《多元統(tǒng)計分析-基于R（第3版）》課件 第9章-主成分分析

主編：費宇中國人民大學出版社第9章主成分分析2024/7/312

主成分分析（principalcomponentanalysis，PCA）是將具有相關關系的多個變量有效地轉化為少數(shù)幾個綜合變量來處理，從而簡化相關統(tǒng)計分析的一種多元統(tǒng)計方法．主成分分析也稱主分量分析，是由Pearson于1901年首先提出，到1933年由Hotelling加以完善后發(fā)展起來的．目前，在涉及到高維數(shù)據(jù)分析處理的諸多領域主成分分析都有廣泛的應用．本章介紹主成分的基本思想、總體主成分和樣本主成分的定義、性質、主成分的計算和解釋、主成分回歸等．2024/7/313

基本思想：用個數(shù)較少，但是保留了原始變量的大部分信息幾個不相關的綜合變量(即主成分)來代替原來較多的變量，從而可以簡化數(shù)據(jù)，對原來復雜的數(shù)據(jù)關系進行簡明有效的統(tǒng)計分析．

主成分分析的本質就是“有效降維”，既要減少變量個數(shù)，又不能損失太多信息．換句話說，就是“降噪”、“擠水分”或者說“冗余消除”，將高維數(shù)據(jù)有效地轉化為低維數(shù)據(jù)來處理．揭示變量之間的內在聯(lián)系，進而分析解決實際問題.

第9章

主要內容9.1

主成分分析的基本思想9.2

總體主成分

主成分的含義、計算、主要性質、主成分個數(shù)的確定、變量的標準化．9.3

樣本主成分

樣本主成分的性質和計算；主成分分析的步驟和相關R函數(shù)．9.4案例：主成分回歸分析2024/7/314

9.1

主成分分析的基本思想2024/7/315

實際統(tǒng)計分析中，經(jīng)常處理多變量、大維數(shù)數(shù)據(jù)分析問題，分析過程較復雜，難度較大.全部變量中可能存在信息的重疊．為去除這些信息重疊，希望用個數(shù)較少，但是保留了原始變量的大部分信息幾個不相關的綜合變量(即主成分)來代替原來較多的變量，達到降維的目的，從而進行簡明有效的統(tǒng)計分析.主成分分析中的信息，就是指變量的變異性，常用標準差或方差來表示它.9.2總體主成分

9.2.1

主成分的含義

以二維正態(tài)分布樣本點來直觀說明：如圖，設有n個樣品點大致分布在平面上一個橢圓內：2024/7/316

圖9－1二維情形主成分示意圖二維情形主成分的解釋

樣本點之間的差異是由

x1和

x2的變化引起的，兩者變動的相差不大，但如果用新坐標

y1和

y2來代替，易見，這些樣本點的差異主要體現(xiàn)在

y1軸上，n個點在

y1軸方向上的方差達到最大，即在此方向上包含了有關n個樣品的最多的信息．

將這些點投影到

y1軸方向能使信息的損失最小，如果

y1軸方向的差異占了全部樣本點差異的絕大部分，那么將

y2忽略是合理的，這樣就把兩個變量簡化為一個，顯然這里的

y1軸代表了數(shù)據(jù)變化最大的方向，稱之為第一主成分．y2稱為第二主成分，并要求已經(jīng)包含在

y1中的信息不出現(xiàn)在

y2中,即2024/7/317

二維情形主成分的解釋(續(xù))

注意兩個主成分

y1和

y2都是

x1和

x2的線性組合：其中P為旋轉變換矩陣，它是正交矩陣．

極端情形1：橢圓變成圓，第一主成分

y1只體現(xiàn)了原始二維樣品點約一半的信息，若此時將

y2忽略，則將損失約50％的信息，這顯然是不可取的．

極端情形2：橢圓扁平到了極限，變成

y1軸上一條線段，第一主成分

y1幾乎包含有二維樣品點的全部信息，僅用

y1代替原始數(shù)據(jù)幾乎不會有任何的信息損失，此時降維效果是非常理想的.2024/7/318

利用R程序來模擬這一過程（先下載安裝mvtnorm）2024/7/319

>library(mvtnorm)

#先加載多元正態(tài)及t分布程序包mvtnorm>set.seed(8)

