2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第二章 第三節(jié) 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式含答案

5版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第二章第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象,會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù),以及解一元二次不等式.3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法.考情分析考點(diǎn)考法:本節(jié)是高考的必考內(nèi)容之一,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等內(nèi)容相結(jié)合命題,重點(diǎn)考查不等式的求解等問題.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均為常數(shù),a≠0).2.二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).【微點(diǎn)撥】二次函數(shù)的零點(diǎn)為對(duì)應(yīng)方程的根,是一個(gè)實(shí)數(shù),不是點(diǎn)的坐標(biāo).3.三個(gè)二次的對(duì)應(yīng)關(guān)系(其中a>0)判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1,或x>x2}__R__ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}??【微點(diǎn)撥】1.解一元二次不等式一定要結(jié)合二次函數(shù)開口方向和不等號(hào)的方向下結(jié)論.2.若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集為(m,n),則x=m與x=n為一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個(gè)根.4.簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1和x2B.若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0C.不等式x2≤a的解集為[-a,a]D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為R【解析】選AB.C.對(duì)于不等式x2≤a,當(dāng)a>0時(shí),其解集為[-a,a];當(dāng)a=0時(shí),其解集為{0},當(dāng)a<0時(shí),其解集為?.D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為?.2.(必修第一冊(cè)P52例3變條件)不等式-x2-5x+6≥0的解集為 ()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}【解析】選A.不等式-x2-5x+6≥0可化為x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集為{x|-6≤x≤1}.3.(必修第一冊(cè)P55習(xí)題2.3T3變條件)已知集合A=x|x2-2x-3≤0,B=xy=2A.2,3 B.2,3C.2,3 D.2,3【解析】選C.因?yàn)閤2-2x-3≤0,所以x+1x-3≤0,即-1≤x≤3,所以A=x|-1≤x≤3,B=x|x4.(忽略a=0的情形致誤)不等式ax2-ax+a+1>0對(duì)?x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.0,+∞B.0,+∞C.-∞,-43D.-∞,-43【解析】選B.①當(dāng)a=0時(shí),1>0成立,②當(dāng)a≠0時(shí),只需a>0解得a>0,綜上可得a≥0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,+∞.【巧記結(jié)論·速算】1.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R,則一定滿足a>02.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為?,則一定滿足a<03.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為R,則一定滿足a<04.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為?,則一定滿足a>0【即時(shí)練】1.“-3<m<1”是“不等式m-1x2+m-1x-1<0對(duì)任意的x∈R恒成立”的 (A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.當(dāng)m=1時(shí),m-1x2+m-1x-1<0對(duì)任意的x∈R當(dāng)m≠1時(shí),則m<1Δ<0,解得-3<m<1,故m的取值范圍為{m|-3<故“-3<m<1”是“-3<m≤1”的充分不必要條件.2.若關(guān)于x的不等式mx2-mx-1≥0的解集是?,則m的取值范圍是 ()A.[-4,0] B.(-4,0]C.[0,4) D.(-4,0)【解析】選B.當(dāng)m=0時(shí),mx2-mx-1≥0即-1≥0,解集是?,當(dāng)m≠0時(shí),不等式mx2-mx-1≥0的解集是?,需滿足m<0解得-4<m<0,所以m的取值范圍是(-4,0].【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一一元二次不等式的解法【考情提示】一元二次不等式是高考的熱點(diǎn)問題,它常與集合的交集、并集、補(bǔ)集相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題中.含參數(shù)的一元二次不等式常與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相交匯出現(xiàn)在解答題中,重點(diǎn)考查分類討論思想和推理論證能力.角度1不含參數(shù)的一元二次不等式[例1]解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)9x2-6x+1>0;(4)x2<6x-10.【解析】(1)因?yàn)棣?49>0,所以方程2x2+5x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解得x1=-3,x2=12畫出函數(shù)y=2x2+5x-3的圖象,如圖①所示.由圖可得原不等式的解集為{x-3<x<(2)原不等式等價(jià)于3x2-6x+2≥0.因?yàn)棣?12>0,所以方程3x2-6x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解得x1=3-33,x2=3+33,畫出函數(shù)y=3x2-6x+2的圖象,如圖②所示,由圖可得原不等式的解集為{(3)因?yàn)棣?0,所以方程9x2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,解得x1=x2=13.畫出函數(shù)y=9x2-6x+1的圖象如圖③所示.由圖可得原不等式的解集為{xx≠(4)原不等式可化為x2-6x+10<0,因?yàn)棣?-4<0,所以方程x2-6x+10=0無實(shí)數(shù)根,畫出函數(shù)y=x2-6x+10的圖象如圖④所示,由圖象可得原不等式的解集為?.