初中數(shù)學試題大全（六十六）圓難題

66初中數(shù)學組卷：圓難題

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB的中點，以E為圓心，ED為半

徑作半圓，交A、B所在的直線于M、N兩點，分別以直徑MD、ND為直徑作半

圓，則陰影部分面積為（）

2.如圖，正方形ABCD的邊AB=1,俞和筱都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩

部分的面積之差是（）

3.如圖，AC是矩形ABCD的對角線，O0是4ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD

按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG.點F,G分別在邊AD,

BC上，連結(jié)OG,DG.若OGLDG,且。。的半徑長為1,則下列結(jié)論不成立的

A.CD+DF=4B.CD-DF=2V5-3C.BC+AB=2后4D.BC-AB=2

4.如圖，半徑為3的。。內(nèi)有一點A,0人=病，點P在。O上，當NOPA最大時,

PA的長等于（)

5.將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。，得正方形ABiQDi,BiJ交CD

于點E,AB=近，則四邊形ABiED的內(nèi)切圓半徑為（）

A加+1B33c我+1D3y

'2'2'3'3

6.如圖，在直角坐標系中，直線AB經(jīng)點P（3,4）,與坐標軸正半軸相交于A,

B兩點，當^AOB的面積最小時，^AOB的內(nèi)切圓的半徑是（）

A.2B.3.5C.I4-7&D.4

2

7.如圖，已知點A是以MN為直徑的半圓上一個三等分點，點B是余的中點,

點P是半徑ON上的點.若。O的半徑為I,則AP+BP的最小值為（)

A.2B.,眄C.A/3D.-

2

8.如圖，一個小圓沿著一個五邊形的邊滾動，如果五邊形的各邊長都和小圓的

周長相等，那么當小圓滾動到原來位置時，小圓自身滾動的圈數(shù)是（）

9.如圖，AB為半圓。的直徑，（：是半圓上一點，且NCOA=60。，設扇形AOC、

△COB、弓形BmC的面積為S1、S2.S3,則它們之間的關(guān)系是（）

A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3Vs2Vsi

10.如圖，AB為半圓。在直徑，AD、BC分別切。。于A、B兩點，CD切。。于

2

點E,連接OD、0C,下列結(jié)論：①NDOC=90°,②AD+BC=CD,③S^AOD：SABOC=AD：

A02,④OD：OC=DE：EC,⑤0D2=DE?CD,正確的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

二.填空題（共10小題）

11.如圖，AB是。0的直徑，點C是。0上的一點，若BC=6,AB=10,OD±BC

12.如圖，。0的半徑是2,直線I與。0相交于A、B兩點，M、N是。。上的

兩個動點，且在直線I的異側(cè)，若NAMB=45。，則四邊形MANB面積的最大值

13.如圖，直線I：y=-Lx+l與坐標軸交于A,B兩點，點M(m,0)是x軸上

2

一動點，以點M為圓心，2個單位長度為半徑作OM,當。M與直線I相切時，

則m的值為.

14.如圖，在口ABCD中，AD=2,AB=4,NA=30。，以點A為圓心，AD的長為半

徑畫弧交AB于點E,連接CE,則陰影部分的面積是(結(jié)果保留Ti).

DC

AEB

15.如圖，已知。。的直徑AB=6,E、F為AB的三等分點，M、N為第上兩點,

且NMEB=NNFB=60°,則EM+FN=.

16.如圖，AB是。O的一條弦，點C是。O上一動點，且NACB=30。，點E、F

分別是AC、BC的中點，直線EF與。。交于G、H兩點.若。。的半徑為7,則

GE+FH的最大值為

17.如圖，以點P(2,0)為圓心，我為半徑作圓，點M(a,b)是。P上的一

點，則卜的最大值是

a

18.如圖，在RtZ\AOB中，OA=OB=3&,。。的半徑為1,點P是AB邊上的動

點，過點P作。0的一條切線PQ(點Q為切點)，則切線PQ的最小值為

19.如圖，AB是。。的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H,過CD延長線上一點E作

。。的切線，切點為F.若NACF=65。，則NE=.

20.如圖，在矩形ABCD中，AD=8,E是邊AB上一點，MAE=1AB.。。經(jīng)過點

4

E,與邊CD所在直線相切于點G(NGEB為銳角)，與邊AB所在直線交于另一點

F,且EG：EF=代:2.當邊AD或BC所在的直線與。。相切時，AB的長是.

三.解答題(共10小題)

21.如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,。是BC邊上一點，以。為圓心的半圓與

AB邊相切于點D,與AC、BC邊分別交于點E、F、G,連接OD,已知BD=2,AE=3,

tan/BOD=Z.

