高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 15(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（15）

一、單項選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1..如圖，已知球。是棱長為1的正方體ABCQ-A】B]Ci的內(nèi)切球，則

平面AC。1截球。的截面面積為（

2.如圖，已知球。是棱長為1的正方體4BCD-4當(dāng)好劣的內(nèi)切球，令

則平面AC。1截球。的截面面積為（

3.正方體48。。-&816。1的棱長為1,P為BC的中點，Q為線段CG上的動點，過點A,P,Q的平

面截該正方體所得的截面記為S,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.當(dāng)0<CQ<；時，S為四邊形B.當(dāng)[<CQ<1時，S為六邊形

C.當(dāng)CQ=1時，S的面積為漁D.當(dāng)CQ號時，S為等腰梯形

如圖兩個同心球，球心均為點O,其中大球與小球的表面積之比為

3：1,線段AB與C/）是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦，其中A、C兩

點在小球上，8、。兩點在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)

四面體ABCD的體積達(dá)到最大值時，此時異面直線AO與8c的夾

角為。，貝Using=（）

B.立

C.叵

6

D.延

33

5.長方、塹堵、陽馬、鱉腌這些名詞出自中國古代數(shù)學(xué)名著仇章算術(shù)?商功少，其中陽馬和鱉腌

是我國古代對一些特殊錐體的稱呼.取一長方，如圖長方體4BC0-4B1GD1，按平面4BG5

斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的

棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，其中以矩形為底另有一棱與底面垂直的四棱錐A-ABC。稱

為陽馬，余下的三棱錐。1-BCC2是由四個直角三角形組成的四面體稱為燕螃，已知長方體

ABCD-A^^D^AB=2,BC=3,AAr=4,按以上操作得到陽馬，則該陽馬的最長棱長

6.將邊長為5的菱形ABCQ沿對角線AC折起，頂點B移動至處，在以點A,C,。為頂

點的四面體力B'CD中，棱AC、B'D的中點分別為E、F,若4c=6,且四面體AB'CD的外

接球球心落在四面體內(nèi)部，則線段E尸長度的取值范圍為（）

A.殍,2⑹B.殍,4）C.（但2遍）D.（V3.4）

7.AABC是邊長為2的等邊三角形，M為4c的中點.將△力BM沿BMAP

折起到APBM的位置，當(dāng)三棱錐P-BCM體積最大時，三棱錐P-7c

BCM外接球的表面積為/

A.n/

B.37r

C.57r

D.7n

8.已知三棱錐P—ABC滿足PA=PB=PC=AB=2,ACIBC,則該三棱錐外接球的體積為（）

A.|^V37TB.C.-V37TD.-n

27393

9.三棱錐P-ABC中，PA1底面ABC,△ABC中ZB=AC,BC=2,BC邊上的高為2,且P4=1,

則該三棱錐的外接球的表面積是（）

A.—4B.—4C.97rD.57r

10.在三棱錐P-4BC中，PA=PB=PC=2V3,AC1BC,直線PC與平面ABC成60。角，則三棱

錐P-ABC的外接球的體積為

A等B.等C.等D.等

11.若正三棱柱既有內(nèi)切球，又有外接球，則內(nèi)切球與外接球的表面積之比為

A.1:3B,1:4C.1:5D.1:6

12.己知直四棱柱4BC0-的底面A8CD為矩形，=2W，且該棱柱外接球。的表面

積為20兀，E為線段AB上一點.則當(dāng)該四棱柱的體積取最大值時，5E+CE的最小值為（）

A.6B.V5+V17C.2V5+2D.2^10

二、多項選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

13.如圖，在四面體A8CO中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中,

正確的為（）

A.AC1BD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與B力所成的角為45。

14.如圖所示，在正方體4BCD-41B1GD1中，棱長為1,點P為線段41c

上的動點（包含線段端點），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)砧=3五戶時，。小〃平面8。的

B.當(dāng)中=3中時，&C1平面D4P

C.乙4P￡>i的最大值為90。

D.4P+PD］的最小值為平

15.如圖，點。是正四面體P-ABC底面ABC的中心，過點。的直p

線交AC,BC于點M,N,S是棱PC上的點，平面SMN與棱

PA的延長線相交于點。，與棱尸3的延長線相交于點/?,貝女）

A.若MN〃平面PAB,則4B//RQ

B.存在點S與直線使PC_L平面SRQ

C.存在點S與直線M,使R.（由+PR）=0

一3+上-+上-是常數(shù)

D.|PQIIPRIIPS^E"

三、填空題（本大題共U小題，共55.0分）

16.正方體4孔。一力/1的。1中,E是棱的中點，尸是側(cè)面CDCiG上的動點，且&F〃平面&BE,

記名與尸的軌跡構(gòu)成的平面為a.