【解題技法】解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化:把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)判:計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式,根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根時(shí),不等式的解集為R或?).(3)求:求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根.(4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.角度2含參數(shù)的一元二次不等式[例2]解關(guān)于x的不等式.(1)x2+ax+1<0(a∈R);(2)ax2-(a+1)x+1<0.【解析】(1)Δ=a2-4.①當(dāng)Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2時(shí),原不等式無解.②當(dāng)Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2時(shí),方程x2+ax+1=0的兩根分別為x1=-ax2=-a-x-綜上所述,當(dāng)-2≤a≤2時(shí),原不等式無解;當(dāng)a>2或a<-2時(shí),原不等式的解集為x-(2)若a=0,原不等式等價(jià)于-x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等價(jià)于x-1a(x-1)>0,解得x<1a若a>0,原不等式等價(jià)于x-1a(①當(dāng)a=1時(shí),1a=1,x-1a(②當(dāng)a>1時(shí),1a<1,解x-1a(x-1)<0,得③當(dāng)0<a<1時(shí),1a>1,解x-1a(x-1)<0,得1<綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),解集為{x|x<1a或x當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x>1};當(dāng)0<a<1時(shí),解集為{x|1<x<1a當(dāng)a=1時(shí),解集為?;當(dāng)a>1時(shí),解集為{x|1a<x<1}【解題技法】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的方法(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí),應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的關(guān)系.(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集;確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·莆田模擬)不等式1-xx-3<0的解集是 A.-1,3B.-3,1C.{xx<1或x>3}D.{xx<-3或x>1}【解析】選C.由1-xx-3<0,可得(x-1)(x-3)>0,所以x<1或x>3,所以不等式的解集為{xx<1或2.不等式-2x+5x【解析】不等式-2x+5x-2>0等價(jià)于-2解得2<x<52所以不等式-2x+5x-2答案:x3.(2024·玉林模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2-b≥2x-axa,(1)若不等式的解集為x-2≤x≤-1,求a,(2)若a<0,b=2,解不等式.【解析】(1)原不等式可化為ax2+a-2x-b由題知,-2,-1是方程ax2+a-2x-b=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系得a<0-a(2)當(dāng)a<0時(shí),原不等式化為x-當(dāng)2a>-1,即a<-2時(shí),解原不等式可得-1≤x≤2當(dāng)2a=-1,即a=-2時(shí),原不等式即為x+12≤0,當(dāng)2a<-1,即-2<a<0時(shí),解得2a≤綜上所述,當(dāng)-2<a<0時(shí),不等式的解集為x2當(dāng)a=-2時(shí),不等式的解集為-1;當(dāng)a<-2時(shí),不等式的解集為x-1≤考點(diǎn)二三個(gè)二次的關(guān)系[例3](1)(2024·通遼模擬)已知不等式ax2+bx-1>0的解集為x-12<x<-13,則不等式x2-bxA.{x|x≤-3或x≥-2}B.{x|-3≤x≤-2}C.{x|2≤x≤3}D.{x|x≤2或x≥3}【解析】選A.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx-1>0的解集為x-所以ax2+bx-1=0的兩根分別為-12,-13,即-12+-1所以不等式x2-bx-a≥0可化為x2+5x+6≥0,其解集為{x|x≤-3或x≥-2}.(2)(多選題)(2024·安慶模擬)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為x-12<x<2A.b>0B.c>0C.a+b+c>0D.a-b+c>0【解析】選ABC.由題意可知,方程ax2+bx+c=0的解為x1=-12,x2=2,且a則-ba=x1+x2=32,ca=x1解得b=-32a,c=-a令fx=ax2+bx+c=ax2-32ax-aa對(duì)于A,b=-32a>0,故A正確對(duì)于B,c=-a>0,故B正確;對(duì)于C,a+b+c=f1=a-32a-a=-32a>0,故C對(duì)于D,a-b+c=f-1=a+32a-a=32a<0,故D【解題技法】一元二次不等式與方程的關(guān)系的解題策略1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(多選題)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為xm<x<n,其中n>m>0,A.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集為xD.cx2+bx+a>0的解集為xx<【解析】選ABC.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集為xm<x<n,所以a因?yàn)閚>m>0,令fx=ax2+bx+c,所以-b2a>0,即b>0,故B由上所述,易知f0<0,c<0,由題意可得m,n為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根,則m+n=-ba,mn=c則1n·1m=ac,1n+1m即1n,1m為方程cx2+bx+a=0則不等式cx2+bx+a>0的解集為x1n<x<1m考點(diǎn)三一元二次不等式恒(能)成立問題角度1在R上的恒成立問題[例4](2024·重慶模擬)當(dāng)a∈(t1,t2)時(shí),不等式2-ax-x21-x+x2<3對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則tA.-7 B.6 C.7 D.8【解析】選B.由于1-x+x2=(x-12)2+34>0,則不等式2-ax-x依題意,不等式4x2+(a-3)x+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則Δ=(a-3)2-16<0,解得-1<a<7,于是t1=-1,t2=7,所以t1+t2=6.【解題技法】ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的條件1.ax2+bx+c>0的解集為R,則一定滿足(1)a=b=0,c>0或(2)a>02.ax2+bx+c<0的解集為R,則一定滿足(1)a=b=0,c<0或(2)a<0角度2在給定區(qū)間上的恒成立問題[例5]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰(1)(一題多法)若對(duì)于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,則m的取值范圍是________.