3

(1)求。O的半徑OD；

(2)求證：AE是。O的切線；

(3)求圖中兩部分陰影面積的和.

22.已知A,B,C,D是。O上的四個點.

(1)如圖1,若NADC=NBCD=90。，AD=CD,求證：AC±BD；

23.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB與點E,點P在。。上，Z1=ZC,

(1)求證：CB〃PD；

(2)若BC=3,sin/P=3,求。。的直徑.

5

24.已知，如圖，直線MN交。。于A,B兩點，AC是直徑，AD平分NCAM交

。。于D,過D作DELMN于E.

(1)求證：DE是。0的切線；

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求。0的半徑.

25.如圖，已知BC是。O的弦，A是。。外一點，^ABC為正三角形，D為BC

的中點，M為。。上一點，并且NBMC=60。.

(1)求證：AB是。。的切線；

(2)若E,F分別是邊AB,AC上的兩個動點，且NEDF=12O。，的半徑為2,

試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

26.如圖，AB為。。的直徑，P是BA延長線上一點，PC切。。于點C,CG是。

0的弦，CG±AB,垂足為D.

(1)求證：ZPCA=ZABC；

(2)過點A作AE〃PC,交。。于點E,交CD于點F,連接BE.若sin/P=3,

CF=5,求BE的長.

E

27.如圖，在^ABC中，ZC=90°,NBAC的平分線AD交BC于D,過點D作DE

，AD交AB于E,以AE為直徑作。O.

(1)求證：點D在。。上；

(2)求證：BC是。O的切線；

(3)若AC=6,BC=8,求4BDE的面積.

28.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,NBAC的角平分線AD交BC邊于D.以AB

上某一點。為圓心作。。，使。。經(jīng)過點A和點D.

(1)判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AC=3,ZB=30".

①求。0的半徑；

②設。。與AB邊的另一個交點為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部

分的圖形面積.(結(jié)果保留根號和TI)

29.如圖，在^ABC中，AB=AC,以AC為直徑作。。交BC于點D,過點D作。

。的切線，交AB于點E,交CA的延長線于點F.

(1)求證：FEXAB；

(2)當EF=6,里用時，求DE的長.

OF5

B

30.如圖1,以aABC的邊AB為直徑的。。交邊BC于點E,過點E作。。的切

線交AC于點D,且ED±AC.

(1)試判斷^ABC的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若線段AB、DE的延長線交于點F,ZC=75°,CD=2-遮，求。O

的半徑和BF的長.

66初中數(shù)學組卷：圓難題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2015?梧州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB的中點，以E為

圓心，ED為半徑作半圓，交A、B所在的直線于M、N兩點，分別以直徑MD、

ND為直徑作半圓，則陰影部分面積為（）

【分析】根據(jù)圖形可知陰影部分的面積=兩個小的半圓的面積+ZXDMN的面積-

大半圓的面積，MN的半圓的直徑，從而可知NMDN=90。，在RtAMDN中，由

勾股定理可知：MN2=MD2+DN2,從而可得到兩個小半圓的面積=大半圓的面積，

故此陰影部分的面積=△DMN的面積，在Rt△AED中，

DE=VAD2+AE2=V62+32=3^,所以MN=6遙，然后利用三角形的面積公式求解

即可.

【解答】解：根據(jù)圖形可知陰影部分的面積=兩個小的半圓的面積+4DMN的面

積-大半圓的面積.

VMN是半圓的直徑，

AZMDN=90°.

在《△MDN中,MN2=MD2+DN2,

??.兩個小半圓的面積=大半圓的面積.

陰影部分的面積=4口1\/^的面積.

在RtAAED中，DE=〃D2+AE2=后親3泥,

陰影部分的面積=/iDMN的面積=￡_MN,AD='X僅而乂6=18泥,

故選：B.

【點評】本題主要考查的是求不規(guī)則圖形的面積，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)

則圖形的面積是解答此類問題的常用方法，發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積=Z\DMN的面積

是解題的關(guān)鍵.

2.（2015?黃岡中學自主招生）如圖，正方形ABCD的邊AB=1,而和京都是以1

為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（）

【分析】圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個3的面積

和是兩個扇形的面積，因此兩個扇形的面積的和-正方形的面積=無陰影兩部分

的面積之差，即9°兀XIX2-1=工_].

3602

【解答】解：如圖：

正方形的面積=S1+S2+S3+S4；①

兩個扇形的面積=2S3+S1+S2；②

②-①，得：s3-s4=s扇形-S正方形=9。兀x1x2_i=2L_1.