@3F,使得B/lCDi

②直線BiF與直線BC所成角的正切值的取值范圍是［彳,今

③a與平面CDDiG所成銳二面角的正切值為2e

④正方體力BCD-48165的各個側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個.其中正確

命題的序號是.（寫出所有正確的命題序號）

17.正方體4BCD-4/165棱長為3,點E在邊BC上，且滿足BE=2EC,動點M在正方體表面

上運動，并且總保持MEIS5,則動點M的軌跡的周長為.

18.在四面體4-BCD中，AB=5,BC=CD=3,DB=2?AC=4,乙4co=60。，則該四面

體的外接球的表面積為.

19.下列說法中正確的是（填序號）

①圓柱的母線與軸垂直；

②棱臺側(cè)棱延長后都交于一點；

③梯形是平面圖形：

④若直線I"平面a，直線mu平面a，地直線I與直線m平行。

20.下列關(guān)于簡單幾何體的說法中正確的是（）

①有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③有兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

④空間中到定點的距離等于定長的所有點的集合是球面.

21.如圖，在矩形4BC。中，BC=24B=2,N為BC的中點，將△4BN沿AN翻折成△為秘⑸任平

面4BCD）,M為線段當(dāng)。的中點，則在AABN翻折過程中，給出以下四個結(jié)論：

①與平面々AN垂直的直線必與直線CM垂直；

②線段CM的長為今

③異面直線CM與NB］所成角的正切值為產(chǎn)；

④當(dāng)三棱錐。-ANBi的體積最大時，三棱錐D-ANBi外接球的表面積是47r.

其中正確結(jié)論的序號是.（請寫出所有正確結(jié)論的序號）

22.已知三棱錐4-BCD中，AB=CD=2V13.BC=AD=同，AC=BD=同,則三棱錐4一BCD

的外接球的表面積為.

23.在棱長為1的透明密閉的正方形容器4BC0-48道1。1中，裝有容器總體積一半的水(不計容器

壁的厚度)，將該正方體容器繞BA旋轉(zhuǎn)，并始終保持BQ】所在直線與水平平面平行，則在旋轉(zhuǎn)

過程中容器中水的水面面積的最大值為.

24.(1)已知直線k：ax+y—1=0,直線"：x—y—3=0,若k則。=；若及〃％，則

兩平行直線間的距離為.

(2)在空間直角坐標(biāo)系中，&是點4(-4,3,1)關(guān)于y軸的對稱點，則①點坐標(biāo)為,

=-------------

(3)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為,該幾何體的表面積為

侑視圖

(4)己知拋物線y2=軌的焦點為扛過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點，用+9|BF|最小

值為,此時直線的斜率為.

(5)四面體ABCD中，各棱相等，M是CQ的中點，則直線與平面A8C所成角的正弦值為

(6)已知雙曲線［一1=1(￡1>0/>0)的左、右焦點分別為&,尸2,若雙曲線上存在點尸使

/-PF2F1=120°,則離心率的取值范圍是.

(7)已知尸為橢圓：+==1上一個動點，4(-2,1),8(2,-1),設(shè)直線AP和BP分別與直線久=4

82

交于M、N兩點，若AABP與△MNP的面積相等，則|0P|的值為.

25.三棱錐P-HBC中，平面P2B1平面ABC,△PAB和△ABC均為邊長為2百的等邊三角形，若三棱

錐P-ABC的四個頂點都在同一個球面上，求該球的表面積.

26.三棱錐的四個面中，直角三角形個數(shù)最多有個

四、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

27.已知正方體4BCD-4當(dāng)6。1的棱長為1,動點P在正方體的表面

上運動，且與點A的距離為度.動點P的集合形成一條曲線，這條

3

曲線在平面COD1G上部分的形狀是整條曲線的周長

是

五、解答題(本大題共3小題，共36.0分)

28.(1)給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖1,圖2),要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一

塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，

分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

(2)試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。?/p>

(3)如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖3),要求剪拼成一個直三棱柱，使它的全面積與

給出的三角形的面積相等.請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明.

圖1圖2圖3

29.如圖所示的△。力B繞x軸和y軸各旋轉(zhuǎn)一周，各自會產(chǎn)生怎樣的幾何體,

分別計算其表面積.

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4L^ABCD,AB//CD,ABA.AD,PA=AB,AB=2,AD=y/2,

CD=1.

(1)證明：BD1PC；

(2)求二面角力-PC-。的余弦值;

(3)設(shè)。為線段尸力上的點，且器=|，求直線AQ和平面PAC所成角的正弦值。

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題主要考查正方體的內(nèi)切球的問題，屬于中檔題.

先求出截面圓的半徑，然后求出答案.

