2022年數(shù)學真題分類匯編解析

第1講集合與邏輯用語

一、單選題

1.（2022?全國.高考真題）已知集合4={-1,1,2,4},8=何,-1區(qū)1},則4仆8=（）

A.{-1,2}B.(1,2)C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合8后可求AflB.

【詳解】

B={x|0Mx42},故館3={1,2},

故選：B.

2.(2022.全國?高考真題)若集合M={x[&<4},N={x|3x21},則MPIN=()

A.1x|0<x<2}B.<x<2|C.{x[34x<16}D.-^<x<16j

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合M,N后可求McN.

【詳解】

M={x[0Mx<16},N={x|xWg},故MDN=jxgWx<Ibj-,

故選：D

3.（2022?全國?高考真題（理））設全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足e加={1,3},則（）

A.2eMB.3GA/C.4^MD.5任M

【答案】A

【解析】

【分析】

先寫出集合M，然后逐項驗證即可

【詳解】

由題知M={2,4,5},對比選項知，A正確.BCD錯誤

故選:A

4.（2022?全國?高考真題（理））設全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合

A={-l,2},B={x|X2-4X+3=0},則6（入8）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合氏再由集合的運算即可得解.

【詳解】

由題意，fi={x|x2-4x+3=0}={l,3},所以4口3={-1,1,2,3},

所以g（Au5）={-2,0}.

故選：D.

第2講函數(shù)與導數(shù)

一、單選題

1.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/⑴的定義域為R,且

22

f+y)+f(x-y)=/(I)=1,則2〃幻二()

hi

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)〃x)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的/⑴J(2),…,〃6)

的值，即可解出.

【詳解】

因為〃%+力+/(」一力=/(?/(力，令工=1,。=0可得,2/⑴=/⑴/⑼，所以/⑼=2,

令x=0可得，〃y)+〃-y)=2/()，)，即/(),)=/(一月，所以函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，令y=i得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知

“x+2)=-/(xT),f(x-\)=-f(x-4),故/(x+2)=/(x-4),即〃x)=/(x+6),

所以函數(shù)〃x)的一個周期為6.

因為〃2)=〃1)一〃0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內的/。)+/(2)+…+/(可=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃k)=〃l)+/⑵+”3)+/(4)=1_1_2_1=一3.

hl

故選：A.

2.(2022?全國?高考真題(理))已知函數(shù)/(x),g。)的定義域均為R,且

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(幻的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4,則

22

￡f(k)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對稱性和已知條件得到F(X)+/(X-2)=-2,從而得到/(3)+〃5)+…+/(21)=-10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根據(jù)條件得到.f⑵的值，再由題意得到g(3)=6從而

得到/⑴的值即可求解.

【詳解】

因為y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)-f(D=7,所以g(x+2)—f(x—2)=7,即g(x+2)=7+/(x—2),

因為/'(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即f(x)+f[x-2)=-2,

所以〃3)+〃5)+…+/(21)=(-2)x5=-10,

〃4)+〃6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因為f(x)+g(2—x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即"0)=1,所以/⑵=一2—〃0)=-3.

因為g(x)-〃x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因為f(x)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的圖像關于點(3,6)中心對稱，因為函數(shù)g(x)的定義域為R,

所以g(3)=6

因為f(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g⑶=-1.

所以

E/W=/(l)+/(2)+[/(3)+/(5)+...+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+/(22)]=-l-3-10-10=-24

*=1

故選：D

【點睛】

含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當?shù)霓D化，

然后得到所需的一些數(shù)值或關系式從而解題.

3.(2022?全國?高考真題)已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的

體積為36%，且34/43百，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

D.[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】

設正四棱錐的高為力,由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確

定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】

,/球的體積為36乃，所以球的半徑R=3,

設正四棱錐的底面邊長為2a,高為h,

則『=2/+〃2,32=2a2+(3-/i)2,

所以6a=廣，2a2=l2-h2

117/412,6

所以正四棱錐的體積Y'Shwx5xkwxO/x-)廣一三

3333669136

當34/42遍時，丫'>0,當2"</436時，V'<0,

所以當/=2卡時.，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為年，

27Q1

又/=3時，V=—,/=36時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2一7，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是個，”.