3602

【點評】本題主要考查了扇形的面積計算公式及不規(guī)則圖形的面積計算方法.找

出正方形內(nèi)四個圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2015?湖州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，。0是4ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)

將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點0重合，折痕為FG?點F,G

分別在邊AD,BC上，連結(jié)OG,DG.若OGLDG,且。。的半徑長為1,則下列

A.CD+DF=4B.CD-DF=275-3C.BC+AB=2后4D.BC-AB=2

【分析】設。0與BC的切點為M,連接M0并延長M0交AD于點N,證明△

OMG^AGCD,得至UOM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.設AB=a,BC=b,

AC=c,。。的半徑為r,。。是Rt^ABC的內(nèi)切圓可得r=L（a+b-c）,所以c=a+b

2

-2.在RtAABC中，利用勾股定理求得&2=1二打（舍去）'從而求

出a,b的值，所以BC+AB=2后4.再設DF=x,在Rt^ONF中，F(xiàn)N=3+夷-lr,

OF=x,ON=1+V3-1=V3>由勾股定理可得（2+J5-x）2+（相）2=*2,解得x=4f后，

從而得至UCD-DF=Vj+l-（4-對）=2對一3,CD+DF=Vj+l+4-如=5.即可解答.

【解答】解：如圖，

設。0與BC的切點為M,連接M0并延長M0交AD于點N,

?..將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點0重合，折痕為FG,

.\OG=DG,

VOG±DG,

AZMGO+ZDGC=90°,

VZMOG+ZMGO=90°,

AZMOG=ZDGC,

在△OMG和AGCD中，

'NOMG=/DCG=90°

'ZMOG=ZDGC

QG=DG

/.△OMG^AGCD,

.,.OM=GC=1,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

VAB=CD,

BC-AB=2.

設AB=a,BC=b,AC=c,。。的半徑為r,

?0是RtAABC的內(nèi)切圓可得r=l（a+b-c）,

2

/.c=a+b-2.

在RtAABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b-2）2,

整理得2ab-4a-4b+4=0,

又：BC-AB=2即b=2+a,代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0,

解得ai=lS，&2=1二巧（舍去）’

：.a=l+y/3,b=3+V5，

，BC+AB=2杼4.

再設DF=x,在RtaONF中，F(xiàn)N=3+V3-l-x-OF=x,ON=1+我-1=75，

由勾股定理可得（2+會-x）2+（我）2=*2，

解得x=4-y/3,

/.CD-DF=V3+1-（4-A/3）=2V3-3?CD+DF=V3+1+4-A/3=5.

綜上只有選項A錯誤，

故選A.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性

質(zhì)等知識點的綜合應用，解決本題的關(guān)鍵是三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).

4.（2014?烏魯木齊）如圖，半徑為3的。O內(nèi)有一點A,OA=g,點P在。0

上，當NOPA最大時，PA的長等于（）

。

A.V3B.'、￡C.3D.2M

【分析】當PA_LOA時，ZOPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股

定理求PA的值即可.

【解答】解：如圖所示：??PA、0P是定值，

.?.PALOA時，NOPA最大，

在直角三角形OPA中，OA=M，0P=3,

**,PA=7OP2-OA2=^,

【點評】本題考查了解直角三角形.解答此題的關(guān)鍵是找出"當PAXOA時，Z

OPA最大"這一隱含條件.

5.（2015?遵義）將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°,得正方形ABiCiDi,

BiJ交CD于點E,AB=如,則四邊形ABiED的內(nèi)切圓半徑為（）

A我+1B3』c返+1D33

'2-23'3

【分析】作NDAF與NABiG的角平分線交于點O,則0即為該圓的圓心，過0

作OFXABi，AB=?,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)便可求出OF的長，即該四邊形

內(nèi)切圓的圓心.

【解答】解：作NDAF與NABiG的角平分線交于點0,過。作OF^ABi,

則NOAF=30°,ZABiO=45",

故BiF=OF=l-OA,

2

設BF=x,貝l]AF=?-x,

故（V3-x）2+x2=（2x）2,

解得x=-^+3或x="^-3（舍去），

22_

??.四邊形ABiED的內(nèi)切圓半徑為：~^+3.

2

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)三角形的內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)，要熟練掌握正

方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵.

