滬教版 九年級(jí)數(shù)學(xué) 相似三角形復(fù)習(xí)

相似三鬲形復(fù)習(xí)

o課前刑忒

【題目】課前測(cè)試

已知，正方形的邊長(zhǎng)為2,E為8c邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE=2,聯(lián)結(jié)

AE,與。交于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)6尸并延長(zhǎng)與線段OF交于點(diǎn)G,則6G的長(zhǎng)為_(kāi)____

【答案】BG=g也

【解析】延長(zhǎng)A2BG相交于點(diǎn)》,

?.正方形A3C。，.,./AOC=NZ)CE=90-

-AD=CE=2,NAFD=/EFC,

：.\AFD蘭AEFCf/.AF=EF,DF=CF,

/AH||BE,

DH=BC

AH||BEZ

DHDGHG_1

'^E~~GE~^G~2'

.BG=-BH,

3

AB=2,AH=4,/BAH=90-:.BH=2后,

.BG=-45.

總結(jié)：本題考點(diǎn)包括平行線分線段成比例、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，考查學(xué)生

綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

【難度】3

【題目】課前測(cè)試

如圖,在梯形A5CQ中，AD//BC,AD=a,BC=b,E、尸分別是AO、BC的中點(diǎn),

且交8E于P,CE交DF于Q,求PQ的長(zhǎng).

【答案】PQ=g

a+b

AEPEEDEQ

【解析】AD//BC,■■~BF~~BP，~FC~^C*

又E、尸分別是A。、3C的中點(diǎn)，

.PEEQ

:.AE=DE,BF=FC~BP~~QC'

PQ//BC//AD.

PQEPPQPFPB

'------------------------.--------------------------

"BC~EB"AD~AF~EB'號(hào)+表」

代入，求得：PQ=R.

a+b

總結(jié)：考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理的，先應(yīng)用性質(zhì)證明比例線段相等再

判定.由三線平行模型可得出結(jié)論.

【難度】4

苕如識(shí),位

適用范圍滬教版，初三年級(jí)，成績(jī)中等以及中等以下

知識(shí)點(diǎn)概述相似三角形是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期第一章的內(nèi)容，在本章中，我們學(xué)習(xí)了

比例線段的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的概念、判定及性質(zhì)和平面向量的線性運(yùn)算.重點(diǎn)是靈活

運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，難點(diǎn)是利用輔助線解決相似三角形問(wèn)題以及相似三

角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相結(jié)合的類(lèi)型

適用對(duì)象；成績(jī)中等以及中等以下

;主意事項(xiàng)大部分學(xué)生試聽(tīng)這個(gè)內(nèi)容主要想聽(tīng)相似三角形章節(jié)復(fù)習(xí)

重點(diǎn)選講：

f--------------------------------------------------------------------------------------\

①相似形與比例線段

②三角形一邊的平行線定理

II

③相似三角形的判定與性質(zhì)定理

茗如出境鋰

卷如出椅ifI:相他形與比俐線用

i

譽(yù)1.相似形

(1)相似形的概念

相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱(chēng)為相似的圖形，簡(jiǎn)稱(chēng)相似形.

(2)相似多邊形的性質(zhì)

如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例.當(dāng)

兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值為1.

二國(guó)三2.比例線段及性質(zhì)

(1)比例線段

1.在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做

成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.

2.如果鬻、以：葭堿’是比例線段，即生之(或研曲7涵)，那么線段薛'、黨是比例外

囹%

項(xiàng)，曲、4是比例內(nèi)項(xiàng).

3.如果比例的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)(或兩個(gè)外項(xiàng))相同，那么這個(gè)相同的項(xiàng)叫做比例中項(xiàng).

4.如果點(diǎn)P把線段分割成"和AP>PB)兩段，其中AP是AB和抬的比例中

項(xiàng)，那么稱(chēng)這種分割為黃金分割，點(diǎn)尸稱(chēng)為線段鉆的黃金分割點(diǎn).其中，

—=^-0.618,稱(chēng)為黃金分割數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù).