#設置隨機數(shù)種子>sigma<-matrix(c(1,0.9,0.9,1),ncol=2)#設定協(xié)方差矩陣,相關系數(shù)為0.9>mnorm<-rmvnorm(n=200,mean=c(0,0),sigma=sigma)>plot(mnorm)#產(chǎn)生200個二維正態(tài)分布隨機數(shù)并畫散點圖（見圖9-2）>abline(a=0,b=1);abline(a=0,b=-1)#畫坐標軸旋轉45度后的二條直線>eig<-eigen(cor(mnorm));eig#求特征值和特征向量>vector1<-eig$vectors[,1];vector2<-eig$vectors[,2]>y1<-scale(mnorm)%*%vector1;y2<-scale(mnorm)%*%vector2#將數(shù)據(jù)標準化>plot(y1,y2,ylim=c(-2,2));abline(h=0,v=0)

#見圖9-3>cbind(var(y1),var(y2),cor(y1,y2))

[,1][,2][,3][1,]1.885428

0.11457184.418324e-16#可見y1方差很大為1.885，y2方差相對很小為0.115，且y1和y2不相關

#可以認為原來二維數(shù)據(jù)的變化都體現(xiàn)在y1一個維度上了2024/7/3110

圖9－2二維正態(tài)分布模擬數(shù)據(jù)的主成分示意圖2024/7/3111

圖9－3坐標軸旋轉以后的散點圖一般,設總體的p個主成分為：

第i

個主成分yi的方差為y1

是

X的一切線性組合中方差最大者；y2

是與y1

不相關是

X的一切線性組合中方差最大者；······2024/7/3112

9.2.2主成分的計算2024/7/3113

9.2.3主成分的主要性質2024/7/3114

設總體X的p個主成分所成向量為：性質1

：性質2：性質3：載荷與載荷矩陣：2024/7/3115

9.2.4主成分個數(shù)的確定2024/7/3116

第i

個主成分yi的方差貢獻率為：通常取使得累積貢獻率滿足的最小的k為主成分個數(shù)．有的文獻取累積貢獻率首次超過85%的k．

9.2.5變量的標準化及意義從總體協(xié)方差矩陣Σ出發(fā)做主成分分析傾向于反映方差大的變量的信息，會出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象．為了均等地對待每一個原始變量，常常將各原始變量作標準化處理：標準化后的總體

的協(xié)方差矩陣恰好是原總體X的相關系數(shù)矩陣

ρ．綜上討論，既可從Σ出發(fā)，也可以從ρ出發(fā)做主成分分析，考慮到現(xiàn)實經(jīng)濟意義，后者用得更多.2024/7/3117

9.3樣本主成分實際問題中Σ和ρ往往是未知的,需要用樣本的協(xié)方差矩陣

S和樣本的相關系數(shù)矩陣

R來估計：2024/7/3118

9.3.1樣本主成分的性質和計算設S的p個特征值為，對應的單位正交特征向量為，則樣本的第

i個主成分為性質1

：性質2

：性質3

：性質4：2024/7/3119

9.3.2主成分分析的步驟

實際問題中更常用的是從樣本相關系數(shù)矩陣R

出發(fā)進行主成分分析,方法是用

R

替換

S,其余操作不變,其步驟可歸納為：將原始樣本標準化求樣本的相關系數(shù)矩陣

R

求R的特征值以及對應的單位正交特征向量按主成分累積貢獻率超過80%確定主成分的個數(shù)k,并寫出主成分表達式為(5)對分析結果做統(tǒng)計意義和實際意義兩方面的解釋.2024/7/3120

主成分分析特別說明：2024/7/3121

9.3.2

(續(xù))主成分相關的R函數(shù)1.

princomp函數(shù)(這是主成分分析最常用的函數(shù))princomp(x,cor=FALSE,score=TRUE,…)2.summary函數(shù)(提取主成分的信息)summary(object,loadings=FALSE,…)3.loadings函數(shù)(顯示主成分的載荷陣)loadings(object)4.

predict函數(shù)(預測主成分的值)predict(object,newdata,…)5.

screeplot函數(shù)(畫出主成分的碎石圖)screeplot(object,type=c(“barplot”,“l(fā)ines”,…)2024/7/3122

2024/7/3123表9-1給出了52名學生的數(shù)學

(x1)、物理

(x2)、化學

(x3)、語文

(x4)、歷史

(x5)和英語

(x6)成績，對其進行主成分分析．例9.1學生六門課成績數(shù)據(jù)的主成分分析>setwd("C:/data")#設定工作路徑>d9.1<-read.csv(“exam9.1.csv”,header=T)#讀入數(shù)據(jù)>R=round(cor(d9.1),3);R#樣本相關系數(shù)陣保留三位小數(shù)

x1x2x3x4x5x6x11.0000.6470.696-0.561-0.456-0.439x2

0.6471.0000.573-0.503-0.351-0.458x30.6960.5731.000

-0.380-0.274-0.244x4-0.561-0.503-0.3801.0000.8130.835x5-0.456-0.351-0.2740.8131.0000.819x6-0.439-0.458-0.244