故選：C.

4.(2022?全國?高考真題)設a=0.1e°」,〃=<，c=-ln0.9,則()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】

構造函數(shù)〃x)=ln(l+x)-x,導數(shù)判斷其單調性，由此確定a,"c的大小.

【詳解】

設/(x)=ln(l+x)->-1),因為/(x)=J--1=-，

14-X1+X

當xe(T,0)時,r(x)>0,當xe(0,E)時尸(x)v0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

所以足)<f(0)=0,所以始當-晨。，故卜1點=-防0.9,即b>c,

191Q—i-ii

所以/(一二)</(°)=°，所以ln=+-<°，故？~<小。，所以」-6。<上，

1010

故，

設g(x)=xe"+ln(l-x)(O<x<l),則g,(x)=(x+l)e'+-^-=———

令〃(x)=e*，-l)+l,/z,(x)=ev(x2+2x-l),

當0cx<a-1時，〃'(x)<0,函數(shù)Zz(x)=e*(x2-1)+1單調遞減，

當血-1<X<1時，h'M>0,函數(shù)〃(x)=e?2-l)+l單調遞增，

又〃(0)=0,

所以當0cx<收-1時，砥0<0,

所以當0cxe亞-1時，g'(X)>0,函數(shù)才(》)=*6*+111(1-》)單調遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即().le°」>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

5.(2022?全國?高考真題(文))如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像,

則該函數(shù)是()

-x3+3x2xcosx2sinx

A.C.y=D.y=

y=x2+1x2+1x2+l

【答案】A

【解析】

【分析】

由函數(shù)圖像的特征結合函數(shù)的性質逐項排除即可得解.

【詳解】

設=則/(1)=。，故排除B;

設/?(&)=2x；：S；,當X€(O,：)時，0CCOSXC1,

所以小卜瞽<言江故排除C

、2sinxe小2sin3八〃5”人一

設g(x)=,則g(3)=、一＞°，故排除D.

故選：A.

6.（2022.全國?高考真題（文））函數(shù)〃x）=cosx+（x+l）sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最

大值分別為（）

兀兀c3717t-兀兀c-3兀兀-

A.—，—B.------,-C.—,—F2D.------,—F2

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】

利用導數(shù)求得/（X）的單調區(qū)間，從而判斷出/（X）在區(qū)間［0,2可上的最小值和最大值.

【詳解】

/'(x)=—sinx+sinJ;+(X+1)COSX=(X4-1)COSX,

所以/（X）在區(qū)間（o,3和既，2兀1h/（x）>0,即“X）單調遞增；

在區(qū)間（冷）上r（x）<o,即y（x）單調遞減,

又〃0）,㈣=2,f圖W+2,倍卜稽+1卜』有

所以f（x）在區(qū)間［0,2對上的最小值為-當，最大值為方+2.

故選：D

3111

7.（2022?全國?圖考真題（理））已知。=—,b=cos—,c=4sin—,則（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD,a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】

c?i

由：=4tan：結合三角函數(shù)的性質可得c>b；構造函數(shù)/（犬）=85工+”/-1,》€(wěn)（0,+00）,利

b42

用導數(shù)可得,>。，即可得解.

【詳解】

因為］=4tan；,因為當xe（0,'1）,sinx<x<lanx

所以*內即非,所以c9

//(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調遞增,

則/出>，。)=0,所以*一||>0,

所以b〉a,所以

故選：A

8.(2022.全國.高考真題(理))函數(shù)y=(3'-3f)cosx在區(qū)間的圖象大致為()

【解析】

【分析】

由函數(shù)的奇偶性結合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質逐項排除即可得解.

【詳解】

令f(x)=(3*-3T)cosx,xw-y,y,

則/(-X)=(3-、-3')cos(-X)=-(3'-3-v)cosx=-/(%),

所以〃x)為奇函數(shù)，排除BD；

又當時，3:3T>0,cosx>0,所以/(x)>0,排除C.