6.(2013?武漢模擬)如圖，在直角坐標系中，直線AB經(jīng)點P(3,4),與坐標

軸正半軸相交于A,B兩點，當AAOB的面積最小時，^AOB的內(nèi)切圓的半徑是

()

【分析】設直線AB的解析式是y=kx+b,把P(3,4)代入求出直線AB的解析

式是y=kx+4-3k,求出0A=4-3k,OB=3k_4,求出AAOB的面積是1?OB?OA=12

k2

-lk1+16=12,(2k+l),根據(jù)一旦k-g,2」(空)k.(衛(wèi))=12和當且僅當-

2k2k2kV2Jkk；

—k=-2時，取等號求出k=--,求出0A=4-3k=8,0B=^~^=6,設三角形AOB

2k3k

的內(nèi)切圓的半徑是R,由三角形面積公式得：A.X6X8=1X6R+1X8R+1X10R,

2222

求出即可.

【解答】解：設直線AB的解析式是y=kx+b,

把P(3,4)代入得：4=3k+b,

b=4-3k,

即直線AB的解析式是y=kx+4-3k,

當x=0時,y=4-3k,

當y=0時，x=3kY,

k

即A(0,4-3k),B(3kY,o),

k

2

△AOB的面積是_L?OB?OA=L?^Z￡?(4-3k)=12-.9k±16-12-(2k+&),

22k2k2k

要使^AOB的面積最小，

.?.必須更自旦旦最大，

2k

Vk<0,

-k>0,

?---詈24告嚴,

當且僅當-旦k=-反時，取等號，解得：k=±l,

2k3

Vk<0,

/.k=--,

3

即OA=4-3k=8,OB=3kY=6,

k

2

根據(jù)勾股定理得：AB=^62+82=10,

設三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R,

由三角形面積公式得：1X6X8=1X6R+1-X8R+2.X10R,

2222

R=2,

故選A.

【點評】本題考查了勾股定理，取最大值，三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓等知

識點的應用，關(guān)鍵是求OA和OB的值，本題比較好，但是有一定的難度.

7.（2012?天臺縣校級模擬）如圖，已知點A是以MN為直徑的半圓上一個三等

分點，點B是余的中點，點P是半徑ON上的點.若。。的半徑為I,則AP+BP

【分析】本題是要在MN上找一點P,使PA+PB的值最小，設A是A關(guān)于MN的

對稱點，連接AB,與MN的交點即為點P.此時PA+PB=AB是最小值，可證△

OAB是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.1

【解答】解：作點A關(guān)于MN的對稱點N,連接AB,交MN于點P,則PA+PB

最小，

連接OA,AA,OB,

???點A與A關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，

AZA,ON=ZAON=60°,PA=PA',

:點B是弧AN八的中點，

AZBON=30°,

ZA,OB=ZA,ON+ZBON=90°,

XVOA=OA,=1,

PA+PB=PA'+PB=A'B=&.

故選B.

【點評】正確確定P點的位置是解題的關(guān)鍵，確定點P的位置這類題在課本中有

原題，因此加強課本題目的訓練至關(guān)重要.

8.（2014?泰安模擬）如圖，一個小圓沿著一個五邊形的邊滾動，如果五邊形的

各邊長都和小圓的周長相等，那么當小圓滾動到原來位置時，小圓自身滾動的圈

數(shù)是（）

C.6D.10

【分析】因為五邊形的各邊長都和小圓的周長相等，所以小圓在每一邊上滾動正

好一周，另外五邊形的外角和為360。，所以小圓在五個角處共滾動一周，可以

求出小圓滾動的圈數(shù).

【解答】解：因為五邊形的各邊長都和小圓的周長相等，所以小圓在每一邊上滾

動正好一周，在五條邊上共滾動了5周.由于每次小圓從五邊形的一邊滾動到另

一邊時，都會翻轉(zhuǎn)72。，所以小圓在五個角處共滾動一周.因此，總共是滾動了

6周.

故選：C.

【點評】本題考查的是對圓的認識，根據(jù)圓的周長與五邊形的邊長相等，可以知

道圓在每邊上滾動一周.然后由多邊形外角和是360。，可以知道圓在五個角處

滾動一周.因此可以求出滾動的總?cè)?shù).

9.（2016?黃岡校級自主招生）如圖，AB為半圓。的直徑，C是半圓上一點，且

ZCOA=60",設扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積為SI、S2>S3,則它們之間

的關(guān)系是（）

A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3Vs2Vsi

【分析】設出半徑，作出ACOB底邊BC上的高，利用扇形的面積公式和三角形

的面積公式表示出三個圖形面積，比較即可求解.

【解答】解：作ODLBC交BC與點D,

VZCOA=60°,

ZCOB=120",則ZCOD=60°.

