湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第4章4-4-1方程的根與函數(shù)的零點課件

4.4.1方程的根與函數(shù)的零點第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.4函數(shù)與方程學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解函數(shù)零點的概念以及函數(shù)零點與方程根的關(guān)系．(易混點)2．會求函數(shù)的零點．(重點)3．掌握函數(shù)零點存在定理并會判斷函數(shù)零點的個數(shù)．(難點)1．借助零點的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)．2．借助函數(shù)的零點同方程根的關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．請觀察下圖，這是氣象局測得某地特殊一天的一張氣溫變化模擬函數(shù)圖(即一個連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象)，由于圖象中有一段被不小心擦掉了，現(xiàn)在有人想了解一下當天7時到11時之間有無可能出現(xiàn)溫度是0攝氏度，你能幫助他嗎？必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識點函數(shù)零點存在定理一般地，當x從a到b逐漸增加時，如果f(x)連續(xù)變化且有______________，則存在點x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．如果y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則方程f(x)＝0在(a，b)內(nèi)恰有__個根．提醒(1)定理要求具備兩個條件：①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的；②f(a)·f(b)<0．兩個條件缺一不可．(2)利用函數(shù)零點存在定理只能判斷出零點是否存在，而不能確定零點的個數(shù)．f(a)·f(b)<0一體驗思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若f(a)·f(b)>0，則f(x)在[a，b]內(nèi)無零點． (

)(2)若f(x)在[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點． (

)(3)若f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點，則f(a)·f(b)<0． (

)×××

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難

反思領(lǐng)悟

函數(shù)零點的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：對于不能直接求出的方程的根，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．

(3)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，∴f(x)＝0在(0，2)上必定存在實根．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在區(qū)間(－1，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個零點．法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)，在同一平面直角坐標系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示．由圖象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個公共點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．反思領(lǐng)悟

判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù)．(2)圖象法：直接作出函數(shù)f(x)的圖象，圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù)．(3)f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐標系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，則兩個圖象公共點的個數(shù)就是函數(shù)y＝f(x)零點的個數(shù)．[跟進訓(xùn)練]2．討論方程x3－3x＋1＝0根的個數(shù)與分布情況．[解]

設(shè)f(x)＝x3－3x＋1，∵f(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，f(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，f(0)＝1＞0，f(1)＝1－3＋1＝－1＜0，f(2)＝8－6＋1＝3＞0．∴f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間(－2，－1)，(0，1)和(1，2)內(nèi)各有一個零點．由于f(x)＝x3－3x＋1＝x(x2－3)＋1在(－∞，－2]上為負，在[2，＋∞)上為正，大致圖象如圖所示，故只有這三個零點，因此原方程有三個根，且分別位于區(qū)間(－2，－1)，(0，1)和(1，2)上．

x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋323456A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)√√結(jié)合零點存在定理思考怎樣判定函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點？

反思領(lǐng)悟

判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3個步驟(1)代入：將區(qū)間端點值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進行符號判斷．(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，

則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點．

√

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)√23題號415

2．函數(shù)f(x)＝2x－3的零點所在的區(qū)間是(

)A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)23題號415√B

[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2)．其他選項可逐一排除．]3．對于函數(shù)f(x)，若f(－1)·f(3)<0，則(

)A．方程f(x)＝0一定有實數(shù)解B．方程f(x)＝0一定無實數(shù)解C．方程f(x)＝0一定有兩實根D．方程f(x)＝0可能無實數(shù)解23題號45√1D

[∵函數(shù)f(x)的圖象在(－1，3)上未必連續(xù)，故盡管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能無實數(shù)解．]4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數(shù)有________個零點．23題號4512

[由Δ＝b2－4ac>0得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有2個零點．]2

23題號451

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．函數(shù)的零點、相應(yīng)方程的根及函數(shù)圖象之間存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？[提示]

函數(shù)的零點、函