AB2

(2)比例的性質(zhì)

1.基本性質(zhì)：

如果@=',那么。4=歷；

bd

如果2=￡,那么2=4,-=-,-=-.

bdaccdab

2.合比性質(zhì)：

4rlpnQcXJ/Za+bc+d

如1果一=一,那P么----=-----;

baba

如果3=￡,那么i=j.

bdbd

3.等比性質(zhì):

如果3=￡=七，那么烏!￡=q=￡=4(b+d#))

bdb+dbd

等比性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相等的比的情形：

號(hào)’啕福腌婚上密+吩-4檎婚喧稔循.

如果曲黨f腳，則甥喇*h*―+潞叔黨/,眼

(b+d+f+......+n#0)

⑥如出場(chǎng)鋰2：三鬲形一邊的平行線

1.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖，已

知AABC,直線,且與回、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,那么黑=若

二國(guó)’2.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三

邊對(duì)應(yīng)成比例.

如圖，點(diǎn)、D、E分別在AABC的邊他、AC上，DE//BC,那么匹=42=絲

BCABAC

定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.

二國(guó)’4.三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三

角形的第三邊.

5、三角形一邊的平行線判定定理推論

如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所

得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

6.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

DFFG

如圖，直線/"兒/兒，直線加與直線〃被直線《、4、4所截，那么——=——.

［國(guó)=7.平行線等分線段定理

兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一

條直線上截得的線段也相等.

卷垢出梳鋰3：相似三鬲形的性口與初定

二國(guó)’1.相似三角形預(yù)備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相

似.

2、相似三角形判定定理

(1)如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似.可簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.

(2)如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那

么這兩個(gè)三角形相似.

可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似.

(3)如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)角形

相似.可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

(4)如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直

角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

可簡(jiǎn)述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似

3.相似三角形性質(zhì)定理

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

(2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

(3)相似三角形的面積的比等于相似比的平方

俐魅嘯第

題型1:相似形與比例線居

下列各組中的兩個(gè)圖形一定相似的有()

(1)兩個(gè)等腰三角形；(2)兩個(gè)直角三角形；(3)兩個(gè)等腰直角三角形；

(4)兩個(gè)等邊三角形；(5)兩個(gè)矩形；(6)兩個(gè)菱形；

(7)兩個(gè)正方形；(8)兩個(gè)等腰梯形；(9)兩個(gè)圓.

(A)3組(B)4組(C)5組(D)6組

【答案】B

【解析】相似的是(3)(4)(7)(9)

對(duì)于三角形來(lái)說(shuō)，三個(gè)角大小相等即可，對(duì)于其它多邊形來(lái)說(shuō)，除了考慮角的大小，

還要考慮邊的大小對(duì)應(yīng).

總結(jié)：考查相似圖形的特征，形狀完全相同，

【難度】2

題型1變式練習(xí)1:題型1:相似形與比例線目

(1)點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，求—的值.

An

(2)》是9和4的比例中項(xiàng)，則6=；

(3)線段a=6厘米，b=16厘米，貝(J線段。和6的比例中項(xiàng)是.

【答案】(1)或三以.(2)±6;(3)4V6cm.

【解析】

222

(1沖艮據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，AP=BPAB，即AP=(AB-AP)-A8,兩邊同時(shí)除以AB,

可解得警=趙二；或=AP-2C,類(lèi)似的可得警==5.

AB2AB2

(2)由題意可知片=9x4=36,可解得6=±6;

(3)。、6都為線段，因此其比例中項(xiàng)只能是線段，取正值，即為反正=4癡0”

總結(jié)：注意線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).注意線段比例中項(xiàng)和數(shù)字比例中項(xiàng)的區(qū)別.

【難度】2

【題目】題型1變式練習(xí)2:題型1:相似形與比例線段

nhc

已知^—=——=--=k,則一次函數(shù)y=丘-3的圖像一定經(jīng)過(guò)第幾象限？

b+ca+ca+b

【答案】三、四.

【解析】

,a+b+c11

(1)a+b+c/O時(shí)，根據(jù)比例的等比性左=，此時(shí)一次函數(shù),=彳尤一3經(jīng)

/ICt-IUIC-I4乙

過(guò)一、三、四象限；

(2)。+匕+。=0時(shí)，可得。+。=一。，貝必=&二一1,止匕時(shí)一次函數(shù))二一1一3經(jīng)過(guò)二、三、

-a

四象限；

綜上所述，函數(shù)必經(jīng)過(guò)三、四象限.