故選：A.

9.(2022?全國?高考真題(理))當x=l時，函數(shù).f(x)=alnx+2取得最大值一2,則/'(2)=

X

()

A.—1B.――-C.~D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知八1）=-2,，'⑴=0即可解得再根據(jù)尸（力即可解出.

【詳解】

因為函數(shù)〃x）定義域為（0,+巧，所以依題可知，/（1）=-2,F⑴=0,而/（力=，冬，

所以匕=-2,4-8=0,即〃=-2力=-2,所以/（*）=-：+/,因此函數(shù)〃x）在（0,1）上遞

增，在。,+?））上遞減，x=l時取最大值，滿足題意，即有/'（2）=7+：=-3.

故選：B.

10.（2022?全國?高考真題（文））已知9"'=10,〃=10"'-11,匕=&"一9,則（）

A.a>Q>hB.a>b>0C.h>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可知〃?=log<J0>l,再利用基本不等式，換底公式

可得機>lgll,log89>〃z,然后由指數(shù)函數(shù)的單調性即可解出.

【詳解】

由9"'=10可得m=1%1°=翳>1，而愴9愴11<（館9,1）=（號2）<i=（］gio）2,所

以譬〉黑，即加所以a=10"'-H>10%”-11=0.

1g91g10

又Ig8lgl0<，g8；gl°）=（等）〈他獷所以皆>J^,apiog89>m,

所以人=8'"-9<8"&9-9=0.綜上，a>0>b.

故選：A.

二、多選題

11.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（%）=sin（2x+⑼（0<9<兀）的圖像關于點（g,0）中心

對稱，則（）

A.f（x）在區(qū)間單調遞減

n11兀

B./㈤在區(qū)間-有兩個極值點

12112

7兀

C.直線是曲線y=/(x)的對稱軸

6

直線y=等-x是曲線y=/(x)的切線

D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出.

【詳解】

2兀4兀?4兀

由題意得：f+夕|二°,所以可+8=女兀，kwZ,

33

4兀

即9=———Fkn,keZ,

又0<e<兀，所以k=2時，0=養(yǎng)，故/(x)=sin(2x+2兀

3

5兀2713兀5兀

對A,當龍￡10,石■J時，2x+—e,由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=/(x)在0,

123212

上是單調遞減;

兀1\n..2K兀5兀

對B,當xw時，2x+—G，由正弦函數(shù)y=sin“圖象知y=/(x)只有1

12'122,2

個極值點，由2x+^=差，解得x=即》=稱為函數(shù)的唯一極值點;

O/I/IN

77r27r77r7it

對C,當X=：B寸，2X+?=3TT,/O=0,直線X不是對稱軸;

6366

2兀=一1得：cos(2x+^■卜

對D,由y'=2cos2x+

32,

解得2x+年號+2版或2》+與=竺+2EMeZ,

、兀

從而得：x=E或x=§+

27r

所以函數(shù)y=.f(x)在點處的切線斜率為k=yk°=2cos丁=-1

切線方程為:y_3=_(x-0)即y=3—x.

故選：AD.

12.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x)，

若g(2+x)均為偶函數(shù),則()

A./(O)=OB.g(-￡)=0C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】

轉化題設條件為函數(shù)的對稱性，結合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質逐項判斷

即可得解.

【詳解】

因為g(2+x)均為偶函數(shù),

所以/(1-2x)=/(g+2x)即=+g(2+x)=g(2-無)，

所以〃3-x)=f(x),g(4—x)=g(x),則A-l)=/(4),故C正確；

3

函數(shù)/*),g(x)的圖象分別關于直線x=：,x=2對稱,

2

又g(x)=ra),且函數(shù)r(x)可導，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-￡|=g(|]=0,g(—l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設條件，所以無法確定/5)

的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

【點睛】

關鍵點點睛：解決本題的關鍵是轉化題干條件為抽象函數(shù)的性質，準確把握原函數(shù)與導函數(shù)

圖象間的關系，準確把握函數(shù)的性質(必要時結合圖象)即可得解.

