〈"1,"2〉egn時］

［注意］若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解.

7、立體幾何中的探索性問題

立體幾何中的探索性問題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度.

這類題型常以適合某種條件的結論“存在”“不存在"''是否存在”等語句表述.解答這類問題，一

般要先對結論作出肯定的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證，若導致合理的結

論，則存在性也隨之解決；若導致矛盾，則否定了存在性.

jC考點剖.

Itlllllllllllllllllllllllllllllllllllllll-------------------

考點一：求點到直線的距離

|'例1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）己知空間三點力（2,1,0）,8（2,1,-1）,C（l,0,1）,則點C到直

線AB的距離為.

【答案】a

【分析】根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】易知太=（-1,-1,1）,萬=（0,0,-1）,

則H二國H帚|邛，sin回畫/，

故點C到直線AB的距離為國.sin（AC,硝=百x4=a.

故答案為：V2.

變式1.（2023秋?高二課時練習）矩形/BCQ中，ZBCA=30°,AC=20,PZ1平面ZBCZ）,且PN=5,

則P到BC的距離為.

【答案】5指

【分析】利用點到直線距離的定義進行求解，注意做題的規(guī)范性：作、證、指、求，或者是建立坐標系用空

間向量方法去求.

【詳解】方法一：如圖，因為P4_L平面平面所以R4_L8C,

又因為N8C￡>是矩形，所以BC_LN8,

因為/80尸/=力,所以?平面產48.

因為P8u平面PAB，所以8C_L尸8、所以P8為P到BC的距離.

在矩形月88中，因為N8C4=30。，AC=20,所以/8=10,

在直角三角形PAB中，由勾股定理得PB=>JPA2+AB2=V25+100=545,

所以P到8c的距離為5班.

故答案為：5^5.

方法二：建立如圖所示坐標系，在矩形4BGD中，Z5C4=30°,AC=20,

所以48=10,4。=10百，所以尸(0,0,5),5(10,0,0),C(10,105/3,0)

麗=(10,0,-5),而=(0,10后0),所以麗.而=o,

所以總為P到8c的距離.

|而卜V100+0+25=5忑'，所以p到8c的距離為5君.

故答案為：5亞

變式2.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預測)如圖，在平行六面體力88-4與中，以頂點N為端點的三條

棱長都是a,S.AB1AD,44B=N4/D=60°,E為Cq的中點，則點E到直線的距離為()

A.旦B.gC.JiaD.旦

10543

【答案】A

【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長，結合點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】???在平行六面體中，不妨設公=Z,AD=b.AAt=c.

否=萬+而+麴=2+刃+3,甲=-1,

|j|=|/?|=|c|=a,db=0,d'C=h'C=axax2,

222

所以|布卜口+5+W=>ld+b+c+2d.b+2d-2+2cb=?,|年卜g"，

故選：A

變式3.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考三模）四面體OABC滿足ZAOB=ZBOC=ZCOA=90。,04=1,08=2,OC=3,

點。在棱OC上，且。C=3OD,點G為“I8C的重心，則點G到直線/￡）的距離為（）

A.—B.}C.3D.1

2233

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，再利用向量求出點到直線的距離作答.

【詳解】四面體O48C滿足NAOB=Z.BOC=ACOA=90。，即OA,OB,OC兩兩垂直，

以點。為原點，以射線。4。8,。（7的正方向分別為》,，*軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

12

因為O4=1,O8=2,OC=3,OC=3OD,則,

于是4G=(—；,：/),/￡>=(-1,0,1),%G卜J(_g)2+(92+F=^^,/G-AD=―x(—1)+1=-^,

所以點G到直線AD的距離d=i\AG\2

N西

故選：A

變式4.(2023?吉林?統(tǒng)考模擬預測)如圖1,在等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=AD=\,CD=2,DE=EC,

沿4E將V4DE折成V/PE,如圖2所示，連接尸8,PC,得到四棱錐P-48CE.

圖1圖2

(1)若平面P/Ef]平面P8C=/,求證：IHBC；

(2)若點T是PC的中點，求點T到直線EB的距離的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意得到四邊形48CE是平行四邊形，證得/E〃3C,進而證得8C〃平面R4￡,結合

線面平行的性質定理，即可證得〃/8C.