解：設(shè)截面圓的半徑為，，且球。的半徑為R=T，

所以點0到平面4CD1的距離為一3x遮,二R2=r2+今r2=

所以截面圓的面積為￡

故選。.

2.答案：A

解析:

根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，判斷出平面AC/是正三角形，求出它

的邊長，再通過圖求出它的內(nèi)切圓的半徑，最后求出內(nèi)切圓的面積.

本題考查了正方體和它的內(nèi)接球的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是想象出截面圖

的形狀，考查了空間想象能力.

解：根據(jù)題意知，平面力CD】是邊長為近的正三角形，故所求截面的

面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積,

則由圖得，△4C以內(nèi)切圓的半徑是立xtan30o=在

26

則所求的截面圓的面積是兀嗎

故選：A.

3.答案：B

解析：

本題考查正方體的截面，關(guān)鍵是利用正方體的結(jié)構(gòu)特征確定截面的頂點，是中檔題.

延長4P交。C延長線于點例，延長MQ與DDi相交，當(dāng)交點在線段DDi上時，截面為四邊形，當(dāng)交

點在DDi的延長線上時，截面為五邊形，從而可判斷答案.

解：如圖，延長AP交OC延長線于點M,

當(dāng)CQ=：時，連接此時M,Q,Di三點共線,

故截面S即為四邊形4PQ5，

因為P，Q分別為BC,CC］的中點，

所以PQ〃BC、〃AD\,D1Q=AP=^，

故四邊形ZPQDI為等腰梯形，故。正確；

當(dāng)0<CQ<；時，延長MQ交于點G,連接AG,PQ,

此時點G在線段。么上，故截面S為四邊形4PQG,故A正確；

當(dāng)：<CQ<1時，延長MQ交的延長線于點N,交GA于點E,

連接4N交于點“，連接E"，此時截面S為五邊形APQE”，故B錯誤;

當(dāng)CQ=1時，。與點G重合，取45的中點F,連接力凡FCi，PCi，

此時4P=AF=FG=PC1=y，

截面S為菱形4PGF,其對角線4Q=b,PF=近，

所以S的面積為Lx療x&=逅,故C正確；

22

故選民

4.答案：A

解析:

本題考查了幾何體與球的外切和內(nèi)接的問題，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬中檔題.

首先判斷出正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為LV3,內(nèi)切球和外接球的表面積之比為1：3,符合

題意中的小球和大球的比例.判斷當(dāng)四面體4BCD體積最大時，AB,CO的位置關(guān)系，作出異面直

線AC,BC所成的角0,解直角三角形求得sin會

解：設(shè)正方體的邊長為2,則其內(nèi)切球半徑為1,外接球的半徑為座H”=6,

2

???內(nèi)切球和外接球的表面積之比為1：3,符合題意中的小球和大球的比例，

依題意CD,A8最長為J（遍尸_/=a,AC最長為小球的直徑2.

???三角形的面積S=9ab-sinC,若a,b為定值，則C=］時面積取得最大值.

畫出圖象如下圖所示，其中A,C分別是所在正方形的中心，

O是正方體內(nèi)切球與外接球的球心，CD//ADX,CD=ADi,CBJ/AB,CB〔=AB.

=

^A-BCD3^ABD1-CB1D=&-SA.BD1?4C,故此時四面體4—BCD的體積最大.

???CE//AB,CE=AB,.?.四邊形ABCE為平行四邊形，

8C〃4E,二NZME是異面直線BC和AO所成角，

"AD=AE,設(shè)G是0E的中點，則AG1DE,

|=NG4E,sin”GE11x/6

AE~V22+l2+l2一病—6

故選：A.

5.答案：C

解析:

本題考查由同一個長方體得到的陽馬最長棱長問題，由題意可得陽馬的最長棱為體對角線可得答案.

解：由題意可得陽馬的最長棱長為BO1,

+32+42=V29.

故選c

6.答案：B

解析：

本題考查了棱錐外接球問題，屬于難題.

由題意可知AC1平面B'ED,根據(jù)外接球到棱錐頂點距離相等，球心。落在線段EF上，結(jié)合題意可

OE<EF<EB',即可求解EF長度范圍.

解：如圖

顯然AC_L8'E,BLAC1DE,B'ECDE=E,B'E、OEu平面夕E。,

；?AC1平面9ED,

：E是4c的中點，

二到點A,C的距離相等的點位于平面B'ED內(nèi)，

同理可知，到點夕，。的距離相等的點位于平面AC尸內(nèi)，

???球心。到點A,B',C,。的距離都相等，

球心。位于平面B'ED與平面AC尸的交線上，即直線E尸上，

二依題意可知，球心。落在線段EF上(不含端點E、F),顯然EFIB'D,

易知EA=3,EB'=4,則。A?=0E2+9,

且。8'2=OF2+FB'2=OF2+EB'2-EF2

=(EF-0E)2+16-EF2

=OE2+16-2EFOE,

■：OA=OB',

OE2+9=OE2+16-2EF-OE,

OE=—,

2EF

顯然OE<EF,白<EF,即EF>姮，

2EF2

又EF<EB'=4,

—<EF<4，

2

故應(yīng)選3.