0.8350.8191.000解

先讀取數(shù)據(jù)，求樣本相關系數(shù)矩陣，R程序如下：表6-017個地質勘探點樣品的標準化數(shù)據(jù)2024/7/3124

學號x1x2x3x4x5x6165617284817927777766470553676349656757478847562716456671675265576831007941675078694975163558678453586656……………………………………4599100995363604678685275746647729073768079486964606874804952626510096100507072567482745172747588918652687470878783表

9－152名學生六門課程成績數(shù)據(jù)2024/7/3125

易見，文科三門課程語文(x4)、歷史(x5)和英語(x6)相關性較強；理科三門課程數(shù)學(x1)、物理(x2)和化學(x3)相關性也較強．可以進一步作主成分分析，求樣本相關矩陣的特征值和主成分載荷．

由下面的R程序運行結果可知主成分的標準差，即相關系數(shù)矩陣的六個特征值開方各為：同時前兩個主成分的累積貢獻率為0.618+0.210=0.829，已經(jīng)超過80%，所以取兩個主成分就可以了．2024/7/3126>PCA9.1=princomp(d9.1,cor=T)

#用樣本相關系數(shù)陣做主成分分析>PCA9.1Call:princomp(x=d9.1,cor=T)Standarddeviations:Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.61.926

1.1240.6640.5200.4120.3836variablesand52observations.>summary(PCA9.1,loadings=T)

#列出主成分分析結果Importanceofcomponents:

Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.6Standarddeviation1.926

1.124

0.6640.5200.4120.383ProportionofVariance

0.6180.2100.0730.0450.0280.024CumulativeProportion

0.6180.8290.9020.9470.9761.000Loadings:

Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.6x1-0.412-0.3760.2160.788-0.145x2-0.381-0.357-0.806

-0.1180.212

0.141x3-0.332-0.563

0.467-0.588x40.461-0.279

0.599-0.590x50.421-0.415-0.250-0.738

-0.205x60.430-0.4070.1460.1340.2220.749第一主成分和第二主成分分別為：參見教材分析，可將將它們分別理解為“課程差異主成分”

和“課程均衡主成分”.2024/7/31

27>round(predict(PCA9.1),3)

#作預測,計算主成分得分并解釋>screeplot(PCA9.1,type=“l(fā)ines”)

#畫線型碎石圖(見圖9-4)>load=loadings(PCA9.1)

#提取主成分載荷矩陣為load>plot(load[,1:2],xlim=c(-0.6,0.6),ylim=c(-0.6,0.6))#作散點圖>rnames=c(“數(shù)學”,“物理”,“化學”,“語文”,“歷史”,“英語”)#命名>text(load[,1],load[,2],labels=rnames,adj=c(-0.3,1.5))#用中文為散點圖標注>abline(h=0,v=0,lty=3)

#用虛線劃分四個象限(見圖9-5)2024/7/31

28圖9－452名學生六門課程成績的主成分線型碎石圖2024/7/31

29圖9－5前兩個主成分的載荷散點圖2024/7/31

30圖9－652名學生成績數(shù)據(jù)的雙坐標散點圖>biplot(PCA9.1,scale=0.5)

#繪制52個樣本點關于前兩個主成分的散點圖2024/7/3131

由于第一主成分是文理課程差異因子，理科課程在第一主成分上的載荷絕對值大且取負值，文科課程在第一主成分上的載荷絕對值大且取正值，因此圖中Comp.1軸方向靠左的樣本點，如6，7和45號樣本點，對應理科成績好、文科成績差的學生；相對的Comp.1軸方向靠右的樣本點，如30和49號樣本點，對應文科成績好、理科成績差的學生．又第二主成分表示課程均衡因子，在圖中Comp.2軸方向靠下的樣本點，如26，33號樣本點，對應各科成績都較好學生，相對的Comp.2軸方向靠上的樣本點，如3，5和8號樣本點，對應各科成績都較差的學生，而居中的樣本點，如42，24和39號樣本點，對應各科成績都屬于中等且差異不大的學生．這樣就可以對52名學生按對應樣本點所在的位置進行大致分類．2024/7/3132