(2)取4E中點O,以。為原點，過O作平面N8CE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系。-》戶，設

ZPOB=0(0<6?<^),求得后=()，￥(cos?+1),4in?和向量麗=，當,。，得到

麗?麗=](cos?+l),且同=1,結合點7到直線EB的距離

d=后2一面.研=。J-3cos20+2COS6E,即可求解.

【詳解】(1)證明：在梯形R8CO中，因為月8//CE且/B=CE,

所以四邊形是平行四邊形，所以/E//BC,

又因為4Eu平面R4E，且5C<Z平面P4E,所以8C〃平面R4E,

因為8Cu平面P8C,且平面P/Efl平面P8C=/,所以l“BC.

(2)解：取ZE中點O,連接。民。P,因為是等邊三角形，可得O8_LOE

以。為原點，。瓦08所在直線為x軸，y軸，過O作平面Z8CE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系。-中z,

如圖所示，

設/。05=。(0<。<乃)，

則尸［?！弧啊猻inAcfl,,T；，日(cos6+1),1sin8

-,o,Ego,o}B0,

2

\/\

所以￡T=0,-^-(cos^+1),-^sin^j,EB=——,-y-,0,ET-EB=-^^--^-(COS^+1)=-^(COS^+1),且

同=1,

則點T到直線EB的距離"=卮_面.函2

2

^-(COS0+1)1(cos6+l)

+」——力s.m”小-

4

=字J；(cos?+1)2+sin?3=*J-3cos2?+2cos8+5

因為一1<COS6<1,所以當cos6=；時，4nax二；；

當cosOf-1時，4-0,所以點7到直線EB的距離的取值范圍是

變式5.(2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模)在梯形Z8CD中，AB//CD,D￡>=90°,力8=2直，AD=DC=C，

如圖1.現(xiàn)將△/DC沿對角線ZC折成直二面角P-/C-8,如圖2,點M在線段8尸上.

(1)求證：APLCM；

(2)若點〃到直線/C的距離為乎，求需的值.

【答案】(1)證明見解析

4

⑵3

【分析】(1)計算確定/C1C8,證明C8J■平面R4C,得到CBl/尸，再證明/P1平面PC8,得到答

案.

(2)建立空間直角坐標系，得到各點坐標，設器=2得到"(2-1,2-22,㈤，再根據(jù)點到直線的距離公

Dr

式計算得到答案.

【詳解】(I)/C=Vm=2，NCAB=ZACD=45°,

5C2=4+8-2X2X2A/2X—=4,故8C=2,則4c8=90。，BPAC1CB,

2

乂平面P/C_L平面/CB,平面p/cn平面NC8=/C,

CBVAC,C8u平面NC8,故C8J_平面RIC,

4尸u平面刊C,則C8_L/?，

又P/_LPC,PCcCB=C,PC,C8u平面尸CB,所以ZP/平面尸C8,

乂CMu平面PC8,則/PLCM.

(2)設〉C中點為O,48中點為。,以04。。,OP為x,N,z軸建立空間直角坐標系,

如圖所示：

有/(1,0,0),C(-l,0,0),尸(0,0,1),5(-1,2,0),

設/'="W!lBM=ABP>設M(x,y,z),則(x+l,y-2,z)=2(l,-2,l),

貝0=(2,0,0),CA7=(A,2-2A,2),

點”到直線4C的距離為學4(CA-CMX

貝ljCM2=

4

即公+(2-24)2+笳即25%2-4(U+16=0,解得2=1,

所以嚅=4

BP5

考點二：求點到平面的距離

、［例2.(2023春?浙江溫州?高二校聯(lián)考期末)如圖所示，在棱長為1的正方體-44GA中E為

線段。。的中點.

(1)求證：平面48。，平面4CG4；

(2)求4到平面的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵：

【分析】(1)先證線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證結論；

(2)建立坐標系，結合空間向量，利用點到平面的距離公式可求答案.

【詳解】(I)因為/BCD—44G。是正方體，所以“4,平面Z8CD,所以44,80.

又BDLAC,AA^AC=A,所以8。工平面ZCG4，

8。u平面48。，所以平面483,平面NCG4.

