2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十一章 第六節(jié) 二項分布與超幾何分布含答案

14版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十一章第六節(jié)二項分布與超幾何分布第六節(jié)二項分布與超幾何分布【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布.2.理解兩點分布和超幾何分布的意義,并能進行簡單的應(yīng)用.【考情分析】考點考法:二項分布、超幾何分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學(xué)生應(yīng)用相關(guān)公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】一、二項分布1.伯努利試驗只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.2.二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).3.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.【微點撥】超幾何分布與二項分布的關(guān)系若將超幾何分布的概率模型改成:若有N件產(chǎn)品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,則其中恰有的次品件數(shù)X是服從二項分布的.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號123,41.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.從4名男演員和3名女演員中選出4人,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布B.n重伯努利試驗中各次試驗的結(jié)果必須相互獨立C.若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù),則X服從二項分布D.二項分布是一個概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項展開式的通項公式,其中a=p,b=1-p【解析】選ABC.因為二項分布是一個概率分布,是一個用公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布,其公式相當(dāng)于(a+b)n二項展開式的通項公式,其中a=1-p,b=p.2.(選擇性必修第三冊P77練習(xí)T2·變條件、變設(shè)問)雞接種一種疫苗后,有90%不會感染某種病毒,如果有5只雞接種了疫苗,則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為 ()A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45【解析】選A.設(shè)5只接種疫苗的雞中沒有感染病毒的只數(shù)為X,則X~B5,所以PX=4=C54×0.94×0.1≈03.(“至少”問題理解錯誤)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為 ()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【解析】選A.3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.634.(二項分布應(yīng)用不準(zhǔn)致誤)在一次招聘中,主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,并獨立完成所抽取的3道題,乙能正確完成每道題的概率為23,且每道題完成與否互不影響,記乙能答對題數(shù)為Y,則Y的數(shù)學(xué)期望為________【解析】由題意Y~B(3,23),所以E(Y)=3×23答案:2【巧記結(jié)論·速算】利用n重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式PX=k=Cnk(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p;(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗,而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的;(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.【即時練】1.某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才能合格,若他答每道題的正確率均為0.5,并且答每道題之間相互獨立,則他能合格的概率為________.

【解析】4道試題中,答對的試題數(shù)X服從二項分布X~B4,12,所以PX≥3=PX=3+PX=4=答案:52.甲、乙兩羽毛球運動員要進行三場比賽,且這三場比賽可看作三次伯努利試驗,若甲至少取勝一次的概率為6364,則甲恰好取勝一次的概率為________【解析】設(shè)每次甲取勝的概率為p,由題意得,甲取勝的次數(shù)X~B(3,p),則有1-(1-p)3=6364,得p=3則甲取勝恰好發(fā)生一次的概率為C31×34×（1-34）答案:9【核心考點·分類突破】考點一n重伯努利試驗及其概率[例1](1)(2023·太原質(zhì)檢)機械研究所對新研發(fā)的某批次機械元件進行壽命追蹤調(diào)查,隨機抽查的200個機械元件情況如表:使用時間/天10~2021~3031~4041~5051~60個數(shù)1040805020若以頻率估計概率,現(xiàn)從該批次機械元件中隨機抽取3個,則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為 ()A.1316 B.2764 C.2532 【解析】選D.由題意可知,該批次每個機械元件使用壽命在30天以上的概率為34,因此,從該批次機械元件中隨機抽取3個,至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為P=C32×（34）2×14+C33×(2)若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為23,每次射擊的結(jié)果相互獨立,則在他連續(xù)4次射擊中,恰好有兩次擊中目標(biāo)的概率為 (A.49 B.827 C.481 【解析】選B.在某射手連續(xù)4次射擊中,恰好有兩次擊中目標(biāo)的概率為C422(3)一袋中裝有5個白球,3個紅球,則從袋中往外取球,每次取出一個,記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現(xiàn)10次停止,用X表示取球的次數(shù),則P(X=12)=______________(填表達式).