?c.“_60冗R2冗R2

3606

c-1207TR2KR2

、扇形BOC---------------------二-----?

3603

在三角形OCD中，NOCD=30°,

/.OD=K,CD=/^R,BC=V^R,

22

..圣謝=譴，S1謔肆L--3付R?,

（4兀-3V^）R2、HR2、遮R2

~L264

.*.S2<S1<S3.

故選B.

【點評】此題考查扇形面積公式及弓形面積公式，解題的關(guān)鍵是算出三個圖形的

面積，首先利用扇形公式計算出第一個扇形的面積，再利用弓形等于扇形-三角

形的關(guān)系求出弓形的面積，進行比較得出它們的面積關(guān)系.

10.（2015?達州）如圖，AB為半圓。在直徑,AD、BC分別切。。于A、B兩點,

CD切。O于點E,連接OD、OC,下列結(jié)論：①NDOC=90°,②AD+BC=CD,③S△

AOD：SABOC=AD2：AO2,④OD：OC=DE：EC,⑤OD2=DE?CD,正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】連接OE,由AD,DC,BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個角

為直角，且利用切線長定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代換可得

出CD=AD+BC,選項②正確；由AD=ED,OD為公共邊，利用HL可得出直角三角

形ADO與直角三角形EDO全等，可得出NAOD=NEOD,同理得到NEOC=NBOC,

而這四個角之和為平角，可得出NDOC為直角，選項①正確；由NDOC與NDEO

都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出

三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD,選項⑤正確;

由△AODs^BOC,可得必幽=(毀「=注？「=迎】，選項③正確；由

^ABOCOBAOAO2

-△OEC,可得強理，選項④錯誤.

OC-0E

【解答】解：連接0E,如圖所示：

：AD與圓0相切，DC與圓0相切，BC與圓0相切，

AZDAO=ZDEO=ZOBC=90°,

ADA=DE,CE=CB,AD〃BC,

；.CD=DE+EC=AD+BC,選項②正確；

在RtAADO和RtAEDO中，

lDA=DE

ARtAADO^RtAEDO(HL),

AZAOD=ZEOD,

同理RtACEO^RtACBO,

AZEOC=ZBOC,

XZAOD+ZDOE+ZEOC+ZCOB=180°,

：.2(ZDOE+ZEOC)=180",即NDOC=90。，選項①正確；

AZDOC=ZDEO=90°,又NEDO=/ODC,

.,.△EDO^AODC,

...西=邁，即OD2=DC?DE,選項⑤正確；

CD0D

ZAOD+ZCOB=ZAOD+ZADO=9Q",

ZA=ZB=90°,

/.△AOD^ABOC,

也旺（包旭_「二迪二選項③正確;

lJ

SABOCOB^A0A02

同理△ODEs^OEC,

西口，選項④錯誤；

OCOE

故選c.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的

關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2015?長沙）如圖，AB是。O的直徑，點C是。。上的一點，若BC=6,AB=10,

ODLBC于點D,則OD的長為4.

【分析】根據(jù)垂徑定理求得BD,然后根據(jù)勾股定理求得即可.

【解答】解：,?,ODLBC,

.*.BD=CD=1BC=3,

2

V0B=ljXB=5,

2

AOD=VOB2-BD2=4-

故答案為4.

【點評】題考查了垂徑定理、勾股定理，本題非常重要，學生要熟練掌握.

12.(2014?陜西)如圖，。。的半徑是2,直線I與。O相交于A、B兩點，M、

N是。O上的兩個動點，且在直線I的異側(cè)，若NAMB=45。，則四邊形MANB面

積的最大值是4亞.

【分析】過點。作OCLAB于C,交。。于D、E兩點，連結(jié)OA、OB、DA、DB、

EA、EB,根據(jù)圓周角定理得NAOB=2NAMB=90。，則^OAB為等腰直角三角形，

所以AB=J^OA=2由于S四邊形MANB=SAMAB+SANAB，而當M點到AB的距昌最大，

△MAB的面積最大；當N點到AB的距離最大時，4NAB的面積最大，即M點

運動到D點，N點運動到E點，所以四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S^DAB+S

△EAB=LB?CD+17XB?CE=17XB(CD+CE)=1T\B?DE=LX2,RX4=4

22222

【解答】解：過點。作OCLAB于C,交。。于D、E兩點，連結(jié)OA、OB、DA、

DB、EA、EB,如圖，

VZAMB=45°,

AZAOB=2ZAMB=90°,

??.△OAB為等腰直角三角形，

.?.AB=V^OA=2m，

?*S四邊形MANB二S4MAB+S^NAB，

，當M點到AB的距離最大，^MAB的面積最大；當N點到AB的距離最大時，

△NAB的面積最大，

即M點運動到D點，N點運動到E點，

此時四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=SADAB+SAEAB=LXB?CD+L\B-CE=L\B

(CD+CE)=LXB?DE」X2忻X4=4、&

22

故答案為：4五.