(2)在正方體/8C￡>-44G4中，以用為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則4(1,0,1),4(1,0,0),

4(0,0,0),41,1,；),即=(1,0,1),m葩=(-1,0,0),設平面第E的一個法向量為

n=(x,y,z),.

n-BA=x+z=0

由〈—}.1，令2=2,則x=-2,?=1,即〃=(一2,1,2).

n-BlE=x+y+-z=0

29

設4到平面否的距離為d,則d==彳，即點4到平面力8f的距離為：

77J3

變式1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-/8C。中，PD1底面4BCD,底面

是矩形，/8=2/。=4,尸￡>=生叵芭是力的中點，麗=2而，則點C到平面。后尸的距離為（）

3而

B.孚

55

【答案】B

【分析】如圖，以。為坐標原點，刀，反，麗的方向分別為x,y,z軸的止方向，建立空間直角坐標系，利

用空間向量求解即可;

【詳解】如圖，以。為坐標原點，萬N,反，而的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系,

則力(0,0,0),C(0,4,0),Z(2,0,嘰耳2,4,9，/0，

因為E是Q4的中點，麗=2萬，

248^|

3*39~15~)

—?24

，皮=（0,4,0）.

設n=（xj,z）是平面DEF的法向量,

故點C到平面DEF的距離為隼了=孚.

H5

故選：B

變式2.（2023春?福建龍巖?高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐S。中，/8是底面圓O的直徑，SO=N8=4,

AC=BC,力為SO的中點，N為/。的中點，則點N到平面S8C的距離為（）

45

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【分析】以點。為坐標原點，OC、。4、OS所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直角坐標系，利用空間

向量法可求得點N到平面58c的距離.

【詳解】因為/C=8C,。為的中點，則OCL/B,

由圓錐的幾何性質可知SO_L平面/8C,

以點。為坐標原點，OC、OA.OS所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

z

s,

-?

y

則S（0,0,4）、8（0,-2,0）、C（2,0,0）、｛（0,2,0）、￡＞（0,0,2）、N（0』,l）,

設平面SBC的法向量為I=（x,y,z）,前=（2,2,0）,麗=（0,2,4）,

n-BC=2x+2y=0-/、

則_?,取尸-2,可得〃=2,-2,1,

n-BS=2y+4z=0

一.1-6+115

又因為8N=（0,3,l）,所以，點N到平面S5C的距離為

故選：B.

變式3.（2023秋?重慶長壽?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知P4_L平面/8C。，底面Z8CO為矩形，PA=AD=2,

AB=4,M、N分別為48、PC的中點.

（1）求證：MN//平面P/D；

（2）求點D到平面PMC的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵竽

【分析】（1）取線段尸。的中點E,連接ZE、NE,證明出四邊形為平行四邊形，可得出〃/E,

再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；

(2)以點A為坐標原點，AB、AD.4P所在自我分別為X、歹、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向

量法可求得點D到平面PMC的距離.

【詳解】(1)證明：取中點E,連接NE、NE,

因為N、E分別為PC、尸。的中點，則NE//CDB.NE=LCD,

2

因為四邊形ABCD為矩形，則ABHCD且48=8,

因為〃為的中點，所以，4加//。。且/"=，。。，

2

所以，AMMNEHAM=NE,故四邊形/腦VE為平行四邊形，故MNHAE,

因為MV2平面P/。，XEu平面4。，因此，MN〃平面PAD.

(2)解：因為尸4_L平面/8CD,底面/8CZ)為矩形，

以點A為坐標原點，AB.AD./P所在直線分別為X、歹、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則￡)(0,2,0)、P(0,0,2)、。(4,2,0)、“(2,0,0),

設平面PMC的法向量為7=(x,%z),麗=(-2,0,2),流=(2,2,0),

n?MP=-2x+2z=0,.一

則——,令x=l,可得〃=（1,一1,1）,

萬MC=2x+2y=0'）

DCn

因為覺=(4,0,0),故點D到平面PMC的距離為d=*44石

H

變式4.(2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中)如圖所示，四棱錐P-N8C。的底面是正方形，PO_L底面Z8C。,

E為尸C的中點，PD=DC=2.

p

（1）證明：P4"平面BDE；

⑵求點E到平面尸的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵冬

2

【分析】（1）利用空間向量方與平面以）E的法向量垂直可證結論正確；

（2）根據(jù)點面距的向量公式可求出結果.

【詳解】（1）以。為坐標原點，分別以次，DC，方的方向為x軸，夕軸，z軸的正方向，并均以1為

單位長度，建立空間直角坐標系.

則。(0,0,0),4(2,0,0),尸(0,0,2),￡(0,1,1),5(2,2,0),

所以⑸=（2,0,-2）,瓦=（0,1,1）,麗=（2,2,0）.