【解析】一次取球取到紅球的概率為38,取到白球的概率為58,前11次取球是11次獨立重復(fù)試驗,“取到紅球”的事件發(fā)生9次,其概率是C119×(38)9×(58)2.第12次取到紅球的概率是38,由相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式,得P(X=12)=C119×(38)9×(58)2×3答案:C119×(58)2×(【解題技法】n重伯努利試驗概率求解的策略(1)先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗,判斷時注意各次試驗之間是否相互獨立,并且每次試驗的結(jié)果是否只有兩種,在任何一次試驗中,某一事件發(fā)生的概率是否都相等,全部滿足n重伯努利試驗的要求才能用相關(guān)公式求解.(2)解此類題時常用互斥事件概率加法公式,相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.【對點訓(xùn)練】1.(2023·河南模擬)接種疫苗是預(yù)防和控制傳染病最經(jīng)濟、有效的公共衛(wèi)生干預(yù)措施.根據(jù)試驗數(shù)據(jù),人在接種某種病毒疫苗后,有80%的可能不會感染這種病毒,若有4人接種了這種疫苗,則最多1人被感染的概率為 ()A.512625 B.256625 C.113625 【解析】選A.由題得最多1人被感染的概率為C40 (45)4+C41 (15)2.(2023·保定模擬)甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為12,乙每次擊中目標(biāo)的概率為23,他們每次射擊是否擊中目標(biāo)互不影響,則甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次的概率為【解析】事件“甲恰好比乙多擊中目標(biāo)1次”分為“甲擊中1次乙擊中0次”“甲擊中2次乙擊中1次”“甲擊中3次乙擊中2次”三種情形,其概率P=C312×(12)2×C30×(13)3+C32×(12)2×12×C31×23×(13)2+C33答案:11【加練備選】(2023·衡水模擬)一個口袋內(nèi)有nn>3個大小相同的球,其中3個紅球和n-3個白球,已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p,6p∈N,若有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個球),在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于827,則【解析】因為4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于827,所以C42p21-p2>827,所以p21-p2>所以13<p<23,所以2<6p<4,又因為6p∈N,所以6p=3,所以p=12.又因為從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p=12,所以3n=答案:6考點二二項分布[例2](1)已知隨機變量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,則D(3ξ)等于 ()A.83 B.8 C.12 D.【解析】選D.因為E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,所以p=13故D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×13×(1-13(2)(2023·武漢重點中學(xué)聯(lián)考)在一次國際大型體育運動會上,某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動員在這3個項目中,每個項目能打破世界紀(jì)錄的概率都是23①求該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄的概率;②若該運動員能打破世界紀(jì)錄的項目數(shù)為X,求X的分布列及均值.【解析】①依題意知,該運動員在每個項目上“能打破世界紀(jì)錄”為獨立事件,并且每個事件發(fā)生的概率相同.設(shè)“該運動員至少能打破2項世界紀(jì)錄”為事件A,則有P(A)=C32(23)2(1-23)+②由①可知X~B(3,23),則P(X=0)=C30(1-23)P(X=1)=C31·23·(1-23)P(X=2)=C32·(23)2·(1-2P(X=3)=C33·(23)3=8X0123P1248所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×【解題技法】判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中,試驗的結(jié)果只有兩個,即發(fā)生與不發(fā)生.【對點訓(xùn)練】1.(2023·海口模擬)某班50名學(xué)生通過安全教育平臺進行學(xué)習(xí)交流,為了方便師生互動,直播屏幕分為1個大窗口和5個小窗口,大窗口始終顯示老師講課的畫面,5個小窗口顯示5名不同學(xué)生的畫面.小窗口每5分鐘切換一次,即再次從全班隨機選擇5名學(xué)生的畫面顯示,且每次切換相互獨立.若一節(jié)課40分鐘,則該班甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間的均值是 ()A.10分鐘 B.5分鐘C.4分鐘 D.2分鐘【解析】選C.每5分鐘算作一輪,每一輪甲同學(xué)出現(xiàn)在直播屏幕上的概率為550=110,設(shè)他在直播屏幕上出現(xiàn)的輪次為X,根據(jù)題意得,X~B(8,110),E(X)=8×110=0.8,設(shè)甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間為Y(單位:分鐘),則E(Y)=E(5X2.(2023·海南模擬)青花釉里紅,是我國珍貴的品種之一.釉里紅的燒制工藝難度較大,因此燒制成功率較低.假設(shè)釉里紅瓷器開窯后經(jīng)檢驗分為成品和廢品兩類,從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中,有放回地抽取兩次,每次隨機抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為99100.記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為(1)求p的值;(2)假設(shè)該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p,且每件瓷器的燒制相互獨立,這種瓷器成品每件利潤為10萬元,廢品的利潤為0元.現(xiàn)他燒制3件這種瓷器,設(shè)這3件瓷器的總利潤為X萬元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)設(shè)A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”,A1表示事件“取出的2件瓷器中無成品”,A2表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”,則P(A)=P(A1)+P(A2)=(1-p)2+C21p(1-p)=1-p2=99100,解得p(2)設(shè)這3件瓷器中成品的件數(shù)為Y.由題可知Y~B(3,110).因為X=10Y所以P(X=0)=P(Y=0)=C30(110)0(9P(X=10)=P(Y=1)=C31(110)1(9P(X=20)=P(Y=2)=C32(110)2(910)1=271000,P(X=30)=P(Y=3)=C所以X的分布列為X0102030P729243271所以E(X)=0×7291000+10×2431000【加練備選】(2023·福州聯(lián)考)福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品,屬于福州三寶之一,紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術(shù)要求,已知某工藝師在每個環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為34,45,2(1)求該工藝師進行3次制作,恰有一件優(yōu)秀作品的概率;(2)若該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X的概率分布列及期望.