13.(2022.全國?高考真題)已知函數(shù)/。)=》3-》+1,則()

A.Ax)有兩個極值點B./(X)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用極值點的定義可判斷A,結合/（x）的單調性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用

導數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】

由題，/（力=3/—1,令人）>0得》>乎或一烏

令r（x）<o得一旦x<3,

33

所以/⑶在（-當，乎）上單調遞減，在（一雙一孝），（g,+8）上單調遞增，

所以x=±且是極值點，故A正確；

3

因/（-,）=1+￥>0,/（9）=1-竿>0,/（-2）-5<0,

所以，函數(shù)〃x）在卜％上有一個零點，

當x23時，〃》）2力4]>0,即函數(shù)〃x）在（咚,+/上無零點，

綜上所述，函數(shù)Ax）有一個零點，故B錯誤；

令/!（X）=X3-X,該函數(shù)的定義域為R,h（-x）=（-X）3-（-x）=-X3+X=-//（X）,

則〃（X）是奇函數(shù)，（0,0）是〃（X）的對稱中心，

將〃（X）的圖象向上移動一個單位得到/（X）的圖象，

所以點（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心，故C正確；

令r（x）=3/-l=2,可得x=±l,又/⑴=〃-1）=1,

當切點為（U）時，切線方程為y=2x-i,當切點為時，切線方程為y=2x+3,

故D錯誤.

故選：AC.

三、雙空題

14.（2022.全國.高考真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,

【答案】>=-xy=--x

ee

【解析】

【分析】

分x>0和x<0兩種情況，當x〉0時設切點為(飛,皿為)，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線

的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出％,即可求出切線方程，當x<()

時同理可得；

【詳解】

解:因為y=ln|M，

當x>0時y=ln無，設切點為(為,In』)，由>'=，,所以*,』=一,所以切線方程為

xxo

y-lnx0=—(x-x0),

又切線過坐標原點，所以Tnx。=’(一%),解得x0=e,所以切線方程為y-l=^(x-e),

尤0e

1

即nriy=-x；

e

當尤<0時y=ln(-x),設切點為(3,In(-玉))，由，=工，所以，'〔i=，,所以切線方程為

X內

y-ln(-x,)=—(x-x,),

百

又切線過坐標原點,所以一心(一占)=’(一王)，解得％=-e,所以切線方程為y_l=-L(x+e),

石-e

即y=-L；

e

故答案為：y=-x；y=—x

ee

15.(2022?全國?高考真題(文))若“力=1。。+丁L+〃是奇函數(shù)，則。=,b=.

L—X

【答案】-不；In2.

【解析】

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】

因為函數(shù)/(x)=ln〃+；一+人為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱.

由a+J-wO可得，(1一司(。+1-辦)工0,所以彳=四=-1,解得：a=-,即函數(shù)的定

i-xa2

義域為(F,T)U(T,1)D(1,"0),再由/(0)=0可得，b=\n2.即

“x）=ln-；+占+ln2=lng,在定義域內滿足/（r）=—〃x）,符合題意.

故答案為：-3；In2.

四、填空題

16.（2022?全國?高考真題（理））已知x=&和x=%分另I］是函數(shù)/。）=2/-6儲（。>0且。工1）

的極小值點和極大值點.若玉<三,則。的取值范圍是.

【答案】Q1）

【解析】

【分析】

由玉,々分別是函數(shù)〃x）=-ed的極小值點和極大值點，可得

/z（x）<0,工?%,々）時，/，（x）>0,再分a>l和0<a<l兩種情況討論，方程

21nad—2ex=0的兩個根為知公即函數(shù)y=Inad與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交

點，構造函數(shù)g（x）=ln“-優(yōu)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到g（x）的圖象，利用導數(shù)

的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】

解：f\x）=2\naax-2ex,

因為4，%分別是函數(shù)/（x）=2"-ex2的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)“X）在（ro,占）和（聲,”）上遞減，在（內,電）上遞增，