在某沉積盆地一坳陷區(qū)的17個取樣點經(jīng)勘探測定了六個地質變量：x1為有機碳（%）；x2為生油層埋深（米）；x3油層孔隙度（%）；x4為儲層厚度（米）；x5為地下水含碘量（p.p.m）；x6為地下水礦化度(克/升)，見表9-2．要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)進行主成分分析.例9.2石油勘探樣品數(shù)據(jù)分析(數(shù)據(jù)exam9.2)表6-017個地質勘探點樣品的標準化數(shù)據(jù)2024/7/3133

點號x1x2x3x4x5x61-0.9142-0.7119-0.9293-0.4385-0.57100.73612-0.3095-0.5206-1.3309-0.2764-0.57100.57143-1.0654-0.71190.2756-0.7626-1.09570.90074-1.3073-0.95111.25740.3718-1.09571.394650.1743-0.47270.3203-0.9895-0.0463-0.25186-0.8235-0.59230.40951.3441-0.83330.406870.90002.1583-0.1260-0.85981.7901-1.89838-0.0071-0.3532-1.4201-1.0219-0.0463-0.581191.20231.6799-0.7508-0.60052.3148-1.2397100.1743-0.3532-0.97391.3441-0.04630.2421112.26061.44070.72192.64050.7407-1.075012-1.4282-0.95110.0079-0.7950-1.09571.065313-0.3397-0.52062.1499-0.1144-0.57100.4068140.7790-0.23361.19700.69590.21610.9104150.41620.72321.0789-0.30880.47840.745716-0.6118-0.71190.36490.0477-0.57101.5593170.90001.08200.1418-0.27641.0031-0.5811表

9－217個地質勘探點樣品的標準化數(shù)據(jù)2024/7/3134>setwd("C:/data")

#設定工作路徑>d9.2<-read.csv("exam9.2.csv",header=T)#將exam9.2數(shù)據(jù)讀入到d9.2中>R=round(cor(d9.2),3);R

#求樣本相關系數(shù)矩陣

x1x2x3x4

x5x6x11.0000.8400.003

0.3470.839-0.747x20.8401.000-0.051

0.077

0.939-0.839x30.003-0.0511.0000.259-0.1640.285x40.3470.0770.259

1.000-0.0370.022x50.8390.939-0.164-0.0371.000-0.827x6-0.747-0.8390.2850.022-0.8271.000

易見，x2與x5相關性最強，其絕對值在0.9~0.95，x1與x2，x1與x5，x2與x6，x5與x6的相關性較強，其絕對值在0.8~0.9，說明六個變量之間確實存在較強的相關關系，應當進行“降維”處理，可以作主成分分析．2024/7/3135>options(digits=3)

#設置小數(shù)點位數(shù)為3>PCA9.2=princomp(d9.2,cor=T,scores=T);PCA9.2#作主成分分析Call:princomp(x=d9.2,cor=T,scores=T)Standarddeviations:Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.6

1.8851.1700.8600.4300.3400.197>summary(PCA9.2,loadings=T)

#列出主成分分析結果Importanceofcomponents:

Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.6Standarddeviation

1.8851.1700.8600.43010.33990.19653ProportionofVariance0.5920.2280.1230.03080.01930.00644CumulativeProportion0.592

0.8200.9430.97430.99361.00000Loadings:

Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.6x10.4850.2390.2910.7350.274x20.510-0.166-0.587

0.600x30.646-0.728-0.181x40.7020.640-0.254-0.153x50.509-0.1540.409-0.187-0.713x6-0.484

0.1590.837-0.1180.155前兩個主成分的累積貢獻率為0.592+0.228=0.82，已經(jīng)超過80%，所以只需取兩個主成分．第一主成分和第二主成分各為（為簡明起見，樣本主成分表達式中的所有“*”省略，以下同）：2024/7/3136

四個變量x1

(有機碳)，x2(生油層埋深)，x5(地下水含碘量)和x6(地下水礦化度)在主成分z1上載荷較大，故第一主成分z1可解釋為“生油條件”主成分；第二主成分z2與x3(油層孔隙度)和x4(儲層厚度)這兩個變量關系特別密切，可解釋為“儲油條件”主成分．這樣的分析結果與石油地質理論是相符合的．2024/7/3137>screeplot(PCA6.1,type=“l(fā)ines”)#畫碎石圖，用直方圖類型（見圖9-7）圖9-717個石油地質勘測點樣本數(shù)據(jù)的主成分碎石圖2024/7/3138用主成分載荷矩陣前兩列數(shù)據(jù)作主成分載荷散點圖(見圖9-8)，R程序如下：．load=loadings(PCA9.2)#提取主成分載荷矩陣plot(load[,1:2],xlim=c(-0.5,1),ylim=c(-0.2,0.8))