【解析】(1)由題意可知,制作一件優(yōu)秀作品的概率為34×45×23所以該工藝師進行3次制作,恰有一件優(yōu)秀作品的概率P=C31(25)(3(2)該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,由題意可知,X~B(4,25P(X=0)=C40(35P(X=1)=C41(25)(3P(X=2)=C42(25)2(3P(X=3)=C43(25)3P(X=4)=C44(25)4=16X01234P812162169616E(X)=4×25=8考點三超幾何分布[例3](2023·天津模擬)某大學(xué)生志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率;(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機變量X的分布列及期望.【解析】(1)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教,基本事件總數(shù)n=C10設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,事件A包含的基本事件個數(shù)m=C31C則選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為P(A)=C31C(2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3,P(X=0)=C40C63C103=16P(X=2)=C42C61C103=310所以隨機變量X的分布列為X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1【解題技法】1.超幾何分布的兩個特點(1)超幾何分布是不放回抽樣問題.(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).2.超幾何分布的概率計算公式從古典概型的角度加以理解更容易記憶:P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},3.超幾何分布的應(yīng)用超幾何分布是一個重要分布,其理論基礎(chǔ)是古典概型,主要應(yīng)用于正品與次品,白球與黑球,男生與女生等實踐中的由差別明顯的兩部分組成的問題.【對點訓(xùn)練】為宣傳航空科普知識,某校組織了航空知識競賽活動.活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行作答.假設(shè)在8道備選題中,小明正確完成每道題的概率都是34且每道題正確完成與否互不影響,小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率;(2)設(shè)隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽,請你根據(jù)所學(xué)概率知識,判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級比賽(活動規(guī)則不變)會更好,并說明理由.【解析】(1)記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A,則P(A)=C43(34)3×14+(2)X的可能取值為2,3,4.P(X=2)=C22C62P(X=3)=C21C63C84=40701570=314,X234P343數(shù)學(xué)期望E(X)=2×314+3×47+4×3(3)由(1)知,小明進入決賽的概率為P(A)=189256.記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B,則P(B)=47+314=1114.因為P(B)>P【加練備選】為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機變量X的分布列,并求E(X).【解析】(1)由已知,有P(A)=C22C所以事件A發(fā)生的概率為635(2)隨機變量X服從超幾何分布,X的所有可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=C5kC3故P(X=1)=C51C33C84=114P(X=3)=C53C31C84=37所以隨機變量X的分布列為X1234P1331所以E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1第七節(jié)正態(tài)分布【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用.2.了解正態(tài)分布的定義,正態(tài)曲線的特征,會求服從正態(tài)分布的隨機變量的概率.3.記住正態(tài)總體在常用區(qū)間上的取值的概率,并能在一些簡單的實際問題中應(yīng)用.【考情分析】考點考法:正態(tài)分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學(xué)生應(yīng)用相關(guān)公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.正態(tài)分布的定義若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記為X~N(μ,σ2).2.正態(tài)曲線的特點(1)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;(2)曲線在x=μ處達到峰值1σ(3)當(dāng)|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.3.3σ原則(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4.正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.【微點撥】(1)當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;(2)當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是 ()A.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,在x軸上方B.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=σ對稱,只有當(dāng)x∈(-3σ,3σ)時曲線才在x軸上方C.正態(tài)曲線和x軸圍成的面積隨μ的變化而變化D.正態(tài)曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低【解析】選BC.B曲線關(guān)于直線x=μ對稱,并且曲線始終在x軸上方×C正態(tài)曲線和x軸圍成的面積恒為1×2.(選擇性必修第三冊P87T3·變形式)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+σ)= ()附:概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)近似值0.68270.95450.9973A.0.8186 B.0.4772 C.0.84 D.0.9759【解析】選A.由題意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.3.(對正態(tài)曲線的性質(zhì)不清致誤)設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,則P(-2≤ξ≤0)= ()A.12+p B.1-p C.12-p D.【解析】選C.由對稱性知P(ξ<-2)=p,所以P(-2≤ξ≤0)=1-2p24.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=______.