7.答案：C

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積的求法，考查構(gòu)造法、長方體的外接球等基礎(chǔ)知識，考查化

歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查推理論論能力，是中檔題

當(dāng)平面PMB1平面BCM時，三棱錐P-BCM體積最大，此時MP,BM,CM兩兩互相垂直，以MP,

BM,CM為棱構(gòu)造長方體，則長方體的外接球就是三棱錐P-BCM的外接球，由此能求出此三棱錐

的外接球的表面積.

解：通過幾何分析可知，當(dāng)平面PMBL平面BCM時，三棱錐P-8CM體積最大，

此時MP,BM,CM兩兩互相垂直，

MP——1,BM=V3，CM—1

以MP,BM,CM為棱構(gòu)造長方體，則長方體的外接球就是三棱錐P-BCM的外接球，

此三棱錐的外接球半徑R=回亙=叵,

22

???此三棱錐的外接球的表面積S:4TTX5TT-

故選C.

8.答案：A

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查球的體積公式，屬中檔題.

依題意，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得APAB外接圓的半徑為球的半徑,

由APAB為正三角形，邊長為2,求得球的半徑為出，進(jìn)而求得結(jié)果.

3

解：因為P4=PB=PC=4B=2,AC1BC,

得APAB為正三角形，△ABC為直角三角形，

頂點尸在底面的射影為Rt△4BC的外心即斜邊AB的中點E.

即PEL平面且PE經(jīng)過球心，所以過PAB的截面為球的大圓,

即APHB外接圓的半徑為球的半徑，又APAB為正三角形，邊長為2,

所以外接圓的半徑為一一=壁，即球的半徑為出，

2sin60033

三棱錐外接球的體積為：7TX/，

3\3)27

故選4.

9.答案：A

解析：

本題考查了三棱錐的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐外接球的性質(zhì)，正弦定理和余弦定

理的應(yīng)用，屬于中檔題.

取8C的中點例，則力MLBC,△力BC的外接圓的圓心記為01，則01在直線AM上，記4。1=r,取

P4的中點為“，連接。“，0。1，則。為三棱錐P-ABC外接球的球心，連0B,記。B=R,結(jié)合

正弦定理和余弦定理即可求解.

解：AB=AC,BC=2,BC邊上的高為2,

取BC的中點M,貝以1M1BC,即AM=2,MC=MB=1,

得4B=4C=6，

△4BC的外接圓的圓心記為?！竸t。1在直線AM上，記40i=r,

取PA的中點為H,連接0H,。。［,則0為三棱錐P-4BC外接球的球心，連0B,記OB=R,

如圖所示：

由余弦定理得,

5+5-43

cosZ.BAC=

2Xyf5X\/59

在△力BC中，sin^BAC=-,

,c8c25

由正弦定理得，2r==7=2,

5

得401=r=|,

則BO】=AO1=

在直角三角形001B中，

*呼+以建，

則該三棱錐的外接球的表面積是4兀爐=4兀x雪=冬.

164

故選A.

10.答案：A

解析：

本題考查三棱錐及其結(jié)構(gòu)特征，考查三棱錐外接球的體積的求法，屬于中檔題.

作圖，取AB中點連接根據(jù)AC1BC知AM=BM=CM,由已知條件可得^PAM,APBM,

△PCM全等，即可得到"MA=4PMB=4PMC,進(jìn)而得解PM_L平面ABC,球心。在PM上，Z.PCM

是PC與平面ABC所成的角，Z.PCM=60°,求出CM=U，PM=3,即可得到外接球的半徑R,

再根據(jù)球的體積公式即可得解.

R=2,所以V=（兀&=子.

解：取AB中點M,連接PM,CM,

由4c1BC知AM=BM=CM,

vPA=PB=PC,

/.△PAM,APBM,△PCM全等，

???4PMA=EPMB=乙PMC,

???Z.PMA+乙PMB=180°,

??.PM_L平面ABC球心。在PM上，NPCM是尸。與平面

ABC所成的角，z_PCM=60°,

VPC=2V3,

CM=V3,PM=3,

???所以外接球的半徑R2=(3—卜產(chǎn)+3,

???R=2,

所以V=［兀R3=等.

IL答案：C

解析：

本題考查正三柱的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積，屬于中檔題.

設(shè)內(nèi)切球的半徑為1,求出內(nèi)切球與外接球的表面積，即可得到答案.