所以當》€(wěn)（-00,%）口（電,+00）時，/'（X）<O,當彳?用,々）時，/（X）>O,

若a>l時，當x<0時，21naax>0,2ex<0,則此時.f'（x）>0,與前面矛盾，

故。>1不符合題意，

若0<”1時，則方程21nad-2ex=0的兩個根為斗馬,

即方程=ex的兩個根為,

即函數(shù)y=lna.“*與函數(shù)>=ex的圖象有兩個不同的交點，

?.?0<“<1,；.函數(shù)>=〃的圖象是單調遞減的指數(shù)函數(shù)，

又???Ina<0,y=Ina?優(yōu)的圖象由指數(shù)函數(shù)>="向下關于x軸作對稱變換，然后將圖象上

的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的|lna|倍得到，如圖所示：

設過原點且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(x°,lnad,),

則切線的斜率為8'(不)=而。.*，

故切線方程為=ln%.a*(x-Xo),

x2x

則有-Ina?a"=-x?Ina-a°,解得x0=」一，

In<2

則切線的斜率為In2a./=eln%,

因為函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點，

所以eln,ave,解得

e

又Ovavl,所以

e

綜上所述，。的范圍為

【點睛】

本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了轉化思想及分類討論思想,

有一定的難度.

17.(2022.全國?高考真題)若曲線y=(x+a)e，有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍

是.

【答案】(―,-4)"0,小)

【解析】

【分析】

設出切點橫坐標方,利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關于4的

方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得〃的取值范圍.

【詳解】

*.*y=(x+a)ex,/.y'=(x+1+a)ex,

設切點為(毛,%)廁%=小+a)e"，切線斜率左=(x0+1+q)e、％,

切線方程為：y-(毛+a)e&=(』+l+a)e&(x-%),

切線過原點，，一(與+a)e?=(%+1+。W(—%)，

整理得：xl+axo-a=O,

?切線有兩條，A=a2+4。>0,解得"-4或”>0,

的取值范圍是(9,T)U(0,”)，

故答案為：(9,T)U(0，+8)

五、解答題

18.(2022?全國?高考真題(文))已知函數(shù)〃x)=ar-L-(a+l)lnx.

X

(1)當a=0時，求〃x)的最大值；

(2)若/")恰有一個零點，求a的取值范圍.

【答案】⑴-1

⑵(0,用)

【解析】

【分析】

(1)由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得解；

(2)求導得尸(x)=S“邛B),按照“40、0<。<1及”>1結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性,

求得函數(shù)的極值，即可得解.

(1)

當a=0時，/(x)=---lnx,x>0,則/(力=4__1=與，

XxX

當xe(O,l)時，戶")>0,“X)單調遞增；

當時，/^x)<0,〃x)單調遞減；

所以f(x)3=f⑴=T

(2)

/(%)=ax---(a+l)ln%,x>0,則/(力=4+二("】),

xxxx

當.40時，ax-l<0,所以當xe(0,l)時，/^x)>0,/(x)單調遞增；

當X?l,+8)時,即)<0,/(x)單調遞減;

所以f(x)皿=/(1)=。一1<。，此時函數(shù)無零點，不合題意；

當0<"1時，|>1,在(0,1),弓,+8)上，盟x)>0,/(x)單調遞增；

在上，/?x)<0,/(X)單調遞減；

又/⑴=。-1<0,

由(1)得，+lnxNl,BPln->l-x,所以lnx<x,ln4<?,lnx<,

xx

當x>l時，f(x)=ax---(a+l)\nx>ax---2(a+V)y]x>ax-(2a+3)y[x,

xx

則存在加=(5+2：>],使得/'(機)>0,

所以〃x)僅在[,+?>)有唯一零點，符合題意；

當”=1時，尸(力=(1)-2所以f(x)單調遞增，又/(1)=。-1=0,

所以〃x)有唯一零點，符合題意；

當”>1時，:<1,在(0,1),(1,田)上，/^x)>0,f(x)單調遞增；

在[』[上，盟x)<0,〃x)單調遞減；此時"1)=?！?>0,

由(1)得當0<x<l時，Injol--,InVx>l--y=,所以Inx>2(1—,

此時f^-ax_■--(a+l)lnx<ar--2(a+l)|1——]<一"L+2(4jI),

xx{\lxJxyJx

存在〃=“'、，使得/(〃)<。，

4(〃+1)a

所以f(x)在(o,j有一個零點，在+8)無零點，

所以f(x)有唯一零點，符合題意；

綜上，”的取值范圍為(0,e).