設4=（x,y,z）是平面以小的一個法向量,

ii.?DE=y+z=0

則＜__,令x=l,得y=-lZ=l,所以*=(1,-1,1).

4?DB=2x+2y=0

因為蘇司=2-2=0,所以方_L*,又因為P/<Z平面

所以尸///平面8。瓦

（2）因為荏=（0,2,0）,5￡=（-2,-1,1）,

設乙是平面P/8的一個法向量,

n.-PA=2x-2z=0一/、

則1｛二—.ft0,令%=1，得%=O，Zo=l,所以〃2=(1,0,1).

n2?AB=2yo=0

1-2+11J?

所以點E到平面PAB的距離d=―jrzq—=--f=—=--.

同722

變式5.(2023?江蘇?高二專題練習)如圖，四棱錐P-N8Q)的底面是矩形，PD1底面ZBCQ,PD=DC=l,

M為8c的中點，且

⑴求8C：

（2）求點B到平面PAM的距離.

【答案】（1）起

喈

【分析】（I）建立空間直角坐標系，設2c=2a,寫出各點坐標，利用麗.新=0列出方程，求出°=也，

2

從而得到3c的長；

（2）求出平面知用的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解.

【詳解】（1）：PZ）_L平面/BCD,四邊形/BCD為矩形，不妨以點。為坐標原點，DA、DC、。尸所在

直線分別為X、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系。一中Z,

設8c=2a,則。(0,0,0)、尸(0,0,1)、5(2°,1,0)、"(a,1,0)、J(2a,0,0),

則而=(2a,l,—1),AM=(-a,

???PBLAM,則麗.萬7=-2/+l=0，解得.=正

2

故BC=2a=g：

(2)設平面均〃的法向量為三=(%%,%),貝IJ萬7=(-*,1,0),AP=(-V2,0,l),

"?"AM=----x.+yI=0/——>//~\

由_2171，取士=應，可得〃?=(啦,1,2卜

ffi-AP=-y/2x1-^z]=0

”=(0,1,0),

48.加1

1

???點B到平面PAM的距離d==77=T

變式6.（2023春?云南楚雄?高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱N5C-/4G中，E是線段8Q上靠近點8的

一個三等分點，。是NG的中點.

（1）證明：4?！ㄆ矫?坊￡：

（2）若=/8=6,求點4到平面ABtE的距離.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（I）取線段GE的中點G,連接4G,OG,，記48cABt=F,連接EF,證明DG//AE,EFUAfi,

從而可證得平面4〃G〃平面無，再根據(jù)面面平行的性質即可得證；

（2）取棱BC的中點O,以O為原點，分別以麗，刀的方向為x,V軸的正方向，建立空間直角坐標系,

利用向量法求解即可.

【詳解】（1）取線段CE的中點G,連接&G,DG，48,記48cz用=尸，連接EF,

因為。，G分別是"G，EC1的中點，所以OG///E,

因為/Eu平面44￡,。6色平面4片￡,所以。G〃平面月片￡,

III題意可知四邊形ABB4是矩形，則尸是43的中點，

因為E是5G的中點，所以EF//A}G,

因為EFu平面AB}E,4G<￡平面AB}E,所以4G//平面AB、E,

因為。G，4Gu平面4DG，且Z>Gc4G=G,所以平面ZQG//平面,

因為A}Du平面NQG,所以4。//平面AB}E；

(2)取棱8C的中點。，以。為原點，分別以而，亞的方向為x,V軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標系，

因為441=/8=6,所以4(0,—3>/^,6),A(0,—3y/3,0),用⑶0,6),￡(1,0,2),

則章=(0,0,-6),福=(3,36,6),“=(一2,0,7),

設平面/8也的法向量為;;=(x,%Z),

nAB.=3x+3y/3y+6z=0

則<___,令x=2則y=0,Z=-l,所以)=(2,0,-1),

n-BxE=-2x-4z=0

66>/5

故點4到平面48也的距離d=印T

開飛F

考點三：求兩平行平面的距離

(2023秋?高二課時練習)已知正方體/8CD-44CQ的棱長為4,設加、N、E、廠分別是

碼，4綜D?，與G，的中點，求平面與平面EF5。的距離.

Q

【答案】I

【分析】建立適當空間直角坐標系，求出平面EF5。的法向量，并證明平面〃平面￡尸3。于是兩平面

的距離轉化為點到平面的距離.利用向量距離公式求出即可.