解：設(shè)內(nèi)切球的半徑為1,則它在底面的投影為底面正三角形的內(nèi)切圓，半徑也為1,

底面正三角形的高為3,邊長為2g,三棱柱的高為2,外接球半徑為萬存=遍，

二表面積之比為1:5.

12.答案：D

解析：

本題考查直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，體積和基本量的計算及外接球的表面積，考查了基本不等式的應(yīng)用，

屬于中檔題.

首先求得外接球的半徑，再設(shè)出矩形的長，寬分別為x,y,根據(jù)外接球的直徑就是直四棱柱

的對角線長，得到/+>2=8,進(jìn)而由基本不等式得到個的最大值，即可得到體積的最大值.

解：設(shè)外接球。的半徑為R,則球。的表面積SITTR2，

由題意，』TTR220TT）解得R=花，

設(shè)矩形48CZ）的長，寬分別為x,?

則+y2+12=（2V5）2，即/+y2=8,

???直四棱柱的體積為U=2\p3xy<V3（x2+y2）=8\/3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時取等號，

即底面為邊長為2的正方形時，四棱柱的體積最大，

將平面438沿AB展開，與ABC15處于同一平面，

則DiE+EC2Z\C=JCCJ+G。/=2同?

故選。.

13.答案：ABD

解析：

本題主要考查線面平行的性質(zhì)與判定、異面直線所成角、線線位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

首先由正方形中的線線平行推導(dǎo)線面平行，再利用線面平行推導(dǎo)線線平行，這樣就把AC、BD平移

到正方形內(nèi)，即可利用平面圖形知識做出判斷.

解：因為截面PQMN是正方形，所以PQ〃MN、QM//PN,

"PQ<4平面ACD,MNu平面ACD,

則PQ〃平面ACD,

同理可得QM〃平面BDA,

???PQu平面A3C,平面4BCC平面AC。=4C,

故PQ〃4C,同理QM〃BD,

由PQ1QM可得ACJ.BD,故A正確；

由PQ〃/IC,PQu截面PQMN,ACC截面PQMN,

AC〃截面PQMN,故8正確；

異面直線PM與8。所成的角等于PM與QM所成的角（或其補角），故。正確：

???BD//PN,PQ//AC.

.”_4NMN_DN_

"BD-AD'AC-AD'

而當(dāng)4NRON時，由PN=MN,知BO力4C,

故C錯誤.

故選ABD.

14.答案：ABD

解析：

本題考查了正方體的幾何特征，空間線面位置關(guān)系的判定，屬于中檔題.

利用三棱錐的體積可知當(dāng)#3Mp時，P為4c與平面A&Di的交點，根據(jù)平面

48/1〃平面BD。1可判斷A,根據(jù)4停1平面AB］。1可判斷8,根據(jù)等邊三角形ABiA可判斷C,根

據(jù)Rt△AxAC=Rt△40道可判斷D.

解：連接AB1,B也,AD1,

則Ei出4=；x"x「：，

SMBIC=|XV2xV2Xsin60°=AXC=V3>

設(shè)&到平面的距離為h,則工x理xh=匕

326

解得九=立，.?.九=：必仁

3J

;當(dāng)笳=：病了時，P為&C與平面48山1的交點.①

?.?平面ABiDi〃平面BDG，Z\Pu平面力為D1，

???0』〃平面BCG，故A正確；

由①可知Pe平面4%。1，

???4停1平面281。1，;4也1平面。遇「，故B正確；

可知當(dāng)笳3A了時，尸為等邊△力B1D1的中心，

z/lPDj=120°,故C錯誤；

連接AC,DC貝三Rt^AiOiC,AP=DTP,

.-?AP的最小值為笥券=乎，;AP+PDi的最小值為羋故。正確.

故選：ABD.

15.答案：ABD

解析：

本題考查正四面體的結(jié)構(gòu)特征，線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的線性運

算和數(shù)量積，空間向量基本定理的應(yīng)用，屬較難題.

利用線面平行的性質(zhì)定理判斷4利用線面垂直的判定定理判斷8和C;利用空間向量的基本定理的

推論中的四點共面的充要條件證明D.

解：對于4

MN//平面PAB,MNu平面4BC,平面ABCn平面P4B=AB,MN//AB,

同理，MNu平面SMN,平面SMNCI平面P4B=RQ,二MN〃RQ,二4B〃RQ,故A正確；

對于B:

設(shè)O在直線PC上的射影（垂足）為S,并設(shè)在底面內(nèi)MN10C,則???P。J_底面ABC,MNu平面ABC,

???POA.MN,又?.?MN1C。，POCCO=0,P。u平面PCO,COu平面PCO,???MNJ_平面PCO,

MN1PC,XvOS1PC,MNHOS=0,MNu平面SMN,OSu平面SMN,PC1平面SMM

故8正確；

對于C:

由于。為正三角形48c的垂心，C。1AB,XvPO1AB,POnCO=0,POu平面尸CO,COu平

面PCO,

AB1平面尸。C,AB1PC,若是存在點S與直線MN,使西.（麗+而）=0,取RQ的中點X,

則兩-2兩=0,??.PSJ.PX,即PCIPX,結(jié)合PCIAB,PX,4B是平面P4B中的兩條相交直線，

.??PC1平面PA8,但正四面體中，C在平面PAB中的射影是三角形PA8的中心，不可能是P,故矛

盾，故C不正確；

對于。：

設(shè)正四面體的棱長為“，丫。為△ABC的重心，

PO=|(M+PB+PC)

_1f\PA\PQ畫?樂\PC\PS\_a/PQ_P￡_PS\

—3\\PQ\|PR||PS|73l同十兩十兩1，

???。在平面QRS中，且所，而，可為不共面的三個向量，

■aaa_]

??3|砌十3|函十3|網(wǎng)—'

高+高+高7為常數(shù)，故口正確?

綜上，選ABD.

16.答案：①②③④

解析：

本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，空間中直線與直線的位置關(guān)系，異面直線所成角，二面角的概

念，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于綜合題.

由題意，結(jié)合圖形利用異面直線所成角，二面角的概念和性質(zhì)對每個小命題逐一判斷即可.

解：如圖,

取OC的中點M,連接BM,EM,則EM〃&B,平面&BE即為平面&BME,

取DiG的中點G,GC的中點“，連接G”，B]G,BiH,則GH〃EM,

又GH仁平面AiBME,EMu平面&BME,

故GH〃平面AiBME,

連接E”，易得EH44iBi，四邊形&EHB1為平行四邊形，

B\H"A\E,同理可證當(dāng)“〃平面&BME,

又GHCB]H=H,GH、/"u平面8傳”，

平面為8ME〃平面&GH,

故當(dāng)點F在G”上時，B/u平面B]GH,此時B]F〃平面力1BE,

???點F的軌跡為線段GH,平面a為平面81GH,

取GH的中點為N,連接&N、GN,

對于①，=GH//CDX,.?.當(dāng)點尸為GH的中點N時，/F_LGH,???當(dāng)尸1CZ\,故①正

確；

對于②，???二直線8/與直線8c所成角即為直線8/與直線BiG所成角，

不妨設(shè)正方體的棱長為2,則Ci"=CiG=l,C[N=與,B]H=B1G=乘,B1N=學(xué),

三L

B]C￡+GN?=B[N'2,二4B[C]N=90°,tan乙gB^N=C'N=—=—>

11

BxCr24

在RMBiC1”中，tanz.CiB1H=

故直線8]F與直線&Ci所成角的正切值的取值范圍是[彳,芻，故②正確；

對于③，由上可得4GNB1是a與平面CDDiG所成銳二面角的平面角，

在RMBiGN中，tan/GNBi=^=￡=2&,故③正確；

2

對于④，在三棱錐G—BiGH中，側(cè)面G&H,側(cè)面G&G與底面&G//所成角相等，

側(cè)面GGH與底面B]GH所成角不同于另外兩個側(cè)面與底面所成角，故正方體ABCO-&B1C1D1的各

個側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個，故④正確.

故答案為①②③④.

17.答案:6A/2

解析：

本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，屬于中檔題.

在48,B當(dāng)上分別取點P,Q,使得BP=2P4BQ=2QBr則M的軌跡為APEQ,求出APEQ周

長即可.

解：由正方體的特點可知BDi1平面力CBi，

在AB,BBi上分別取點P,Q,使得BP=2PA,BQ=2QB、,

連接尸E,PQ,EQ,則PE//4C,EQZ/ByC,

XvACu平面48傳，PE仁平面ABC

BiCu平面ABiC,QEC平面4BiC,

PE〃平面ABCEQ〃平面ABC

又?；PECEQ=E,PEu平面PEQ,EQu平面PEQ,

???平面4B1C〃平面PEQ,

：.BO11平面PEQ,

：.M的軌跡為4PEQ,

???正方體棱長為3,

AC=3^2，

PE=|AC=2>/2,

???△PEQ的周長為3PE=6A/2.

故答案為6A/5.

18.答案：257r

解析：

本題主要考查了四面體的結(jié)構(gòu)特征，四面體外接球表面積的求法，涉及余弦定理以及勾股定理知識

的運用，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

2222

由已知4B2=BC+AC,利用余弦定理得AD,得AB2=BD+AD,確定四面體外接球的直徑為

AB,即可計算球的表面積.