【點睛】

關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調性，把函數(shù)零點問題轉化為

函數(shù)的單調性與極值的問題.

19.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)，(幻=疣3-el

⑴當a=l時，討論/(x)的單調性；

⑵當x>0時,/(x)<-l,求。的取值范圍；

1111/

⑶設〃eN*'證明：正7?+際+…+"77").

【答案】(1)/(X)的減區(qū)間為(F,0),增區(qū)間為(0,e).

⑵*

(3)見解析

【解析】

【分析】

(1)求出/?x),討論其符號后可得〃x)的單調性.

(2)設a(x)=xe5-e'+l,求出〃'(x),先討論a>g時題設中的不等式不成立，再就

結合放縮法討論〃'(x)符號，最后就結合放縮法討論〃(x)的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.

(3)由(2)可得21n/<r,對任意的r>l恒成立，從而可得+J對任意

，yjn+n

的〃wN*恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.

(1)

當a=l時，/(x)=(x-l)e\則F'(x)=xe”,

當尤<0時，制勾<0,當x>0時,f^x)>0,

故〃x)的減區(qū)間為(9,0)，增區(qū)間為((),”).

(2)

設//(x)=xe"'-e，+l,貝iJ〃(0)=0,

X//(x)=(1+ar)e,u-ex,設g(x)=(l+ax)e"-e*,

貝Ijg，(x)=(2a+a2x)e“'一e”,

若a>g，則g'(0)=2?T>0,

因為g'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在4G(0,+oo),使得Vx?0,%),總有g")>0,

故g(x)在(0,%)為增函數(shù)，故g(x)>g⑼=0,

故妝力在(0,%)為增函數(shù),故〃(x)>〃(O)=-l,與題設矛盾.

若0<〃弓，則〃'(刈=(1+01)產一^=6"+呵"'")--,

下證：對任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立,

證明：設S(x)=ln(l+x)-x,故￡("=9-1=/<0,

故S(x)在(0,3)上為減函數(shù),故S(x)<S(0)=0即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有-ex<e"'+"-e"=e^-e^O.

故h'(x)<?？偝闪?，即網(wǎng)力在(0,e)上為減函數(shù)，

所以〃(X)</7(0)=-L

當“40時，有“(x)=e"—e*+ore'"<l—1+0=0,

所以丸(力在(0,物)上為減函數(shù),所以/?(x)<〃(O)=T.

綜上，a~~2'

(3)

取4=：,則Wx>0,總有xe3_e，+l<0成立，

令貝！If>1,/=e",x=21nf,

故2"nf<產-1即21nf<f」對任意的t>1恒成立.

t

所以對任意的〃€N*,有21nJ甲

整理得到：ln(n+l)-ln/?<J——,

7聯(lián)+n

故J?+/1=+???+、?>In2-In1+In3-In2+-??+In(/!+1)-Inn

Vl2+1V22+2\Jn2+n

=ln(〃+l),

故不等式成立.

【點睛】

思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，注意結合端

點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合

理構建數(shù)列不等式.

20.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e，-or和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從

左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

【答案】(1)。=1

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)的單調性，從而可得相應的最小值，根據(jù)最小值相等可求&注意分

類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當匕>1時，e'-x=Z>的解的個數(shù)、x-lnx=8的解的個數(shù)均為2,構建

新函數(shù)/?(x)=e'+lnx-2x,利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得〃x),g(x)的大小關

系，根據(jù)存在直線y=6與曲線y=〃x)、y=g(x)有三個不同的交點可得6的取值，再根

據(jù)兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.

(1)

，。)=6*-3的定義域為尺,而r(x)=e*-a,

若aMO,JJIlJf'(x)>0,此時/(x)無最小值，故a>0.

g(x)=or-lnx的定義域為(0,-)，而g'(x)=="」.