【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩

條弧.也考查了圓周角定理.

13.(2015?煙臺)如圖，直線I：y=-Lx+1與坐標軸交于A,B兩點，點M(m,

0)是x軸上一動點，以點M為圓心，2個單位長度為半徑作。M,當。M與直

線I相切時，則m的值為2-2立或2+2亞..

MO

【分析】根據(jù)直線ly=-lx+1由x軸的交點坐標A(0,1),B(2,0),得至UOA=1,

OB=2,求出AB=J^；設。M與AB相切與C,連接MC,則MC=2,MC±AB,通

過△BMCs^ABO,即可得到結(jié)果.

【解答】解：在y=-L<+l中，

令x=0,則y=l,

令y=0,則x=2,

，A(0,1),B(2,0),

AAB=V5；

如圖，設。M與AB相切與C,

連接MC,則MC=2,MC±AB,

VZMCB=ZAOB=90°,NB=NB,

.,.△BMC-AABO,

?CMBMpn2BM

OA-AB1一證

BM=2、石，

.?.0M=2遙-2,或0M=2遍+2.

m=2-2、而或m=2+2\,,r5.

故答案為：2-2旄，2+2旄.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵.

14.（2015?安順）如圖，在口ABCD中,AD=2,AB=4,ZA=30°,以點A為圓心，

AD的長為半徑畫弧交AB于點E,連接CE,則陰影部分的面積是3-U（結(jié)

2—

果保留n）.

DC

AEB

【分析】過D點作DF±AB于點F.可求口ABCD和4BCE的高，觀察圖形可知陰

影部分的面積=MBCD的面積-扇形ADE的面積-4BCE的面積，計算即可求解.

【解答】解：過D點作DFLAB于點F.

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

.*.DF=AD?sin30°=l,EB=AB-AE=2,

???陰影部分的面積:

_30X71X呼

4X12X14-2

360

=4-AJT-1

3

=3-AJI.

3

故答案為：3-In.

3

【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計算，本題的關(guān)鍵是理解陰影部

分的面積aABCD的面積-扇形ADE的面積-4BCE的面積.

15.（2013?揚州）如圖，已知。0的直徑AB=6,E、F為AB的三等分點，M、N

為篇上兩點，且NMEB=NNFB=6O°,則EM+FN=_V33_.

【分析】延長ME交。O于G,根據(jù)圓的中心對稱性可得FN=EG,過點O作OH

LMG于H,連接MO,根據(jù)圓的直徑求出OE,OM,再解直角三角形求出OH,

然后利用勾股定理列式求出MH,再根據(jù)垂徑定理可得MG=2MH,從而得解.

【解答】解：如圖，延長ME交。O于G,

VE>F為AB的三等分點，NMEB=NNFB=6O。，

；.FN=EG,

過點。作OHLMG于H,連接MO,

VOO的直徑AB=6,

.*.OE=OA-AE=1X6-1X6=3-2=1,

23

OM』X6=3,

2

VZMEB=60",

.*.OH=OE?sin60°=lX些=后，

22

在Rt^MOH中，MH=7QM2^H2=

根據(jù)垂徑定理，MG=2MH=2xYH=疝,

即EM+FN=V33.

故答案為：V33.

【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，以及解直角三角形，作輔助線

并根據(jù)圓的中心對稱性得到FN=EG是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

16.（2013?陜西）如圖，AB是。O的一條弦，點C是。。上一動點，且NACB=30。，

點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與。。交于G、H兩點.若。0的半徑

為7,則GE+FH的最大值為10.5.

【分析】由點E、F分別是AC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=1AB=3.5

2

為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5,所以當GH取最大值時，GE+FH有最大值.而

直徑是圓中最長的弦，故當GH為。0的直徑時，GE+FH有最大值14-3.5=10.5.

【解答】解：當GH為。0的直徑時，GE+FH有最大值.

當GH為直徑時，E點與。點重合，

，AC也是直徑，AC=14.

VZABC是直徑上的圓周角,

AZABC=90",

VZC=30°,

/.AB=1AC=7.

2

???點E、F分別為AC、BC的中點，

.?.EF=17XB=3.5,

2

；.GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

故答案為：10.5.