解：AB=5,BC=3,AC=4,

AB2=BC2+AC2,

ABC1AC,

在4ACD^CD=3,AC=4,AACD=60。，

由余弦定理得4。2=42+32-24cos60°=13,

又BD=2V3.所以AB?=BD2+AD2,

BD1AD,

???4B是兩個圓的直徑，

是四面體4-的外接球的直徑，

2R=5,即R=g,

.?.該四面體的外接球的表面積為S=4TT/?2=257r.

故答案為257r.

19.答案：②③

解析：

本題考查圓柱、棱臺的定義性質(zhì)及一些相關(guān)概念的理解，空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)

題目，逐項判斷即可；

解：①圓柱的母線與軸平行；故①錯誤；

②棱臺側(cè)棱延長后都交于一點；正確；

③梯形是平面圖形；正確

若直線I//平面a,直線mu平面a,則直級與直線m平行或異面。故錯誤；

故答案為②③

20.答案：④

解析：

本題考查了棱柱、棱錐、棱臺、球的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題，準(zhǔn)確理解幾何體的定義是真正把握幾

何體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵，直接利用棱柱、棱錐、棱臺、球的結(jié)構(gòu)特征逐一核對四個結(jié)論得答案.

解：①符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可取一個簡單的組合體說明錯誤，如下面是一個正三棱柱，上面是一

個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，故①錯誤;

②棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，故②錯誤;

③兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體，若側(cè)棱的延長線不能交于一點，則該幾何體

不是棱臺，故③錯誤;

④在空間中，滿足到定點的距離等于定長的所有點的集合為球面，故④正確;

故答案為④.

21.答案：①②④

解析:

本題考查翻折過程中點線面的位置關(guān)系，相關(guān)角度，長度，球的表面積的計算，考查空間想象能力

與運算能力，屬于中檔題.

①CM〃平面Bp4N,則可判斷；②通過線段相等CM=NE,可求出線段NE的長即可；③異面直線

CM與NB］所成角為ZENG，求出其tan/ENB］即可；④找出球心，求出半徑即可.

解：取A名的中點E,A。的中點F,連接EM,EN,FBX,FN,

貝ijEM//力D,EM=^AD,又NC"AD,NC=^AD,

則EM〃NC,EM=NC,則四邊形EMCN為平行四邊形，

故CM//EN,

又CM仁平面B14N,后/7<3平面8遇從

故CM〃平面B/N,

則與平面SAN垂直的直線必與直線CM垂直，故①正確;

CM=NE=JB1N2+Bp=故②正確；

乙ENBi即為異面直線CM與NBi所成的角(或其補角)，

tan"N&=^=：,故③錯誤；

當(dāng)平面/AN1平面ANQ時，三棱錐D-ANBi的體積最大，

?:ABLNB、,取AN中點。，則B1014N,

???平面BiANn平面AND=AN,Br0u平面&AN,

則Bi。JL平面AND,FOu平面AND,

則Bi。1FO,計算得Bi。=F。=率則F&=1,

此時凡4=FD=FN=FB[=1,顯然F為三棱錐位-AND外接球球心，

且R=F4=1,三棱錐。一川VB1外接球表面積是4乃，故④正確.

其中正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為①②④.

22.答案:777r

解析：

本題考查球的表面積、球內(nèi)接多面體及其度量，考查空間想象能力，計算能力，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造

球的內(nèi)接長方體，利用體對角線的長為球的直徑解決問題，屬于基礎(chǔ)題.

三棱錐力-BCD的四個面兩兩相等，所以把它擴展為長方體，它也外接于球，體對角線的長為球的直

徑，然后解答即可.

解：三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱兩兩相等，所以把它擴展為長方體，它也外接于球，

且此長方體的面對角線的長分別為：2尺,V41.鬧，

又???體對角線的長為球的直徑，d=(52+41+61)=V77.

;它的外接球半徑是且，

2

外接球的表面積是S=4nR2=77it,

故答案為777r.

23.答案：V2

解析:

本題主要考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，空間向量的應(yīng)用，函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)

化能力和計算求解能力.

設(shè)點E在AB】上，點尸在CD上，滿足&E=CF,則原問題等價于求解四邊形BFD/的最大值.建立空間

直角坐標(biāo)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)過程中容器中水的水面面積的最大值.

解：如圖所示，在棱長為1的正方體中，

點E在上，點F在CD上，滿足4/=CF,

則原問題等價于求解四邊形BFD/的最大值.

作于點G,當(dāng)EG最大時，四邊形BF%E有最大值.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)E(m,O,l)(O<m<1),設(shè)G(x,y,z),

由于B(1,O,OM1(O,1,1),由前=4兩可得:

/X——4+1

(X-l,y,z)=2(-1,1,1),則：Iy=A,

\z=A

故G(-4+1,A,A),

故：GE=+M=(一1,1，1)，

,-,-1?/日.2-m1+m

由GE-BA=—+l—2+1—4=0，可得：入=^―,1-4=^―.