【解析】由已知得,m(x-12)2+34m-6<0(m≠0)在x∈[1,3]方法一:令g(x)=m(x-12)2+34m-6(m≠0),x∈[1,3].當(dāng)m>0時(shí),g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<67,則0<m<67.當(dāng)m<0時(shí),g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,綜上所述,m的取值范圍是{m0<m方法二:因?yàn)閤2-x+1=(x-12)2+34>0,又因?yàn)閙(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.因?yàn)楹瘮?shù)y=6x2-x+1=6(x-12)

2答案:{m0<(2)若mx2-mx-1<0對(duì)于m∈[1,2]恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________.

【解析】設(shè)g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其圖象是直線,當(dāng)m∈[1,2]時(shí),圖象為一條線段,則g(1)<0,g(2)<0,即x2-x-1<0,2x2-2x-1<0,解得1-3答案:(1-32,【解題技法】在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.(3)對(duì)于以下兩種題型,可以利用二次函數(shù)在端點(diǎn)m,n處的取值特點(diǎn)確定不等式求范圍.①ax2+bx+c<0(a>0)對(duì)x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)對(duì)x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道誰的范圍,就選誰當(dāng)主元;求誰的范圍,誰就是參數(shù).如本例(1)中建立關(guān)于x的函數(shù),m為參數(shù),本例(2)中建立關(guān)于m的函數(shù),x為參數(shù).角度3不等式能成立或有解問題[例6](一題多法)若關(guān)于x的不等式x2-ax+7>0在2,7上有實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是 ()A.-∞,8 B.-∞,8C.-∞,27 D.【解析】選A.方法一:(分離參數(shù)法)不等式x2-ax+7>0在2,7上有實(shí)數(shù)解,等價(jià)于不等式a<x+7x在2,7上有實(shí)數(shù)解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+7x在(2,7)上單調(diào)遞減,在(7,7)上單調(diào)遞增又由f(2)=2+72=112,f7=7+所以fxmax<f7=8,所以a<8,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,8方法二:(最值轉(zhuǎn)化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上無解,則4-2a+7≤049-7a+7≤0,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在【解題技法】一元二次不等式在給定區(qū)間上的有解問題解題策略(1)分離參數(shù)法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值轉(zhuǎn)化法;若f(x)>0在集合A中有解,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)圖象列出約束條件求解.(4)最后一定要注意檢驗(yàn)區(qū)間的開閉.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·大同模擬)已知命題p:?x∈R,使得ax2+2x+1<0成立為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.-∞,0 B.-∞,1C.0,1 D.0,1【解析】選B.命題p為真命題等價(jià)于不等式ax2+2x+1<0有解.當(dāng)a=0時(shí),不等式變形為2x+1<0,則x<-12,符合題意當(dāng)a>0時(shí),Δ=4-4a>0,解得0<a<1;當(dāng)a<0時(shí),總存在x∈R,使得ax2+2x+1<0;綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞,1.2.若不等式x2+a(x-1)+1≥0對(duì)一切x∈(1,2]都成立,則a的最小值為 ()A.0 B.-22C.-22-2 D.-5【解析】選D.記f(x)=x2+a(x-1)+1=x2+ax+1-a,要使不等式x2+ax-1+1≥0對(duì)一切x∈(1,2]都成立則-a2或-a2≥2f(2)=a+5≥0,解得a≥-2或-4<a<-2或-5≤3.已知對(duì)任意m∈1,3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ()A.6B.-∞,1-5C.-∞,D.1-【解析】選D.對(duì)任意m∈1,3,不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即對(duì)任意m∈1,3,mx2-x所以對(duì)任意m∈1,3,x2-x+1<6m恒成立所以對(duì)任意m∈1,3,x2-x+1<6mmin=2所以x2-x+1<2,解得1-52<x<故實(shí)數(shù)x的取值范圍是1-5【加練備選】已知fx=x2+2-ax+3a+b,若存在常數(shù)a,使f(x)≥0恒成立,則b的取值范圍是【解析】使f(x)≥0恒成立,則Δ=(2-a)2-4×1×(3a+b)≤0,化簡(jiǎn)整理得4b≥a2-16a+4=(a-8)2-60,由于存在常數(shù)a,使f(x)≥0恒成立,可知4b≥(a因此4b≥-60,解得b≥-15.答案:[-15,+∞)第一節(jié)等式與不等式的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)梳理等式的性質(zhì),理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).考情分析考點(diǎn)考法:不等式的性質(zhì)是高考的重點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法a-b>0?a>2.等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性:如果a=b,那么__b=a__;