【點評】本題結(jié)合動點考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度.確

定GH的位置是解題的關(guān)鍵.

17.(2017?永新縣模擬)如圖，以點P(2,0)為圓心，E為半徑作圓，點M

(a,b)是。P上的一點，則巨的最大值是—立

a

【分析】當卜有最大值時，得出tan/MOP有最大值，推出當0M與圓相切時，

a

tanZMOP有最大值，根據(jù)解直角三角形得出tan/MOP=J^,由勾股定理求出

0M

當k有最大值時，即tan/MOP有最大值,

a

也就是當0M與圓相切時，tanNMOP有最大值,

此時tanNMOP」lL,

0M

在Rtz^OMP中，由勾股定理得：（DMy°p2_pM氣22_（?）”L

則tanNMOP=b=MP=V3=^,

aOM1

故答案為：Vs.

【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理、坐標與圖形性質(zhì)、切線的性質(zhì)等

知識點，關(guān)鍵是找出符合條件的M的位置，題目比較典型，但是有一定的難度.

18.（2013?咸寧）如圖，在RtAAOB中，0A=0B=36，?0的半徑為工，點P

是AB邊上的動點，過點P作。。的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的

最小值為2近.

【分析】首先連接OP、0Q,根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-0Q2,可得當OPLAB時,

即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案.

【解答】解：連接OP、0Q.

?；PQ是。0的切線，

.?.OQ±PQ；

根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-0Q2,

.,.當POLAB時，線段PQ最短，

：在RtAAOB中，OA=OB=3我,

.*.AB=V2OA=6,

.,.0P=°A?C）B=3,

AB

?*,PCi=ylop232

故答案為：2圾.

o

B

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理.此題難

度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當POLAB時，線段PQ最短是關(guān)鍵.

19.（2015?泰安）如圖，AB是。。的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H,過CD延長

線上一點E作。。的切線，切點為F.若NACF=65。，則NE=50°.

:■

【分析】連接DF,連接AF交CE于G,由AB是。。的直徑，且經(jīng)過弦CD的中

點H,得到眾=右，由于EF是。。的切線，推出NGFE=NGFD+NDFE=NACF=65°

根據(jù)外角的性質(zhì)和圓周角定理得到NEFG=NEGF=65。，于是得到結(jié)果.

【解答】解：連接DF,連接AF交CE于G,

VAB是。O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H,

???筋④，

VEF是。。的切線，

ZGFE=ZGFD+ZDFE=ZACF=65°,

VZFGD=ZFCD+ZCFA,

VZDFE=ZDCF,

ZGFD=ZAFC,

ZEFG=ZEGF=65",

AZE=180°-ZEFG-ZEGF=50°,

故答案為：50°.

方法二:

連接OF,易知OF±EF,OH1EH,故E,F,0,H四點共圓，又NAOF=2NACF=130。,

故NE=180--130°=50°

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

20.（2014?溫州）如圖，在矩形ABCD中，AD=8,E是邊AB上一點,且AE=_LAB.O

4

0經(jīng)過點E,與邊CD所在直線相切于點G（NGEB為銳角），與邊AB所在直線

交于另一點F,且EG：EF=V5：2.當邊AD或BC所在的直線與。。相切時，AB

的長是12或4.

2_G_c

;

【分析】過點G作GNLAB,垂足為N,可得EN=NF,由EG：EF=依：2,得:

EG：EN=A/5：1-依據(jù)勾股定理即可求得AB的長度.

【解答】解：邊AB所在的直線不會與。0相切；邊BC所在的直線與。0相切時,

如圖，過點G作GNLAB,垂足為N,

，EN=NF,

XVEG：EF=V5：2,

AEG：EN=V5：1，

又：GN=AD=8,

...設EN=x,則GEW^x,根據(jù)勾股定理得：

(V^x)2-x2=64，解得：x=4,GE=4-/5,

設。0的半徑為r,由OE2=EN2+ON2

得：r2=16+(8-r)2,

Ar=5..，.0K=NB=5,

；.EB=9,

又AE=LXB,

4

.\AB=12.

同理，當邊AD所在的直線與。。相切時，連接0H,

.*.0H=AN=5,

.\AE=1.

又AE=LXB,

4

AAB=4.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應用，解答本題

的關(guān)鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對應圓的半徑.

三.解答題（共10小題）

21.（2015?黔南州）如圖，在RtAABC中，ZA=90°,。是BC邊上一點，以O

為圓心的半圓與AB邊相切于點D,與AC、BC邊分別交于點E、F、G,連接OD,

已知BD=2,AE=3,tanZBOD=A.