【詳解】以。為坐標原點，以所在直線分別為x軸，夕軸，z軸.

則E(0,2,4),萬(2,4,4),5(4,4,0),4(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),

.?.麗=(2,2,0),方=(0,2,4)同=@,-4,0).

設Z=(1,W,N)是平面￡7小。的個法向量,

〃7=一］

a-EF=02+2片0

則＜解得1所以

，瓦=02〃？+4〃=0〃=-

2

又因為萬7=(-2,2,0),初=(0,2,4)，

所以［初=0,7而=0,從而￡_L而,々J.麗，所以Z_L平面4WV,

所以平面⑷MN//平面EFBD,所以兩平面的距離即是點A到平面BDEF的距離.

從而兩平面間距離為理之=?.

1?13

變式1.(2023春?高二課時練習)兩平行平面見尸分別經(jīng)過坐標原點。和點力(1,2,3),且兩平面的一個法

向量斤=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()

A.72B.專C.73D.3&

【答案】A

【分析】由空間向量求解

【詳解】?.?兩平行平面a,尸分別經(jīng)過坐標原點。和點4(1,2,3),方=(1,2,3)，

且兩平面的一個法向量萬=(-1,0,1),

...兩平面間的距離d=也半=多=72.

|?|近

故選：A

變式2.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐。-48CZ＞中，底面N88是邊長為2的正方形，OA1

底面/BCD,OA=2,M、N、R分別是。4、BC、的中點.求：

(1)直線MN與平面OCD的距離；

(2)平面MNR與平面OCD的距離.

【答案】(1)也

2

2

【分析】(1)證明出平面MVR〃平面。8,可得出〃平面OCD,以點A為坐標原點，AB、AD、AO

所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面OCQ的距離；

(2)利用空間向量法可求得平面MNR與平面。8的距離.

【詳解】(1)解：因為平面Z8C。，四邊形/8C。為正方形，

以點A為坐標原點，AB、AD、X。所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則C（2,2,0）、￡＞（0,2,0）,0（0,0,2）,M（0,0,1）,N（2,l,0）、7?（0,l,0）,

因為M、R分別為尸4、AD的中點，則MR//OD.

?.?MRU平面OCD,QDu平面OC。，.?."/?//平面OS,

因為A。//8c且4）=8C,R、N分別為4。、8c的中點，則CN//RD且CN=RD,

所以，四邊形CDRN為平行四邊形，：.RN//CD,

AN仁平面OCZ）,CDu平面OCD,AN〃平面OCZ）,

MRCRN=R,MR、RNu平面MNR,；.平面平面OCD,

?.?MVu平面MNR,.?.〃乂〃平面。8,

設平面OCD的法向量為I=（x,y,z）,DC=（2,0,0）,DO=（0,-2,2）,

則匕黑2：=。取產i,可得；=（0,1,1）,NC=（0,l,0）,

-DO=—2y+2z=0

pVC-nliJ2

所以，直線AW與平面OC￡＞的距離為&=匚/=;方=5-.

甌臼16

（2）解：因為平面腦V火〃平面。8,則平面與平面08的距離為4=」^|」=正=5-.

變式3.（2023春?高二課時練習）直四棱柱/8CO-4BCQ|中，底面43。為正方形,邊長為2,側棱//=3,

M、N分別為4瓦、40的中點，E、尸分別是GQ，AG的中點.

⑴求證：平面/MV〃平面EFBD；

（2）求平面AMN與平面EFBD的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵處

19

【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標系Q-xyz,通

過證明麗=MNJM=而，再由面面平行的判定定理即可證明.

（2）法一：平面與平面EF8O的距離=5到平面的距離再由等體積法即可求出答案.法二:求

出平面ZAW的法向量,^=（0,2,0）,平面4MV與平面EF8O的距離等于3到平面4AW的距離〃，由點到

平面的距離公式即可求出答案.