【解析】因為X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【巧記結(jié)論·速算】若X服從正態(tài)分布,即X~Nμ,σ2,要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱和曲線與【即時練】1.已知隨機變量X~N5,σ2,若PX≥8=0.36,則PX>2A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.82【解析】選C.因為X~N5,σ2,所以PX≤2=PX≥8=0.36,所以P2.(多選題)若隨機變量X~N(1,σ2),且正態(tài)分布N(1,σ2)的正態(tài)密度曲線如圖所示,則下列選項中,可以表示圖中陰影部分面積的是 ()A.12-P(XB.12-P(XC.12P(X≤2)-12P(D.12-P(1≤X【解析】選ABC.根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知,正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=1對稱,所以題圖中陰影部分的面積為12-P(X≤0),A正確;根據(jù)對稱性,P(X≤0)=P(X≥2),B正確;陰影部分的面積也可以表示為P陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1),而P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),D不正確.【核心考點·分類突破】考點一正態(tài)分布的性質(zhì)[例1](1)(多選題)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正態(tài)密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是A.甲類水果的平均質(zhì)量為0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于均值左右C.平均質(zhì)量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大D.σ2=1.99【解析】ABC.由題圖可知,甲類水果的平均質(zhì)量為μ1=0.4kg,故A正確;由題圖可知,甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于均值左右,故B正確;由題圖可看出平均質(zhì)量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大,故C正確;乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)滿足12πσ2=1.99,則σ2≠1(2)設(shè)有一正態(tài)總體,它的正態(tài)密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=18πe-(x-10)2A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10【解析】選B.因為f(x)=18π所以σ=2,μ=10,即正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為10與2.(3)(多選題)若隨機變量ξ~N(0,1),則下列結(jié)論正確的是 ()A.該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱B.若P(ξ≤1.52)=0.9357,則P(ξ>1.52)=0.0643C.若P(ξ≤1.49)=0.9319,則P(ξ≤-1.49)=0.9319D.當(dāng)x>0時,若P(ξ≥x)=φ(x),則P(|ξ|≥x)=2φ(x)【解析】選BD.由題設(shè)知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱,故A錯誤;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.0643,故B正確;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=1-P(ξ≤1.49)=0.0681,故C錯誤;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由對稱性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正確.【解題技法】利用正態(tài)分布性質(zhì)解題的關(guān)鍵點對X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意義不清楚,特別是對μ的認(rèn)識不清楚,就會在解題時無從下手,導(dǎo)致隨便給出一個結(jié)果.這里μ是隨機變量X的均值,σ是標(biāo)準(zhǔn)差,x=μ是正態(tài)密度曲線的對稱軸.【對點訓(xùn)練】1.(多選題)某次市教學(xué)質(zhì)量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多,成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由圖中曲線可得下列說法中正確的是 ()A.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同B.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中C.丙科總體的平均數(shù)最小D.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最大【解析】選AD.由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相同,由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越“矮胖”,σ越小,正態(tài)曲線越“瘦高”,故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從大到小依次為甲、乙、丙.2.已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=12πσie-(x則 ()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】選D.由正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,知μ1<μ2=μ3;σ的大小決定曲線的形狀,σ越大,總體分布越分散,曲線越“矮胖”,σ越小,總體分布越集中,曲線越“瘦高”,則σ1=σ2<σ3.實際上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),即12πσ1=12πσ2>12πσ3,亦可推知考點二服從正態(tài)分布的概率計算[例2](1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)= ()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】選C.由題意可知μ=1,正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=1對稱,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根據(jù)對稱性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.(2)(2023·運城質(zhì)檢)在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.6,則ξ在[2,+∞)內(nèi)取值的概率為 ()A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解析】選D.因為ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲線的對稱軸是直線x=1,又ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.6,根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì),則ξ在[2,+∞)內(nèi)取值的概率為P(ξ≥2)=1-0.6(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是 ()A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等【解析】選D.