性質(zhì)2傳遞性:如果a=b,b=c,那么__a=c__;

性質(zhì)3可加(減)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5可除性:如果a=b,c≠0,那么ac=b3.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性a>b?__b<a__;a<b?__b>a__

傳遞性a>b,b>c?__a>c__;

a<b,b<c?__a<c__

可加性a>b?__a+c>b+c__

移項(xiàng)法則a+b>c?a>c-b可乘性a>b,c>0?__ac>bc__;

a>b,c<0?__ac<bc__

同向可加性a>b,c>d?__a+c>b+d__

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?__ac>bd__

同正可乘方性a>b>0?__an>bn__(n∈N,n≥2)

【微點(diǎn)撥】(1)注意不等式成立的條件.(2)注意不等式性質(zhì)的單向與雙向性,即是否具有可逆性.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13421.(多維辨析)(多選題)已知a,b,c∈R,且c≠0,則下列說法正確的是 ()A.如果a>b,那么1a<B.如果ac<bc,那么a<bC.如果a>b,那么ac2D.如果c>a>b>0,那么ac-【解析】選CD.取a=2,b=-1,c=-1,滿足選項(xiàng)A,B中的前提條件.對(duì)于選項(xiàng)A,有1a>1b,故A對(duì)于選項(xiàng)B,有a>b,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閏≠0,所以1c2>0,由不等式的性質(zhì)知C對(duì)于選項(xiàng)D,a>b>0?-a<-b<0?0<c-a<c-b,同乘1c-ac-b,又a>b>0,所以ac-a>bc-2.(2022·上海高考)若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是 ()A.a+d>b+c B.a+c>b+dC.ac>bd D.ad>bc【解析】選B.對(duì)于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A錯(cuò)誤,對(duì)于B,因?yàn)閍>b>c>d,即a>b,c>d,所以由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正確,對(duì)于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,但ac=bd,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,但ad<bc,故D錯(cuò)誤.3.(必修第一冊(cè)P43習(xí)題2.1T3(2)改形式)已知M=(x-3)2,N=(x-2)(x-4),則 ()A.M<N B.M>NC.M≤N D.M≥N【解析】選B.因?yàn)镸-N=(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以M>N.4.(錯(cuò)用不等式的性質(zhì)致誤)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,則3a-b的取值范圍是 ()A.[-13,1] B.[-1,8]C.[-1,13] D.1,13【解析】選D.因?yàn)?≤a≤4,-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a-b≤13.【巧記結(jié)論·速算】1.若ab>0,則a>b?1a<1b;若ab<0,則a>b?1a2.若a>b>0,m>0,則ba<b若b>a>0,m>0,則ba>b3.若a>b>0,則na>nb(n∈N,n【即時(shí)練】1.若1a<1b<0,則下列不等式正確的是 (A.a>b B.a<bC.a+b>ab D.a3>b3【解析】選D.由1a<1b<0,可得a<0,b<0,1a-1b<0,即b-aab<0,可得b<a<0,所以a由a<0,b<0,可得a+b<0,ab>0,則a+b<ab,故C錯(cuò)誤;由b<a<0,可得a3>b3,故D正確.2.在日常生活中有這樣一種現(xiàn)象,向糖水中不斷加入糖,糖水會(huì)變得越來越甜.已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加m克糖(m>0,假設(shè)全部溶解),可將糖水變甜.這一事實(shí)表示為下列哪一個(gè)不等式 ()A.ba>b+ma+C.ab<b+ma+【解析】選B.因?yàn)橄蛱撬胁粩嗉尤胩?糖水會(huì)變得越來越甜,所以糖水開始的濃度為ba,再添加m克糖,即濃度變?yōu)閎+ma+m.因?yàn)閍>b>0,m>0,所以ba-b+【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一數(shù)(式)的大小比較[例1](1)(2024·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是 ()A.b>a>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a【解析】選D.