#作散點圖rnames=c(“x1有機碳”,“x2生油層埋深”,“x3油層孔隙度”,“x4儲層厚度","x5地下水含碘量","x6地下水礦化度")#見圖9－8text(load[,1],load[,2],labels=rnames,cex=0.8,adj=c(-0.1,0.6))

#用中文為散點標號abline(h=0,v=0,lty=3)

#用虛線劃分象限六個變量在主成分z1和z2坐標面上的載荷散點圖表明了兩個主成分z1和z2具有明顯的“生油”和“儲油”傾向特征．2024/7/3139

圖9-8兩個主成分的載荷散點圖2024/7/3140>A=round(PCA9.2$scores,3)

#計算主成分得分，取3位小數(shù)>B=round(apply(A[,1:2],1,crossprod),2)

#按行加總前2個主成分上的載荷平方>cbind(A,"綜合得分“=B,"排名“=rank(B))

#按列合并主成分得分、綜合得分和排名

Comp.1Comp.2Comp.3Comp.4Comp.5Comp.6綜合得分

排名

[1,]

-1.333

-1.1500.6350.136-0.150

-0.015

3.10

9

[2,]

-0.798

-1.1751.0730.252

0.1530.261

2.024

[3,]

-1.901

-0.540

-0.429

-0.187-0.047

0.287

3.9112

[4,]

-2.421

0.956

-0.424

-0.124-0.402-0.125

6.7814

[5,]

-0.037

-0.640

-0.669

-0.357

0.749

-0.144

0.412

[6,]

-1.2091.0340.836

-0.626-0.472-0.190

2.536

[7,]3.560

-1.001

-0.862

-0.504-0.495

0.093

13.6816

[8,]0.265

-1.930

0.606

-0.359

0.514

0.0033.8011

[9,]3.474

-1.110

-0.2160.441-0.255-0.37513.30

15[10,]0.0420.2641.8140.143-0.052-0.2290.071[11,]3.0332.6361.183

-0.323

0.189

0.30416.1517[12,]

-2.269

-0.814

-0.245

-0.119-0.2010.0955.8113[13,]

-1.0471.250

-1.458

-0.573

0.258-0.144

2.667[14,]

-0.0401.500

-0.2940.678

0.464-0.181

2.255[15,]0.4510.589

-1.0980.725-0.161

0.258

0.553[16,]

-1.6920.285

-0.0300.668-0.095

0.000

2.948[17,]1.922

-0.152

-0.4200.129

0.003

0.102

3.7210

11號樣本點綜合排名最高，為17分；7號和9號排名次之，分別為16分和15分；之后樣本點得分排名從高到低依次為4、12、3、8和17號．

利用函數(shù)biplot來繪制它們在z1和z2構成的坐標面

z1Oz2上的散點圖，并且加入六個變量在同一坐標面

z1Oz2上的載荷散點圖，得到所謂的“雙坐標”散點圖（見圖9-9）．

借助該圖可以對17個勘測樣本點進行大致分類：11號樣本點獨居右上，它在

“生油”主成分z1和“儲油”主成分z2上得分均高，應該首先重點關注．7、9號樣本點相鄰且最靠右，且在z1得分很高，可合為一類，次重點考慮；此外，在z1和z2上至少有一個得分較高的3、4、8、12和17號樣本點也應該重點考察．這與上面的綜合得分和排名一致．2024/7/3141

2024/7/3142

圖9－917個石油地質勘測點樣本數(shù)據(jù)的雙坐標散點圖>biplot(PCA9.2,scale=0.5)#繪制17個樣本點和6個變量對z1和z2的散點圖9.4案例:主成分回歸分析

案例9.1(數(shù)據(jù)文件為case9.1)表9-3給出了2019年全國31個地區(qū)相關數(shù)據(jù)．它們分別為：貨運量x1(萬噸)，貨物周轉量x2(億噸公里)，GDPx3(億元)，人均GDPx4(元)，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入y(元)．根據(jù)這些數(shù)據(jù)做線性回歸分析和主成分回歸分析，并比較它們的異同.2024/7/3143

2024/7/3144

表9-32019年全國部分地區(qū)貨運量、GDP、人均可支配收入等數(shù)據(jù)城市x1x2x3x4y北京22808108935371.316422073848.5天津50093266214104.39037146118.9河北2424451356335104.54634835737.7山西192192546617026.74572433262.4內蒙古182702458717212.56785240782.5遼寧178253892124909.55719139777.2吉林431931