對于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測量結(jié)果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正確;對于B,由正態(tài)密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5,故B正確;對于C,由正態(tài)密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中小于9.99的概率與大于10.01的概率相等,故C正確;對于D,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.【解題技法】正態(tài)分布的概率計算的關(guān)鍵點正態(tài)分布的特點可結(jié)合圖象記憶,并可根據(jù)μ和σ的不同取值得到不同的圖象,特別地,當(dāng)μ=0時,圖象關(guān)于y軸對稱.【對點訓(xùn)練】1.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),則k的值為 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選B.因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,4),所以其圖象關(guān)于x=5對稱,又因為P(X>k)=P(X<k-4),所以k+k-42.陜西洛川蘋果享譽國內(nèi)外,據(jù)統(tǒng)計,陜西洛川蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑X(單位:mm)服從正態(tài)分布N(70,52),則直徑在(80,85]內(nèi)的概率為 ()附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.0214 B.0.0430C.0.8185 D.0.6826【解析】選A.由題可設(shè)直徑在(80,85]內(nèi)的概率為P,則P=P(μ-3σ≤3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(X<3)+P(X≤1)=1,則μ=______.

【解析】因為X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),所以P(X<3)+P(X≥3)=1,所以P(X≤1)=P(X≥3),由正態(tài)曲線的對稱性知對稱軸為x=2,所以μ=2.答案:2考點三正態(tài)分布的綜合應(yīng)用[例3](1)某地高三學(xué)生有15000名,在一次測試中,這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤100)=0.35,若按成績用分層隨機抽樣的方法抽取100份試卷進行分析,則應(yīng)從120分及以上的試卷中抽取 ()A.5份 B.10份 C.15份 D.20份【解析】選C.因為數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),P(80<ξ≤100)=0.35,所以P(80<ξ<120)=2×0.35=0.70,所以P(ξ≥120)=12×(1-0.70)=0.15,所以應(yīng)從120分及以上的試卷中抽取100×0.15=15(份)(2)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取并檢測零件的直徑尺寸,根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件直徑尺寸x(cm)服從正態(tài)分布N18,4,若x落在(20,22]內(nèi)的零件個數(shù)為2718,則可估計所抽取的這批零件中直徑x高于22的個數(shù)為__________(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2,則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,Pμ-2σ≤ξ【解析】由正態(tài)分布N18,4可知μ=18,所以μ+σ=20,μ+2σ=22.所以P20<x≤22≈0.Px>22≈1-0所以直徑x高于22的個數(shù)大約為2718÷0.1359×0.02275=455.答案:455(3)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149[22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合計10001.000①求m,n,a的值;②求出這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);③由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2,其中已計算得σ2=52.6.如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(10.50,39.50),企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元,如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(10.50,39.50)之外,企業(yè)每件產(chǎn)品要損失100元,從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取20件產(chǎn)品,記X為抽取的20件產(chǎn)品所獲得的總利潤,求E(X).附:52.6≈7.【解析】①結(jié)合題中頻率分布表可以得到m=54,n=0.352,a=0.195=0②抽取的1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.19+35×0.1+40×0.047=25.③因為52.6≈7.25,由②知Z~N(25,52.6),從而P(10.50<Z<39P(25-2×7.25<Z<25+2×7.25)≈0.9545.設(shè)Y為隨機抽取20件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于(10.50,39.50)之外的件數(shù),依題意知Y~B(20,0.0455),則E(Y)=20×0.0455=0.91,所以E(X)=-100×E(Y)+10×20×0.9545=99.9.【解題技法】解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(1)對稱軸x=μ;(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ;(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由μ,σ,分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.【對點訓(xùn)練】1.在某校高三年級的高考全真模擬考試中,所有學(xué)生考試成績的取值X(單位:分)是服從正態(tài)分布N(502,144)的隨機變量,模擬“重點控制線”為490分(490分及490分以上都是重點),若隨機抽取該校一名高三考生,則這名同學(xué)的成績不低于“重點控制線”的概率為 ()(附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827 B.0.65865C.0.84135 D.0.34135【解析】選C.因為P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(2.對一個物理量做n次測量并以測量結(jié)果的均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差εn~N(0,2n),為使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要測量________次.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤2σ)≈0.【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知要使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,則(μ-2σ,μ+2σ)?(-0.5,0.5),又μ=0,σ=2n,所以0.5≥22n?n答案:323.在某質(zhì)量檢測考試中,高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(98,100).已知參加本次考試的全市高二年級學(xué)生約100000人.某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分,那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第________名.