遼1/m+1\7/2-m\/2-m”1(-----,------------

故：陽=卜一￡2+?+(亍_邛=§.0時_m+1),

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)m=0或m=l時，GE取得最大值，

S=S

此時S取得最大值，最大值為：maxBDD1BA=A

24.答案：(1)1;2企

(2)(43-1);2g

5百「

(3)—;12+V3

(4)16;±V3

V2

⑸可

(6)(1,2)

V107

⑺丁

解析：

(1)本題考查了兩條直線平行和垂直的條件應(yīng)用.根據(jù)直線的一般式方程，得到結(jié)果.

解：lr:axy—1=0,直線-y-3=0,

???若匕_LZ2,

?，?a+1x(—1)=0,

???a=1;

??喏

a1,-1

二彳=二K?

???a=—1,

：?Zx:-%4-y-1=0,

即：x-y+1=0,

兩平行線間距離：d=噌=2或，

V2

故答案為1;2班.

(2)本題考查了空間直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的應(yīng)用，以及空間兩點間距離公式的應(yīng)用.

解：???依題意：①是點4(-4,3,1)關(guān)于y軸的對稱點，

22

\AAr\—>/8+0+2—V68=2V17.

故答案為(4,3,-1);2g.

(3)本題考查了立體幾何的三視圖的應(yīng)用，以及組合體的體積，三棱柱、三棱錐的體積公式的應(yīng)用,

組合體的表面積.

解：???根據(jù)三視圖可得：三棱柱，上部截去一個小三棱錐而形成的組合體.

???K=ix2xV3x2-ix-x2xV3xl,

232

56

=-----:

3

S.長面積=—x2xy/34~2x—x(14-2)x24--x2x2-f-2x2,

=12+V3.

故答案為W；12+百.

(4)本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，以及基本不等式求最值的應(yīng)用.

解：???設(shè)|AF|=m,|BF|=n,

.一+」=1,

mnp'

A\AF\+9\BF\=m+9n,

=(m+9n)?+J

=10+-n+—m,

“、t°+,r2人Im了9n=1y6,，

當(dāng)且僅當(dāng)￡=某時，即：6=4,九=券寸，等號成立,

\AF\+|BF|的最小值為16；

?.?不妨取|AF|=4,

???4點橫坐標(biāo)為3,

??.縱坐標(biāo)為±2舊，

kAF七瓜

???直線的斜率為土魂.

故答案為16;+V3.

(5)本題考查了線面夾角，正四面體的結(jié)構(gòu)特征.

解：???過M點作MML面ABC,

N是正448C的中心,

???設(shè)正四面體的棱長為〃,

.?.MN=——。，

6

展a廠

.?.在RtAMNB中，sin(zMBN)=器=量=等，

2

.??直線BM與平面ABC所成角的正弦值為匹.

3

故答案為五.

3

(6)本題考查了雙曲線的特征，以及余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，得到離心率.

?

解：??依題意，zPF2Fi=120°,

???P點位于雙曲線的右支上，

?,?設(shè)P點坐標(biāo)(XoJo),

\PF1\=ex0+a,\PF2\=ex。-a,

?22

依余弦定理：(ex0+a)2=(ex0-a)+4c-2(ex0-a)-2c-cosl20°,

2222222

:.ex04-2aex0+a=ex0-2aex04-a+4c+2cex0-Zac,

??2

?4aexQ—2cexQ=4c—2ac,

4c2-2ac

"X°=4ae-2ce'

yx0>a,e>1,

A1<e<2.

故答案為(1,2).

(7)本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，三角形面積公式的應(yīng)用.

解：設(shè)P點坐標(biāo)Qo，yo)，

???橢圓5+5=1,4(-2,1),e(2,-l),

82

；?A,8兩點在橢圓上，且關(guān)于原點對稱,

，：^AABP=S〃MNP，

qPA.PBsinUPB=VM.PNsiMMPN,

空=

PM

w

一-

一

一2

所

=烏

yo4

25.答案：207r

解析：

本題考查求三棱錐的外接球的表面積，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題.

求出外接球的半徑即可求得其表面積.

解：由題意可知，設(shè)AABC和△P4B的外接圓的半徑為萬.2，

外接圓圓心分別為。1，。2,三棱錐P-A8C的外接球球心為0,

則2/,i2/'>=-2^^4>r[=七=2，

*

取AB的中點”，連接P4,HC,

因為平面PA3,平面ABC,

平面PABn平面4BC=AB,

PHLAB,

易得PH，平面ABC,HCu平面ABC,

所以PH1HC,

易得四邊形。2“。1。為正方形，

02H=。1“=0。1=1,AH=V3,

222

R=AO=AH+0擔(dān)2+。]。2=5,R=衣,

所以球的表面積為S=