由b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,得b=1+a2,于是b-a=1-a+a2=(a-12)2+34>0,即b>a,而c-b=(2-a)2≥0,且三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c所以a,b,c的大小關(guān)系是c>b>a.(2)(一題多法)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,則 A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【解析】選B.方法一易知a,b,c都是正數(shù),ba=3ln44ln3=log8164<1,所以a>bc=5ln44ln5=log6251024>1,所以b>c.即c<b方法二構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx,則f'(x)=由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e.所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.所以f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.(3)若a>0,b>0,則p=(ab)a+b2與q=ab·ba的大小關(guān)系是A.p≥qB.p≤qC.p>qD.p<q【解析】選A.由題意知p>0,q>0,則pq=(ab)a+b2ab·則ab>1,a-b>0,則pq>1;若0<a<b,則0<ab<1,a-b<0,則pq>1;若a=b,則pq=1.【解題技法】1.作差法一般步驟(1)作差;(2)變形;(3)定號(hào);(4)結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.【微提醒】當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí),有時(shí)也可以先平方再作差.2.作商法一般步驟(1)作商;(2)變形;(3)判斷商與1的大小;(4)結(jié)論.3.函數(shù)的單調(diào)性法:將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.4.特殊值法:對(duì)于選擇、填空題,可以選取符合條件的特殊值比較大小.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·武漢模擬)已知a為實(shí)數(shù),M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),則M,N的大小關(guān)系是()A.M>N B.M≥NC.M<N D.M≤N【解析】選A.M-N=2aa-2-a+1a-3=a2-2a+3=a-12.設(shè)a>b>0,比較a2-b2【解析】因?yàn)閍>b>0,所以a2-b2a2+b2>0,a-ba+b考點(diǎn)二不等式性質(zhì)的應(yīng)用【考情提示】利用不等式的性質(zhì)比較大小是歷年高考的熱點(diǎn),它時(shí)常與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合出現(xiàn)在各類題型中.角度1由不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系[例2](多選題)(2024·福州模擬)若a>b>0,d<c<0,則下列不等式成立的是 ()A.ac>bc B.a-d>b-cC.1d<1c D.a3>【解析】選BD.對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)閍c-bc=a-b又因?yàn)閍>b,c<0,則a-b>0,可得ac-bc=a-bc<0,所以ac<bc,故A對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)閍-d-b-c=a-b+c-d,又因?yàn)閍>b,d<c,則a-b>0,c-d>0,可得所以a-d>b-c,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?d-1c=又因?yàn)閐<c<0,則cd>0,c-d>0,可得1d-1c=c-dcd>0,所以1d>對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)閍>b>0,所以a3>b3,故D正確.角度2利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍[例3](1)已知2<a<3,-1<b<5,則a+b的取值范圍是________,ab的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)?<a<3,-1<b<5,所以1<a+b<8;當(dāng)-1<b<0時(shí),0<-b<1,所以0<-ab<3,則-3<ab<0,當(dāng)0<b<5時(shí),0<ab<15,當(dāng)b=0時(shí),ab=0,綜上,-3<ab<15.所以a+b的取值范圍是1,8,ab的取值范圍是-3,15.答案:(1,8)(-3