總結(jié)：考查比例的等比性質(zhì)，注意根據(jù)分母是否為0分類(lèi)討論，同時(shí)考查一次函數(shù)所在象限

與系數(shù)的關(guān)聯(lián).

【難度】3

【題目】題型2:三角形一邊的平行線定理及其推論

如圖，M為的中點(diǎn)，EF//AB，聯(lián)結(jié)EM、WW分別交4尸、BE于點(diǎn)C和點(diǎn)。.

求證：CD//AB.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

EFECEFDF

證明：EF//AB,

M為AB的中點(diǎn),AM=BM.

ECDF

CDIIAB.

總結(jié)：考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理，先判定再應(yīng)用

【難度】2

【題目】題型2變式訓(xùn)練1:三角形一邊的平行線定理及其推論

如圖,AABC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的長(zhǎng).

9

【答案】EC=-

【解析】DE//BC,

DEDFAE_2

BC-CF-AC-5

2Q

即3+EC=-，求得：EC=3

總結(jié)：相似三角形中"A"字型和"X"字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式.

【難度】2

【題目】題型2變式訓(xùn)練2:三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及其推論

如圖，梯形ABCD中，DC//EF//GH//AB,AB=30cm,CD=10cm,

DE:EG:GA=2:3:4,求EF與G"的長(zhǎng)度.

M

空叫

【答案】EF=GH=^cm.

99

【解析】

過(guò)點(diǎn)C作CP//D4分別交GH、AB于

點(diǎn)、M、點(diǎn)、N、點(diǎn)、P,則易得四邊形ZMPC為平行

四邊形.

P

貝EM=GN=AP=DC=Wcm,PB=20cm.

FMCMDE2

由尸M//BP,可得:

PBCPDA9

40130

代入可得：FM=一cm,EF=EM+FM=—cm.

NHCNDG5

由NH/IPB,可得:

PBCP萬(wàn)廠5'

代入可得：NH=^-cm,GH=GN+NH=^-cm.

總結(jié)：夾在平行線間的線段對(duì)應(yīng)成比例.

【難度】3

【題目】題型3:相似三角形性質(zhì)及判定定理

如圖，AB=AC,AC2=ADAE,求證：BC平分/DBE.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：AB=AC,AC2=AD?AE,

,ABAE

■■^=AD.AE,D即n罰=莉—

又ZA=ZA,:.MBDs^AEB.ZABD=NE.

又AB=AC,：.ZABD+ZDBC=ZACB.

又ZCBE+ZE=ZACB,，/CBD=/CBE.即BC平分/QBE.

總結(jié)：本題考查了相似三角形的判定及三角形外角的性質(zhì).

【難度】2

【題目】題型3變式練習(xí)1:相似三角形性質(zhì)及判定定理

如圖，在AABC中，ADA.BC,BEYAC,D、￡分別為垂足.若NC=60°,

SAW=1,求四邊形的面積.

【答案】3

【解析】ADA.BC,BELAC,ZCDA=ZBEC=90

CDCA

ZCDA=ZBEC=90-,\CBE^\CAD~CE

CDCA

ZCDA=ZBEC=90-,，ACBE^^CAD

CE-CB

ADCE^AACB,

—

CD_1.S^DCE_SMJCE_2

ZCBE=ACAD=30qa

CA21^AACB4。四邊形BDEAJ

S'CDE=1,一S四邊形QE4B-3.

總結(jié)：本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:相似三角形性質(zhì)及判定定理

如圖，AB=16厘米，AC=12厘米，動(dòng)點(diǎn)尸、Q分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同

時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊一直移動(dòng)到點(diǎn)。為止，點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)沿

8A邊一直移動(dòng)到點(diǎn)A為止.經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后，AAP0與AABC相似？

-48,、32

T【答案】五s或gS

【解析】設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為'則4尸=為，8Q=f,AQ=16-f.

(1)AAQPsM8C時(shí)，則有當(dāng)=4

ADAC

16—Z2t._.48

即TTF‘解/l得=："IT.