XX

當x<lna時，raxo,故"X)在(F,ln“)上為減函數(shù)，

當x>ln。時，f'(x)>0,故.f(x)在(Ina,一)上為增函數(shù)，

故/(幻而"=/0na)=a-alna.

當0<x<(時，g'(x)<0,故g(x)在(0,：)上為減函數(shù)，

當x>3時，g'(x)>0,故g(x)在上為增函數(shù)，

因為〃x)=e*-ar和8(幻=辦-111》有相同的最小值，

故1—ln-=a—aln“，整理得至=lna,其中a>0,

a]+a

i21—a2—1

設g(a)=----Ina,a>0,則g'(a)=----y--=----審40,

'l+a(1+a)aa(l+a)

故g(a)為(。，+°°)上的減函數(shù)，而g(l)=O,

故g(“)=0的唯一解為a=l,故M=lna的解為a=l.

綜上，a=l.

(2)

由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值為l-lnl=l-ln；=l.

當b>l時，考慮e，—x=b的解的個數(shù)、x-lnx=b的解的個數(shù).

設S(x)=e"Sz(x)=er-1,

當x<0時，S'(x)<0,當x〉0時，S'(x)>0,

故S(x)在(fo,0)上為減函數(shù)，在(0,+oo)上為增函數(shù)，

所以S(xL.=S(O)=1—匕<0,

而S(-6)=/>0,S(6)=e'-2/?,

設〃(b)=e"-力，其中6>1,則“'(。)=廿-2>(),

故”(b)在。,+<?)上為增函數(shù),故“?>Ml)=e-2>0,

故S(b)>0,故S(x)=e'-x-b有兩個不同的零點，即e，-x=匕的解的個數(shù)為2.

設T(x)=x_|nx_6,r(x)=—,

當0<x<l時，T,x)<0,當x>l時，7'(x)>0,

故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,例)上為增函數(shù)，

所以T(x)*=T(l)=14<0,

而T(e-")=e-〃>0,T(e")=e"_26>0,

T(x)=x-lnx-6有兩個不同的零點即x-lnx=b的解的個數(shù)為2.

當b=l,由(1)討論可得x-lnx=/?、e"-x=b僅有一個零點，

當方<1時，由(1)討論可得x-lnx=/?、e*-x=6均無零點，

故若存在直線y=%與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個不同的交點，

貝昉>1.

設/j(x)=e*+lnx-2x,其中x>0,故/z'(x)=e*+4-2,

X

設s(x)=e，-x-l,x>0,則s'(x)=e*-l>0,

故s(x)在(0,+oo)上為增函數(shù),故s(x)>s(O)=O即e*>x+l,

所以〃(X)>X+T-122-1>0,所以人(x)在(0,心)上為增函數(shù)，

1-IO?

而版l)=e—2>0,/(—)=ee，-3<e-3--V0,

7ee're7

故力(x)在(0,+CO)上有且只有一個零點看,看<與<1且：

當0cx</時，

當x>不時，"(x)>0即e*-x>x-Inx即/(x)>g(x),

因此若存在直線y=8與曲線y=〃x)、y=g(x)有三個不同的交點，

故b=〃Xo)=g(x(>)>l,

此時e，—x=b有兩個不同的零點々/。(為<。<%),

此時x-lnx=6有兩個不同的零點%,玉(0</<1<匕)，

故e*_X]=/7,e心一x()=6,x4-inx4-h=0txQ-inxG-h=O

A4-/?

所以Z=lnx4即e'i=/即e-(x4-Z?)-Z?=0,

故Z為方程e、-x=〃的解，同理與-〃也為方程e"-x=Z?的解

又e"一西=6可化為e*=凡+0即%一ln(F+6)=0即(玉+6)-ln(%+Z?)-Z?=0,

故X+〃為方程x-lnx=Z?的解，同理/+〃也為方程x-lnx=b的解，

所以｛玉,內)｝=｛玉)一"工4一。｝，而6>1,

故[*=*一:即%+5=2%.

xb

=0-

【點睛】

思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，此時注意對參數(shù)的分類

討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.