(參考數(shù)值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)【解析】因為考試的成績X服從正態(tài)分布N(98,100),所以μ=98,σ=10,所以108=μ+σ,則P(X>108)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-σ答案:15865【重難突破】概率與統(tǒng)計中的決策問題【考查形式】試題多以相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、二項分布等作為載體,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及數(shù)學(xué)的應(yīng)用與創(chuàng)新意識.重點考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).【解題關(guān)鍵】(1)會“評價”:在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上能夠基于數(shù)字特征給出統(tǒng)計意義上的評價結(jié)論.(2)會“決策”:在基于數(shù)字特征給出有意義評價的基礎(chǔ)上,分析利弊、觀察風(fēng)險,進而做出切實可行的合理決策方案或建議.類型一與回歸分析相關(guān)的預(yù)測性問題[例1]2021年6月,公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統(tǒng)——“國家反詐中心APP”,這是一款能有效預(yù)防詐騙、快速舉報詐騙內(nèi)容的軟件,用戶通過學(xué)習(xí)里面的防詐騙知識可以有效避免各種網(wǎng)絡(luò)詐騙的發(fā)生。某省自“國家反詐中心APP”推出后,持續(xù)采取多措并舉的推廣方式,積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工作.經(jīng)統(tǒng)計,省反詐中心發(fā)現(xiàn)全省每月網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)y(單位:件)與推廣時間有關(guān),并記錄了經(jīng)推廣x個月后每月舉報件數(shù)的數(shù)據(jù):推廣月數(shù)x/個1234567y/件891888351220200138112(1)現(xiàn)用y=a+bx(2)分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報件數(shù)降至接近于零嗎?參考數(shù)據(jù)(其中ti=1xi【解析】(1)由題意知y=17令t=1x,設(shè)y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為y=t+,則=1000,則=400-1000×0.37=30,所以y=1000t+30,又t=1x,所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=1(2)僅從現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得回歸方程y=1000x+30,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)推廣時間越來越長時,即x越來越大時,【解題技法】預(yù)測問題的解題策略(1)求經(jīng)驗回歸方程;(2)利用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測,把回歸直線方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.【對點訓(xùn)練】為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果,某知名電商平臺決定為脫貧鄉(xiāng)村的特色水果開設(shè)直播帶貨專場.該特色水果的熱賣黃金時段為2023年7月10日至9月10日,為了解直播的效果和關(guān)注度,該電商平臺統(tǒng)計了已直播的2023年7月10日至7月14日時段中的相關(guān)數(shù)據(jù),這5天的第x天到該電商平臺專營店購物的人數(shù)y(單位:萬人)的數(shù)據(jù)如下表:日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日第x天12345人數(shù)y(單位:萬人)75849398100(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),請判斷該電商平臺的第x天與到該電商平臺專營店購物的人數(shù)y(單位:萬人)是否具有較高的線性相關(guān)程度;(參考:若0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般,若|r|>0.75,則線性相關(guān)程度較高,計算r時精確度為0.01)(2)求購買人數(shù)y與直播的天數(shù)x的線性回歸方程,用樣本估計總體,請預(yù)測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(shù)(單位:萬人).參考數(shù)據(jù):【解析】(1)由題表中數(shù)據(jù)可得x=3,y=90,所以又所以≈0.97>0.75,所以該電商平臺直播黃金時段的天數(shù)x與購買人數(shù)y具有較高的線性相關(guān)程度.所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系.(2)求購買人數(shù)y與直播的第x天的經(jīng)驗回歸方程.用樣本估計總體,預(yù)測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(shù)(單位:萬人).由表中數(shù)據(jù)可得則=y-x=90-6.4×3=70.8,所