【詳解】（1）法一:證明：連接用A，NF,〈M、N分別為耳及、4A的中點，

E、尸分別是GA，AG的中點,

MNHEFHBP、,?：MNU平面EFBD,EFu平面EFBD,

MTV〃平面EF8。，?.?NF平行且等于,

ABFN是平行四邊形，,ANHBF,

?;4Na平面EFBD,BFu平面EFBD,ANHEFBD,

ANcMN=N,.；平面AMNH平面EFBD；

法二：如圖所示，建立空間直角坐標系。-肛z,

則2(2,0,0),M(1,0,3),B(2,2,0),￡(0,1,3),

F(l,2,3),N(2,L3),.?.訪=(1,1,0),麗=(l,L0),

而=(T,0,3)旃=(-103),

~EF=MN,AM=而,■■EFUMN,AMUBF,

:MN0平面EFBD,EFu平面EFBD,:.MN〃平面EFBD,

?;4N<Z平面EFBD,BFu平面EFBD,/.ANHT?EFBD.

又MVcZM=",.,.平面AMN//平面EFBD,

（2）法一:平面4MN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離h.

中，AM=AN=M，MN=6,SAAMN=yV2-

由等體積可得LY叵人，.?./)=M9.

323219

法二:

設平面4MV的一個法向量為五=(x,y,z),

近?MN=x+y=0/、

則一，則可取萬=(3,-3,1),

n-AM=-x+3z=0

vZe=(o,2,o),

\n-6

???平面AMN與平面EFBD的距離為d=/°=匕2

|n|J9+9+119

變式4.【多選】（2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期中）己知正方體。的棱長為1,點反。分

別是力4、4G的中點，尸滿足40=：/8+5力。+§44,則下列說法正確的是（）

A.點A到直線5E的距離是半

B.點。到平面/8和〃的距離為正

4

C.平面48。與平面5cA間的距離為氈

3

D.點P到直線43的距離為二25

【答案】AB

【分析】建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用直線的方向向量和平面的法向量結合空間向量數(shù)量積

求得各個選項的距離，得出結論.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標系,

則2(0,0,0),8(1,0,0),

0(0,1,0),4(0,0,1),G(1,1,1他0,1,160,1

uuruur(i、

所以反1=(-1,0,0),"=卜5,0,1J.

設N48E=O,則cos(9=

sin6=A/1-COS20=~

故A到直線BE的距離&=|溫卜出。=以乎=乎，故A對.

易知而=；不;=（一；,-；,0）,

平面/BG2的一個法向量西=（0，-|/），

防汛!721

則點。到平面4BCn的距離4=故B對.

一^=正=4

UUUUUULUUUU

力出二(1,0,—1),4。=(0,1,—1),4。=(0,1,0).

設平面4BD的法向量為〃=（x,y,z）,

萬.48=()x-z=0

,所以

萬麗=0y-z=0

令z=l,得y=l,x=l,

所以”=(1,1,1).

所以點A到平面ABD的距離4=圖必1_下)

1?1

因為平面48?！ㄆ矫娑鶦。,

所以平面4BD與平面3cA間的距離等于點M到平面4BD的距離,

所以平面4即與平面5。0間的距離為且，故C錯.

3

—*3—?1—?2—

因為4P=—43+—Z0+—,

所以萬=（瀉）

—./、APAB3

又"=（1,0,0）,則干或=1

所以點P到48的距離W=j"錯C=借_[=*,故D錯.

故選：AB.

考點四：求兩條異面直線的距離

【多選】（2023?遼寧朝陽?校聯(lián)考一模）如圖，在棱長為1正方體中，M為BG

的中點，E為4G與的交點，尸為8W與C片的交點，則下列說法正確的是（）

A.4G與。8垂直

B.E尸是異面直線4cl與8c的公垂線段,

c.異面直線4G與qc所成的角為5

D.異面直線4G與AC間的距離為也

3

【答案】ABD

【分析】建立空間直角坐標系，運用空間向量逐項分析.

【詳解】以。為原點，D4為x軸，OC為y軸，DDt為z軸，建立如下圖所示坐標系:

則：。(0,0,0),/(1,0,0),8(1,1,0)((01,0),4(1,0,1),四(1,1,1),G(o』』),"[,1,1

￡>(0,0,l),^M=f1,l,0|，4C；

1=(1,0,0),

7

設E(Xo，K，z()),/(X|,%,Z|)，4E=44G'D|E』D\M,

，4￡=44G=4(z)C-Q/J,

則有：=^D]M=^\D]C+-

又Q|E=24+4瓦?.?〃()（前+；磯=福+4甌一殉,

1

2.22?

解得4=4=5，.?.4E=(Xo-l/o，z()-l)=§(-l,l,O),<盟=]，后,同理可得尸