21.(2022?全國?高考真題(理))已知函數(shù)〃x)=ln(1+x)+麗

⑴當a=l時，求曲線y=〃x)在點(0,/(0))處的切線方程；

⑵若在區(qū)間(-1,0),(0,”)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

【答案】(l)y=2x

⑵E-1)

【解析】

【分析】

(1)先算出切點,再求導算出斜率即可

(2)求導，對〃分類討論，對x分(-1,0),(0,+?))兩部分研究

(1)

/(x)的定義域為(-L”)

Y11—r

當a=l時,/(幻=111(1+》)+:,/(0)=0,所以切點為(0,0)f\x)=--+=J(0)=2,所以

切線斜率為2

所以曲線y=〃x)在點(0J(0))處的切線方程為y=2x

(2)

nr

/(x)=ln(l+x)+—

f'(x)=-L+3=e』(-2)

\+xeA(1+x)eA

設g(x)=e*+a(l-

1°若a>0,當苫￡(一1,0)送(幻=/+。(1一/)>0,即/'。)>0

所以/(x)在(-1,0)上單調遞增,〃x)</(0)=0

故Ax)在(-1,0)上沒有零點，不合題意

2°若一掇以0,當xe(0,yo)，則g'(x)=eA-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增所以g(x)>g(0)=1+a..0,即f'(x)>0

所以/(x)在(0,xo)上單調遞增,f(x)>/(0)=0

故/(x)在(0,+00)上沒有零點，不合題意

3°若

(1)當xe(0,y),則g'a)=e'—2以>0,所以g(x)在(0,+8)上單調遞增

g(0)=1+a<0,g⑴=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(m)=0,即f'(m)=0

當xe(0,⑼,/(x)<0,f(x)單調遞減

當xeQ",+oo)j'(x)>0,f(x)單調遞增

所以

當xw(0,/n)J(x)<f(0)=0

當X-?4-00,f(x)->+00

所以fW在("?,”)上有唯一零點

又(0,⑼沒有零點，即/(X)在(0,+8)上有唯一零點

⑵當xe(-l,0),g(x)=e*+a(l-x2)

設h(x)=g'(x)=ev-2ax

h(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調遞增

g(-1)=—+2a<0,g(0)=1>0

e

所以存在〃e(-LO),使得g'(〃)=0

當xe(-l,n),g'(x)<0,g(x)單調遞減

當xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調遞增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(-l)=’>0

e

所以存在fe(-1,〃)，使得gQ)=0,即f'(t)=0

當X€(-1,0,/(X)單調遞增，當XG(f,0)J(x)單調遞減

有x->-l,f(x)--00

而/(o)=0,所以當Xe(f,0)J(x)>0

所以/(x)在(-1,0上有唯一零點,Q,0)上無零點

即/(x)在(-1,0)上有唯一零點

所以符合題意

所以若/*)在區(qū)間(T,0),(0,yo)各恰有一個零點，求。的取值范圍為(TO,-1)

【點睛】

方法點睛：本題的關鍵是對〃的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊

不滿足即可，肯定要兩方面都說明.

22.(2022?全國?高考真題(理))已知函數(shù)7?(*)=幺一lnx+x-a.

(1)若〃x)±0,求。的取值范圍；

(2)證明:若“無)有兩個零點十,王，則環(huán)中2<1.

【答案】(l)(ro，e+l]

(2)證明見的解析

【解析】

【分析】

(1)由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；

(2)利用分析法，轉化要證明條件為>0,再利用導數(shù)即可得

證.

(1)

f(x)的定義域為(0,+00),

,，/、C1K1,If,1Kf,0X-I(ex,

f(x)=z-ei-l=-1—e+1—=-I-1

x")xx)Ix)x(x

令/(x)=(),得x=l

當xe(0,1)J'(x)<0,/(x)單調遞減

當Xe(1,+8),廣(X)>0J(x)單調遞增f(x)>/(l)=e+l-a,