(2)AAPQs入48c時(shí)，則有當(dāng)=當(dāng)

ADAC

2t16—/_32

即TTTF,A解/1得=I：

總結(jié)：解決三角形相似問(wèn)題時(shí)，一定要注意確立好對(duì)應(yīng)關(guān)系，題目沒(méi)有明確說(shuō)明的前提下,

則需要進(jìn)行分類(lèi)討論，三角形比例關(guān)系不確定，且有相等夾角時(shí)，實(shí)際上只需要將相

應(yīng)比例關(guān)系順序變換一下即可.

【難度】3

【題目】興趣篇1

已知：。為AABC的中位線M/V上任意一點(diǎn)，BP、。的延長(zhǎng)線分別交ZU26于點(diǎn)

。和點(diǎn)￡

ADAE

求證：--------1-------

DCEB

【答案】

【解析】過(guò)點(diǎn)A作GU//5C分別交上、5。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H.

MN是中位線,

AM=MB,AN=NC,MN/IBC.

:.GH/IBC!/MN.

AMGP

...GP=PC

MBPC

GHGP

GHIIBC

BCPC

GH=BC;

ADAHAEAG

GH//BC

DCBCEBBC

ADAE1

..——+——=l

DCEB

總結(jié)：本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線、三角形中位線的相關(guān)

知識(shí).

【難度】3

【題目】興趣篇2

ADBD

如圖,2。是AA5C的內(nèi)角平分線.求證：八八

/i(_z

【答案】見(jiàn)解析

【解析】過(guò)點(diǎn)。作CM//A3交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

B

CMIIAB

ABBD

,ZBAD=ZM

CMDC

是角平分線

/BAD=ZDAC;

...Z.M=ADAC

...AC=CM

AB_BD

AC-DC

總結(jié)：本題考查了三角形一邊的平行線、角平分線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí).

【難度】3

備選試題1

如圖，。是線段上一點(diǎn)，且2BD=3DC,CE交AB于點(diǎn)F,AE:ED=1:3,

求AF:族的值.

【答案】2:15

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AM//3。交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,*

F/\

根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，/IE\

又2BD=3DC,gp2(BC-DC)=3DC.

由AM//BC可得：AF:BF=AM:BC=2:15.

總結(jié)：考查三角形一邊平行線的性質(zhì)，由已知和所求比例構(gòu)造平行

【難度】3

【題目】

如圖，正方形。斤的邊爐在AABC的邊BCh,頂點(diǎn)D、G分別在邊力&AC,AH

是AA5C的高，6。=60厘米，2〃=40厘米，求正方形。斤白的邊長(zhǎng).A

BEHFC

【答案】24.

【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為工,

DGADAP

DG//BC,/........-------

BCABAH

x40-x

—=----,x=24,

6040

正方形EFG。的邊長(zhǎng)為24.

總結(jié)：本題考查三角形內(nèi)接正方形的相關(guān)知識(shí)，主要還是通過(guò)比例相等來(lái)列式建立關(guān)系.

【難度】3

【題目】甯選試題3

如圖，梯形ABCD中，AD//BC,￡是腰AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)日乍6c的平行線交CD

于點(diǎn)，已知2,BC=6.

(1)如果萬(wàn)一，試求“的長(zhǎng)；

匕BJ

(2)如果變些=：,試求"的長(zhǎng)

?梯形EBCFJ

【答案】(1)EF=-;(2)EF=|Vi05.

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)/作AN//OC交比"于點(diǎn)N,交)于點(diǎn)M.

AD//NC//FE,

四邊形//VC■。是平行四邊形，

四邊形/股⑶是平行四邊形，

AD=MF=NC=2,BC=6,:.BN=4.

AEEMAE_2AE_2

EF/IBCEB-3AB-5

ME_2

~NB~~5

E

(2)分別延長(zhǎng)胡、。交于點(diǎn)G.

設(shè)S梯形AE尸D=2a,，梯形EBB=3a，貝[]S梯形地⑺=5。,

SAGZM_S^GDA_]

SAAQG+S梯形ABCQ3AADG+5〃9

5