3

（1）求。O的半徑OD；

（2）求證：AE是。。的切線；

（3）求圖中兩部分陰影面積的和.

【分析】（1）由AB為圓。的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB,在直角

三角形BDO中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)tan/BOD及BD的值，求出OD

的值即可；

（2）連接OE,由AE=0D=3,且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四

邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA

與AE垂直得至UOE與AC垂直，即可得證；

（3）陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積-扇形DOF的面

積-扇形EOG的面積，求出即可.

【解答】解：（1）...AB與圓0相切,

AODXAB,

在Rt^BDO中，BD=2,tan/BOD=%Z,

OD3

.*.OD=3；

（2）連接OE,

VAE=OD=3,AE〃OD,

四邊形AEOD為平行四邊形,

.?.AD〃EO,

：DALAE,

AOEXAC,

又???0E為圓的半徑,

，AE為圓0的切線;

(3)VOD//AC,

?BD_0Dpn2_3

ABAC2+3AC

AAC=7.5,

Z.EC=AC-AE=7.5-3=4.5,

?,S陰影一SABDO^SAOEC一S扇形FOD一S扇形EOG

=J_X2X3+J-X3X4.5-9°n二史

22360

=3+27_97L

44

=39-9冗

~1~

【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)定義，平行

四邊形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

22.（2014?廈門）已知A,B,C,D是。O上的四個點.

（1）如圖1,若NADC=NBCD=90。，AD=CD,求證：AC±BD；

（2）如圖2,若ACLBD,垂足為E,AB=2,DC=4,求。。的半徑.

【分析】（1）根據(jù)題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結(jié)論可以得到證明；

（2）連結(jié)DO,延長交圓。于F,連結(jié)CF、BF.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,

得NDCF=NDBF=90°,則BF〃AC,根據(jù)平行弦所夾的弧相等，得弧CF=MAB,則

CF=AB.根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：(1)VZADC=ZBCD=90°,

.'.AC、BD是。0的直徑，

AZDAB=ZABC=90°,

???四邊形ABCD是矩形，

VAD=CD,

???四邊形ABCD是正方形，

AACXBD；

(2)連結(jié)DO,延長交圓。于F,連結(jié)CF、BF.

VDF是直徑，

AZDCF=ZDBF=90°,

AFBXDB,

XVAC±BD,

，BF〃AC,NBDC+NACD=90。，

VZFCA+ZACD=90°

AZBDC=ZFCA=ZBAC

等腰梯形ACFB

.*.CF=AB.

根據(jù)勾股定理，得

CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=2O,

/.DF=2辰,

.*.OD=V5，即。O的半徑為遙.

【點評】此題綜合運用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、等弧對等弦以及

勾股定理.學會作輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.(2013?黔西南州)如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB與點E,點P在。O

上，Z1=ZC,

(1)求證：CB〃PD；

(2)若BC=3,sinNP=』，求。。的直徑.

【分析】(1)要證明CB〃PD,可以求得N1=NP,根據(jù)徐黃可以確定NC=NP,

又知Nl=/C,即可得N1=NP；

(2)根據(jù)題意可知NP=NCAB,則sinNCAB=是，即雙二所以可以求得圓的

AB5

直徑.

【解答】(1)證明：,??NC=NP

又,.?Nl=/C

.*.Z1=ZP

.?.CB〃PD；

(2)解：連接AC

VAB為。O的直徑，

ZACB=90°

又：CDLAB,

BC=BD，

AZP=ZCAB,

XVsinZP=2,

5

.*.sinZCAB=2,

5

即區(qū)=3,

AB5

又知，BC=3,

，AB=5,

??.直徑為5.

【點評】本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質(zhì)，解題時細心是解答好本

題的關(guān)鍵.

24.（2013?蘭州）已知，如圖，直線MN交。。于A,B兩點，AC是直徑，AD

平分NCAM交。O于D,過D作DELMN于E.

（1）求證：DE是。O的切線；

（2）若DE=6cm,AE=3cm,求。。的半徑.

【分析】（1）連接OD,根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得NODE=NDEM=90。，

且D在。。上，故DE是。O的切線.

（2）由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得AD的長，又有△ACDs^ADE.根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑.

【解答】（1）證明：連接OD.

VOA=OD,

AZOAD=ZODA.

VZOAD=ZDAE,

AZODA=ZDAE.

ADO/7MN.

VDE±MN,

AZODE=ZDEM=90".

即OD，DE.

,；D在。。上，OD為。。的半徑，

ADE是。。的切線.

(2)解：VZAED=90°,DE=6,AE=3,